2024年中考数学题型突破：综合探究题之非动态探究题（专项训练）（学生版）

类型一非动态探究题（专题训练）

1.（2023•湖北宜昌•统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，E,歹分别是边AD,AB1.

⑴若正方形ABCD的边长为2,E是AO的中点.

①如图1,当/万EC=90。时，求证：AAEFs^DCE；

2

②如图2,当tanZFC£=§时，求AF的长；

（2）如图3,延长CP,D4交于点G,当6£=。£,411//^£=；时，求证：AE=AF.

2.（2021•四川省达州市）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线

段做了如下探究：

【观察与猜想】

(1)如图1,在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,AD上的两点，连接DE,CF,DE1CF,则

器的值为_______;

CF

(2)如图2,在矩形ABCD中，AD=7,CD=4,点E是AD上的一点，连接CE,BD,且CE1BD,

则黑的值为______;

HU

【类比探究】

(3)如图3,在四边形ABCD中，NA=NB=90。，点E为AB上一点，连接DE,过点C作DE的垂

线交ED的延长线于点G,交AD的延长线于点F,求证：DE-AB=CF-AD；

图3图4

【拓展延伸】

-1

(4)如图4,在RtAABD中，ZBAD=90°,AD=9,tanzADB=将△ABD沿BD翻折，点A落

在点C处得ACBD,点E,F分别在边AB,AD上，连接DE,CF,DE1CF.

①求言的值；

Lr

②连接BF,若AE=1,直接写出BF的长度.

3.(2023•甘肃武威・统考中考真题)【模型建立】

(1)如图1,AABC和ABDE都是等边三角形，点C关于AO的对称点/在8。边上.

①求证：AE=CD-,

②用等式写出线段AD,BD,DE的数量关系，并说明理由.

【模型应用】

（2）如图2,AABC是直角三角形，AB=AC,CDLBD,垂足为。，点C关于AD的对称

点尸在8。边上.用等式写出线段AD,BD,。尸的数量关系，并说明理由.

【模型迁移】

（3）在（2）的条件下，若AO=40，BD=3CD,求cos/AE?的值.

4.（2021•湖北中考真题）问题提出如图（1）,在AABC和△DEC中，

ZACB=ZDCE=90°,BC=AC,EC=DC,点石在△ABC内部，直线AZ）与BE交

于点P，线段AR,BF,Cb之间存在怎样的数量关系？

问题探究（1）先将问题特殊化.如图（2）,当点。，斤重合时，直接写出一个等式，表

示AR,BF,CV之间的数量关系；

（2）再探究一般情形.如图（1）,当点。，尸不重合时，证明（1）中的结论仍然成立.

问题拓展如图（3）,在AA5c和△DEC中，ZACB^ZDCE=90°,BC=kAC,

EC=kDC（左是常数），点石在5c内部，直线A。与3E交于点直接写出一个

等式，表示线段AR,BF,C尸之间的数量关系.

5.（2023・湖北武汉•统考中考真题）问题提出：如图（1）,E是菱形A3C。边上一点，△AEF

是等腰三角形，AE=EF,/4£77=/43。=«（4290。）,4b交。。于点6,探究/3中与&

的数量关系.

问题探究:

(1)先将问题特殊化,如图(2),当夕=90。时，直接写出/GCB的大小;

(2)再探究一般情形,如图(1),求/GCR与a的数量关系.

问题拓展:

-DG1qBE3生

(3)将图(1)特殊化，如图(3),当&=120。时,若==彳，求"的值.

CG2

6.(2021•浙江中考真题)(证明体验)

(1)如图1,为AABC的角平分线，NA£)C=60°,点E在A5上,AE=AC.求

证：DE平分NADB.

（思考探究）

（2）如图2,在（1）的条件下,F为A5上一点，连结尸C交AD于点G.若EB=FC,OG=2,

CD=3,求3。的长.

（拓展延伸）

（3）如图3,在四边形ABC。中，对角线AC平分NBAD,N5C4=2NOC4,点E在AC

上，NEDC=ZABC.若BC=5,CD=2底AD=2AE，求AC的长.

7.（2023・山东・统考中考真题）（1）如图1,在矩形ABCD中，点E,尸分别在边。C,BC

上，AE±DF,垂足为点G.求证：AADE^ADCF.

图1图2图3

【问题解决】

(2)如图2,在正方形ABCD中，点E,尸分别在边DC,3c上，AE=DF,延长BC到

点、H,使CH=DE,连接£>".求证：ZADF=ZH.

【类比迁移】

(3)如图3,在菱形ABCD中，点E,尸分别在边DC,8C上，AE=DF=11,DE=8,

ZAED=60°,求CF的长.

8.(2021•安徽中考真题)如图1,在四边形ABCD中，ZABC=ZBCD,点E在边BC上,

且AE//CD,DE//AB,作CF//AD交线段AE于点F,连接BF.

(1)求证：AABF咨AEAD；

(2)如图2,若AB=9,CD=5,NECF=ZAED,求BE的长;

BF

（3）如图3,若BF的延长线经过AD的中点M,求——的值.

EC

图1

9.（2023•黑龙江•统考中考真题）如图①，AABC和VADE是等边三角形,连接OC,点E

G,H分别是OE,OC和BC的中点，连接.易证：FH=&FG.

若AASC和VADE都是等腰直角三角形，且N54C="A£=90。，如图②:若“1BC和VADE

都是等腰三角形，且NBAC=NZME=120。，如图③：其他条件不变，判断切和FG之间

的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明.

10.（2021•湖南中考真题）如图，在△A》。中，A5=AC,N是5C边上的一点，D为AN

的中点，过点A作的平行线交CD的延长线于T,且AT=BN,连接3T.

（1）求证：BN=CN；

（2）在如图中AN上取一点0,使AO=OC,作N关于边AC的对称点M,连接〃T、MO、

OC、OT、CM得如图.

①求证：△TQWs44oc；

②设7M与AC相交于点P，求证：PD//CM,PD=-CM.

2

H.（2023•广东深圳.统考中考真题）（1）如图，在矩形A3CD中，E为AD边上一点，连接

BE,

①若BE=BC,过C作CF_L3E交跖于点尸，求证：4ABE必FCB；

②若黑宠ABS=20时，则BECF=.

（2）如图，在菱形"CD中，cosA=；,过C作CE1AB交AB的延长线于点E,过E作

EFJ.AD交AD于点、F,若S菱形加⑺=24时，求族.8C的值.

（3）如图，在平行四边形ABCD中，ZA=60°,AB=6,AD=5,点E在C。上，且CE=2,

点/为BC上一点，连接跖，过E作EG_LEF交平行四边形ABCD的边于点G,若

EF-EG=76时,请直接写出AG的长.

备用图

12.（2020•山西）综合与实践

问题情境：

如图①，点E为正方形ABCD内一点，NAEB=90°,将RtZkABE绕点B按顺时针方向旋转

90°,得到△CBE，（点A的对应点为点C）.延长AE交CE，于点F,连接DE.

猜想证明：

(1)试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；

(2)如图②，若DA=DE,请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明;

解决问题：

(3)如图①，若AB=15,CF=3,请直接写出DE的长.

13.(2020•湘西州)问题背景:如图1,在四边形ABCD中,ZBAD=90°,ZBCD=90°,

BA=BC,ZABC=120°，/MBN=60°,/MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F.探

究图中线段AE,CF,EF之间的数量关系.

小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G,使CG=AE,连接BG,先证明△BCGgABAE,

再证明△BFG0ZXBFE,可得出结论，他的结论就是；

探究延伸1：如图2,在四边形ABCD中，/BAD=90°,ZBCD=90°,BA=BC,ZABC=2

ZMBN,NMBN绕B点旋转.它的两边分别交AD、DC于E、F,上述结论是否仍然成立？请直

接写出结论(直接写出“成立”或者“不成立”)，不要说明理由；

探究延伸2：如图3,在四边形ABCD中，BA=BC,ZBAD+ZBCD=180°,ZABC=2ZMBN,

NMBN绕B点旋转.它的两边分别交AD、DC于E、F.上述结论是否仍然成立？并说明理由；

实际应用：如图4,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(0处)北偏西30°的A处.舰

艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，

舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海

里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处.且指挥

中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°.试求此时两舰艇之间的距离.

14.(2020•扬州)如图1,已知点0在四边形ABCD的边AB上,M0A=0B=0C=0D=2,0C

平分/BOD,与BD交于点G,AC分别与BD、0D交于点E、F.

(1)求证：OC〃AD；

(2)如图2,若DE=DF,求。的值;

AF

(3)当四边形ABCD的周长取最大值时，求当的值.

DD

图2

15.(2020•南京)如图①，要在一条笔直的路边1上建一个燃气站，向1同侧的A、B两个

城镇分别铺设管道输送燃气.试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短.

(1)如图②，作出点A关于1的对称点A',线段A'B与直线1的交点C的位置即为所求,

即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的.

为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点C',连接AC'、BC',证明AC+CB

〈AC+C'B.请完成这个证明.

(2)如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域.请分别给

出下列两种情形的铺设管