离散型随机变量的方差课件高二下学期数学人教A版选择性1

7.3.2离散型随机变量的方差1.离散型随机变量的均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，Xx1x2‧‧‧xnPp1p2‧‧‧pn则称为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.2.均值的性质：3.随机变量X服从两点分布，则有温故知新问题

从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X

和Y

的分布列如下表所示.该如何评价这两名同学的射击水平?X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度.问题探究【思考】你还记得什么是一组数据x1，x2，…，xn的方差吗？

样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的，所以我们可以用所有可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量随机变量的离散程度.Xx1x2‧‧‧xnPp1p2‧‧‧pn设离散型随机变量X的分布列如下表所示.随机变量X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方为(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，‧‧‧，(xn－E(X))2.所以偏差平方的平均值为我们把随机变量X的这个平均值称为随机变量X的方差，用D(X)或Var(X)表示.(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋‧‧‧＋(xn－E(X))2pn.探究新知一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示.Xx1x2‧‧‧xnPp1p2‧‧‧pn则称离散型随机变量的方差：为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称

为随机变量X的标准差，记为σ(X).随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.概念形成问题

从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示.如何评价这两名同学的射击水平?X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03解：∴随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定.问题探究

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分布列——期望——方差在方差的计算中，为了使运算简化，还可以用下面的结论.证明：探究新知

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分布列——期望——方差

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【例1】另解：方差的性质：【思考】离散型随机变量X加上一个常数方差会有怎样的变化?离散型随机变量X乘以一个常数,方差又有怎样的变化?一般地，可以证明下面的结论成立：

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【变式】已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，

则a＝___，b＝___.X－1012Pabc【例3】设随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)1－k(k＝0,1)，求E(X)，D(X)？解:X的所有可能取值有0,1，故X的分布列为:故E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，01∴D(X)＝p2(1－p)＋(1－p)2p＝p(1－p).【变式】若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0<p<1)，用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数，则方差D(X)的最大值为____，此时p＝____.解：随机变量X的所有可能的取值是0,1，并且P(X＝1)＝p，P(X＝0)＝1－p.从而E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，D(X)＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2·p＝p－p2；∵0<p<1：【小结】两点分布：E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).1.离散型随机变量的方差：一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，3.方差的性质