2025高考数学一轮复习：离散型随机变量的分布列与数字特征

第07讲离散型随机变量的分布列与数字特征

（3类核心考点精讲精练）

IN.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

求离散型随机变量的均值

2024年新I卷，第14题,5分计算古典概型问题的概率

均值的性质

利用对立事件的概率公式求概率

2024年新H卷,第18题,17分求离散型随机变量的均值

独立事件的乘法公式

2023年新I卷，第21题,12分求离散型随机变量的均值利用全概率公式求概率

2022年全国甲卷（理），写出简单离散型随机变量分布列

/

第19题,12分求离散型随机查量的均值

写出简单离散型随机变量分布列

2021年新I卷，第18题,12分/

求离散型随机查量的均值

求离散型随机查量的均值

2021年新II卷,第21题,12分利用导数研究方程的根

均值的实际应用

2020年新I卷，第12题,5分利用随机变量分布列的性质解题对数的运算

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5-12分

【备考策略】L理解、掌握离散型随机变量的定义

2.会表示离散型随机变量的分布列

3.会计算离散型随机变量的均值和方差

【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般结合离散型随机变量的分布列及均值方差在大题中考

查，需重点强化复习

12.考点梳理

知识点1离散型随机变量定义

知识点2离散型随机变量的分布列及性质

核心知识点知识点3离散型随机变量均值

离散型随机变量的分布列知识点4离散型随机变量方差

与数字特征考点1离散型随机变量分布列

考点2离散型随机变量的均值

核心考点

考点3离散型随机变量的方差

知识讲解

1.离散型随机变量定义

随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.

2.离散型随机变量的分布列及性质

(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为尤1,尤2,…，尤”…，Xn,X取每一个值无々=1,2,…,

")的概率P(X=Xi)=pi,则表

・・・・・・

XXIX2XiXn

…・・・

PPiP2PiPn

称为离散型随机变量X的概率分布列.

(2)离散型随机变量的分布列的性质：

①“尽0。=1,2,…，”)；②pi+p2H------

3.离散型随机变量均值

(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为:

……

XXlX2XiXn

……

pPTP2PiPn

则称E(X)—xipiJrx2pi-\---\'XiPi-\----为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值

的平均水平.

(2)若丫=°乂+从其中a,b为常数，则¥也是随机变量，且E(aX+6)=aE(X)+6.

(3)①若X服从两点分布，则E(X)=p；

②若X〜B(",p),则E(X)=叩.

4.离散型随机变量方差

(1)设离散型随机变量X的分布列为

….・・

XX\X2XiXn

…

pPiP2Pi•・・Pn

2

则(即一E(X))2描述了苍(i=l,2,…，〃湘对于均值E(X)的偏离程度.而。(田=£8—E(X))2。为这些偏离程

度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称。(X)为随机变量X的方差，并称其算

术平方根而药为随机变量X的标准差.

(2)D(aX+b)=a2D(X).

(3)若X服从两点分布，贝1］。(田=°(1—P).

(4)若X〜2(”，p),则£>(%)=叩(1—p).

考点一、离散型随机变量分布列

典例引领

1.(23-24高三•阶段练习)在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球，其中一个球的标号为1,另一个密闭

不透明的箱子中有五个深色球，其中两个球的标号为2,3.

⑴若在两个箱子中各抽取两个球，求抽取的四个球中，标号为1,2,3的三个球中至少有两个的概率；

(2)若在两个箱子中共随机抽取四个球，记其中浅色球的个数为X,求X的分布列.

【答案】⑴217

50

(2)分布列见解析

【分析】(1)先利用分步乘法计数原理计算总抽取方法，再求出抽到至少两个有标号的球的方法计算概率

即可；

(2)利用离散型随机变量的分布列公式计算即可.

【详解】(1)由题意可得共有C；C；=100(种)不同的抽法，

抽取的四个球中，标号为1,2,或1,3的种数有C；C；C；,

标号为2,3的种数有C；,抽到1,2,3的种数有C：,

合计CCC；+C；+C；=34(种)不同的抽法,

3417

所以抽取的四个球中，标号为1,2,3的三个球中至少有两个的概率为员二三；

10050

(2)由题意知，X的可能取值为0,1,2,3,4.

-五

尸（X=2）=/C2C2=三10

Ho

尸（X=3）=舍C3cl=5,

joZ1

3

P（X=4）=与=，,

C：。42'

所以X的分布列为

X01234

151051

P

4221212142

2.（2024高三•全国•专题练习）某县教育局从县直学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名

教师中，语文、数学、英语教师各2人.

⑴求选出的数学教师人数多于语文教师人数的概率；

（2）设X表示选出的3人中数学教师的人数，求X的分布列.

3

【答案】⑴历

（2）分布列见解析

【分析】（1）首先计算出所有基本事件数，再求出"选出的数学老师人数多于语文老师的人数”的基本事件数，

利用古典概型计算公式可求得结果.

（2）根据题意，列出X的所有可能的取值，求出对应的概率，即可列出分布列.

【详解】（1）从6名老师中选3人的方法种数有：C：=9三==20.

3x2x1

数学老师多于语文老师的选法有：

①1名数学，2名英语的选法：C；C；=2种；

②2名数学的选法有：亡端=4种.

所以数学老师多于语文老师的选法有：2+4=6种.

故数学老师多于语文老师的概率为：尸=二=三.

2010

（2）由题意，X的可能取值为：0,1,2.

p(x=o)=J=0.2,P(X=1)=^£I_=0.6,尸(X=2)=JJ=0.2.

v720v'20v'20

所以X的分布列为:

X012

P0.20.60.2

即时检测

1.（23-24高二上•上海•课后作业）某学生参加一次考试，已知在备选的10道试题中，能答对其中的6道题.

规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，求该生答对试题数X的分布列.

4

【答案】答案见解析

【分析】根据分布列的解题步骤计算即可.

【详解】答对试题数X的可能取值为：。,1,2,3,

则尸(X=o)=今1c'c^3

=一,P(X=l)=^^=

io,

jo30C；0

C2cl1c31

P(X=2)=,，，/X=3)=W=±

jo2C；06

所以该生答对试题数X的分布列如下:

X0123

13££

p

30io26

2.(2023・四川成都•校联考模拟预测)在全国硕士研究生统一招生考试中，甲，乙，丙三名应届本科毕业生

都以优秀的成绩通过了某重点大学的初试，即将参加该重点大学组织的复试.已知甲，乙，丙三名同学通

过复试的概率分别为《，P，复试是否通过互不影响，且甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为

1

12,

⑴求p的值；

(2)设甲，乙，丙三名同学中通过复试的人数为X,求随机变量X的分布列.

【答案】(1)2=：

(2)答案见解析

【分析】(])根据相互独立事件的乘法公式结合对立事件的概率，列式计算，可得答案.

(2)确定随机变量X的取值，求得每个值对应的概率，即可得分布列.

【详解】(1)因为甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为

所以则

(2)由题意知，随机变量X的可能取值为0,1,2,3.

P(x=o)=*,

1111121

P(X=1)=

223232233

ii71

p(X=3)=-x-x-

'72236

5

P(X=2)

123612

5

所以随机变量X的分布列为

X0123

115J_

p

123126

考点二、离散型随机变量的均值

典例引领

1.（2022•全国•高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负

方得。分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的

概率分别为0.5,0,4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.

⑴求甲学校获得冠军的概率；

（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.

【答案】（1）0.6；

（2）分布列见解析，E（X）=13.

【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A昆C,再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利

用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；

（2）依题可知，X的可能取值为0,10,20,30,再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望.

【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A3,C,所以甲学校获得冠军的概率为

P=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）

=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2

=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

（2）依题可知，X的可能取值为0,1。,20,30,所以，

X=0）=0.5X0.4X0.8=0.16,

X=10）=0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,

P（X=20）=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

X=30）=0.5x0.6x0.2=0.06.

即X的分布列为

X0102030

P0.160.440.340.06

期望E(X)=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

6

2.（2022・北京,高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以

上（含9.50m）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛

成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙:9.85,9.65,9.20,9.16.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.

⑴估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

⑵设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；

⑶在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

【答案】（1）0.4

吗

⑶丙

【分析】（1）由频率估计概率即可

（2）求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.

⑶计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.

【详解】（1）由频率估计概率可得

甲获得优秀的概率为0.4,乙获得优秀的概率为0.5,丙获得优秀的概率为0.5,

故答案为0.4

（2）设甲获得优秀为事件4,乙获得优秀为事件A2,丙获得优秀为事件加

--------3

p（x=0）=P（44A）=0.6X0.5X0.5=西，

P（x=D=P（4无4）+p（*无）+P（4A4）

o

=0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=——,

20

p（x=2）=P（A44）+尸（4氐4）+p（444）

7

=0.4x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=——,

20

P（X=3）=P（44&）=0.4x0.5x0.5=—.

7

(3)丙夺冠概率估计值最大.

因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为:，甲获得9.8。的概率为

乙获得9.78的概率为并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.

6

3.(2021•北京•高考真题)在核酸检测中,7合1”混采核酸检测是指：先将上个人的样本混合在一起进行1

次检测，如果这上个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:

如果这上个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结

果，检测结束.

现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.

(I)将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1"混采核酸检测.

⑴如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数；

(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为「.设X是检测的总次数，求X的

分布列与数学期望E(X).

(II)将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用"5合1"混采核酸检测.设Y是检测的总次数,

试判断数学期望E(y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)

【答案】⑴①20次；②分布列见解析；期望为了；(2)E(Y)>E(X).

【分析】(1)①由题设条件还原情境，即可得解；

②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；

(2)求出两名感染者在一组的概率，进而求出E"),即可得解.

【详解】(1)①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次;

所以总检测次数为20次；

②由题意，X可以取20,30,

P(X=20)=1,

p(X=30)=l--=—

''1111

则X的分布列:

(2)由题意，Y可以取25,30,

两名感染者在同一组的概率为4=隼津=[,不在同一组的概率为鸟=1|

Cmyy99

8

则%)=25x4+30x崇等〉E(X).

4.（2021•全国•高考真题）某学校组织“一带一路"知识竞赛，有A,8两类问题，每位参加比赛的同学先在

两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一

类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束4类问题中的每个问题回答正确

得20分，否则得。分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问

题的概率为0.8,能正确回答2类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）B类.

【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可.（2）与（1）类

似，找出先回答B类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可.

【详解】（［）由题可知，X的所有可能取值为0,20,100.

P（X=0）=l-0.8=0.2；

尸（X=20）=0.8（1-0.6）=0.32；

P（X=100）=0.8x0.6=0.48.

所以X的分布列为

若小明先回答8问题，记y为小明的累计得分，则y的所有可能取值为o,so,wo.

p（y=0）=1-0.6=0.4:

p（y=80）=0.6（1-0.8）=0.12；

P（y=100）=0.8x0.6=0.48.

所以E（Y）=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6.

因为54.4<57.6,所以小明应选择先回答B类问题.

即时检测

1.（24-25高三上•福建福州•阶段练习）已知篮球比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入可得3分，踩线及

3分线内侧投入可得2分，不进得0分；经过多次试验，某生投篮100次，有20个是3分线外侧投入，20

9

个是踩线及3分线内侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件.

（1）求该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率；

（2）求该生两次投篮得分自的分布列及数学期望.

【答案】（1）的

（2）分布列见解析，E《）=2

【分析】（1）由已知得该生投投篮3分线外侧投入的概率尸（㈤=；，踩线及3分线内侧投入的概率

不能入篮的概率尸（c）=：,由此能求出该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率.

（2）由已知得J的可能取值为0,2,3,4,5,6,分别求出相应的概率，由此能求出J的分布列及数学期

望.

【详解】（1）"3分线外侧投入"，"踩线及3分线内侧投入"，"不能入篮"分别记为事件A,B,C,

由题意知尸（&）=生=1,P（B）=-=P（C）=-6°-=-,

v71005v71005v71005

因为每次投篮为相互独立事件，故4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率为尸=C；=怒•

（2）两次投篮后得分J的可能取值为0,2,3,4,5,6,

由于该生两次投篮互不影响，是相互独立事件，

4=。表示两次投篮都不能入篮，即得分都为0,

33Q

贝1尸仔=。）=^*^=石；

J=2表示一次是踩线及3分线内侧投入，另一次不能入篮,

4=3表示一次是3分线外侧投入，另一次不能入篮,

贝IJP（J=3）=3XL+^X3=£

7555525

J=4表示两次都是踩线及3分线内侧投入,

J=5表示一次是3分线外侧投入，另一次是踩线及3分线内侧投入,

。=6表示两次都是3分线夕卜侧投入，则=6）==、,

故J的分布列为

023456

10

966121

p

252525252525

J?fl?Z£,(^)=Ox—+2x—+3x—+4x—+5x—+6x—=2.

v7252525252525

2.(24-25高三上•内蒙古赤峰•阶段练习)良好的用眼习惯能够从多方面保护眼睛的健康，降低近视发生的

可能性，对于保护青少年的视力具有不可替代的重要作用.某班班主任为了让本班学生能够掌握良好的用

眼习惯，开展了"爱眼护眼”有奖知识竞赛活动，班主任将竞赛题目分为48两组，规定每名学生从A,2两组

91

题目中各随机抽取2道题作答.已知该班学生甲答对A组题的概率均为:，答对B组题的概率均为二.假

32

设学生甲每道题是否答对相互独立.

⑴求学生甲恰好答对3道题的概率；

(2)设学生甲共答对了X道题，求X的分布列及数学期望.

【答案】⑴;

7

⑵分布列见解析；—

【分析】(1)转化为"答对A组的2道题和8组的1道题"与"答对A组的I道题和8组的2道题“两个互斥事

件的和事件的概率求解，再分别应用相互独立事件同时发生的乘法公式即可得；

(2)按照求离散型随机变量分布列的一般步骤求解即可.

【详解】(1)学生甲恰好答对3道题有以下两种情况：

第一种情况是学生甲答对A组的2道题和B组的1道题，

其概率七国心

第二种情况是学生甲答对A组的I道题和B组的2道题，

其概率鸟心冲一作出4-

211

故学生甲恰好答对3道题的概率尸=<+[=§+§=§.

(2)由题意可知X的所有可能取值为。,1,2,3,4.

尸（X=O）=1INT

13

P（X=2）=

36

P（X=4）=

11

由（1）可知尸（X=3）=〈,

则X的分布列为

X01234

1J_1311

P

3663639

1113117

故E（X）=0x—+lx—+2x——+3x—+4x—=—.

36636393

3.（2024・安徽•一模）高三联考数学试卷的多项选择题每小题满分6分，每小题有4个选项，其中只有2个

或者3个选项是正确的.若正确选项有2个，则选对其中1个得3分；若正确选项有3个，则选对其中1个

得2分，选对其中2个得4分，答案中有错误选项的得0分.设一套数学试卷的多项选择题中有2个选项正

确的概率为p（O<p<l）,有3个选项正确的概率为1-。.在一次模拟考试中：

（1）小明可以确认一道多项选择题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明

该题得分X的数学期望为3,求0；

⑵小明可以确认另一道多项选择题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：①只选

A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个.共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2

个，共选3个.若以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？

【答案】呜

（2）②

【分析】（1）根据离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可，

（2）分别求解三种情况下的期望，即可比较期望大小求解.

【详解】（1）根据题意可知，X=0,4,6,

71

若该题有2个选项正确，则P（X=0）=§0,尸（X=6）=]p,

若该题有3个选项正确,则P（X=4）=§x（1-p）=1-p,

解之得P=g;

（2）不妨记一道多选题"有2个选项正确"为事件A,

12

"有3个选项正确"为事件4,

若小明选择方案①，

记小明该题得分为X,则X的可能取值为2,3,对应概率为:

21

尸(X=2)=尸(4)=耳,尸(X=3)=尸(/)="

217

故E(X)=2x§+3x§=

3

若小明选择方案②,

记小明该题得分为y,则y的可能取值为。,4,6,对应概率为:

p(y=o)=p(A)x|+p(4)xf=|x|+|xl=|)

p(y=4)=P(4)x|^=|x|=^

p(y=6)=p(A)x|^=|x|=l,

44122

故矶Y)=Ox—+4x—+6x—=——，

L9999

若小明选择方案③，

记小明该题得分为Z,则Z的可能取值为0,6,对应概率为:

C2ClCl1??7

p（z=o）=p（A）x|+p（A）x^=|+|x|=Z,

,,C2717

P（Z=6）=P（y4）x^-=-x-=-.

'732C；339

77174

^£（Z）=0x-+6x-=y=-,

E（Z）＜E（X）＜E（y）,

故以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择方案②.

4.（2024•湖南邵阳,三模）为创造良好的城市消防安全环境，某社区举行"消防安全”答题活动，答题人根据

所获得的分数获得相应的奖品.工作人员给每位答题人提供了A,8两类题目.规定每位答题人共需回答3

道题目.现有两种方案供答题人任意选择：

甲方案：只答A类题目；

乙方案：第一次答A类题目，以后按如下规则答题，每次答对时，则下一次答A类题目，每次答错时，则

下一次答8类题目.

已知A类题目每次答对得40分，答错得0分，3类题目每次答对得30分，答错得0分.若小李每道A类

题目能答对的概率均为不2，每道8类题3目能答对的概率均为（，且每道题能否答对与回答顺序无关.

⑴若小李采用甲方案答题，求他的得分不低于80分的概率；

⑵若想要答题得分的期望值更大，小李应该选择哪种答题方案？

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【答案】⑴示

⑵乙方案

【分析】（1）由独立事件的乘法公式求解即可；

（2）由二项分布求出小李采用甲方案答题的期望E（Y）,若小李采用乙方案答题，则设他的得分为Z,求

出Z的可能取值及其对应的概率，由数学期望公式求出E（z）,由E（y）＜E（z）即可得出答案.

【详解】（1）若"小李采用甲方案答题，求他的得分不低于80分"记为事件E,

则小李至少答对2道A类题目，

所以「（E）=C

（2）若小李采用甲方案答题，设他的得分为丫，则他答对的题数为x,

所以位）=3、|=!

则£（y）=40E（X）=40x|=48,

若小李采用乙方案答题，则设他的得分为Z,Z的可能取值为。,30,40,70,80,120,

尸心昨全再喧…23333236

,尸(Z=7O)=—x_x—I—x_x_=---,

'7555555125

/.22312/.2228

p(Z=80)=-x-x-=——,P(Z=120)=-x-x-=——,

,7555125,7555125

)5|fl?Z£(Z)=0x—+30x—+40x—+70x—+80x—+120x—=

'712512512512512512525

因为E(y)<E(z),

所以小李想要答题得分的期望值更大，应该选择乙方案答题.

考点三、离散型随机变量的方差

典例引领

1.（浙江・高考真题）设则随机变量X的分布列是:

X0a1

11

P1

则当。在（0,1）内增大时

A.D（X）增大B.D（X）减小

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c.O(X)先增大后减小D.D(x)先减小后增大

【答案】D

【分析】研究方差随。变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数。表示，应用函数知识求解.本题

根据方差与期望的关系，将方差表示为。的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注

重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查.

【详解】方法L由分布列得召(X)=芋，则

£>(X)=(--0)++=+g,则当0在(0,1)内增大时，£>(X)先

减小后增大.

方法2：则D(X)=E(X2)一炉(乂)=0+；+；-与"

故选D.

【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力

差，不能正确得到二次函数表达式.

2.(浙江・高考真题)设。<〃<1,随机变量J的分布列如图，则当P在(0,1)内增大时,

自012

1-P]_£

P

227

A.减小B.。侑)增大

C.先减小后增大D.。匕)先增大后减小

【答案】D

【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.

【详解】QEC)=0x-+lxg+2xf=0+:，

℃)=^^(0_p_g)2+：(l_p_g/+g(2-p-：)2=—22+P+；,

Q|e(0,l),回。C)先增后减，因此选D.

【点睛】EC)=£XR,D8=£(x,-E(?)2Pi=Eg

i=li=li=l

3.(2024•河南郑州•模拟预测)某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包.在一个不透明的袋子中

装有〃个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取机个球(mV"),摸完后全部放

回袋中，球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额.

⑴若〃=4,m=2,当袋中的球中有2个所标面值为40元，1个为50元，1个为60元时，在员工所获得的

红包数额不低于90元的条件下，求取到面值为60元的球的概率；

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(2)若力=5,m=4,当袋中的球中有1个所标面值为10元，2个为20元，1个为30元，1个为40元时，求

员工所获得红包数额的数学期望与方差.

【答案】⑴:3

(2)期望为96；方差为104

【分析】(1)记事件A：员工所获得的红包数额不低于90元，事件8：取到面值为60元的球，根据条件

先求P(A),P(M),再利用条件概率公式，即可求解；

(2)由题知X可能取值为80,90,100,110,再求出对应的概率，利用期望和方差的计算公式，即可求解.

【详解】(1)记事件A：员工所获得的红包数额不低于90元，事件8：取到面值为60元的球，

因为球中有2个所标面值为40元，1个为50元，1个为60元，且

40+50>90,40+60>90,50+60>90,所以P(A)=虫与^=二，

C46

又尸(AB)=与=3=，，所以尸(冏4)=^^='=。.

C；62P(A)55

6

(2)设X为员工取得的红包数额，则X可能取值为80,90,100,110,

所以尸(X=80)=击=；,尸(X=90)=：=1，

P(X=100)噌=：,P(X=UO)=W，

1121

所以E(X)=80x1+90x^+100x^+110x1=96,

Ii91

D(X)=(80-96)2x-+(90-96)2x-+(100-96)2x-+(110-96)2x-=104.

4.(2024・湖南・二模)猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A,B,C三首歌曲.

嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才

有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的

概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：

歌曲ABC

猜对的概率0.80.50.5

获得的奖励基金金额/元100020003000

⑴求甲按"A,瓦C”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；

⑵甲决定按"A氏C"或者"C,B,A"两种顺序猜歌名,请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；

为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.

【答案】⑴0.4

(2)期望都是2200,按照"A,B,C”的顺序猜歌名，理由见解析.

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【分析】(1)根据互斥事件和独立重复试验的概率公式即可求解.

(2)先根据题意写出甲决定按"ABC"的顺序猜歌名获得奖金数X的所有可能取值，根据独立重复试验的

概率公式求得每一个X取值对应的概率，由数学期望的计算方法得出矶X)；再同理得出甲决定按

顺序猜歌名的数学期望E(Y)；最后可通过计算、比较方差得出答案或者分析获得0元的概率得出答案.

【详解】(1)由题意可知甲按的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名分两种情况:猜对A2；猜对AB,C,

这两种情况不会同时发生.

设"甲按幺，B,C的顺序猜歌名至少猜对两首歌名"为事件E,

由甲猜对每首歌曲的歌名相互独立可得

P(E)=P[ABC+ABC)=O.8xO.5x(l-O.5)+O.8x0.5x0.5=0.4.

(2)甲决定按"AB,C"顺序猜歌名，获得的奖金数记为X,

则X的所有可能取值为0,1000,3000,6000,

尸(x=0)=1—0.8=0.2,

P(X=1000)=0.8x(l-0.5)=0.4,

P(X=3000)=0.8x0.5x(1-0.5)=0.2

P(X=6000)=0.8x0.5x0.5=0.2

所以E(X)=0*0.2+1000x0.4+3000x0.2+6000x0.2=2200；

甲决定按"C,B,A"顺序猜歌名,获得的奖金数记为y,

则y的所有可能取值为0,3000,5000,6000,

p(y=o)=o.5,

P(Y=3000)=o.5x(l-o.5)=0.25,

=5000)=0.5X0.5x(l-o.8)=0.05

p(y=6000)=0.5X0.5X0.8=0.2

所以E(y)=0x0.5+3000X0.25+5000x0.05+6000x0.2=2200.

参考答案一：由于

D(X)=(0-2200)2x0.2+(1000-2200)2x0.4+(3000-2200)2x0.2+(6000-2200)2x0.2=4560000,

n(y)=(O-2200)2X0.5+(3000-2200)2X0.25+(5000-2200)2x0.05+(6000-2200)2x0.2=5860000,

由于。(y)>o(x),所以应该按照“aB,C〃的顺序猜歌名.

参考答案二：甲按"C,B,A"的顺序猜歌名时，获得0元的概率为0.5,大于按照“A,B,。的顺序猜歌名

时获得。元的概率0.2,所以应该按照“A,B,C”的顺序猜歌名.

其他合理答案均给分

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即时检测

1.(2024•福建泉州•二模)在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1,2,3,4的四个外观相同的空箱子中随

机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是：主持人请

抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得.现有抽奖人甲选择了2号箱，

在打开2号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子.按游戏规则，主持人将随机打开甲选

择之外的一个空箱子，记为X号箱.

⑴求X=1的概率；

(2)求X的方差；

⑶若X=l,现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2号箱，还是改选3号或4号箱？

【答案】吗

(2)—

9

⑶甲应该改选4号或3号箱.

【分析】(1)利用全概率公式计算；

(2)由X可能的取值，求出相应的概率，得分布列，公式法求方差；

(3)计算各箱里有奖品的概率，由结果进行选择.

【详解】(1)设A，4,4，A4分别表示1，2,3,4号箱子里有奖品，

设综星，鸟，田分别表示主持人打开工，2,3,4号箱子，

则。=A4।A3IA4,且A，A4两两互斥.

由题意可知，事件A，&，A，4的概率都是:，尸(即Aj=g,p(即&)=；,p(耳|&)=g,P(BtlA)=o.

41<111A1

由全概率公式，得尸(男)=Z尸(4)尸(即A,)=：K+w+j3.

i=i3zyJ

(2)依题意可得x=1,3,4

P(X=1)=|,同理可得尸(X=3)=P(X=4)=g,

故X的分布列为：

EW=-+3x-+4x-=-