2025届高考数学一轮复习专项训练：指数函数与对数函数（含解析）

2025届高考数学一轮复习专题训练指数函数与对数函数

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

2.擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知函数/（x）=ln（x2—公）在区间（1,内）上单调递增，则实数。的取值范围是（）

A.B.（-00,2]C.（0,2]D.[2,+oo）

2.设函数〃x）=lg（%2—公+1）在区间（0,1）上单调递减，则4的取值集合为（）

A.[2,+OO）B.（2,+CO）C{2}D.（-8,-2]

3.如图，①②③④中不属于函数y=2"，y=3,y=（-）x的一个是（）

A.①B.②C.③D.@

4.设〃=log020.3,b=log23，c=21,，则a，b,c的大小关系为().

、a<b<c^b<a<c^c<b<a^c<a<b

5.已知/(%)的定义域为R,y=/(2x-l)为奇函数,y=〃x+l)为偶函数，若当

时,/(%)=心则"194)=()

A.-B.OC.lD.e

6

6.设2=3一5，b=log30.2,c=log23,510()

A.a>b>cB.c>b>aCa>c>bc>a>b

7.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高01元,销售量

就可能减少2000本，若使提价后的销售总收入不低于20万元，则提价后的价格至多是（）

A.4元B.5元C.3元D.6元

8.已知口=3°.8，人=4°.8，。=3°7，则（）

'a<b<cB.c^c<b<ab<a<c

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

已知大气压强（）随高度（）的变化满足关系式是海平面大气压

9.pPa/zmlnp0-Inp=kh,Po

强，左=107.我国陆地地势可划分为三级阶梯,其平均海拔如下表：

平均海拔/m

第一级阶梯>4000

第二级阶梯1000~2000

第三级阶梯200~1000

若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为

P1，。2，P3则（）

ApV冬B-Po<ACp2Vp3D.p3<e°i8P2

e

10.下列命题中的真命题是()

A.Vx£R,2"-1>0B.VxeN*,(x-l)2>0

C.3x0eR,1gx0<1D.3x0eR,tanx0=2

11.在同一直角坐标系中，函数）=%2+以+〃—3与丁=/的图象可能是（）

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数/(%)=也(2*+2一工+a—1)的值域是R,则实数。的取值范围是.

13.函数/(%)=ax+'—2(a>0且aw1)过定点(列ri)，则m+n—

,x<1

14.设函数/(x)=i,则使得/(x)<2成立的尤的取值范围是.

,X>1

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

3%_-3x

15.已知Q>1,且:3,求的值.附立方差公式：尸=(〃-/?)(/+"+/)

a2x-a

16.⑴求值:

1_1Ar12>

(2)化简：4/'+-6x5y3

IJ\/

(3)化简:(瘀J%

〉0,6〉0),

17.已知％=1是函数g(x)=^-3^+2的零点=

X

(1)求实数〃的值；

/\

(2)若方程/(口工―力+左1J-3左=0有三个不同的实数解，求实数上的取值范围.

\!\)

18.已知函数/(x)=log〃(3—x)，g(x)=loga(3+x)(a>0,"l),iBF(x)=f(x)-g(x).

(1)求函数/(九)的定义域;

(2)判断函数歹(力的奇偶性，并说明理由;

(3)是否存在实数〃，使得当狐〃］时，方(％)的值域为［1—log/1-10gq何？若存在，求出实

数。的取值范围；若不存在，则说明理由.

19.已知函数"%)=1085(-尤2+2/1尤+1)的定义域为£),g(x)=\——.

4%+1

(1)若％=求函数/(力的值域；

(2)若D=(m,n),且［g(m)-g⑺丁K10,求实数2的取值范围.

参考答案

1.答案：A

解析：函数y=lnx在R*上单调递增，

而函数/(x)=In(必—女)在区间(1,y)上单调递增，

则有函数y=x(x—a)=1x—3—(

在区间(1,+oo)上恒正且单调递增，

因止匕且1—

2

解得。41，

实数。的取值范围是(-8,1].

2.答案：C

解析：令y=x?—以+1,则对称轴为x=@厕@21，即a22，

-22—

又因为/(九)在(0,1)上有意义，

所以1—。+120,即aW2,故。=2・

故选:C.

3.答案：B

解析：根据函数y=2*与y=(；)*关于丫对称，可知①④正确，

函数y=3、为单调递增函数，故③正确.

所以②不是已知函数图象.

故选：B.

4.答案：A

解析：依题意,a=log020.3<log020.2=1,1=log22<log23<log24=2,即l</?<2，

而c=2[2>21=2,所以a</?<c-

故选：A.

5.答案：C

解析：y=/(2尤-1)为奇函数，即〃2x-l)+/(-2x-l)=0,所以〃龙)关于(-1,0)中心对

称;y=/(x+l)为偶函数，即〃x+l)=/(-x+1),所以“尤)关于直线x=l对称,所以

/(%)=/(-%+2)=，故/(%+8)=-/(x+4)=/(x),即/(%)是周期为8的周期

函数，所以/(194)=/(8*24+2)=/(2)=/⑼=1,故选C.

6.答案：D

解析：0<3巧<1，log30.2<log3l=0,log23>log22=1,

:.c>a>b-

故选：D.

7.答案：A

解析：设提价后的价格为x元，则«8—2辞x0.21>20，化简得2好_13x+20<0，

解得9Vx<4,所以提价后的价格至多是4元.故选:A

2

8.答案：B

解析：由函数y=3工为单调递增函数可得。>。；

由累函数>=X0-8在(o,内)上单调递增，可得b>a，所以b>a〉u

故选:B

9.答案：ACD

解析：设在第一级阶梯某处的海拔为九，则In。。—1叩1=10-%,即4=10%M.

P1

因为424000,所以1()4InR24000解得百V栗,A正确；

Pie0-4

由lnp0-inp=kh,得e"，=压.当h>0时,e"=—〉1,即p0〉p,所以p0>p3,B错误；

PP

设在第二级阶梯某处的海拔为h2，在第三级阶梯某处的海拔为小，

则J叩°-1叩2=1。4两式相减可得]口以=正仇一勿).

1叩0-1叩3=10一4%P1

因为回«1000,2000],%e[200,1000],所以4"耳。/800],则o<In2<1()7X1800=0.18,

-P1

018

即1<上<e*,故p2<p3<ep2,C,D均正确.

Pl

故选：ACD.

10.答案:ACD

解析：指数函数值域为（O,+8）,所以X/xwR,2i>0,A选项正确；

当％=1时，（x—1）2=0,所以VxeN*,>0是假命题，B选项错误；

当％=1时，lgx0=0<1,所以lgx（）<lC选项正确；

函数y=tanx值域为R,所以m/eR,tan/=2D选项正确

故选：ACD.

11.答案：AC

解析：①若。>1，则函数>=优是R上的增函数，

函数y=f+奴+q—3的图象的对称轴方程为x=—0<0,故A符合，B不符合；

2

②若0<。<1，则函数y=优,是R上的减函数，a—3<0，函数y=f+奴3的图象与y轴的

负半轴相交，

故选：AC.

12.答案：（―8,—1]

解析：函数/（无）=坨（2*+2一*+4-1）的值域是R,

所以V=2*+2。'+a_1的值域包含（0,+00）；

由于2*+2r>2,2*•2r=2,当且仅当2*=2T时，即%=0时，等号成立；

所以2X+2~X-1>1；

所以aW—>

故答案为：（-8,-1].

13.答案：_2

解析：当x+1=Ox=—1时，/（力=—1,即函数恒过（T一。，

此时相+〃=—2

故答案为：—2

14.答案：（—8,8]

解析:当x<l时,e'T<2,/.x<ln2+l,:.x<l

当xNl时,炉42,

/.x<8,.,.l<x<8,

综上，使得/（x）<2成立的尤的取值范围是xW8

故答案为xW8

15.答案：号

3

解析：因为。>1，且优+口-，=3,所以（优+口-工）？=9,得/工+口口=7,

所以，q-3x_(优+]+q-2x)—。2£+]+“—2x

8

a2x-a2x(ax-a^(ax+a~x}ax+a~x3

16.答案：（1）2;

⑵3；

15

⑶q

b

3i_

xl+24x24-

2A(_i2\

⑵4/-3/y§+-6x5y3

7\7

j__1(_2\

=-12x^y§.-6x5y§

k7

1

=2x6；

1<3>22129127+516.

=l+-x-—0.1=1+—x——0.1=___।________—__，

40431063015

⑶旦二/2J_A21

17.答案：(1)a=l

21

(2)-±k<--

3<3

解析：(1)<％=1是函数且(%)=办2-3以+2的零点

g(l)=〃-3〃+2=2—2〃=0,解之得。=1；

(2)由(1)得g(x)=%2一3%+2,贝！!/(%)=%一3+—，

x

/\

则方程川2-力+《言/人=0

可化为12T+言丁3+^|^—3左=0,

・尤力0，.•・两边同乘忖―11得：

J'—『—(3+3人)|2,—1|+3k+2=0，则此方程有三个不同的实数解.

令t=|2*—1|贝1>0,则/—(3+3左"+3左+2=0,解之得r=l或/=3左+2,

当/=1时.|2，一1|=1,得％=1；

当/=3左+2时，Rx—1|=3k+2,则此方程有两个不同的实数解，

则0<3左+2<1，解之得一会<女<一一•

33

2,1

___V左<___

则实数上的取值范围为33.

18.答案：(1)｛乂―3<%<3卜

(2)奇函数，证明见解析；

(3)不存在，理由见解析

解析：(1)由题意知砥x)=log〃(3—x)—log.(3+x)

要使尸(x)有意义，则有户一得—3<*<3

3+x>0

所以函数的定义域为：卜卜3(尤<3｝

(2)由⑴知函数/⑴的定义域为：卜卜3<%<3｝，关于原点对称，

F(-x)=logfl(3-(-x))-logo(3—x)=logo(3+%)-logfl(3-x)=-F(x)

函数F(x)为(-3,3)上的奇函数.

⑶3V，

假设存在这样的实数〃，则由加＜〃，[加，川屋（一3,3）,

可知Ovzn<〃v3

1—log。〃<1—log”m，•.log"〃>logq加，Q〉］,

令t=»——，贝U/=----1在［牡汨上递减，/.F(x)=log--^在［加,〃］上递减，

3+x3+x"3+%

F(m)=log.f—二1-log”m

.3+m

~i3-n1i

F(H)=log--=1-log,/

Lfl3+n

m,n是方程log。-——=1—logflx，即log〃-——=logfl旦有两个在(0,3)上的实数解

问题转化为：关于X的方程/+(Q—3)x+3。=0在(0,3)上有两个不同的实数解

令g(%)=九2+-3)x+3a，

A—a?—j8〃+9>0

a〉9+60或a<9-6后

g(0)=3a>Q

a>0

则有4g(3)=6a>Q

a>0

ci—3.

0<--------<3—3<a<3

2

解得Ova<9-6后，又a>\'->•^>1tze0

故这样的实数。不存在.