2024-2025学年陕西省榆林市府谷县高三年级上册第五次考试（12月）数学检测试题（含解析）

2024-2025学年陕西省榆林市府谷县高三上学期第五次考试（12月）

数学检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

1.已知全集/={123,4,5,6},M={1,2,3},MjN,则训可以是()

A.{"}B.34}{5,6}

C.{3,5}D.

已知向量（，）11

2."6Z,3=-12"-4,贝=1”是“a〃6”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.在等差数列{"'}中，若42+%8+21=18,则电7=()

A.3B.6C.9D.12

/、\2x+m,x>0

/(x)=

4.已知+为奇函数，则加+〃=()

A.1B.2C.0D.-1

5.早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项，以及调和中

项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中

2"+2-，则G"+1*4"+1）的最小值为

项，几何中项的定义与今天大致相同.若

（）

259925

A.TB.16C.4D.16

(兀、

tana+—|=-\

I47

6.若贝Usin2a=()

432

-3

A.B.5c.5D.5

7.《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记

载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八

块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形NBCDEFG”的边长为4,点P是正八

边形4BCDE尸G8的内部（包含边界）任一点，则万•市的取值范围是（）

E_____E

AB

A.[-872,16+872][-16-872,872]c

[-16-8V2,16+8A/2][-872,872]

G：.+2=1（。1>4>o）-f一台=1（。2>。也>°）

8.已知椭圆％仄和双曲线有公共的焦点,

其中耳为左焦点，尸是G与c?在第一象限的公共点.线段尸片的垂直平分线经过坐标原

3

点，若G的离心率为工，则G的渐近线方程为（）

二、多选题（本大题共3小题）

9.已知复数z满足（lT）z=4+6i,三是z的共轨复数，则下列说法正确的是（）

A.z的虚部为5iB.复数［在复平面中对应的点在第三象限

26、

zH-----——2—

C.zD.z>z

10.己知函数〃X）=X2-2X-3,g（x）=x-3）对VxeR,f0）与g（x）中的最大值记为

〃?（x）=max{/（x）,g（x）},则（）

A.函数人吗的零点为CL。），（3;°）B.函数加（X）的最小值为-3

C.方程帆。1=3有3个解D.方程/（/3）=加最多有4个解

11.已知函数"x）=xlnx-ax+l,则（）

1」

A.当。=0时，函数/（“）的最小值为e

B.当。=1时，函数/（X）的极大值点为*=1

C.存在实数。使得函数/（X）在定义域上单调递增

D.若7GV。恒成立，则实数。的取值范围为。VI

三、填空题(本大题共3小题)

___J=]2(、

12.双曲线1。6"的一个焦点在抛物线V=2网(p>0)的准线上，则抛物线的标准

方程为.

/(x)=sin(0x+0)|°>O,0e|0,£口(.

13.己知三角函数I12〃的图象关于S，UJ对称，且其相邻

71

对称轴之间的距离为2,则。=.

14.如图，在四棱锥PTBCO中，底面/BCD为矩形，平面N8C2E为PC的中

71

点，AB=P4=2,直线/E与8c所成角的大小为7,则四校锥P-/8C。的体积为

四、解答题(本大题共5小题)

sin(5+C)+2a

15.在V/8C中，48C分别为边应仇c所对的角，且满足菽方由+一一,

(1)求的大小；

⑵若"1,6=6,求V/8C的面积.

16.已知等比数列｛%J的前“项和为'Ge'),且2百，S3,S?成等差数列,

3

〃4+。5=记

(1)求数列｛%｝的通项公式；

b,=-----------------T<1

⑵若"(2"1)(1-210g2%),证明：数列｛线｝的前〃项和"2.

17.如图，在四棱锥中，四边形是菱形，

ND4B=120°,PA=AD=2,PC=PD=2亚,点£是棱尸C的中点.

(1)证明：PCVBD.

(2)求平面以8与平面8DE所成角的余弦值.

[+[=l(a>6>0)—

18.在平面直角坐标系中，已知椭圆C：a’的离心率为2,短

轴长为2.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知点4,3分别为椭圆C的左、右顶点，点。为椭圆C的下顶点，点尸为椭圆

C上异于椭圆顶点的动点，直线/尸与直线2。相交于点直线3尸与直线40相交

于点N.证明：直线"N与x轴垂直.

f—x2-x-aln(x+l)

19.已知函数2\

(1)讨论函数/(X)的单调性；

(2)当a>0时，若加为函数/(X)的正零点，证明：m>240+1_

答案

1.【正确答案】D

【详解】依题意，M三Njl,因此©N中不能有元素1,2,3,选项ABC不满足,

D符合题意.

故选：D

2.【正确答案】C

【分析】利用平面向量平行的坐标表示求解即可.

【详解】当〃=1时，。=0，2),

此时一2-(-2)=0,故：〃力，故充分性成立，

当，4时，满足〃(2"-4)+2=0,解得〃=1,

故此时必要性成立，故C正确.

故选C.

3.【正确答案】B

【详解】在等差数列｛""｝中，设首项和公差分别为％”，则

%2+。28+=q+2Id+q+27d+4+30d=3(q+26d)=3a21=18

解得知=6.

故选：B.

4.【正确答案】A

【分析】利用奇函数的性质建立方程，求解参数，再求值即可.

/、[2x+m,x>0

1

【详解】因为+为奇函数，所以/()=-/(-1)(

所以2+〃?-"+1=0,而/(2)1一7(—2),得至|J4+加一2〃+1=0,

解得机=-1,〃=2,经验证符合题意，

所以根+"=1,故A正确.

故选A.

5.【正确答案】D

【详解】不妨设他=2",〃=2二则加>0,n>0,

/—m=n=—1

所以1=加+〃22，加〃，当且仅当2时取等号,

0<mn<—m=n=—

即4,当且仅当2时取等号,

(4"+l)(4fc+1)=(tn2+1)(/+1)=(mnf+m2+n2+1=(加〃7+(m+H)2-2mn+1

所以

二(加〃)-2mn+2=(mn-l)2+1

25

2

所以当""­W时，6"。_2〃〃7+2取得最小值I?.

故选D.

6.【正确答案】B

1+tana

tan—+cr

14

【详解】因为1-tana解得tana=2,

2sinacosa2tana_2x2_4

sin2a=~~22

所以sina+cosatan2^+122+15,

故选：B.

7.【正确答案】B

【分析】延长34GH交于点M,延长交于点N,转化为万•丽=五»强求解

最值即可.

【详解】延长84Gx交于点乂,延长/尻℃交于点N,

根据正八边形的特征，可知以叫=忸'|=2收，

又！？.丽=1?说,

所以（Q•茄）1mx=而•函=8万，（Q•茄）1nhi=赤•函=-16-8拒

则Q•访的取值范围是[-16-872,872].

故选B.

8.【正确答案】B

【详解】如图，令线段o片的垂直平分线与「片的交点为M,显然M是「片的中点，而

。是我巴的中点，则OM/APF?,而尸片，因此.,咫，

|22I2

附+\PF2\=\F}F2

心用+|%|=2q

伊与卜忸引=2%

所以有

则(2疗+(2%)2=2(1尸与『+|相『)=2|耳的2,令。与J的半焦距为

-4%/c(%+(2初2=2(川a,bc

由q4,得I3,于是'3''2，，解得’工3,则』23

b2V14,标

—=c-y=——%

%2,所以a的渐近线方程为-2

故选B.

9.【正确答案】BC

【分析】利用复数的四则运算求出复数判断A,C,利用复数与点的对应关系判断

B,利用虚数的性质判断D即可.

_(4+6i)(l+i)_4+6i+4i+6i?

【详解]因为(lT)z=4+6i,所以z(l-i)(l+i)1-i2

_10i-2

=5i-l

2,所以z的虚部为5,故A错误,

而z=-5i-1,故复数z在复平面中对应的点在第三象限，故B正确,

26[26—26(5i+l)

z+——=51-1+----=51-1+-----....—

z5i-l(5i—l)(5i+l),

[26(5i+l)[26(5i+l)/c.1o

=51-1+———-=5i-l+-----=5i-l-5i-l=-2

25iT-26,故c正确,

虚数无法比较大小，故D错误.

故选BC.

10.【正确答案】BCD

【详解】对于A,由〃x)=°,即/-2x-3=0,得x=T或x=3,所以的零点为

T和3,所以A不正确；

对于B,因为"x)=g(x)的解为x=0和x=3,由/(x)与的图象可知,

当x=°时，刃（x）有最小值一3,所以B正确；

对于C,因为尸帆6）的图象与片3有3个交点,

所以方程=3有3个解，所以C正确；

对于D,令t=f®,因为/（x）14,由选项B中/（X）的图象可知，

当加>一4时，/（'）=’"最多有2个解％<1,’2>1,

当时，/（x）=%有2个解；而/（幻=。2有2个解，

故，（/（x））=加最多有4个解，所以D正确.

故选：BCD.

11.【正确答案】AD

【分析】由函数极值的求解以及极值点的辨析即可判断AB,由在

xe（0,+co）上恒成立即可判断c,分离参数，构造函数求得其最小值，即

可判断D.

［详解］因为函数"""xlnx-ax+l,则/'（x）=lnx+1-a,其中xe（0,+co）,

当。=0时，则/'（x）=lnx+l,令/'（x）=0,可得"一乙

当时，则函数"x）单调递减，

当xeg+coj时，/'（x）>0,则函数/（X）单调递增，

x=-=

当e时，J(町有极小值，即最小值e,故A正确；

当。=1时，则/'(x)=lnx,令/'(x)=0,可得工=1,

当龙€(°，1)时，则函数/(X)单调递减,

当xe(l,+s)时，/'(x)>0,则函数/(x)单调递增,

当x=l时，函数/(X)有极小值，则x=l为极小值点，故B错误；

假设存在实数。使得函数/G)在定义域上单调递增，

则/在xe(°，+°°)上恒成立，即lnx+l-20在xe(0,+oo)上恒成立，

所以aV(lnx+l)1nm在xe(O,+s)上恒成立，因为y=lnx的值域为R,

所以函数V=lnx+1无最小值，

故不存在实数。使得函数/(“)在定义域上单调递增，故C错误；

若/(x"0恒成立，即xlnx-ax+lNO在上恒成立,

,1

即a<mx+—X在xeG+s)上恒成立，

，

g(x)=lnx+-g(^)=---\=^~r2Vx)=01

令x,则xxX,令g⑴-U,则X=l,

当xe(O,l)时，g'(x)<。，则函数gOO单调递减，

当xe(l,+co)时，g'(x)>0,则函数gG)单调递增，

当x=l时，g(x)有极小值，即最小值g(x)m,n=g(l)=l,所以a41,故D正确；

故选AD.

12.【正确答案】y2=16x

【详解】双曲线的焦点为(±4°),可得一5一一-1则抛物线的标准方程为y2=16x_

故r=16x.

兀1

——71

13.【正确答案】3/3

T7i_2K

———1=71=-----

【详解】由题意可知，22,所以。，

所以。=2,所以“x)=sm(2x+°).

f(x)=sin(2x+^?)夕£0,71

(%°)对称,

又函数的图象关于

又3夕=左兀，左EZ且

71

(P——

所以3.

71

故答案为

8亚

14.【正确答案】3

【详解】连接ED，/。，如图所示:

因为P/_L平面/BCD,所以P/_L/C,P/J_CD,

又底面/BCD为矩形，所以CD'/O,

因为4尸0尸。=尸，/P,P0u平面P4Q,CD_L平面尸4D,而P£>u平面P/。，

所以8,尸。，所以△助C,尸/c均为直角三角形，

设AD=m,则AC=V22+m2—\l4+m2,即PC=JPA2+AC2=V4+4+m2

AE=ED=~PC=-y/4+4+m2=-y/s+m2

因为点E为尸。的中点，所以222

AE2+AD2-ED2

cos/EAD=

在中,由余弦定理得2AEAD

V2_m2

所以2加,8+加2,解得加=2出，

/=；SS&=32X2@2=¥

所以四棱锥尸-"BCD的体积

872

故答案为.3

271

15.【正确答案】（1）3

.

⑵4

sin（B+C）2a

・:一----+—=0,8+。+/=兀

【详解】（1）sinC-cos5c,

siib42a八

----------+——=0

sinCcos5c,

siiL4+2siiL4_0

又；4民,€（°㈤，由正弦定理得sinC-cos5sinC,

cosB=—.B=—

23；

（2）在VN3C中，由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,

2

3=l+c-2xlx二贝y2+c-2=0,

解得c=-2(舍)c=l,

••.S"c=%sinS=Llxlx旦且

224

16.【正确答案】⑴""一2"

(2)证明见解析

_3_

【分析】(1)设等比数列｛"/的公比为4，由2岳，S3,S2成等差数歹1J和为一记,

列方程组求出生和%可得数列｛%｝的通项公式；

b=-------------T=-fl——!—]1>QT<-

(2)"(2"T)(2"+1),裂项相消求得"212〃+1人由2力+1,可得"2.

【详解】(1)设等比数列｛"/的公比为4,

由2岳，S3(邑成等差数列知，2s3=2耳+$2,

即2(〃]+%+%)=2〃]+(%+?)

所以24+电-％=°,有犷+^一1=0,即"5或-1.

3

〃4+4=〃4一〃4=0。--

①当g=T时,''32,不合题意;

1113fl,31

CJ——U.A+4——tZiH----U,=------U,=一

②当"2时，5811611632,得।2,

所以等比数列｛“'｝的通项公式a，'~r.

1-2log2an=\-2log2—=1+2^2

(2)证明：由(1)知

'=1

所以际"32〃+1

所以数列也｝的前〃项和"3+35++2n-l2/7+1J2〃+J,

—^—>0Tn<-

由2n+l,可得2.

17.【正确答案】（1）证明过程见详解

V3

⑵2

【详解】（1）连接/c,

在菱形中，4M8=120。，AD=2,所以/C=2,

在中，PA=AD=2,PD=2V2,所以P/+/D2=尸02,所以尸

在AP/C中，AC=2,PA=2,PC=2册,所以夫彳+/C?=PC?,所以尸

又/。口40=4,AC,/。匚平面/台。，所以尸4_L平面48CO,

又ADu平面N8CO,所以P/1BD,

因为四边形/8CZ）是菱形，所以NC/8O,

又4CcP4=A,AC,P/u平面尸NC,所以8。工平面尸/C,

又尸Cu平面P/C,所以尸

BC

（2）记NCnaO=。，连接OE,

由点。是棱NC的中点，且点E是尸C的中点，所以°£〃尸"，

又由（1）知尸平面/8CZ）,所以OEL平面N8CZ）,

则以°为坐标原点，OB,OC,OE所在的直线分别为x轴，了轴，z轴建立空间直角

坐标系，如图所示，

所以8（7i，。，。），百,0,0）,P（0,-l,2）,4（0,-1,0）,C（0,1,0）

所以而=（3一

设平面A4尸的一个法向量为4=（网,必当），

"I•BP=0J-A/SX,-y1+2z1=0

所以〔屋而=0,即[-昌-％=0,

令%=Y,解得玉=1,4=0,

所以平面5/P的一个法向量为-6'0）,

因为£是PC的中点，且PC=（0,2,-2）,

—►1_.1/

P£--PC=-x(0,2,-2)-(0,1,-1)

所以

所以屉=即+西=6右,-1,2)+(0,1,-1)=6百，°，1)

S5=(-2V3,O,O)

设平面8DE的一个法向量为%=（%，%，Z2）,

n-BD=0—2y/3x=0

<2<2

所以瓦•屉=0,即l-V3x2+z2=0>

令%=1,解得工2=。，Z2=0,

UU

所以平面瓦用的一个法向量为〃2=（。，1，。），

由图可知平面PN2与平面8DE所成角为锐角,

故平面P48与平面8DE所成角的余弦值为2.

_,

—I-y2=]

18.【正确答案】（1）4,

（2）证明见解析

a2=b2+c2

2b=2

c_VJ

【详解】（1）设椭圆。的焦距为2c,由题意有:~a2,角星得Q=2,b=l.

c=6,

—1-y—1

故椭圆C的标准方程为4'

（2）点N的坐标为（々°）,点B的坐标为（2，°）,点D的坐标为（°1）,

2

m27

设点尸的坐标为（"'"），加"-2,O）U（O,2）,有4+“一，可得加2+4/=4,

XV.11

—I=1y=-x-1

直线BD的方程为2-1,整理为2.

xy.11

-----1------1y=—x-1

直线AD的方程为-2-1,整理为2；

y=--—（x+2）

直线/尸的方程为俏+2、

了=—-(^+2)

m+2

1,2m+4n+42(加+2"+2)

y=-x-lx-----------------

联立方程2,解得m-2n+2,M的横坐标为m-2n+2,

y=---（x-2）

直线8尸的方程为鹏一2

>=—^0-2)

m—2

1।4n-2m+42(2〃一加+2)

y=——x-1x—

联立方程2,解得:m+2n—2,N的横坐标为m+2几—2

m+2n+22n-m+2(