2024-2025学年宁夏回族自治区银川市宁夏高三年级上册第二次月考测试（12月）数学检测试题（含解析）

2024-2025学年宁夏回族自治区银川市宁夏高三上学期第二次月

考测试（12月）数学检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

1.命题“*e[Q+°°>x3+x<0,,的否定是（）

A[0,x3+x<0B[0,x3+x>0

33

cVxe[0,+^）,x+x<0口Vxe[0,+oo）,x+x>0

2.向量“"。与非零向量*的夹角为60。，则之在分上的投影向量的模长为（

）

A.2B.2c.1D.一6

3.底面边长为2友,且侧棱长为2逐的正四棱锥的侧面积为（）

A.20B.16C.24D.6

4.等比数列中，72=-4%=-¥,则g=（）

A.4B--4C.-6D.+4

5.已知函数，（x）="s】n3+°）（/>0,°>0,1小兀）的部分图象如图所示，小）的解析

式为（）

fB./（x）=2sin"g]

f（x）=2sin|2x+

A.1

f（x）=2sin]；尤4高D.»2哈制

6.已知正方体ABCD-"MA的棱长为1,£为CD的中点，则点8到平面AEQ的距离

等于（）

V6他65/6

A.3B.4C.3D,4

7.己知定义在R上的奇函数/（无）满足：/（x）=/（x-6）,且当0WXW3时，

z._p+log05（x+l）,0<x<l

[x（x-2）,I<x43（°为常数），则/（2021）+/（2025）的值为（）

A.-3B.3C.4D.2

8.设V48c的内角48,C的对边分别为a,b,c,已知2ccos2=2a+6,。在48边上,

CD平分ZACB,且CD=2,则。+46的最小值为（）

A.9B.18C.24D.36

二、多选题（本大题共3小题）

9.下列说法中，正确的有（）

A.直线”办一30+2（aeR）必过定点（3,2）

B.点°」）关于直线X7+1=°对称的点是*，4）

一旦

C.直线X+回+1=°的斜率为3

3>/5

D.点（1'2）至Ij2x_y+3=O的距离是可

10.已知数列｛“/满足+$“是前”项和，则下列说法正确的是（）

A.数列｛%｝是公差为-2的等差数列；

B.当工取得最大值时，n=5.

C.数列%」｝的前〃项和是北，I.-"

D.数列〔"J也是首项为9,公差为T等差数列

11.设aeR,函数八无）=一一+"-2,贝1J（）

A.当。<。时，函数/（X）为单调递增函数

B.点（°厂2）为函数>=/（x）图象的对称中心

C.函数/G）有三个零点的充要条件是。>3

D.存在q，b,使得函数V=/（x）图象关于直线x=b对称

三、填空题（本大题共3小题）

12.已知圆。经过三个点分别是(°，°),3°),(°3),则圆。的方程为.

八2

tan6=—

13.已知3,贝i]sin20=.

14.在边长为4的正方形/BCD中，如图甲所示，E,F,分别为BC,的中点，

分别沿/尸及£尸所在直线把A/仍，△/FE和△斯C折，使8,C,。三点重合于

点尸，得到三棱锥尸-4EF,则三棱锥尸-4E户外接球的表面积为.

四、解答题(本大题共5小题)

15.在V/8C中，内角A,B,C所对的边分别是。，b,c.已知6sin/=eacosB

(1)求角3的大小；

⑵若。一。=1,b=4,求VN8C的面积.

16.已知椭圆C的中心为坐标原点。，焦点在x轴上，且椭圆C经过点(°，1),长轴

长为2拒.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点加(1，°)且斜率为1的直线/与椭圆。交于48两点，求弦长1^1；

(3)若直线/与椭圆相交于两点，且弦8的中点为(2'2人求直线/的方程.

17.如图，在四棱锥IBCD中,底面4BCD是边长为2的正方形，侧棱底面

ABCD,PD=DC,£是尸C的中点，作EF工PB交PB于点、F.

⑴求证：&//平面瓦第；

(2)求平面CP2与平面P5O的夹角6的大小;

(3)求证：P8,平面瓦明.

18.已知函数/（x）=e"*l.

⑴当。=1时，求函数/（X）的极值；

（2）求函数/（X）的单调区间；

（3）若对任意的实数仁b,曲线>=/（x）+区+%与直线丁=h+^总相切，则称函数

，（x）是“A函数”，当。=1时，若函数g（x）=e'[/（x）r+l]+%是“A函数,,，求加.

19.给定正整数九设生出,…，是1,2,…，〃中任取加个互不相

同的数构成的一个递增数列.对如飞｛1,2,…，叫，如果z•是奇数，则为是奇数，如果，是

偶数，则”是偶数,就称%出，…,程为“少数列，，.

（1）若机=3,〃=5,写出所有“少数列”；

气+-J2...m+n

证明.2千Z，

（2）对任意“〃数列”外,电，…，am,\<k<m2（注:

国表示不，超过x的最大整数）；

（3）确定“弦数列”的个数.

答案

1.【正确答案】D

【详解】特称命题的否定是全称命题，

因此命题“*e[°,+8）,X3+x<°”的否定是Vxe[0，+8），d+x»0

故选：D.

2.【正确答案】A

【分析】根据给定条件，利用投影向量的模长公式计算即得.

【详解】依题意°=（L°）,则同="^=1,

-\a\-cosab=lxcos60°=—

故“在b上的投影向量的模长为j92.

故选：A.

3.【正确答案】C

【分析】利用正棱锥的性质，结合棱锥的侧面积公式计算即可

【详解】

由正四棱锥底面边长为2历,可得底面对角线长为4,

则棱锥的高尸。1（2⑸一八4,斜高为⑸-⑸=3上

S」x3拒x2必4=24

侧面积为2.

故选：C.

4.【正确答案】B

【分析】根据等比数列通项公式求解即可.

【详解】设等比数列｛""｝的公比为"因为%=-2,&=-8,所以-8=-2/,所以d=2,

所以4=&x/=(-2)x2=-4

故选：B.

5.【正确答案】B

【分析】由图象确定/的值，根据周期求出利用特殊值求出夕，即得答案.

沙=①J.，支型

【详解】由函数图象可知/=2,412I6人即4。4

由/图=2s《陪+上2,得**Z

2兀2兀

故(P----3-F2后I,keZ,由于I阚I＜_兀(D=---------

故3

/。)=2sm2x

则-T

故选：B

6.【正确答案】A

【分析】由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用点面距的向量公式，可

得答案.

【详解】由题意建立空间直角坐标系，如下图:

则3(1,1,0),/(1,0,0),£10，于°|G(0,1,1),

取方=(o,i,o),/£=卜+°；=(-i,i,i)

「一工］n

n-AE=Ql-x+-j=0

设平面"EG的法向量为"则1方？£=0,可得［f+y+z=o,

令x=l,贝！|了=2,z=-l,所以平面,"G的一个法向量”=（1，2，T）,

2

,:k^lii_V6

点3到平面/%的距离同S+4+13.

故选：A.

7.【正确答案】C

【分析】由奇函数性质求得。，然后结合周期性求函数值.

【详解】因为/G）在R上的奇函数，所以/（°）="+1暇.51=0,解得。=0,

心）」*（*+1）（OKI）

所以八J卜《-2）（l<x<3）；

因为"x）="x-6）,所以/（x）的周期为6,

/（2021）+/（2025）=/（-l）+/（3）=-/（l）+/（3）=-log0,2+3=4

故选：C.

8.【正确答案】B

C=2n

【分析】由余弦定理可得一丁，由$△延=$心+5皿，8=2,可得。6=2（。+6）,

111

----1----———

即462,再结合基本不等式求解即可.

a2+c2-b2",

2c---------------=2a+b

【详解】因为2ccosB=2a+g由余弦定理得：2a,整理得：

a2+b2—c2=—ab,

cosC=—c/八、

所以2,又因为Ce（0,兀），

2K

C=—

则3,

因为。平分N/C5,

一71

ZACD=ZBCD=-

所以3,

1人2兀兀_1_1兀

—absm--------b2sm—+一。2sin—

所以232323,

—ab=2'-—b+T--a

即222222

1j__j_

整理有：ab=Ka+b\即/厂5,

所尸岭。+沙+江2（，户［

因为。>0,b>0,所以。,b

21竺+，5>22j—--+5^=18

所以I"b6J

即a+46318,

4b_a

ab

'1+户6

当且仅当Q石5,即N=3时，等号成立.

故选：B

9.【正确答案】ACD

【分析】将直线方程变形，可求出直线所过定点的坐标，可判断A选项；利用点与点

关于直线对称，求出点O'。关于直线x-〉+l=°对称的点的坐标，可判断B选项；求

出直线的斜率，可判断C选项；利用点到直线的距离公式可判断D选项.

【详解】对于A选项，直线方程可化为“0-3）+2->=°,

卜-3=0卜=3

由卜-k。可得所以，直线y=ax-3a+2（aeR）必过定点（3,2）,人对；

对于B选项，设点°」）关于直线苫-^+1=°对称的点的坐标为（°力），

伊-1_1

<Q—]

a+1b+11„J〃=0

----------+1=0I7c

则〔22,解得〔6=2,

所以，点0'1）关于直线X7+1=°对称的点的坐标为（°，2）,B错;

对于C选项，直线x+6y+l=°的斜率为V33,c对；

|2-2+3|375

对于D选项，点&2）至I」2x—+3=0的距离是"2+（一I75,口对.

故选：ACD.

10.【正确答案】ABD

【分析】根据等差数列的定义判断A、D；由等差数列的和结合二次函数的性质可判断

B；利用赋值法判断C;

【详解】由。”=-2"+11,贝°4+i-a”=-2（〃+1）+11-（-2"+11）=-2,

所以数列｛“J是公差为-2的等差数列，故A对；

92W+1122

（n1Sn=-=-H+10»=-（H-5）+25

因为数列汹力是公差为-2的等差数列，所以2

当〃=5时，当了“取得最大值时，故B对;

取〃=1时，㈤=卜2+11|=9,而Z,=FT=°N%,故c错

一〃〃S一〃2+10〃

92+11=_”2+10n=+10

2,所以nn

5用j=—(〃+1)+10—(一〃+10)=—1

所以“+1〃

s

」=一1+10=9

且1,所以数列n也是首项为9,公差为T等差数列，故D对;

故选：ABD

11.【正确答案】BC

【分析】求导可得/'0）=-3'+“，可判断A错误；利用对称中心定义可知满足

/（无）+/（-x）=-4,可知B正确；由三次函数性质利用导函数求得了（X）的单调性，再

根据极值的符号即可判断C正确；利用轴对称函数的定义可判断D.

【详解】/'（x）=-3f+〃，对于人，当。＜°时，可知/'（'）=-3—+〃＜0恒成立,

因此函数/（X）为单调递减函数，即A错误;

对于B,由/(1)=-/+办_2可得/(^)+/(~^)=-^3+ax-2-(-x)-ax-2=-4

即可得对于^^区都满足了⑺+”-切二-矢

所以点（°'-2）为y=/（x）图象的对称中心，可得B正确;

对于C,由A选项可知当。＜0时，r（x）=-3/+aV0恒成立,

函数/（X）为单调递减函数，不合题意;

aa

所以。＞。，令/■'。）=-3/+。=0,解得X一—x=~.

3或~3

XG—oo9—

易知—、或时，/（吗＜0,

aa

X£

当I3’切时，/'(*)>°;

\aa

3，+0°~3,

因此可得和上单调递减，在I上单调递增;

即/（无）在A匕和"处分别取得极大值和极小值;

若函数/（X）有三个零点,

可得解得。＞3,

因此充分性成立;

\a

弓,+8

当。＞3时，可知/（x）在1上单调递减，在

且极小值

由三次函数性质可知此时，（无）有三个零点，即必要性成立,

所以函数/（X）有三个零点的充要条件是。＞3,即C正确；

对于D,若函数y=/（W图象关于直线x=b对称，则满足"x）=/（26-x）,

又f（2Z?-x）=-（2/J-X）3+a（2b-x^-2可得+ax=-（2b-xy+a（2b-x^

整理2（1）（*-2乐+助2"）=0,该方程无法对任意的xeR恒成立，即口错误.

故选：BC.

关键点点睛：在求解三次函数零点个数时，关键是根据单调性限定出极值的符号，解不

等式即可得出参数取值范围.

12.【正确答案】（x-3）+&-4）~=25

【分析】设圆C的方程为（x-a）2+3-6）2=〃，根据条件建立方程组，联立方程求解出

a，印,即可求解.

【详解】设圆0的方程为U-«）2+（y-*）2=r\

因为圆过点是（"°）,S,。）,（°，8）三点，

所以/①，（"6＞+/=/②，/+（6-8）2=，③，

由①②得到"3=0④，由②③得到3a-4b+7=0⑤，

由④⑤解得。=3,6=4,代入①，得户=25,

所以圆。的方程为（I7+&-4）2=25.

故（＞3）2+&-4）2=25

12

13.【正确答案】13

【分析】利用正弦二倍角公式，结合弦化切思想，求值即可

2

tan6=一

【详解】因为3,

2x2

2sin。cos。2tan。312

sin28=2sin0cos0-2

sin20+cos20tan20+1213

+1

所以3

12

故答案为.行

14.【正确答案】24兀

【分析】三棱锥2一/跖外接球等同于补形为长方体的外接球，结合所给长度即可求解

【详解】由题可得,

PA=4,PE=PF=2,AE=AF=A/42+22=2石EF=722+22=272

，，

所以力2+PE2=AE2,PA2+PF2=AF2,PE2+PF2=EF2

所以PN_LPE,PA1PF,PE1PF,

所以三棱锥尸-4环外接球等同于以同顶点/扩充为长方体的外接球,

如下图，

设外接球的直径为d,贝U有/=尸/+%2+尸尸2=16+4+4=24

rzR=-d—A/6

所以d=2j6,则外接球的半径为2,

所以三棱锥尸-/跖外接球的表面积为4成2=24%

故答案为：24Tl.

15.【正确答案】（1）3

3G

⑵2

【分析】（1）根据正弦定理，边化角即可.

（2）根据已知和余弦定理可求得的值，再由面积公式求解.

【详解】（1）..”sin/=a[cos8,

由正弦定理，得sinBsinA=Gsin力cos_B,

...sin4>0,...sinB=逝cosB,即tan5=百

...0<5<K/=?

（2）根据题意，（。一。）=1=/+。2-2℃,①

由余弦定理=a2+c2-2accosB,

1=a2+c2-2acx-=a2+c2-ac

得2，②

根据①②，可得ac=6,

=lflCSin5=lx6x^^

所以三角形的面积公式^ABC

2222

X22一

—y=1

16.【正确答案】（1）2-

472

⑵3

（3）2x+4y—3—0

【分析】（1）根据椭圆的长轴长及所经过点直接求出.力，得出椭圆C的标准方程.

（2）直线/与椭圆方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式得出结果.

（3）设C（%,乃）,%）,根据“点差法，，求出CD直线的斜率，由点斜式即可求解.

22

1+七=1（。＞6〉0）

【详解】（1）由题意设椭圆。的方程为/b2

因为椭圆经过点（。，1）且长轴长为2亚，

所以Q3°=I,

—+/=1

所以椭圆C的标准方程为2

（2）由己知设直线/的方程为＞=xT,设（3，歹^）,（4，y.

X22,

1—y=1

将直线V=xT代入2.

得3x2-4x=0,

4

x+x=—

34xx=

所以3,340

22

M4=J1+左2（x3+x4）-4X3X4=Vl+1

尸

（3）设。（再，%），。&2/2）,则8中点是

$+9_1%+歹2_1

于是2=5，2=5,即石+工2=必+%=1,

「n子+封=1,£+尺=1

由于C。在椭圆上，故22

^1+._货=001+%2）（占一马）

+（必+%）（%一%）=0

两式相减得到2，即2

k

故2㈠9，于是再一々2»CD

11

y---=----

故直线CD的方程是22

整理得2%+4>-3=°

17.【正确答案】（1）证明见解析

⑵3.

（3）证明见解析

【分析】（1）建系，通过直线方向向量与平面法向量的关系即可求证；

（2）建立空间直角坐标系，利用坐标法可得平面的法向量，进而可得面面角.

（3）通过向量垂直说明线线垂直，即可求证；

【详解】（1）在四棱锥尸-"CA中，尸。_L底面"CD,底面/BCD,

则尸由底面N8CD是正方形，得/DLDC,

以。为原点，直线以，DC,DP分别为x,J,z轴建立空间直角坐标系,

由题知。。=2,则4（2,0,0）,8（2,2,0）,尸（0,0,2）,石（0,1,1）,

秒=（2,0,-2）丽=（2,2,0）瓦=（0,1,1）

设平面瓦用的法向量为应=（再,必臼），

DB•玩=2石+2弘=0

＜

贝lj[DE,而=%+句=0,令必=T,得而=（1，T，1）,贝I]A3•行=2—2=0,

而尸/（Z平面即8,所以尸///平面ED8.

（2）由（1）知,）,且（，，），）,

CB-万=2X2=0

设平面CP8的法向量为万=（工2，%/2）,则[PC•元=2%-2Z2=0,取力=1,得元=（°，1，1）,

砺乜^2,0）,丽=（0,0,2）,而与=（2,-2,0）,则方a=2X2_2X2=0,

DPCA^O,

即丽_LG5,DP1CA,则尸2。的一个法向量为=0厂2,°）,

n-CA-2]_

cosn,CA

72-2722

因此而

—►nCA=———

而04心C44TT,则’3,所以平面CPB与平面尸3。的夹角为3.

（3）由（1）知，加=（2,2,-2）,由旃.诙=o+2_2=O,得PBLED,

又EF1PB,且EFcDE=E,后乙助匚平面初明，

所以尸3,平面EKD.

18.【正确答案】（1）极小值0,无极大值.

（2）答案见解析

（3）T

【分析】（1）求出导函数，利用导数求出函数的单调性区间，利用极值的定义求解即

可;

（2）利用导数与函数单调性间的关系，分类讨论求/G）的单调区间即可；

（3）利用“A函数，，的定义，结合导数的几何意义得"=一&'。（6'。-2%）,然后结合天是

方程加一/一1=°的根，构造函数"（x）=eX-xT,利用导数与函数单调性间的关系得到

Xo=°,即可求解.

【详解】⑴函数"x）=e-x-1,/'（x）=l-1,

当°=1时，/'（x）=eT,"'（OAO,

当xe（一叫0）时，/（X）＜o,/（X）单调递减，

当xe（°，+°°）时，f'（x）＞0,/CO单调递增，

故/G）有极小值无极大值.

(2)由(1)可知：当〃时，/'(%)=*,-IV-1,“X)在(-。+。)单调递减；

*=j_.a

当a〉0时，令Qe""_]=0,得a,aa

所以,I/,且/'(x)="e"T为增函数，

当a时，"*)<0,/(X)在(，aJ单调递减；

x>_也(MQ]

当a时，/0)>0,,GO在1a，J单调递增；

综上，

当屋0时，"x)的单调递减区间为(-8，+动，无递增区间；

(8Ina)(Intz)

当a>0时，/(X)的单调递减区间为I«J,单调递增区间为[a，+a°).

(3)当。=1时，函数g(x)=e'"(x)7+l]+m=e'(eJ2x)+加是“A函数,,，

求导得g'(x)=2e、(e-l),

设曲线N=g(x)+日+6与直线了=丘+6切点(%，%),

<ya=g{x0)+kx0+b=kx0+bfg(xo)=O,e'。(e'。-2%)+加=0

则卜'。。)+左=后,故卜(%)=0,即]2e%(e'。-x°-1)=0,

所以e』0+l且呐-广伫。-2%),

设〃0-1/3=1,易知〃(。)=。，且如内-1是增函数，

当xe(0,+oo)时，")>。，6)单调递增，当xe(fO)时，虫)<0,♦⑺单调递

减，

所以〃(瞑一〃(0)=0,所以X。=0是方程e*1-％-1=0的根，且唯一，

所以妙一e"e'°一2%)=-1.

19.【正确答案】(1)123；1,2,5；1,4,5.3,4,5.

(2)证明见解析

印1

⑶Em+n

【分析】(1)根据“少数列”的定义直接写出；

a,+k...,m+n

--=(0+9)-1o1/p+q4---

(2)首先分析得2，再结合为-14〃,20-14加得到2，即

m+n

%=p+g«2」，则原命题证明;

a+k

%+1%+