2024-2025学年湘教版八年级数学上册同步训练：分类讨论思想的三种常见题型（含答案）

专题10分类讨论思想的三种常见题型

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题型1:分类讨论思想在判定等腰三角形中的应用

题型2：分类讨论思想在求三角形角的度数中的应用

题型3：分类讨论思想在求分式方程的字母系数中的应用

技巧：分类讨论思想是一种最基本的解决问题的思维策略，就是把要研究的数学对象按照标

准划分为若干不同的类别，然后逐类进行研究、求解的一种数学解题思想，它在问题不能以

统一的方法处理或不能用同一种形式来表述、概括时，根据数学对象的本质属性，按照一定

的原则或某一确定的标准，将对象划分为若干个既有联系又有区别的部分，进行逐类讨论,

最后把几类结论汇总，从而得出问题的答案，分类讨论的实质是化繁为简，将一个复杂的问

题分为几个简单的问题，分而解之.

典型例题

题型1:分类讨论思想在判定等腰三角形中的应用

1.△48。中，NBAC>NB,ZC=40°,将28折叠，使得点8与点4重合.折痕分

别交/8、BC于点、D、P,当△/PC是等腰三角形时，的度数为.

2.若等腰三角形有一个角是100。，则它的底角为（）

A.100°B.40°C.100°或40°D.80°

3.若等腰三角形中有两边长分别为3和7,则这个三角形的周长为（）

A.17B.13C.10或13D.13或17

4.等腰△4BC中，AB=AC,一边上的中线8。将这个三角形的周长分为18和30两个部

试卷第1页，共4页

分，则这个等腰三角形的底边长为()

A.8B.24C.8或24D.8或12

5.已知等腰△/BC的一个外角为130。，则//的度数为.

6.已知a,6满足|a-7|+(6-3)2=0,则以a,6的值为两边长的等腰三角形的周长是—.

题型2：分类讨论思想在求三角形角的度数中的应用

7.如图，a4CF为ZUBC的外角，射线CP、分别三等分乙4CF且

NPCB=gZACB,2。。尸=；//。E，点。在边4B上，过点。作线段。E〃5C,分别与

AC.CP交于点E、G,射线。P三等分N/DE,且NPDE=；NADE,。尸与CQ相交于点

Q.

(1)若N/=45。，/8=60。,贝!|ZDPC=_。，N0=_。；

(2)若//=4(其中1是固定值)，当的度数发生变化时，/。的度数是否发生变化？若

有变化，说明理由；若不变化，求N0的度数(用a的代数式表示)；

(3)若△尸C0中存在一个内角等于另一个内角的两倍，请求出所有符合条件的//的度数.

一.解答题(共4小题)

8.在中，/ABC,//C3的角平分线BE,CD交于点尸.

⑴【问题呈现】如图1,若乙4=100。，求/BFD的度数；

(2)【问题推广】如图2,将△ABC沿折叠，使得点A与点尸重合，若/1+/2=160。，

求N3尸。的度数；

(3)【问题拓展】若P,。分别是线段NC上的点，设〃0P=a,NACB=0.射线CF

试卷第2页，共4页

与NN尸0的平分线所在的直线相交于点H(不与点尸重合)，直接写出ZPHC与N8RC之间

的数量关系(用含口,4的式子表示).

9.如图，在△/BC中，点。在4B上，过点。作DE〃8C,交NC于点E,。尸平分

ZADE,交//CB的平分线于点P,CP与DE相交于点G,//CF的平分线C。与。尸相

交于点。.

AA

//'•/

/

/7^\\/

8/--------------------------■--------->*------------

CFCA-

*川图

⑴若NN=40。，ZB=60。，则ZDPC=_。，/。=_。；

(2)若//=a,当的度数发生变化时，/DPC、N。的度数是否发生变化?若要变化，说

明理由；若不变化，求出/DPC、的度数(用a的代数式表示)；

(3)若△PC。中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请求出//的度数.

10.(1)在△43C中，AB=20,BC=1,AC=1m-3.求加的取值范围；

(2)若三角形中有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，则这个三角形叫“三倍角三角

形”.已知△NBC是三倍角三角形，且//=63°,求△4BC中最小内角的度数.

11.阅读理解概念：如果三角形的两个内角。与"满足2a+〃=90。，那么我们称这样的三

角形为“奇妙互余三角形”.完成以下问题：

⑴填空：

①若△4BC是“奇妙互余三角形"，ZC>90°,44=60。，贝U48=；

②若△4BC是“奇妙互余三角形"，ZC>90°,N/=40。，贝|NC=；

(2)在ZUBC中，ZC=90°,/48C=52。，点P是射线上的一点，且“AP是"奇妙互余

三角形”，请求出//PC的度数.

试卷第3页，共4页

题型3：分类讨论思想在求分式方程的字母系数中的应用

12.(1)已知关于x的分式方程二+」一=1有增根，求•的值.

X-1v-x

(2)关于x的方程生!■+，一=2有整数解，求此时整数加的值.

一.填空题(共3小题)

13.关于x的分式方程丹-白=1无解，则机的值为___.

x-22-x

14.已知关于x的分式方程0=3-2无解，则加的值为_____.

1-xx-1

15.关于％的分式方程二+萼7=一无解，则加的值为

二.解答题(共1小题)

16.若分式方程2+匕与=」无解，求人的值.

x-22-x

试卷第4页，共4页

1.20°或50°或35。

【分析】本题考查折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是注意

分类讨论.分NC=NAPC,AC=APAC,NP/C=ZAPC三类讨论结合折叠的性质及三角

形内角和定理即可得到答案；

【详解】解：①当/C=//PC时，

ZC=40°,

ZAPC=40°,

=180°-40°=140°,

•••将折叠，使得点8与点4重合，

ZB=ZBAP=1(180°-ZAPB)=20°,

此时ABAC=180°-40°-20°=120°>Z5,符合题意；

②当/C=/P/C时

vZC=40°,

：.NPAC=40°,

ZAPC=180°-40°-40°=100°,

.•.//依=180°-100°=80°

•••将折叠，使得点5与点/重合，

ZB=ZBAP=1(180°-ZAPB)=50°,

此时ABAC=180。-50。-40。=90°>NB,符合题意；

③当APAC=NAPC时

•••ZC=40°,

...ZPAC=ZAPC=1(180°-50°)=70°

.•/P8=180°-70°=110°

・••将折叠，使得点8与点4重合，

...ZB=ZB/P=g(180°-//PB)=35°,

此时/以。=180。-40。-35。=105。>/8,符合题意；

综上所述答案为：20。或50。或35。；

2.B

答案第1页，共15页

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键.分两种情

况：①这个100°的角是顶角和②这个100。的角是底角，据此求解即可得.

【详解】解：由题意，分以下两种情况：

①当这个100。的角是顶角时，

则这个等腰三角形的底角为gX（180。-100。）=40。；

②当这个100。的角是底角时，

•■-100°+100°=200°>180°,

，不存在这种情况；

这个等腰三角形的底角为40。，

故选：B.

3.A

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质等知识点，因为腰长没有明确，所以分①3是腰

长，②7是腰长两种情况求解，熟练掌握①3是腰长，②7是腰长两种情况讨论求解是解决

此题的关键.

【详解】①3是腰长时，

•••3+3<7

・••不能组成三角形，

②7是腰长时，能组成三角形，周长=7+7+3=17,

它的周长是17,

故选：A.

4.A

【分析】此题考查了等腰三角形的定义，以及构成三角形的条件.对于题中中线分三角形的

周长为两部分，在没有指明两部分对应的长度时，应利用分类讨论的思想来求解，另外求出

。与6后，不要忽略用三角形的两边之和大于第三边来判定能否构成三角形.

根据题意画出图形，设等腰三角形的腰长为底边为b,根据中点定义得到/。与。C相

等都等于腰长。的一半，NC边上的中线3。将这个三角形的周长分为AB+AD和5C+CD两

部分，分别表示出两部分，然后分N8+4D=18,BC+CD=3Q^AB+AD=3Q,

3C+C£>=18两种情况分别列出方程组，分别求出方程组的解即可得到。与△的两对值，根

据三角形的两边之和大于第三边判定能否构成三角形，即可得到满足题意的等腰三角形的底

答案第2页，共15页

边长.

【详解】解：依题意可得：这一边上的中线为腰上的中线，画出图形如下:

设这个等腰三角形的腰长为。，底边长为6,

QH—a=18QH—a=30

22

根据题意得:或《

-a+&=30-a+/)=18

122

(7=12、］〃=20

解得:6=24或1=8'

又•.,三边长12、12、24不能构成三角形，

，底边长为8.

故选A.

5.50°或65°或80。

【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理.

等腰三角形的一个外角等于130。，则等腰三角形的一个内角为50。，但已知没有明确此角是

顶角还是底角，所以应分三种情况进行分类讨论即可得.

【详解】解：•••等腰三角形的一个外角为130。，

・••与130。相邻的内角为50。，

则//的度数可能为50。，

当50。为顶角时，其他两角都为65。、65°,

则//的度数可能为65。，

当50。为底角时，其他两角为50。、80°,

则//的度数可能为80。，

所以一/的度数为50。或65。或80。，

故答案为：50。或65。或80。.

6.17

答案第3页，共15页

【分析】本题考查了非负数的性质，几个非负数的和为零，则这几个数都为零，三角形三边

关系，等腰三角形的性质；首先根据非负数的性质求出。，6的值，则由等腰三角形及三角

形三边不等关系可确定等腰三角形的腰与底边，从而求得周长.

【详解】解：-7注0,(6-3)220,且|”7|+3-3)2=0,

tz—7=0,Z?—3=0,

6=3；

•.・3+3<7,

・••等腰三角形的腰为7,底边为3,

二等腰三角形的周长为：7+7+3=17；

故答案为：17.

7.(1)135,15；

(2)不变，ze=1«,理由见解析；

⑶24的度数为60。或120。.

【分析】(1)根据角度和差、倍分，三角形的内角和定理，三角形的外角性质即可求解；

(2)根据角度和差、倍分，三角形的内角和定理，三角形的外角性质即可求解；

(3)设4=1,分①当12(r=2xga；②当120。=2><(60。一；“；③当

60°-1«=2x|a,④当2x(600_；4=>分析即可；

本题考查了角度和差，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，平行线的性质，熟练掌握

知识点的应用是解题的关键.

【详解】⑴解：・.・//=45。，々=60。,

ZACB=180°--=75°,

ZPCB=-ZACB=15°,

3

■：DE//BC,

ZADE=ZB=60°,NPGD=NPCB=25。,

■:ZPDE=-ZADE,

3

ZPDE=20°,

ZDPC=180°-ZPDG-APGD=180°-20°-25°=135°,

ZACF=ZA+ZB=450+60°=105°,

答案第4页，共15页

：,ZQCF=35°,

APCQ=180。—/PCB-ZQCF=180。—25。—35。=120。，

N。=ZDPC-ZPCQ=135°-120°=15°,

故答案为：135,15；

(2)解：不变，N0=；a,理由：

vDE//BC,

■■ZADE=ZB,ZPGD=ZPCB,

NPCB=-ZACB,ZPDE=-ZADE,

33

...NPDG+ZPGD=1(Z5+ZACB),

•.•/3+//C8=180°-//=180°-a,

ZPDG+ZPGD=1(180°-a)=60°-1tz,

ZQPC=ZPDG+ZPGD=60°-1«,

NPCB=gZACB,ZQCF=jZACF,

...ZPCB+ZQCF=1(NACB+ZACF)=60°,

.•./PC。=120°,

.../Q=180°-/PCQ-/QPC=180°-120°-(60°-；a]=ga；

(3)设4=a,由(2)得：ZPCQ=120°,=Z0PC=60°-1a,

①当120o=2x；a,解得：a=180。，不符合题意，舍去；

②当120。=2乂(60。一卜)，无解；

③当6(r-；a=2x；a,解得：夕=60。，符合题意；

④当2*卜0。-!“=%，解得：a=120。，符合题意；

综上可知：//的度数为60。或120。.

8.⑴/跳7)=40。

⑵产。=130。

⑶NPHC+NBFC=l80o+la-；/^NPHC-NBFC=g”ga

答案第5页，共15页

【分析】本题考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，折叠的性质，熟知相关知识是解

题的关键.

(1)根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；

(2)先由折叠的性质和平角的定义得到乙4=80。，进而求出N48C+N/C8=100。，同(1)

即可得到答案；

(3)当两种情况画图，讨论求解即可.

【详解】(1)解：•••乙4=100。，

ZABC+ZACB=1800-ZA=180°-100°=80°,

又一:BE,CO分别平分ZA8C、ZACB,

ZEBC=-ZABC,ZDCB=-ZACB,

22

ZEBC+ZDCB=-ZABC+-ZACB=-(/ABC+ZACB]=-x80°=40°,

222、72

ZBFD=ZEBC+ZDCB=40°；

(2)解：♦，N1+N2=16O°,

...NAMF+ZANF=360°-(N1+N2)=360°-160。=200°,

由折叠可得：ZAMN=-ZAMF,ZANM=-ZANF,

22

ZAMN+ZANM=^(ZAMF+ZANF)=1x200°=100°,

NA=180°-(ZAMN+ZANM)=180。-100。=80°,

ZABC+ZACB=180°-ZA=180°-80°=l00°,

又一BF,CF分别平分ZA8C、ZACB,

ZFBC=-ZABC,ZFCB=-ZACB,

22

...ZFBC+ZFCB=-ZABC+-ZACB=-[ZABC+-Zy4C5I=-xl00°=50°,

222(2)2

：.2BFC=180°-(ZEBC+NDCB)=180°-50°=130°；

(3)解：如图，设CH与尸。相交于点G,

...NAPQ=180°-ZA-ZAQP=180°-ZA-a,

又「PH平分4PQ,

ZHPQ=|NAPQ=1(18O0-Zy4-a),

答案第6页，共15页

•••BF,CF分别是//8C和NACB的平分线，

AFBC=-AABC,ZFCB=-ZACB,

22

...ZFBC+ZFCB=1ZABC+；ZACB=^(ZASC+ZACB)=1(180°-ZA),

ZPGH=ZCGQ=ZAQP-ZACF=a-^j3,

ZBFC=180°-(ZraC+ZFCB)=180。-g(180。一//)=90。+；zSl,

NPaC=18O°_ZHP0_NPG〃=18O°_；(18O°—N/_a)—1a-；Aj=9O°+g//-；a+；Q,

ZPHC-ZBFC=-B--a-

22

如图，设直线？H交/C于点G,

ZAPQ=180°-ZA-ZAQP=180°-ZA-a,

又"G平分4PQ,

...AGPQ=|NAPQ=1(18O0-Zy4-cc),

...NAGP=ZGPQ+NGQP=1(180°-Z^-«)+a,

vBF,CT是/ABC和NACB的平分线，

ZFBC=-ZABC,ZFCB=-ZACB,

22

...ZFBC+ZFCB=1ZABC+^ZACB=^(ZABC+ZACB)=^(180°-ZA),

ABFC=180°-(ZFBC+ZFCB}=180°-1(l80°-=90°+^ZA,

ZPHC=ZAGH-ZACH=^(180°-ZA-a)+a,

ZPHC+ZBFC=-(1800-ZA-a)+a--/3+900+-ZA=18Q°+-a--J3；

22222

答案第7页，共15页

综上所述，NPHC与ZBFC之间的数量关系为/PHC+ZBFC=180。+；。-；〃或

ZPHC-ABFC=-B--a.

22

9.(1)110；20

⑵90。+9；1

(3)44=45°或60°或120°或135。

【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识.利用数形结

合和分类讨论的思想是解题关键.

(1)由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；

(2)同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；

(3)设由(2)可知NQPC=90O-ga,NQ=ga.再由/PC。=90。不变，即可

分类讨论①当/尸。。=3/。。时，②当/PC0=3/0时，③当/CP0=3/。时和④当

3/"。=/。时，分别列出关于a的等式，解出a即可.

【详解】(1)解：ZA=40°,4=60。,

ZACB=180°-ZA-ZB=80°.

•••CP平分ZNC8,

ABCP=NACP,ZACB=40°.

2

■■DE//BC,

/ADE=/B=60°,ZPGD=ZBCP=40°.

•：DP平分N4DE,

.-.ZPDG=-ZADE=30°.

2

ZDPC=180°-ZPDG-ZPGD=110°；

.•./QPC=180°—110°=70°.

答案第8页，共15页

•・・c尸平分/ZC5,C0平分/4C尸，

：.NACP=gzACB,ZACQ=^ZACF,

-ZACB+ZACF=1SO°,

ZACP+ZACQ=90°,gpZPCQ=90°,

,20=9O。—/Q尸C=20。.

故答案为：HO,20；

(2)解：•・•//=a,

：,ZACB+ZB=1^0°-a.

-DE//BC,

ZADE=/B,ZPGD=APCB.

,；DP平济NADE,CP平分//C5,

ZPDE=-ZADE=-AB,APCB=-ZACB=ZPGD.

222

・•.ZDPC=180°-(/PDE+/PGD)

=180°-1(Z5+Z^C5)

1

=180°-—x(180-a)。

2

=90。+'.

2

.■,Z2PC=180°-90°+1arj=90°-1a.

由（1）可知NPCQ=90。不变，

.../。=90。-/0℃=90。一（90。-3“=1.

（3）解：设乙4=a,

由（2）可知/。尸。=90。一；々，NQ=ga.

■.■ZPCQ=90°,

•河分类讨论：①当NPCQ=3NCP。时,

...90o--«=-x90°,

23

解得：a=120。，

.-.ZA=120°；

答案第9页，共15页

②当/尸。。=3/0时,

—a=-x90°,

23

解得：a=60°,

ZA=60°；

③当NCPQ=3N。时,

90°-—«=3x—a,

22

解得：a=45。，

NA=45°；

④当3/。尸。=/0时,

解得：a=135。，

.•.NN=135°.

综上可知//=45。或60。或120。或135。.

10.(1)8<m<15；(2)21°或29.25°

【分析】此题考查了三角形的三边关系、三角形的内角和定理、一元一次方程等知识.

(1)根据三角形三边关系得到20-7<2加-3<20+7,解不等式组即可；

(2)求出NB+NC=117。，设最小角为x,分两种情况分别列方程并解方程即可.

【详解】(1)20-7<2m-3<20+7,

即13<2h-3<27,

8<m<15

(2)•••//=63。，

ZB+ZC=117°,

设最小角为x,

①63°=3x,解得x=21。

②x+3x=117。，解得x=29.25°

即ZUBC中最小内角的度数为21。或29.25。.

11.(1)①15。；②115°或130°

(2)71。或38°或14。

【分析】(1)①根据"准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是180。，ZC>90°,

答案第10页，共15页

ZA=60°,只能是//+2Z8=90。；

②由“奇妙互余三角形”的定义得ZA+2ZB=90°或2/4+ZB=90°,即可求解；

（3）分为2种情况，当尸在线段2C上时和当P在C3延长线上时，根据尸是“奇妙互

余三角形”分别可解得答案.

【详解】（1）①・•・△/2C是“奇妙互余三角形"，ZC>90°,44=60。，

ZA+2ZB=90°,

.-.ZB=15°,

故答案为：15。；

②ZUBC是“奇妙互余三角形"，ZC>90°,44=40。，

当乙4+2/8=90。时，

.•.40°+2/8=90°

/B=25°,

.•.ZC=180°-40o-25o=115°

当2/4+/8=90。时，

.•.80°+/5=90°

.•./8=10°,

.•.NC=180°-40°-10°=130°.

故答案为：115。或130。；

（2）解：当尸在线段5c上时，如图：

ZC=90°,ZABC=52°,是“奇妙互余三角形”,

当2/尸/2+52°=90°时,

ZPAB=19°,

.,.24PC=52°+19°=71°；

当尸在C8延长线上，是“奇妙互余三角形"，如图:

答案第11页，共15页

VAABC=52°,

ZABP=128°.

当2NAPB+NBAP=90°时,

ZAPB+ZBAP=52°,

；.NAPB=38°；

当ZAPB+2/BAP=90。时，

vZAPB+ABAP=52°,贝！|N3/P=38。，

•••NAPB=14°.

综上所述，/NPC的度数为71。或38。或14。.

【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，数形结合与分类讨论数学思想的

运用、新定义问题的求解等知识与方法，准确地把握新定义的内涵并且正确地画出图形是解

题的关键.

12.(1)3；(2)加的值为3或0或4

【分析】此题考查了分式方程的解法、增根问题、整数解问题等知识，熟练掌握分式方程的

解法和增根问题是解题的关键.

(1)解分式方程得到x=a-2,求出增根x=l,贝=即可求得。的值；

2

(2)解方程得到x=^—,根据分式方程有整数解得到2-加=±1或2-加=±2且

2-m

2

--去2,进一步求解即可得到整数m的值.

2-m

【详解】解：(1)V+J-=1，

x—lL-X

去分母得到,

解得：x=a-2,

由题意得：x-1=0,

解得：x=\,

a—2=1,

解得：。=3,

答案第12页，共15页

■■a的值为3；

/、mx-11-

(2)--+--=2,

x—22—x

去分母得至I」加X-1—l=2（x—2）,

2

解得

2-m

•••方程有整数解,

2

••・2一加=±1或2一加=±2且----w2,

2-m

解得：加=1或3或0或4且m#1,

.,.机=3或0或4,

此时整数m的值为3或0或4.

13.-|或1

【分析】本题考查的是分式方程无解问题.