2024-2025学年人教版八年级数学下册 第一章 三角形的证明 单元重点综合测试（培优卷）（解析版）

第一章三角形的证明（培优卷）

考试时间：120分钟，满分：120分

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.已知：在△ABC中，a、b、c分别是//、ZB./C的对边，则下列条件中不能判断△22C是直角三角形

的是（）

A.NA-NB=NCB.ZA:ZB:ZC=3:4:5

C.<7=1,6=石，c=2D.。：6:c=8:15:17

【答案】B

【分析】本题主要考查三角形内角和定理及勾股定理的逆定理的应用，掌握判定直角三角形的方法是解题

的关键.

利用三角形内角和定理和勾股定理的逆定理逐项判断即可.

【详解】解：A、・；/A-NB=NC,//+ZB+/C=180°,.•.N/=NB+NC=90°,.•.△Z2C是直角三角形,

故此选项不符合题意；

34

B、•••N/:N8:NC=3:4:5,//+Z8+/C=180°,=------------xl80°=45°,ZB=----------xl80°=60°,

3+4+53+4+5

NC=UT?X180°=75。，.•.△/2C不是直角三角形，故此选项符合题意；

C、••・a=l,b=也,c=2,=2?=c2,.,.△4BC是直角三角形，故此选项不符合题意；

D、a:c=8:15:17,.,.可设a=8左,6=15Rc=17左，,.,（8后）~+（15左）~=（17人）2,二02+62=。2,,必/2。是直

角三角形，故此选项不符合题意；

故选B.

2.如图，已知△ABC中，AB=6,AC=IO,BC=14,若过△ABC的顶点的一条直线将△4BC分割成两个

三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）

A

BC

A.2条B.3条C.4条D.5条

【答案】C

【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的性质分别利用4B为底以及2B为腰得出符合

题意的图形即可.

【详解】解：如图所示，当BA=BE=AF=AG,BD=AD^,都能得到符合题意的等腰三角形.

综上，这样的直线最多可画4条.

故选：C.

3.在平面直角坐标系中，已知点4-4,0),0为坐标原点.若要使△0/2是直角三角形，则点8的坐标不

可能是()

A.(T2)B.(0,4)C.(4,2)D.(-2,2)

【答案】C

【分析】本题考查坐标与图形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理.根据题意，画出图即可，

见详解.

【详解】解：如图所示，点B的坐标不可能是(4,2),

A.点(-4,2)时，/心0=90。，此项不符合题意；

B.点(0,4)时，乙饮〃=90。，此项不符合题意；

C.点(4,2)时，如图，△048不是直角三角，符合题意；

D.点(-2,2)时，由勾股定理求得AL=242,OL=20,故AO2=Al3+Ol3,即AALO=90°,此项不符合题意;

故选：C.

X

4.如图，在△/8C中，以点A为圆心，/C的长为半径作圆弧交8c于点Q,再分别以点8和点。为圆心,

大于g比的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N,连接九W交N8于点E.若A8=9,AC=7,则

A.22B.20C.18D.16

【答案】D

【分析】本题考查线段垂直平分线的作法和性质，画已知线段的作法，熟练掌握线段垂直平分线的作法和

性质是解题的关键.先利用题中作法得出4D=/C和"N垂直平分8。，再利用线段垂直平分线的性质得出

BE=DE,最后利用线段的和差即可解决.

【详解】解：••・以点A为圆心，/C的长为半径作圆弧交8C于点。，

AD=ACf

••・分别以点8和点。为圆心，大于!纪的长为半径作圆弧，两弧分别交于点〃和点N,连接"N交于

2

点、E.

・・•■V垂直平分助，

BE=DE,

・•・△/£)£的周长为ZZ)+4E+D£=ZC+4£+5E=4C+/B,

vAB=9,AC=7,

i^ADE的周长为9+7=16,

故选：D.

5.如图，AB=AD=90°,BC=CD,Z1=40°,则/2=()

A.40°B.50°C,60°D.75°

【答案】B

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，先根据三角形的内角和定理求解

ACB=50°,再证明Rta4?C竺RL^/Z）C（HL）得到Z2=AACB即可；

【详解】解：•・.〃="=90。，Z1=40°,

ZACB=180°-ZB-Zl=50°,

在Rt^ABC和RtA/DC中，

[BC=BC

[AC=AC

RtAJfiC^RtA^DC（HL）,

.-.Z2=ZACB=50°,

故选:B.

6.如图，在三角测平架中，AB=AC,在2C的中点。处挂一重锤，让它自然下垂.如果调整架身，使重

锤线正好经过点4那么就能确认BC处于水平位置.这种做法依据的数学原理是（）

个

A.等腰三角形的三线合一B.等角对等边C.三角形具有稳定性D.等边对等角

【答案】A

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质是

解此题的关键.

【详解】解：中，AB=AC,。为的中点，

ADJ.BC,

故这种做法依据的数学原理是等腰三角形的三线合一，

故选：A.

7.如图，ZUBC为等边三角形，。为5c延长线上一点，作。交4C的延长线于点E.若AB=4,

/£=7,则DE的长为（）

iLZJ

A.2B.3C.4D.7

【答案】B

【分析】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，先根据等边三角形性质得

AB=AC=4,ZA=NB=60°,则CE=/E-NC=3,再根据〃/3得ND=N5=60。，ZE=ZA=60°,

由此可判定ACDE为等边三角形，进而可得。E的长.

【详解】解：,・・△45。为等边三角形，且48=4,

/.AB=AC=4,Z.A—Z.B=60°,

•・•AE=7,

；.CE=AE—AC=7—4=3,

-DE//AB,

ZD=ZB=60°,NE=ZA=60°,

ND=NE=60°,

・・.△CDE为等边三角形，

,-.DE=CE=3.

故选：B.

8.在平面直角坐标系中，已知点尸(-2,2),0是v轴上一点，则使AOP。为等腰三角形的点。的个数为

()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定与性质；分情况进行分析是正确解答本题的关

键.

由于点。的位置不确定，所以应当讨论，当。尸=时，可得到2点，当OP=尸。时，可得到一点.当=尸。

时，

【详解】如图所示：

OP=V22+22=2V2>

分三种情况:

当。尸=。。时，分别以。为圆心，以。尸长为半径作圆，与y轴交点2点，2(0,2a),Q(。，-2&)；

当。尸=P。时，分别以尸为圆心，以OP长为半径作圆，与y轴交与另一点，2(0,4)；

当尸。时，作线段。尸的垂直平分线，与了轴的交点可得到一点，a(0,2),

综上所述：使AOP。为等腰三角形的点。的个数为4个，

故选：B.

9.若等腰三角形的一边长等于2,另一边长等于3,则它的周长等于().

A.7B.8C.9D.7或8

【答案】D

【分析】分边长2为腰和边长3为腰两种情况解答，并运用三角形的三边关系验证解答即可.

【详解】解：①当边长2为腰时，三边为2、2、3,由2+2>3,则可组成三角形，即周长为2+2+3=7；

②当边长3为腰时，三边为3、3、2,由2+3>3,则可组成三角形，即周长为2+3+3=8；

所以该等腰三角形的周长为7或8.

故答案为D.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，正确应用三角形的三边关系是解答本

题的关键、也是解答本题的易错点.

10.如图，CDLAB,BEVAC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点。，OB=OC,连接若

乙100=55°,则()

A.35°B.55°C.60°D.70°

【答案】D

【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的判定定理，正确找出两个全等三角形是解

题关键.先证出△280ZXCOE,根据全等三角形的性质可得再根据角平分线的判定定理可得

/O平分/8/C,从而可得NA4c=2/0/8,由此即可得.

【详解】解：••・CD1/3,BELAC,

：.NODB=NOEC=9G°,

在和ACOE中，

ZODB=ZOEC=90°

<ZBOD=ZCOE,

OB=OC

/\BOD^^\COE(AAS),

OD=OE,

又BE点。在NA4c的内部,

平分/8/C,

ABAC=2NOAB,

•；CD上AB,ZAOD=55°,

AOAB=90°-NAOD=35°,

=2x35°=70°,

故选：D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

11.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离

相等，凉亭的位置应选在_____.

【答案】△N2C三条角平分线的交点处

【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等.据此解答

即可.

【详解】解：••・要使凉亭到草坪三条边的距离相等，

.•・凉亭的位置应选在△ABC三条角平分线的交点处.

故答案为：AABC三条角平分线的交点处.

12.在△NBC中，乙4=108。，当48=度时，△NBC是等腰三角形.

【答案】36°

【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理.根据等角对等边以及三角形内角和定理

求解即可.

【详解】解：.•.在△4BC中，ZA=108°,△4BC是等腰三角形，

1QAO_/A

当//为顶角时，则NC=NB=---=36。；

2

当//为底角时，则108。+108。=216。＞180。，不存在这种情况；

.••当48=36。时，△4BC是等腰三角形，

故答案为：36°.

13.如图，在△N8C中，ZBAC=110°,的垂直平分线分别交和48于点。和点M,/C的垂直平分

线分别交和/C于点E和点N,连接4D,AE,则ND4E的度数为.

A

BD\/£C

【答案】40。/40度

【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等角对等边，三角形的内角和的定理，综合运用以上知识是解题

的关键.

根据垂直平分线的性质可得03=DA,EA=EC,根据等边对等角可得NDAB=NB/EAC=/C,根据三角

形的内角和定理可得ZBAD+ZEAC=ZB+ZC=70°,进而根据NDAE=ZBAC-(ZBAD+ZEAC)即可求得

答案.

【详解】解：--AB的垂直平分线分别交8C和于点。和点M,AC的垂直平分线分别交3C和NC于点E

和点N,

.-.DB=DA,EA=EC

NDAB=ZB,ZEAC=ZC

•.•在ZUBC中，NB4c=11。°,

ABAD+NEAC=ZB+ZC=70°

NDAE=ABAC-(ABAD+ZEAC)=110°-70°=40°

故答案为：40°

14.一个三角形的三边长的比为3:4:5,且其周长为36cm,则其面积为.

【答案】54c加354平方厘米

【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键；

先设三角形的三边长分别为3x,4x,5x,再由其周长为36cm求出x的值，根据勾股定理的逆定理判断出

三角形的形状，由其面积公式即可求解；

【详解】解：.••三角形的三边长的比为3:4:5,

•••设三角形的三边长分别为3x,4x,5x,

;其周长为36cln,

3x+4x+5x=36,解得x=3,

••.三角形的三边长分别是9,12,15,

•••92+122=152,

•・.此三角形是直角三角形,

,2

.•.1S=1x9xl2=54（cm）,

故答案为：54cm2

15.如图，在等边ZUBC中，点DE分别在边/瓦/C上，DE//BC,点尸在8c的延长线上，且

EB=EF,若BD=6,BF=12,则线段DE的长为.

【答案】3

【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键熟练

掌握以上性质；过点、E作EHLBF,垂足为H,设DE=x,由等边三角形的性质可得

N4=N4BC=N4CB=6Q°,AB=AC,再证明△/£)£是等边三角形，可得CE=BD=6,

AB=BC=AC=6+x,再由含30。的直角三角形的性质可得C〃=gc£=3,再根据等腰三角形的性质可得

BH=FH=LBF=6,再列方程求解即可.

2

【详解】如图，过点E作EHLBF,垂足为"，则/即C=90。，设DE=x,

:.NA=N4BC=NACB=60°,AB=AC,

■：DE//BC,

AADE=NABC=60°,ZAED=ZACB=60°,

:.△ADE是等边三角形，

/.AD=AE=DE=x,ZACB=60°f

AB-AD=AC-AE,

CE=BD=6,AB=BC=AC=6+x,

vZACB=60°fZEHC=90°,

/./HEC=90°-ZACB=90°-60°=30°,

:.CH=-CE=3

29

:.BH=BC-CH=6+x-3=3+xf

•/BE=EF,EHVBF,

:.BH=FH=-BF=6,

2

/.3+x=6,

解得x=3,

DE—3,

故答案为：3.

三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分.

16.已知：如图，在中，

⑴请用尺规作图，作//的平分线交BC于D点、.(保留作图痕迹.)

(2)已知/6=65°,/C=45°,求NNOC的度数.

【答案】⑴见解析

(2)100°

【分析】本题主要考查作角的平分线，三角形定理，正确作出角平分线是解答本题的关键.

(1)根据作角的平分线作图即可；

(2)由三角形定理得出/B/C=70。,由角平分线的定义得出NC/Z)=35。，再根据三角形内角和定理得出

ZCDA.

【详解】(1)解：如图，4D即为所作;

A

'F

BDc

(2)解：•••42C+NC+/A4c=180°,且/2=65°,/C=45°,

ABAC=180°-65°-45°=70°,

又/。是/8/C的平分线，

：.ACAD=~ABAC=35°•

2

又ACAD+ZC+/ADC=180°,

ZADC=180°-35°-45°=100°

17.如图NB=90。，AB=2Q,8c=15,CD=7,AD=24,求/。的度数.

【答案】=90°

【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，连接/C,先根据勾股定理求出AC?的值，再由勾股定理的逆

定理判断出A/C。的形状即可.

AC2=AB2+5C2=202+152=625,

•••CD=7,AD=2.4,

CD2+AD2=72+242=625=AC2,

.•.“CD是直角三角形,

.-.ZD=90°.

18.如图，在△4BC中，ABAC>90°,的垂直平分线分别交AB,BC于点、E,F,/C的垂直平分线分别

交/C,BC于点M,N,直线斯，交于点尸.

⑴求证：点尸在线段2C的垂直平分线上；

(2)已知/E4N=56。，求/EPN的度数.

【答案】⑴证明见解析；

⑵ZFPN=62°

【分析】(1)连接BP,AP,PC,根据线段垂直平分线的性质证明尸8=尸/=PC,从而证明结论即可;

(2)先根据垂直平分线的性质证明=,NA=NC,ZAEP=ZAMP=ZBEF=ZCMN=90°,再设

NB=x,ZC=y,然后根据三角形内角和定理，求出x+y,再根据直角三角形的性质求出N2相和

ZCNM,再根据对顶角的性质求出/PFN,ZPNF,最后利用三角形内角和定理求出答案即可.

【详解】([)证明：如图所示，连接8尸，AP,PC,

••,尸£垂直平分力B,尸河垂直平分NC,

PA=PB,PA=PC,

PB=PC,

.•.点P在线段8c的垂直平分线上；

(2)解：:PE垂直平分AB,■垂直平分/C,

FA=FB,NA=NC,ZAEP=ZAMP=ZBEF=ZCMN=90°,

.-.ZB+ZBFE=ZC+ZMNC=90°,

设ZB=x,ZC=y,

ZB=ZBAF=x,NC=/CAN=y,NBFE=90°-x,/MNC=90。-y,

ZPFN=NBFE=90。一x,乙PNF=ZMNC=90°-y,

ZB+ZC+ZCAB=180°,ZFAN=56°,

2x+2y+56°=180°,即x+y=62°,

ZPFN+NPNF+ZFPN=180°,

.­.90o-x+900-y+ZFPN=180°,

...NFPN=180°-180°+(x+v)=62°.

【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，等腰三角

形的性质，对顶角相等等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键.

四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分.

19.如图，ZC=ZD=90°,BC=AD.

DC

⑴求证：BD=AC；

(2)若ZDAB=75°,则ZCAB=°,

【答案】⑴见解析

(2)15

【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质.熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键.

(1)利用"HL"证明Rt"8C出RtA84D(HL),即可证明M=/C；

(2)禾烟全等三角形性质得NCA4=4M3=75。，利用直角三角形两个锐角互余得

ZCAB=90°-ZCBA=15°.

【详解】(1)证明：•.,NC=NO=90。，BC=AD,AB=BA,

^ABC^^BAD(HL),

BD=AC.

(2)解：由(1)知，“BC知BAD,

ZCBA=ZDAB=75°,

•••ZC=90°,

ZCAB=90°-ZCBA=15°.

故答案为：15.

20.如图，等腰△4BC中，AB=AC,乙4=60。，BELAC于点、E,延长3c至点尸，使CF=C£,连接

FE.

(1)求//8C的度数；

(2)求证：BE=FE.

【答案】⑴45C=60。

(2)见解析

【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：

(1)根据有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形证明即可；

(2)根据等边对等角和三角形外角的性质可求出NF=30。，然后结合三线合一性质可得出=30。，最

后根据等角对等边证明即可.

【详解】(1)解：：△48c是等腰三角形，AB=AC,ZA=60°,

:必ABC是等边三角形，

ZABC=60°

(2)证明：•••Cb=CE,

ZF=ZCEF,

ZACB=60°=ZF+ZCEF,

NF=30°,

•.•△4BC是等边三角形，BEVAC,

ZEBC=30°,

ZF=ZEBC,

BE=EF.

21.为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助学生更好地理解劳动的价值

与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，海口市某学校给八(1)班、八(2)班各分一块三角形

形状的劳动试验基地.

⑴当班主任测量出八(1)班试验基地的三边长分别为5m,12m,131n时,小明很快就给出这块试验基地的面

积.请你写出完整的求解过程；

⑵如图所示，八(2)班的劳动实验基地的三边长分别为43=\5m,BC=14m,AC=13m,请帮助他们求出该实

验基地的面积.

【答案】⑴见解析

(2)84m2

【分析】本题考查勾股定理及其逆定理：

(1)根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形，根据直角三角形的面积公式计算即可；

(2)过点/作4D15C于。根据勾股定理列出方程，解方程求出皿,再根据勾股定理求出4D,根据三角形

面积公式计算，得到答案.

【详解】(1)解：+12?=25+144=169,132=169,

•••52+122=132,

・••这个三角形是直角三角形，

二三角形的面积为：^-x5xl2=30m2；

(2)如图，过点/作ADSBC于。，

设8。=Ain,则CD=(14-x)m,

在RtAABD中,AB-=AD2+BD2,

在RtA^CD中,NC?=AD2+CD2,

•••/左一台。=/c2-ch,即152_尤2=132_(14-X『，

解得：X=9,

由勾股定理得：AD=y/AB2-BD2=12(m),

I,

14x12=84m-,

该实验基地的面积为84m2.

五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分.

22.阅读下列内容：设a,b,c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a,b,c三条边

长度之间的关系来判断这个三角形的形状：®^a2=b2+c2,则该三角形是直角三角形；@^a2>b2+c2,

则该三角形是钝角三角形；③若/</+°2,则该三角形是锐角三角形.例如：若一个三角形的三边长分

别是4,5,6,则最长边是6,62=36<42+52,故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：

（1）若一个三角形的三边长分别是7,8,9,则该三角形是_______三角形.

（2）若一个三角形的三边长分别是5,12,X.且这个三角形是直角三角形，求一的值.

（3）当。=2,6=4时，判断△NBC的形状，并求出对应的c?的取值范围.

【答案】（1）锐角；（2）169或119；（3）见解析

【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；

（2）直接利用勾股定理得出N的值；

（3）分A4BC为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形结合三边关系得出答案.

【详解】解：（1）72+82=49+64=113>92,

••.三角形是锐角三角形，

故答案为：锐角；

（2）•••这个三角形是直角三角形，当尤为斜边，

.'.52+122=x2,

.•.X2=169,

当12是斜边，

则52+^=122,

解得：x2=119,

故N的值为169或119；

(3)