排队论简要知识

排队论简要知识排队论简要知识排队论简要知识排队论的根本概念

排队系统描述根本概念M/M/1模型M/M/S模型人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。排队论的根本概念

排队系统描述根本概念M/M/1模型M/M/S模型第一节排队系统描述顾客－－－要求效劳的对象统称为“顾客〞效劳台－－－把提供效劳的人或机构称为“效劳台〞或“效劳员〞

各种形式的排队系统

各种形式的排队系统各种形式的排队系统各种形式的排队系统各种形式的排队系统随机效劳系统排队论所要研究解决的问题

面对拥挤现象，人们通常的做法是增加效劳设施，但是增加的数量越多，人力、物力的支出就越大，甚至会出现空闲浪费，如果效劳设施太少，顾客排队等待的时间就会很长，这样对顾客会带来不良影响。如何做到既保证一定的效劳质量指标，又使效劳设施费用经济合理，恰当地解决顾客排队时间与效劳设施费用大小这对矛盾，就是随机效劳系统理论——排队论所要研究解决的问题。第一节根本概念；

一、排队系统的描述二、排队系统的主要数量指标一、排队系统的描述

(一)系统特征和根本排队过程(二)排队系统的根本组成局部〔三)排队系统的描述符号(一)系统特征和根本排队过程相似的特征及数学抽象：(1)请求效劳的人或者物——顾客；(2)有为顾客效劳的人或者物，即效劳员或效劳台；(3)顾客到达系统的时刻是随机的，为每一位顾客提供效劳的时间是随机的，因而整个排队系统的状态也是随机的。(一)系统特征和根本排队过程

根本排队过程可以用图6—6表示。从图6—6可知，每个顾客由顾客源按一定方式到达效劳系统，首先参加队列排队等待承受效劳，然后效劳台按一定规则从队列中选择顾客进展效劳，获得效劳的顾客立即离开。(二)排队系统的根本组成局部

排队系统由3个局部组成1、输入过程2、效劳规则3、效劳台1．输入过程

这是指要求效劳的顾客是按怎样的规律到达排队系统的过程，有时也把它称为顾客流。一般可以从3个方面来描述—个输入过程。(1)顾客总体数，又称顾客源、输入源。这是指顾客的来源。顾客源可以是有限的，也可以是无限的。(2)顾客到达方式。这是描述顾客是怎样来到系统的，是单个到达，还是成批到达。(3)顾客流的概率分布，或称相继顾客到达的时间间隔的分布。这是求解排队系统有关运行指标问题时，首先需要确定的指标。顾客流的概率分布一般有定长分布、二项分布、泊松流(最简单流)、爱尔朗分布等假设干种。2．效劳规则

这是指效劳台从队列中选取顾客进展效劳的顺序。一般可以分为损失制、等待制和混合制等3大类。(1)损失制。这是指如果顾客到达排队系统时，所有效劳台都被先到的顾客占用，则他们就自动离开系统永不再来。2．效劳规则(2)等待制这是指当顾客来到系统时，所有效劳台都不空，顾客参加排队行列等待效劳。等待制中，效劳台在选择顾客进展效劳时常有如下四种规则：1)先到先效劳。按顾客到达的先后顺序对顾客进展效劳。2)后到先效劳。3)随机效劳。即当效劳台空闲时，不按照排队序列而随意指定某个顾客承受效劳。4)优先权效劳。2．效劳规则(3)混合制这是等待制与损失制相结合的一种效劳规则，一般是指允许排队，但又不允许队列无限长下去。具体说来，大致有三种：1)队长有限。当排队等待效劳的顾客人数超过规定数量时，后来的顾客就自动离去，另求效劳，即系统的等待空间是有限的。2)等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间不超过某一给定的长度T，当等待时间超过T时，顾客将自动离去，并不再回来。3)逗留时间(等待时间与效劳时间之和)有限。3．效劳台

(1)效劳台数量及构成形式。从数量上说，效劳台有单效劳台和多效劳台之分。从构成形式上看，效劳台有：①单队—－单效劳台式；②单队-－多效劳台并联式;③多队—－多效劳台并联式；④单队—－多效劳台串联式；⑤单队—－多效劳台并串联混合式，以及多队多效劳台并串联混合式等等。(2)效劳方式。这是指在某一时刻承受效劳的顾客数，它有单个效劳和成批效劳两种。(3)效劳时间的分布。在多数情况下，对每一个顾客的效劳时间是一随机变量。〔三)排队系统的符号表述

描述符号：①/②/③/④/⑤/⑥

各符号的意义：①——表示顾客相继到达间隔时间分布，常用以下符号：M——表示到达的过程为泊松过程或负指数分布；D——表示定长输入；EK——表示K阶爱尔朗分布；G——表示一般相互独立的随机分布。

各符号的意义:

②——表示效劳时间分布，所用符号与表示顾客到达间隔时间分布一样。③——表示效劳台(员)个数：“1〞表示单个效劳台，“s〞(s>1)表示多个效劳台。④——表示系统中顾客容量限额，或称等待空间容量。如系统有K个等待位子，则，0<K<∞，当K=0时，说明系统不允许等待，即为损失制。K=∞时为等待制系统，此时一般∞省略不写。K为有限整数时，表示为混合制系统。各符号的意义：⑤——表示顾客源限额，分有限与无限两种，∞表示顾客源无限，一般∞也可省略不写。⑥——表示效劳规则，常用以下符号FCFS：表示先到先效劳的排队规则；LCFS：表示后到先效劳的排队规则；PR：表示优先权效劳的排队规则。各符号的意义：例如，某排队问题为M／M／S／∞／∞/FCFS，则表示顾客到达间隔时间为负指数分布(泊松流)；效劳时间为负指数分布；有s(s>1)个效劳台；系统等待空间容量无限(等待制)；顾客源无限，采用先到先效劳规则。某些情况下，排队问题仅用上述表达形式中的前3个符号。例如，某排队问题为M／M／S，如不特别说明则均理解为系统等待空间容量无限；顾客源无限，先到先效劳，单个效劳的等待制系统。二，排队系统的主要数量指标

描述一个排队系统运行状况的主要数量指标有：1．队长和排队长(队列长)队长是指系统中的顾客数(排队等待的顾客数与正在承受效劳的顾客数之和)；排队长是指系统中正在排队等待效劳的顾客数。队长和排队长一般都是随机变量。二、排队系统的主要数量指标

2．等待时间和逗留时间从顾客到达时刻起到他开场承受效劳止这段时间称为等待时间。等待时间是个随机变量。从顾客到达时刻起到他承受效劳完成止这段时间称为逗留时间，也是随机变量。3.忙期和闲期忙期是指从顾客到达空闲着的效劳机构起，到效劳机构再次成为空闲止的这段时间，即效劳机构连续忙的时间。这是个随机变量，是效劳员最为关心的指标，因为它关系到效劳员的效劳强度。与忙期相对的是闲期,即效劳机构连续保持空闲的时间。在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。二、排队系统的主要数量指标

4．数量指标的常用记号(1)主要数量指标L——平均队长，即稳态系统任一时刻的所有顾客数的期望值；Lq——平均等待队长，即稳态系统任一时刻等待效劳的顾客数的期望值；W——平均逗留时间，即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客逗留时间的期望值；Wq——平均等待时间，即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客等待时间的期望值。

4．数量指标的常用记号

(2)其他常用数量指标s——系统中并联效劳台的数目；λ——平均到达率；1／λ——平均到达间隔；μ——平均效劳率；1/μ——平均效劳时间；N――稳态系统任一时刻的状态〔即系统中所有顾客数〕；U――任一顾客在稳态系统中的逗留时间；Q――任一顾客在稳态系统中的等待时间；(2)其他常用数量指标

(2)其他常用数量指标ρ——效劳强度，即每个效劳台单位时间内的平均效劳时间，—般有ρ=λ／(sμ)，这是衡量排队系统繁忙程度的重要尺度，当ρ趋近于0时，说明对期望效劳的数量来说，效劳能力相对地说是很大的。这时，等待时间一定很短，效劳台有大量的空闲时间；如效劳强度ρ趋近于1，则效劳台空闲时间较少而顾客等待时间较多。我们一般都假定平均效劳率μ大于平均到达率λ，即λ/μ<1,否则排队的人数会越来越多，以后总是保持这个假设而不再声明。李特尔公式

在系统到达稳态时，假定平均到达率为常数λ，平均效劳时间为常数1/μ，则有下面的李特尔公式：L=λWLq=λWqW=Wq+1/μL=Lq+λ/μ排队系统运行情况的分析

排队系统运行情况的分析，就是在给定输人与效劳条件下，通过求解系统状态为n(有n个顾客)的概率Pn，再进展计算其主要的运行指标：①系统中顾客数(队长)的期望值L；②排队等待的顾客数(排队长)的期望值Lq；③顾客在系统中全部时间(逗留时间)的期望值W；④顾客排队等待时间的期望值Wq。第二节M／N／1模型

模型的条件是：1、输入过程――顾客源是无限的，顾客到达完全是随机的，单个到来，到达过程服从普阿松分布，且是平稳的；2、排队规则――单队，且队长没有限制，先到先效劳；3、效劳机构――单效劳台，效劳时间的长短是随机的，服从一样的指数分布。对于M／ M／1模型有如下公式：

例1某医院急诊室同时只能诊治一个病人，诊治时间服从指数分布，每个病人平均需要15分钟。病人按泊松分布到达，平均每小时到达3人。试对此排队队系统进展分析。解对此排队队系统分析如下：〔1〕先确定参数值：这是单效劳台系统，有：

故效劳强度为：〔2〕计算稳态概率：

这就是急诊室空闲的概率，也是病人不必等待立即就能就诊的概率。

而病人需要等待的概率则为：

这也是急诊室繁忙的概率。

〔2〕计算系统主要工作指标。

急诊室内外的病人平均数：

急诊室外排队等待的病人平均数：

病人在急诊室内外平均逗留时间：

病人平均等候时间：

〔4〕为使病人平均逗留时间不超过半小时，则平均效劳时间应减少多少？

由于

代入λ=3，解得μ≥5，平均效劳时间为：

15－12＝3min

即平均效劳时间至少应减少3min

(5)假设医院希望候诊的病人90%以上都能有座位,则候诊室至少应安置多少座位

设应该安置χ个座位,加上急诊室的一个座位,共有χ+1个。要使90%以上的候诊病人有座位，相当于使“来诊的病人数不多于χ+1个〞的概率不少于90%，即

两边取对数

〔x＋2〕lgρ≤lg0.1

因ρ<1，故

所以ⅹ≥6

即候诊室至少应安置6个座位。

第三节

M/M/S模型

此模型与M/M/1模型不同之处在于有S个效劳台，各效劳台的工作相互独立，效劳率相等，如果顾客到达时，S个效劳台都忙着，则排成一队等待，先到先效劳的单队模型。整个系统的平均效劳率为sμ，ρ*＝λ/sμ，〔ρ*<1〕为该系统的效劳强度。1、状态概率2、主要运行指标

3、系统状态N≥S的概率例2承接例1，假设医院增强急诊室的效劳能力，使其同时能诊治两个病人，且平均效劳率一样，试分析该系统工作情况，并且，例1、例2的结果进展比较。

解这相当于增加了一个效劳台，故有：S=2,λ=3人/h，μ=4人/h病人必须等候的概率,即系统状态N≥2的概率：

表6－1两个系统的比较指标S=1系统S=2系统P（Q>0）0.750．20Lq2.25人0．12人L3人0．87人W60min17．4minWq45min2．4min例3某医院挂号室有三个窗口，就诊者的到达服从泊松分布，平均到达率为每分钟人，挂号员效劳时间服从指数分布，平均效劳率每分钟04人，现假设就诊者到达后排成一队，依次向空闲的窗口挂号，显然系统的容量和顾客源是不限的，属于M/M/1型的排队效劳模型。求：该系统的运行指标

解

如果在例3中，就诊者到达后在每个挂号窗口各自排成一队，即排成3队，且进入队列后不离开，各列间也互不串换，这就形成3个队列，而例3中的其它条件不变。假设每个队列平均到达率相等且为：

λ1＝λ2＝λ3＝0.9/3＝0.3〔人/分钟〕

这样，原来的M/M/3系统就变成了3个M/M/1型的子系统。

现按M/M/1型计算主要运行指标，并与上面的例子进展比照分析，结果见表6－2

表6－2两个模型的比较指标（1）M/M/3型（2）M/M/1型挂号间空闲的概率0.07480.25（各子系统）就诊者必须等待的概率P(N>3)=0.570.75平均队