2024年中考数学题型突破：函数的实际应用之最优方案问题22题（专项训练）

类型一最优方案问题(专题训练)

1..某文化用品商店出售书包和文具盒，书包每个定价40元，文具盒每个定价10元，该店

制定了两种优惠方案：方案一，买一个书包赠送一个文具盒；方案二：按总价的九折付款,

购买时，顾客只能选用其中的一种方案.某学校为给学生发奖品，需购买5个书包，文具盒

若干(不少于5个).设文具盒个数为x(个)，付款金额为y(元).

(1)分别写出两种优惠方案中y与x之间的关系式；方案一：yi=；方案二：

y2=•

(2)若购买20个文具盒，通过计算比较以上两种方案中哪种更省钱？

(3)学校计划用540元钱购买这两种奖品，最多可以买到个文具盒(直接回答

即可).

【答案】(1)10x+150；9x+18O；(2)详解见解析；(3)40.

【解析】(1)由题意，可得yl=40X5+10(x-5)=10x+150,y2=(40X5+10x)X0.9=9x+180.

故答案为：10x+150,9x+180；

(2)当x=20时，yl=10X20+150=350,y2=9X20+180=360,

因为350<360,所以可看出方案一省钱；

(3)如果10x+150W540,那么xW39,如果9x+180W540,那么xW40,所以学校计划用

540元钱购买这两种奖品，最多可以买到40个文具盒.故答案为：40.

【名师点睛】(1)根据方案一，买一个书包赠送一个文具盒；方案二：按总价的九折付款,

即可得出两种优惠方案中y与x之间的关系式；

(2)将x=20分别代入(1)中关系式，通过计算比较两种方案中哪种更省钱即可；

(3)根据购买时，顾客只能选用其中的一种方案，所以分别求出yW540时两种方案中x

的最大整数值，比较即可得到答案.

2.(2023・浙江•统考中考真题)我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升.为

促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公

司签订合同.看图解答下列问题：

方案一

(1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；

(2)求方案二y关于x的函数表达式；

(3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案.

【答案】(1)30件；(2)y=20x+600；(3)若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二；

若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种；若每月生产产品件数

超过30件，则选择方案一

【分析】(1)由图象的交点坐标即可得到解答；

(2)由图象可得点(0,600),(30,1200),设方案二的函数表达式为、=履+》，利用待定系数

法即可得到方案二y关于x的函数表达式；

(3)利用图象的位置关系，结合交点的横坐标即可得到结论.

【详解】(1)解：由图象可知交点坐标为(30,1200),即员工生产30件产品时，两种方案付

给的报酬一样多；

(2)由图象可得点(0,600),(30,1200),设方案二的函数表达式为y=履+》，

把(0,600),(30,1200)代入上式，得

f6=6。。，得J左=20,

[30k+b=1200.[b=600.

•••方案二的函数表达式为y=20X+600.

(3)若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二；

若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种；

若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一.

【点睛】此题考查了从函数图像获取信息、一次函数的应用等知识，从函数图象获取正确信

息和掌握待定系数法是解题的关键.

3.（2023•内蒙古通辽•统考中考真题）某搬运公司计划购买A,2两种型号的机器搬运货物，

每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每

台B型机器搬运500吨货物所需天数相同.

（1）求每台A型机器，8型机器每天分别搬运货物多少吨？

（2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器

共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最

省钱的采购方案.

【答案】（1）每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨；（2）当购买A型机器

人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元.

【分析】（1）设每台8型机器每天搬运无吨，则每台A型机器每天搬运（x-10）吨，根据题

意列出分式方程，解方程、检验后即可解答；

（2设公司计划采购A型机器机台，则采购3型机器（30-台，再题意列出一元一次不等

式组，解不等式组求出根的取值范围，再列出公司计划采购A型机器机台与采购支出金额

w的函数关系式，最后利用一次函数的增减性求最值即可.

【详解】（1）解：设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运吨，

由题意可得：-^-=—,解得：x=100

x-10x

经检验，x=100是分式方程上空=陋的解

每台A型机器每天搬运x-10=100-10=90吨

答：每台A型机器，8型机器每天分别搬运货物90吨和100吨

（2）解：设公司计划采购A型机器机台，则采购8型机器（30-〃。台

90m+100（30-/M）>2880

由题意可得:，解得:4<m<12,

1.5/n+2（30-m）<55

公司采购金额：w=1.5m+2（30-m）=-0.5m+60

V-0.5<0

二•w随机的增大而减小

，当机=12时，公司采购金额w有最小值，即w=-0.5x12+60=54,

；•当购买A型机器人12台，8型机器人18台时，购买总金额最低是54万元.

【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，理

解题意正确列出分式方程、不等式组和一次函数解析式是解答本题的关键.

4.为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液.已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共

需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元.

（1）这两种消毒液的单价各是多少元？

（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的--

3

请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用.

【答案】（1）A种消毒液的单价是7元，3型消毒液的单价是9元；（2）购进A种消毒液

67瓶，购进3种23瓶，最少费用为676元

【分析】

（1）根据题中条件列出二元一次方程组，求解即可；

（2）利用由（1）求出的两种消毒液的单价，表示出购买的费用的表达式，根据购买两种消

毒液瓶数之间的关系，求出引进表示瓶数的未知量的范围，即可确定方案.

【详解】

解：（1）设A种消毒液的单价是X元，3型消毒液的单价是>元.

2x+3y=41%=7

由题意得：<解之得,

5x+2y=53y=9

答：A种消毒液的单价是7元，3型消毒液的单价是9元.

（2）设购进A种消毒液。瓶，则购进3种（90-。）瓶，购买费用为W元.

则卬=7。+9（90-。）=-2。+810,

二W随着。的增大而减小，。最大时，W有最小值.

又90—a之一ci,a<67.5.

3

由于。是整数，。最大值为67,

即当。=67时，最省钱，最少费用为810—2义67=676元.

此时，90-67=23.

最省钱的购买方案是购进A种消毒液67瓶，购进3种23瓶.

【点睛】

本题考查了二元一次不等式组的求解及利用一次函数的增减性来解决生活中的优化决策问

题，解题的关键是：仔细审题，找到题中的等量关系，建立等式进行求解.

5.（2023•云南•统考中考真题）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉

鸣，闻清风，话家常，好不惬意.某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康

有序发展的指导意见》精神，需要购买AB两种型号的帐篷.若购买A种型号帐篷2顶和8

种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800

元.

（1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格；

（2）若该景区需要购买48两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型

号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的g,为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型

号帐篷和8种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？

【答案】（1）每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶8种型号帐篷的价格为1000元

⑵当A种型号帐篷为5顶时，3种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元

【分析】（1）根据题意中的等量关系列出二元一次方程组，解出方程组后得到答案；

（2）根据购买A种型号帐篷数量不超过购买8种型号帐篷数量的;，列出一元一次不等式，

得出A种型号帐篷数量范围，再根据一次函数的性质，取A种型号帐篷数量的最大值时总费

用最少，从而得出答案.

【详解】（1）解：设每顶A种型号帐篷的价格为x元，每顶8种型号帐篷的价格为〉元.

2x+4y=5200

根据题意列方程组为:

3x+y=2800

x=600

解得

7=1000

答：每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶B种型号帐篷的价格为1000元.

（2）解：设A种型号帐篷购买机顶，总费用为w元，则8种型号帐篷为（20-〃。顶，

由题意得w=600m+1000（20-ni）=-400/zz+20000,

其中机4g（20-m），得机45,

故当A种型号帐篷为5顶时，总费用最低，总费用为w=600x5+1000x（20-5）=18000,

答：当A种型号帐篷为5顶时，8种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元.

【点睛】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式应用及一次函数的应用，找出准

确的等量关系及不等关系是解题的关键.

6.（2023•黑龙江绥化•统考中考真题）某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A、8两

型客车（每种型号的客车至少租用一辆）.A型车每辆租金500元，8型车每辆租金600元.若

5辆A型和2辆8型车坐满后共载客310人；3辆A型和4辆8型车坐满后共载客340人.

（1）每辆A型车、8型车坐满后各载客多少人?

（2）若该校计划租用A型和8型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并将全校420人载

至目的地.该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？

（3）在这次活动中，学校除租用A、8两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车.已知从

学校到夏令营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，

却比甲车早0.5小时到达目的地.下图是两车离开学校的路程,（千米）与甲车行驶的时间f

（小时）之间的函数图象.根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，i为何值时两车相距

25千米.

【答案】（1）每辆A型车、3型车坐满后各载客40人、55人；（2）共有4种租车方案，租8辆A

型车，2辆3型车最省钱；（3）在甲乙两车第一次相遇后，当「=3小时或g小时时，两车相

距25千米

【分析】（1）设每辆A型车、3型车坐满后各载客x人、V人，由题意列出二元一次方程组，

解方程组即可求解；

（2）设租用A型车机辆，则租用B型车（10-旭）辆，由题意列出一元一次不等式组，解不

等式组，求整数解即可得出加的值，设总租金为w元，根据一次函数的性质即可求解；

（3）设5甲=公，sa，由题意可知，甲车的函数图像经过（4,300）；乙车的函数图像

经过(050),(3.5,300)两点.求出函数解析式，进而即可求解.

【详解】(1)解：设每辆A型车、3型车坐满后各载客九人、V人，由题意得

j5x+2y=310

13%+4)=340

|x=40

解得小

〔y=55

答：每辆A型车、8型车坐满后各载客40人、55人-

(2)设租用A型车加辆，则租用B型车(10-加)辆，由题意得

[500m+600(10-m)<55002

；4。帆+55(；。-J*。解得：5«…§

心取正整数，

m=5,6,7,8

共有4种租车方案

设总租金为w元，则w=500m+600(10—m)——100m+6000

v-100<0

狡随着m的增大而减小

，“2=8时，W最小

.,.租8辆A型车，2辆8型车最省钱•

(3)设s甲=kt,s乙—+。.

由题意可知，甲车的函数图象经过(4,300)；乙车的函数图象经过(0.5,0),(3.5,300)两点.

s甲=75/,5乙=100/—50

S乙一S甲=25,gpi00r-50-75z=25

解得r=3

或300—757=25

解得f=g

所以，在甲乙两车第一次相遇后，当r=3小时或，小时时，两车相距25千米.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根

据题意找到等量关系，列出方程组，不等式组，以及函数解析式是解题的关键.

7.某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案.

方案一：没有底薪，只付销售提成；

方案二：底薪加销售提成.

如图中的射线4,射线6分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工

资%（单位：元）和内（单位：元）与其当月鲜花销售量X（单位：千克）（xNO）的函

数关系.

（1）分别求为、%与X的函数解析式（解析式也称表达式）；

（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超

过2000元.这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？

7

【答案】⑴j1=30x（x>0）,y2=10x+800（x>0）；（2）

【分析】

（1）根据图像中11和12经过的点，利用待定系数法求解即可；

（2）分别根据方案一和方案二列出不等式组，根据解集情况判断即可.

【详解】

解：（1）根据图像，11经过点（0,0）和点（40,1200）,

设力的解析式为x=k1M%丰0）,贝匹200=40%,

解得:K=30,

.-.11的解析式为％=30九（％20）,

设为的解析式为y2=k2x+b（k2w0）,

由12经过点(0,800),(40,1200),

800=Z?=10

则《，解得:

1200=40幺+5&=800

...12的解析式为必=10%+800（%＞0）;

X>2000f30x>2000

（2）方案一:即《

尤<70尤<70

900

解得：罟C470；

为>200010%+800>2000x>120

方案二：＜即《即《无解,

x<70x<70x<70

•••公司没有采用方案二，

•••公司采用了方案一付给这名销售人员3月份的工资.

【点睛】

本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是结合图像，求出

两种方案对应的解析式.

8.（2023・河南•统考中考真题）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选

择其中一种.

活动一：所购商品按原价打八折；

活动二：所购商品按原价每懑30。元减80元.（如：所购商品原价为30。元，可减80元，

需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）

（1）购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由.

（2）购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，

求一件这种健身器材的原价.

（3）购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动

一更合算？设一件这种健身器材的原价为。元，请直接写出。的取值范围.

【答案】⑴活动一更合算；（2）400元；（3）当300Va＜400或600«。＜800时，活动二更合算

【分析】（1）分别计算出两个活动需要付款价格，进行比较即可；

（2）设这种健身器材的原价是x元，根据“选择活动一和选择活动二的付款金额相等“列方

程求解即可；

（3）由题意得活动一所需付款为0.8a元，活动二当0＜。＜300时，所需付款为。元，当

300Va<600时，所需付款为（。-80）元，当600Va<900时，所需付款为（。-160）元，然后根据

题意列出不等式即可求解.

【详解】（1）解：购买一件原价为450元的健身器材时，

活动一需付款：450x0.8=360元，活动二需付款：450-80=370元，

.••活动一更合算；

（2）设这种健身器材的原价是了元，

贝g8x=x-8O,

解得x=400,

答：这种健身器材的原价是400元，

（3）这种健身器材的原价为。元，

则活动一所需付款为：0.8a元，

活动二当0<。<300时，所需付款为：。元，

当300Va<600时，所需付款为：（。-80）元，

当600Va<900时，所需付款为：（。-160）元，

①当0<。<300时，a>0.8a,此时无论。为何值，都是活动一更合算，不符合题意，

②当300V“<600时，a-80<0.8a,解得300Va<400,

即：当300Va<400时，活动二更合算，

③当600Ma<900时，a-160<0.8«,解得600Wa<800,

即：当600Va<800时，活动二更合算，

综上：当300Va<400或600Wa<800时，活动二更合算.

【点睛】此题考查了一元一次方程及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题,

注意分类讨论的应用.

9.某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表：

A方案B方案C方案

每月基本费用（元）2056266

每月免费使用流量（兆）1024m无限

超出后每兆收费（元）nn

A,B,C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系如图

所示.

(1)请直接写出m,n的值.

(2)在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y(元)与每月

使用的流量x(兆)之间的函数关系式.

(3)在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？

【答案】(1)m=3072,n=0.3；(2)y=0.3%-287.2(x>1024)；(3)当每月使用的流

量超过3772兆时，选择C方案最划算

【分析】

(1)m的值可以从图象上直接读取，n的值可以根据方案A和方案B的费用差和流量差相

除求得；

(2)直接运用待定系数法求解即可；

(3)计算出方案C的图象与方案B的图象的交点表示的数值即可求解.

【详解】

解：(1)m=3072,

56-20

n==0.3.

1144-1024

(2)设函数表达式为丁=6+仇左，。),

把(1024,20),(1144,56)代入丫=区+6,得

20=1024k+b

,56=1144左+Z/

左=0.3

解得《

&=-287.2

y关于x的函数表达式y=0.3x-287.2（x>1024）.

（注：x的取值范围对考生不作要求）

（3）3072+（266—56）+0.3=3772（兆）.

由图象得，当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算.

【点睛】

本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数

形结合的思想解答.

10.（2023・湖北荆州•统考中考真题）荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A,8两种文创饰品

对游客销售.已知1400元采购A种的件数是630元采购8种件数的2倍，A种的进价比B种

的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购3

种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍.

（1）求A,3饰品每件的进价分别为多少元？

（2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过15。件时，A种超过的

部分按进价打6折.设购进A种饰品x件，

①求x的取值范围；

②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润.

【答案】⑴A种饰品每件进价为10元，8种饰品每件进价为9元；（2）①120VXV210且尤为

整数，②当采购A种饰品210件，2种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元

【分析】（1）分别设出A,8饰品每件的进价，依据数量列出方程求解即可；

（2）①依据题意列出不等式即可；

②根据不同的范围，列出不同函数关系式，分别求出最大值，比较即可得到李荣最大值.

【详解】（1）（1）设A种饰品每件的进价为。元，则8种饰品每件的进价为（。-1）元.

由题意得：—=-^-x2,解得：。=10,

经检验，a=10是所列方程的根，且符合题意.

A种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元.

_〜1600-尤2390

（2）①根据题意得：“八,

[600-x<4%

解得：120WXW210且x为整数;

②设采购A种饰品x件时的总利润为卬元.

当1204x4150时，w=15x600-10^-9（600-x）,

即w=-x+36OO,

­.--1<0,

・•・W随X的增大而减小.

.,.当x=120时，w有最大值3480.

当150<xV210时，w=15x600-[10xl50+10x60%（x-150）]-9（600-x）

整理得：w=3x+3000,

,.t3>0,

・••W随X的增大而增大.

...当x=210时，W有最大值3630.

•.-3630>3480,

•••w的最大值为3630,it匕时600—x=390.

即当米购A种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630兀.

【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数利润最大化方案

问题，关键是对分段函数的理解和正确求出最大值.

11.黔东南州某销售公司准备购进A、B两种商品，已知购进3件A商品和2件B商品，需要

1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元.

（1）求A、B两种商品的进货单价分别是多少元？

（2）若该公司购进A商品200件，B商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地销

售.已知每件A商品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元；每件B商品运往甲、乙两

地的运费分别为15元和24元.若运往甲地的商品共240件，运往乙地的商品共260件.

①设运往甲地的A商品为x（件），投资总运费为V（元），请写出V与x的函数关系式;

②怎样调运A、B两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总费用=购进

商品的费用+运费）

【答案】（1）A商品的进货单价为200元,B商品的进货单价为250元;（2）①y=4x+l25040；

②最佳调运方案为：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地.最

小费用为125040元

【分析】

(1)设A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，根据购进3件A商品和2件

B商品，需要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元列出方程组求解即可；

(2)①设运往甲地的A商品为x件，则设运往乙地的A商品为(200-x)件，运往甲地的

B商品为(240-x)件，运往乙地的B商品为(60+x)件，根据投资总运费=运往甲、乙

两地运费之和列出函数关系式即可；②根据投资总费用=购买商品的费用+总运费，列出函

数关系式，由自变量的取值范围是：0WxW200,根据函数的性质判断最佳运输方案并求出

最低费用.

【详解】

解：(1)设A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元,

3x+2y=1100

根据题意,得4

[5x+3y=1750

x=200

解得：<

。=250

答：A商品的进货单价为200元，B商品的进货单价为250元；

(2)①设运往甲地的A商品为x件，则设运往乙地的A商品为(200-x)件,

运往甲地的B商品为(240-x)件，运往乙地的B商品为(60+x)件，

则y=20x+25(200-x)+15(240-x)+24(60+x)=4x+10040,

；.y与x的函数关系式为y=4x+10040；

②投资总费用w=200X200+300X250+4x+10040=4x+125040,

自变量的取值范围是：0WxW200,

：k=4>0,

；.y随x增大而增大.

当x=0时，w取得最小值，w最小=125040(元)，

,最佳调运方案为：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地,

最小费用为125040元.

答：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地总费用最小，最小

费用为125040元.

【点睛】

本题考查了一次函数的应用和二元一次方程组的应用，关键是根据投资总费用=购进商品的

费用+运费列出函数关系式.

12.（2023・山东聊城・统考中考真题）今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰.某

热门景点的门票价格规定见下表：

票的种类ABC

购票人数/人1〜5051〜100100以上

票价/元504540

某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团），在打算购买门票时，如

果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元.

（1）求两个旅游团各有多少人？

（2）一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买B种门票比购买A种门

票节省？

【答案】（1）甲团人数有58人，乙团人数有44人；（2）当游客人数最低为46人时，购买8种

门票比购买A种门票节省

【分析】（1）设甲团人数有x人，乙团人数有〉人，根据“甲、乙两个旅游团共102人，把

两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元”列方程组求解即可；

（2）设游客人数为。人时，购买8种门票比购买A种门票节省，根据“人数不足50人，购

买B种门票比购买A种门票节省”列不等式求解即可.

【详解】（1）解：设甲团人数有无人，乙团人数有y人，

x+y=102

由题意得:

45x+50^=102x40+730

答：甲团人数有58人，乙团人数有44人；

（2）解：设游客人数为a人时，购买8种门票比购买A种门票节省，

由题意得：45x51<50a,

解得：a>45.9,

为整数，

,当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种门票节省.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，找出合适的等量关系

和不等关系列出方程组和不等式是解题的关键.

13.下面图片是七年级教科书中“实际问题与一元一次方程”的探究3

电话计费问题

月使用费/元主叫限定时间/min主叫超时费/（元/min）被叫

方式一581500.25免费

方式二883500.19免费

月使用费固定收：

主叫不超限定时间不再收费，主叫超时

部分加收超时费，被叫免费.

考虑下列问题:

①设一个月内用移动电话主叫为min（t是正整数）根据上表，列表说明：当t在不同时间

范围内取值时，按方式一和方式二如何计费

②观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你

的看法.

小明升入初三再看这个问题，发现两种计费方式，每一种都是因主叫时间的变化而引起计费

的变化，他把主叫时间视为在正实数范围内变化，决定用函数来解决这个问题.

（1）根据函数的概念，小明首先将问题中的两个变量分别设为自变量x和自变量的函数y,

请你帮小明写出：

x表示问题中的,y表示问题中的.并写出计费方式一和二分别对应

的函数解析式；

（2）在给出的正方形网格纸上画出（1）中两个函数的大致图象，并依据图象直接写出如何

根据主叫时间选择省钱的计费方式.（注：坐标轴单位长度可根据需要自己确定）

>X

O

580<x<150

【答案】(1)主叫时间，计费；方式一:方式二:

58+0.25(x-150)x>150

880<x<350

<88+0.19(%-350)%>350;(2)见解析，当主叫时间在270分钟以内选方式一,

270分钟时两种方式相同，超过270分钟选方式二

【分析】

(1)根据题意即可知道x、y的实际意义，根据两种方式的计算方式即可列出分段式函数关

系式；

(2)根据函数表达式，描点法画出函数图像即可.

【详解】

解：(1)根据题意可知：x表示主叫时间，y表示计费，

通过表格数据可知两种方式都属于分段函数，主叫超时费即为一次函数“k”值，即可直接

写出函数表达式为：

'580<%<150

方式一：y=<

[58+0.25(x-150)x>150

880<%<350

方式二：y=<

〔88+0.19(x-350)%>350

(2)大致图象如下：

88=58+0.25(%—150),

解得x=270,

由图可知：当主叫时间在270分钟以内选方式一，270分钟时两种方式相同，超过270分钟

选方式二.

【点睛】

本题考查了一次函数的表达式求法和函数图像的画法，结合函数图像确定方案选择问题，理

解数据与函数的关系是解决问题的关键.

14.（2023・湖南怀化•统考中考真题）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种

客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰

好坐满.

（1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？

（2）若该校计划租用A、8两种客车共25辆，要求8种客车不超过7辆，且每人都有座位，

则有哪几种租车方案？

⑶在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样

租车才最合算？

【答案】（1）原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人

（2）共有3种租车方案，方案一：租用A种客车18辆，则租用B种客车7辆；方案二：租用A

种客车19辆，则租用8种客车6辆；方案三：租用A种客车20辆，则租用8种客车5辆，

⑶租用A种客车20辆，则租用8种客车5辆才最合算

【分析】（1）设原计划租用A种客车x辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解;

（2）设租用A种客车。辆，则租用8种客车（25-a）辆，根据题意列出一元一次不等式组,

解不等式组即可求解；

（3）分别求得三种方案的费用，进而即可求解.

【详解】（1）解：设原计划租用A种客车无辆，根据题意得，

45x+30=60（x-6）,

解得：x=26

所以60x（26-6）=1200（人）

答：原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人；

（2）解：设租用A种客车。辆，则租用3种客车（25-a）辆，根据题意，得

j25-a<7

[45a+60（25-a）>1200

解得：18<a<20,

:。为正整数，则。=18,19,20,

，共有3种租车方案，

方案一：租用A种客车18辆，则租用B种客车7辆，

方案二：租用A种客车19辆，则租用B种客车6辆，

方案三：租用A种客车20辆，则租用8种客车5辆，

（3）：A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，

•••2种客车越少，费用越低，

方案一：租用A种客车18辆，则租用B种客车7辆，费用为18x220+7x300=6060元，

方案二：租用A种客车19辆，则租用8种客车6辆，费用为19x220+6x300=5980元，

方案三：租用A种客车20辆，则租用8种客车5辆，费用为20x220+5x300=5900元，

，租用A种客车20辆，则租用8种客车5辆才最合算.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一

次方程与不等式组是解题的关键.

15.“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”.为扩大粮食生产规模，某粮食生产基

地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共

需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元.

（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？

（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又

不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金

最少，最少资金是多少？

（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，

每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙

两种农机具（可以只购买一种），请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？

【答案】（1）购进1件甲种农机具需L5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元；（2）有三

种方案：方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件；方案二：购买甲种农机具6件,

乙种农机具4件；方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件；方案一需要资金最少，

最少资金是10万元；（3）节省的资金再次购买农机具的方案有两种：方案一：购买甲种农

机具。件，乙种农机具15件；方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件

【分析】

（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元，根据题意可直接列

出二元一次方程组求解即可；

（2）在（1）的基础之上，结合题意，建立关于m的一元一次不等式组，求解即可得到m

的范围，从而根据实际意义确定出m的取值，即可确定不同的方案，最后再结合一次函数

的性质确定最小值即可；

（3）结合（2）的结论，直接求出可节省的资金，然后确定降价后的单价，再建立二元一次

方程，并结合实际意义进行求解即可.

【详解】

解：（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元.

2x+y=3.5

根据题意,得1

[x+3y=3

%—1.5

解得:

y=0.5

答：购进1件甲种农机具需L5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元.

1.5m+0.5(10-m)>9.8

（2）根据题意,得《

1.5m+0.5(10-m)<12

解得：4.8<m<7.

为整数，

.♦.m可取5、6、7,

有三种方案：

方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件;

方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件;

方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件.

设总资金为W万元，则W=1.5m+0.5（10-7n）=m+5,

左=1>0,

.'.W随m的增大而增大，

当机=5时，%小=5+5=10（万元），

.,•方案一需要资金最少，最少资金是10万元.

（3）由（2）可知，购买甲种农机具5件，乙种农机具5件时，费用最小,

根据题意，此时，节省的费用为5x0.7+5x02=4.5（万元），

降价后的单价分别为：甲种0.8万元，乙种0.3万元，

设节省的资金可购买a台甲种，b台乙种,

则：0.8。+0.35=4.5,

由题意，a,b均为非负整数，

a=0、。=3

满足条件的解为:或＜

b=15b=7'

节省的资金再次购买农机具的方案有两种：

方案一：购买甲种农机具。件，乙种农机具15件；

方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件.

【点睛】

本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的实际应用，找准等量关系，理

解一次函数的性质是解题关键.

16.（2023・四川广安•统考中考真题）“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售A3

两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱A种盐皮蛋和6箱B种盐皮蛋共需390元；若购买5箱A种

盐皮蛋和8箱B种盐皮蛋共需310元.

（DA种盐皮蛋、8种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？

（2）若某公司购买A3两种盐皮蛋共30箱，且A种的数量至少比8种的数量多5箱，又不超

过8种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用.

【答案】（1）A种盐皮蛋每箱价格是30元，B种盐皮蛋每箱价格是20元；（2）购买A种盐皮

蛋18箱，8种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元

【分析】（1）设A种盐皮蛋每箱价格是x元，3种盐皮蛋每箱价格是〉元，根据题意建立方

程组，解方程组即可得；

（2）设购买A种盐皮蛋机箱，则购买8种盐皮蛋（30-根）箱，根据题意建立不等式组，解

不等式组可得机的取值范围，再结合机为正整数可得机所有可能的取值，然后根据（1）的

结果逐个计算总费用，找出总费用最少的购买方案即可.

【详解】（1）解：设A种盐皮蛋每箱价格是了元，3种盐皮蛋每箱价格是y元，

9x+6y=390

由题意得:

5%+8y=310

x=30

解得

y=20’

答：A种盐皮蛋每箱价格是30元，8种盐皮蛋每箱价格是20元.

（2）解：设购买A种盐皮蛋加箱，则购买B种盐皮蛋（30-〃。箱,

：购买A种的数量至少比3种的数量多5箱，又不超过B种的2倍,

>5

[〃2V2(30-

解得935V加<20,

2

又为正整数，

所有可能的取值为18,19,20,

①当机=18,30—帆=12时，购买总费用为30x18+20x12=780（元），

②当机=19,30-%=11时，购买总费用为30x19+20x11=790（元），

③当机=20,30-加=10时，购买总费用为30x20+20x10=800（元），

所以购买A种盐皮蛋18箱，5种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和

不等式组是解题关键.

17.“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”.为扩大粮食生产规模，某粮食生产基

地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共

需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元.

（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？

（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又

不超过12万元，设购进甲种农机具加件，则有哪几种购买方案？

（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？

【答案】（1）购进1件甲种农机具需L5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元；（2）购进

甲种农机具5件，乙种农机具5件；购进甲种农机具6件，乙种农机具4件；购进甲种农机

具7件，乙种农机具3件；（3）购进甲种农机具5件，乙种农机具5件所需资金最少，最少

资金为10万元.

【分析】

（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元，然后根据题意可得

2x+y=3.5

,进而求解即可;

x+3y=3

（2）由（1）及题意可得购进乙种农机具为（10-m）件，则可列不等式组为

9.8<1.5m+0.5（10-m）<12,然后求解即可；

（3）设购买农机具所需资金为w万元，则由（2）可得可=加+5,然后结合一次函数的性

质及（2）可直接进行求解.

【详解】

解：（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元，由题意得：

2x+y=3.5

x+3y=3'

答：购进1件甲种农机具需1.5万元，购进