江西省某中学2024-2025学年高二年级上册12月月考数学试题（含答案解析）

江西省上高二中2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

学校:..姓名:.班级:考号:

一、单选题

4兀..兀

1.复数三=cos-----Fism—,则在复平面内Z对应的点位于（）

55

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

直线/:x=cos”尹的倾斜角为（

2.)

712025万2%

A.—B.--------C.D.0

27~T

3.已知三个向量2=（1,1,0）2=（-1,0,2）,工=已2,5）共面,则x=)

91

A.2

A。2B.-c.——D

22-T

4.已知aeR,直线4:ax+y-11=Q的方向向量与直线4：（。+3）尤+4y+16=0的方向向量

共线，则这两条直线之间的距离为（）

A.4B.872C.472D.272

5.如图，一个底面边长为名坛cm的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将一个底面半

3

径为1cm的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm.若

该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（）

22

A.Vn^cmB.47rcmC.3后万cm2D.兀cm2

22

6.已知片名分别为双曲线。：5-与=1（0>0,6>0）的左、右焦点，A为C上的一点，且

ab

4耳，片月,|4片|=4,|耳闯=46,则C的渐近线方程为（）

试卷第1页，共4页

A.y=±V3x

C.y=±V2x

7.过抛物线y2=2/（p>0）的焦点尸作倾斜角为1的直线4交抛物线于43两点，过的

中点C作另一条直线交X轴于点。，若四H。耳，且方3反=3,贝”=（）

8.古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统

称为圆锥曲线.在如图所示的圆锥中，为底面圆的直径，M为PB的中点，某同学用平行

于母线P4且过点M的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高为卢。|=4,

/尸，心，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）

.XM

B.V2C.272

二、多选题

9.如图，已知正方体44GA棱长为2,o,M分别为32，5。的中点，N为线

段2c上的动点，下列选项正确的是（）

A.不存在N使得OD_L"NB.存在N使MN//面44D

C.存在两个N使与工。成60。角D.任意N满足J

112

试卷第2页，共4页

22

10.已知椭圆C:、+==l(a>b>0)的左、右焦点分别为片,与，过月的直线/与C交于

ab

两点，若|工01Mpi：|耳。|=3：5:7,贝！J()

A.PF\LPF]B.△牝[的面积等于笫/

C./的斜率为土由D.C的离心率为1

2

11.已知点。(4,2),直线/:ax+勿+c=0,其中6是存的等差中项，过点尸(-5,6)作直线/

的垂线，垂足为则()

A.直线/过定点B.的最大值为10

C.。〃的最小值为2D.。〃的最大值为11

三、填空题

12.已知直线/与双曲线1-。=1交于A、B两点，且弦的中点为“(3,|[,则直线/的

方程为.

13.在平面直角坐标系xOy中，/。,2),5(2,1),直线x-y+a=0上存在点尸满足转=血,

JFJD

则。的取值范围为.

14.如图，将两个相同的四棱锥A-CDEF与B-CDEF对称摆放组成一个多面体，已知AD1

7T

平面CDEF,四边形CDEF是边长为2的正方形，若平面/跖与平面尸的夹角为,则

该多面体的体积为.

四、解答题

15.(1)求准线为尤=-2的抛物线标准方程；

(2)求中心在原点，焦点在x轴上，渐近线为>=±2'，且实轴长为2的双曲线标准方程.

试卷第3页，共4页

16.已知圆C经过(0,-1),(1,0),(7,0)三点.

(1)求c的标准方程，并说明c的圆心坐标与半径；

⑵过点/(T-3)作圆c的切线/,且直线/的斜率存在，求/的一般式方程.

17.已知椭圆与=l(a>6>0)的长轴长为26，且点在椭圆E上.

ab3

(1)求椭圆£的方程；

(2)设直线夕=履+血与椭圆E相交于不同的两点?和。，当|尸。=百时，求实数上的值.

18.如图，四棱柱-4月中，侧棱42,底面

ABCD,ABHDC,ABLAD,AD=CD=\,/%==2,E为棱的中点.

⑴证明：与G，平面CGE；

⑵求二面角4-CE-G的正弦值；

(3)设点”在线段C|E上，且直线//与平面4DR4所成角的正弦值为需，求线段的

长.

226

19.已知双曲线氏a-%=1(。>0,6>0)的一条渐近线方程为>=三-左、右顶点分别

为A,B,且|AB|=4.

(1)求£的方程；

(2)若点尸为直线x=-l上的一点，直线尸工交E于另外一点M(不同于点8).

13

①记AP/2,的面积分别为H，S2,且H=正■星，求点P的坐标；

②若直线尸8交E于另外一点N,点G是直线上的一点，且OGLMN,其中O为坐标

原点，试判断|/G|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.

试卷第4页，共4页

《江西省上高二口口2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题》参考答案

题号12345678910

答案CACBACBCBDBC

题号11

答案ABD

1.c

jrjr

【分析】利用诱导公式及共甄复数的定义得到2=-3$^7$也\,再根据复数的几何意义判

断即可.

.、4kn、m、r—471..71rr-,.|兀)..兀兀..兀

【详角军】因为z=cos----Fism—,所以z=cos兀--------ism—=-cos—ism—,

71.兀

因为,所以在复平面内Z对应的点.Dili，位于第三象限.

.71八55

sin—>0

5

故选：C

2.A

【分析】根据直线的方程可得出其倾斜角.

【详解】因为直线/：x=cos*X,其中cosW二为常数，故直线/的倾斜角为g.

772

故选：A.

3.C

【分析】根据向量共面设出对应向量关系式，解方程组可求出结果.

x=m—n

【详解】因为，31共面，所以设工=加公+荒，所以2=机,解得x=-g,

故选：C.

4.B

【分析】根据两直线平行可得。的值，再根据平行线之间的距离公式求解即可.

【详解】由题意可得〃4,所以lx(a+3)=ax4,解得。=1,

故两直线方程分另lj为x+y-12=0,尤+y+4=0,

故这两条平行线之间的距离为〃=

故选：B.

答案第1页，共15页

5.A

【分析】由水上升的体积得圆锥体积，然后求得圆锥的高、母线得侧面积.

3

【详解】依题意可得圆锥的体积忆=1、］益誓)=^cm,

又忆=gixl2x〃(cm，(其中〃为圆锥的高)，则〃=4cm,

则圆锥的母线长为炉方=gcm,故圆锥的侧面积为&7碇0?.

故选：A.

6.C

【分析】根据已知条件结合勾股定理和双曲线定义求解出6的值，由此可知渐近线方程.

【详解】因为/片，片为，以用=4,兄4|=46,所以阊=J|/周，闺阊2=8,

所以20=|4鸟|一|“用=4,所以0=2,

又因为闺用=2c=4。，所以c=2百，所以6=后彳=2板,

所以渐近线方程为y=±也x,

故选：C.

【分析】由题意得直线4的方程为>，代入抛物线方程，求出45的坐标，进而

得C,由。闻=。同得。，心可得直线4的方程，可求得。的坐标，由刀.正=3列方程

求出0.

【详解】抛物线产=2Px(p>0)的焦点尸(,。］,

直线4的斜率为勺=tan］=百，则直线4的方程为y=^(x-g,

答案第2页，共15页

3

代入抛物线方程得3X2—5/+：/=o,

即［一言］［3X-3=0,解得芯=1"2=看，

-'*Ji=百（再一9=①,%=6%-1）=-，

.•.衅，居）,8（〉字，

因为/B的中点C,所以c（?+{6。-半）,即，

又|。/|=|。用，.•/2"，.♦.勺A=T,.ML-g,

所以直线4的方程为尸理

令y=o,得尤=），所以。（学,0）,

66

.'.DADC=1-yjx(-p)+&X-^—=92=3,解得p=：.

故选：B.

【分析】先利用中位线计算|。加|=应，结合对称性判断抛物线以0〃为对称轴，焦点在0〃

上，再以顶点为原点建立坐标系，设抛物线标准方程y2=2pMp>0）,根据点在抛物线上

求得参数p即得结果.

【详解】因为”为底面圆的直径，APLPB,\PO\=4,则AP/OQPNB都是等腰直角三角

形.

可求出|尸旬=4女〃是网的中点，O是4B的中点，贝"4P//OM,\OM\=^\AP\=2^2,

答案第3页，共15页

截圆锥平面平行于母线为且过母线P8中点故。在截面上,

根据对称性可知抛物线的对称轴为，焦点在上，

建立以M为原点，■为x轴，过M点的垂线为y轴，

设抛物线与底面交点为E,则/=|0闵=2逝,%=|04=4,

设抛物线为y2=2px(p>0),则16=2px2收,解得p=2为,

即该抛物线焦点到准线x=-^的距离为0,即为2vL

故选：C.

9.BD

【分析】建立空间直角坐标系，设国=4两根据条件，求得N(0,2-242彳),

选项A,通过计算丽.而，即可求解；选项B,易得平面的一个法向量为k=(°』，°)，

利用线面位置关系判断的向量法，即可求解；选项C,求得而=(-1,1-22,22),

^5=(-2,0,0),利用I[COSA«V,ZD|=1,即可求解；选项D,禾IJ用疝=(一1,1一2422),求

2

|+|,即可求解.

得MN8r

因为/(2,0,0),8(2,2,0),加(1,1,0),0(0,0,2),C(0,2,0),

又。为B2的中点，则O(w),

答案第4页，共15页

设函=2函,2e[0,l],又西=（0,-2,2）,

由函=（0,-22,22）,得到N（0,2-2424）,

对于选项A,因为丽=（-1,-1,-1）,丽=（-1,1-2424）,

又历•加=1-1+22-22=0，所以OD_L"N,故选项A错误，

对于选项B,易知平面44。的一个法向量为弁=（01,0）,由选项A知加=（-1,1-2几,2力）,

由丽・万=0，得到1-24=0,解得2=g,

所以当"为。〃中点时，"N//面44D,所以选项B正确，

对于选项C,因为砺=（-1,1一242#,Z5-（-2,0,0）,

I——I\MN-AD\2兀

则由1cosACV,AD\1=J_।_=—/,==cos-,

\MN\-\AD\2』+（1一2犷+4力23

整理得到4万_2彳-1=0,解得2=比5或%=匕或<0（舍去），

44

即存在1个N使AW与AD成60。角，所以选项C错误；

对于选项D,因为加=（-1,1-22,22）,

得旃=^1+（1-22）2+（22）2=A/822-42+2='（九一；]+|>^,

当彳=!时，等号成立，所以选项D正确，

4

故选：BD.

10.BC

【分析】根据线段之间的比例设出边长，依据椭圆的定义得到阳P|的长，结合椭圆的性质

可得到点尸的位置，根据余弦定理可得到选项A,根据三角形的面积公式得到选项B,根据

角度之间的关系以及倾斜角可得到选项C,根据离心率可得到选项D.

【详解】根据园0|：阳尸]：卤0|=3：5:7,设优。|=3也因尸I=5m,\FlQ\=lm,

根据椭圆的定义可得阳。+|40|=3加+7刃=10加=2a,所以.=5加，

^\FxP\+\F1F\=\FiP\+5m=2a=\Qm,所以出尸|=5机，即1Pq=8加，

因为内尸卜闺尸I，所以点P在下顶点或上顶点，如图所示：

答案第5页，共15页

附『+|尸02-相「

25m2+64m2-4921

对于A,cosZFPF=

{22附|尸。2x5mx8m2

所以N甲岑=60。，不能得到尸片，/7"故A错误；

对于B,由A可得N片尸耳=60。，所以5皿/4尸£=事，

2

S.Qg=凡叫T.|sinZF^F2-3/中/向4T/2=1/，

因为。=5加，所以会其根2=力叵/,故B正确；

420

对于C,若点尸在下顶点，则该直线的倾斜角为60。，止匕时斜率为tan60。=石，

若点P在上顶点，则该直线的倾斜角为120。，此时斜率为tan120。=-仃，

所以/的斜率为±若，故C正确；

对于D,在AOPQ中，ZOF2P=60°,ZF2OP^30°,\PF2\=5m=a,

1s9

所以I。工|=彳|咋|="加=',离心率为。_2"[1,故D错误；

22————

"a5m2

故选：BC.

【点睛】方法点睛：(1)椭圆上一点到两焦点的距离和为2。；

(2)椭圆既是轴对称图形又是中心对称图形；

(3)在椭圆中满足/="+。2.

11.ABD

【分析】根据条件得到/：小+£|+扪+2)=0,即可得到直线/过定点£。,-2),即可判

断选项A的正误；再利用尸£，/,可得到点H的轨迹是以PE为直径的圆，结合图形及圆的

性质，即可判断出选项B、C和D的正误.

【详解】因为。是a，。的等差中项，得至同=专，直线/:亦+詈y+c=0,

答案第6页，共15页

即/:q[x++5（y+2）=0,

由2,得到％=l/=-2,所以直线/过定点£（1,-2）,所以选项A正确,

y+2=0

又因为尸〃_L/,又归因=41+5）2+（-2-6『=10,

所以点H的轨迹是以尸E为直径，即以点尸（-2,2）为圆心，5为半径的圆，

方程为"+2『+（尸2『=25,

对于选项B,如图，当尸时，即77与E重合，此时也最大，最大值为|尸闵=10,所以

选项B正确,

又易知，\QF\^4-(-2)-6,\QF\-5<\HQ\<\QF\+5,得到11〃0区11,

所以选项C错误，选项D正确，

故选：ABD.

12.3x-2y-6=0

【分析】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程.

【详解】设/(%,%),B(x2,y2),则玉+尤2=6,y1+y2=3,

[22

江一二=1

又：432，两式相减，

五_区=1

、43

得（%+>2）（再->2）_（必+%）（必一名）=0,

43

即6（x「xJ_3Gf）=o,整理得4=）

43x,-x22

aa

二直线/的方程为y

化简得3x-2y-6=0,

故答案为：3x-2y-6=0.

答案第7页，共15页

13.[-272-3,272-3]

【分析】设点尸(x,y),结合易=也，可得+/=4,即直线x-y+a=O与圆有公

共点，根据圆心与直线的距离可得解.

则E7^1)2+(—『

【详解】设尸(3),

、卢^^(X-2)2+(J-1)2

整理化简得(x-3y+/=4,

PA

若直线x-y+a=O上存在点p满足万万=四r,

即直线》7+。=0与圆(x-3)2+/=4有公共点,

易知圆(x-3)2+/=4的圆心为(3,0),半径为2,

故圆心到直线x-y+a=0的距离4=匕曲(2,

V2

解得-20-35。42vl-3,

故答案为：[-272-3,272-3].

【分析】由题中条件可得。平面N8C,以。为坐标原点，以。，。瓦DE所在直线分别

为x,N,z轴，建立空间直角坐标系，设求出平面4E尸与平面48尸的法向量,

根据题中条件和向量夹角公式求出。，然后利用棱锥的体积公式求解.

【详解】：，平面CDE尸，CD,DEu平面CDEF,：.4D工CD,ADLDE,

又CDIDE,AD[}CD=D,NA,u平面/BC,DE_L平面/BC,

以。为坐标原点，以所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

设AD=DB=a9则。(0,0,0),A(0,—a,2),5(0,a,0),E(0,0,2),F(—2,0,2),

答案第8页，共15页

AF=(-2,a,2\EF=(-2,0,0),A5=(0,2a,0),

设平面AEF的法向量为蔡=(再,必,马),

m-AF=-2xt+ayx+2zt=0

由,令必=2,则Z]=—a,xt=0,m=(0,2,—a)，

m-EF=-2xl=0

设平面43厂的法向量为3=(X2，%,Z2),

n-AB=2ay=0

由,—.?，令々=1,则Z2=L%=°，«=(1,0,1)，

n-AF=-2X2+砂2+2z2=0

TT

若平面/£厂与平面48斤的夹角为I,

则侬台由伍讣,a£

解得a=2,

J/+4X后2

所以该多面体的体积为展2VA_CDEF=2x}CDEFXAD=2X^2X2X2=

故答案为：与.

15.(1)y2=8x；(2)--上=1

4

【分析】(1)根据准线为x=-2,得到p及焦点的位置求解；

22

(2)设双曲线标准方程为=-==1(a>0/>0),根据实轴长为2得到a,再由渐近线

ab

y=±2x求得b即可；

【详解】解：(1)因为准线为x=-2,

所以与=-2,且焦点在x轴的正半轴上，

2

所以抛物线标准方程为/=8x；

22

(2)设双曲线标准方程为4=1(a>0/>0),

ab

由实轴长为2得2a=2,即a=l,

由渐近线歹=±2'得2=2,即6=2,

a

所以双曲线标准方程为/-其=1.

4

16.⑴圆C的标准方程为(x-4『+(y+4)2=25,圆心为C(4,-4),半径r=5

(2)12x—5y—3=0

答案第9页，共15页

【分析】（I）设圆c的一般方程，代入三点坐标，求出圆的一般方程，再化为标准方程.

（2）直线/设点斜式方程，利用圆心到切线的距离等于半径求解.

【详解】（1）由题意可设圆C的一般方程为/+/+瓜+坊+尸=0伊+炉-4尸>0）,

1—E+F=0。=—8

代入三点坐标可得1+。+/=0,解得£=8,

49+7。+/=0[F=7

所以圆C的一般方程为x2+y2-8x+8y+7=0,

则圆C的标准方程为（》-4）2+0+4）2=25,

易得圆心为C（4,-4）,半径r=5.

（2）因为过点/（-1,-3）的切线/的斜率存在,

所以设切线/的方程为了+3=上卜+1）,即依一y+左一3=0,

_|5^+1|17

则圆心C到切线/的距禺"=’,=5解得蚱?,

故/的一般式方程为12x-5y-3=0.

17.（1）£-+/=1

⑵±1

【分析】（1）根据题意可得关于。，b的方程，求解即可；

（2）联立方程，根据A>0求出力的范围，再利用韦达定理和弦长公式列出关于左的方程,

求解即可.

【详解】（1）由题意得：2a=2日所以/=3,

瓜1

点"（3,叱）在椭圆上，所以2+3=1，解得〃=1,

31_

所以椭圆E的方程为：—+/=1.

3

（2）

答案第10页，共15页

直线尸。的方程为：y=kx+41

联立卜]息:亚，消去丁后，得关于》的一元二次方程/+3（丘+收）2=3,

,+3/=3

化简得（1+342）/+6岳r+3=0,

由题意知Ad6j^『-4x3x（l+3左2）=361一12＞0,解得左＜一]或左＞，,

由韦达定理可得再+%=-端，x/Z=o|记，

所以1计行年-止行J盛7-&坨,

所以（1+/）.逆=3,化简得9尸+6左2-15=0,解得左2=1,即后=±1,

l+3W/t2

经检验左=±1符合题意.

18.（1）证明见解析

【分析】（1）以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明

可；

（2）利用向量法求解即可；

（3）设EN=2EC],2e[0,l],再根据线面角利用向量法求解即可.

【详解】（1）如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，

则C（l,0,1）心（0,2,2）6（1,2,1）,£（0,1,0）,

故场=（一1,0,1）,西=（0,2,0）,G=（T,l，T，

答案第11页，共15页

则C|B「CG=O,ClBlCE=O,

所以G4，CG，C4ICE,

又CGnCE=C,CG，CEu平面CCXE,

所以平面CCE；

(2)由(1)得场=(-1,0,1)即为平面CC|E的一个法向量，

西=(-1,2,1),

设平面CE4的法向量为〃=(x,y,z),

n-CE-—x+y-z-0

则有《__.，令x=3,贝ijy=2,z=-l,

n-CBX=-x+2y+z=0

所以5=(3,2,-1),

则辰E讣黑=与，

所以二面角Bt-CE-G的正弦值为J"孚1=浮;

(3)设EN=g"w[0,l],

贝I]屈=诟+屈=赤+(0,1,0>-2(1,1,1>0,2+1,A),

因为z轴垂直平面40n4，

则可取平面40口4的法向量为m=(0,0,1),

则cos(4Vf,加

'1''而眄+9

解得2(九=-二舍去)，

3百

1+-

答案第12页，共15页

=1

19.（I）T4

(2)①(T2)或(-1,-2)；②是，2

【分析】(1)根据条件，直接求出。即可求解;

(2)①设尸(-1,加)，直线P4：>=机卜+2),联立直线与双曲线方程，消夕得到

2222

(3-4m]x-16mx-16m-12=0,进而可得加再结合条件，即可求解；②设

直线y=-^(x-2),联立双曲线方程，求得％=巫二，%=二"二，结合①

327-4m2/-4m

中结果，可求直线跖V的方程，进而判断直线恒过定点〃(-4,0),即可求解.

2a=4,

【详解】(1)由题意知,6V3解得〃=2,b=6,

2'

所以E的方程为二-4=1.

43

(2)由题意可知，力(一2,0),3(2,0),设尸(-1,加)，因为直线P4交E于另外一点M(不

同于点3),

所以加工0,又双曲线的渐近线为了=±3x,故'二9片±0,解得"?3±也,

2-1+222

所以直线产/：曰=卫4，即了=切5+2),

m-0-1+2

[22

土—匕=1

由143,消V得(3—4―卜2一16冽2%一16加2-12=0,

y=加(％+2)

疗28m2+612m

-16-12X=8m+6m

所以-2,xM=解得M所以加=3-4/+

3—4加23-4m23-4m2