广东省三校2025届高三年级下册二月第一次模拟考试数学试题（解析版）

广东省三校2025届高三下学期二月第一次模拟考试

数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是

符合题目要求的.

2

----二I-

1.已知i是虚数单位，复数z满足3-',贝i]z=（）

A.-l+3iB.-l-3iC.l+3zD.l-3i

【答案】D

【解析】因占=，所以z=i（3—z）=l+3i,所以£=1—33

故选：D.

2.函数〃%）=2三+3]—7的一个零点所在的区间是（）

A.（0,1）B,（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】B

【解析】>=2%3和丁=3%-7都是增函数，所以函数/（%）=2%3+3%—7为增函数，

且/⑼=—7<0,/（1）=2+3-7=-2<0,/（2）=16+6-7=15>0,

/（1）/（2）<0,所以函数在区间（1,2）存在唯一零点，所以函数/（x）的一个零点所在区

间为（1,2）.

故选：B.

22

3.已知尸为椭圆C:二+==l（a〉6〉0）上一动点，耳、£分别为其左右焦点，直线尸耳

ab

与C的另一交点为A,^APF2的周长为16.若PFi的最大值为6,则该椭圆的离心率为

（）

1112

A.-B.-C.-D.一

4323

【答案】C

4a=16

【解析】设椭圆的半焦距为J则由题设得｛

a+c-b

a=4c1

解得｛c，所以椭圆的离心率为e=—=—.

c=2a2

故选：C.

4.某医院对该院历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重X服从正态分布

),若P(X>/)=0.3,则P(X>7—

【答案】B

【解析】因为X~N（3.5,cr2）,所以正态曲线关于直线X=3.5对称，且J+7-匕3.5,

所以P（X>t）=P（X<7—f）=0.3,所以尸（X>7—。=1—尸（X<7—7）=1—03=0.7.

故选：B.

5.若一扇形的圆心角为72。，半径为20cm,则扇形的面积为（）

A.4071cmB.SOjrcm

C.40cmD.80cm

【答案】B

27r

【解析】扇形的圆心角为72°=彳，半径为20cm,

则扇形的面积S=—x—x202=SOncm2.

25

故选：B.

6.三棱锥P—ABC中，AC±BC,R4,平面ABC,AC=BC=2,PA=4,则直

线PC和直线AB所成的角的余弦值为（）

3M

10

【答案】C

如图，将三棱锥F-ABC放到长方体中，由题意知，PC//DA,所以NDBA或其补角

是直线PC和直线所成角，

因为AC=5C=2,PA=4,所以A3=2夜，DB=A/42+22=2^/5-

2

DA二ER，c“加巴’4=①

2x2V5x2V210

故选：C.

7.六氟化硫，化学式为SR,在常压下是一种无色、无味、无毒、不燃的稳定气体，有良

好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面

体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示.若此正八面体的棱长为2,则下列说法正

3

B.正八面体的表面积为8G+4

64兀

C.正八面体的外接球体积为——

3

R

D.正八面体的内切球表面积为中7r

【答案】D

把正八面体补形为如图所示正方体，因为正八面体棱长为2,则正方体的棱长为2夜

选项A,正八面体的体积V=2%_EFGH，设四棱锥人-EFGH的高为〃，

则力=；MN=&,所以V=2%_EFGH=2X：SEFGH"=|x4x0=手，A错误;

选项B,正八面体的表面积为八个面面积和，故S=8x且x4=8g，B错误；

4

选项c,正八面体的外接球半径为正方体棱长的一半，故E=

所以外接球体积V=g〃R3=g万(后)3=空"，C错误；

选项D,设内切球半径为厂，则根据正八面体体积相等，V=；s表厂=86厂=半，

所以厂=逅所以内切球表面积为S=4〃/=..D正确.

33

故选：D.

8.己知曲线y=/(x)在％=5处的切线方程是y=-2x+8,则/(5)与/'⑸分别为

()

A.3,3B.3,—1

C.—1,3D.-2,—2

【答案】D

【解析】由题意得/(5)=-10+8=-2,/f(5)=-2.

故选：D.

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若2匕csin2A=/+c?—/，则A

的大小可能为()

兀兀兀5兀

A.—B.-C.-D.—

6326

【答案】ACD

T22_2

【解析】依题可得sin2A=-----———=cosA,即2sinAcosA=cosA,贝UcosA=0

2bc

或sinA=g，因为A£(0,TI),所以A=P或△或”.

2626

故选：ACD.

winY

10.已知函数/(x)=--------,则()

2+cos2%

A.是奇函数

B./(x)是周期函数

C.VxeR,/(x)<g

D./(x)在区间内单调递增

【答案】ABD

sinY

【解析】易知/(力=---------的定义域为R,

2+cos2x

sin(-x)-sinx

又/(-力=

2+cos(-2x)2+cos2x=—

所以/(%)是奇函数，A正确;

/、sin(x+2TI)S1DX

由/(x+2兀)=-----J——J*(X),

2+cos2(x+2兀)2+cos2x

所以/(x)是周期函数，B正确;

.兀

/\sm-］

由/⑶5=-2-+--c-o-s-/2x|■、=2'—1=.C错误；

当时，y=sin%e(O,l),且单调递增，

此时，2%£(0,兀)时，y=2+cos2x£(l,3),且单调递减，

所以函数/(X)在，?上单调递增，

又由“X)是奇函数，所以函数/(外在上单调递增，

所以了(%)在区间［一］，］］内单调递增，D正确.

故选：ABD.

11.我们知道，函数y=/(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数

y=/(x)为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成

中心对称图形的充要条件是函数y=/(x+a)-6为奇函数.现已知函数

〃x)=ax+'+a,则下列说法正确的是()

x-1

A.函数y=/(x+l)—2〃为奇函数

B.当。＞0时，/(力在上单调递增

C.若方程/(尤)=0有实根，则ae(—。,0)31,+司

D.设定义域为R的函数g(x)关于(1,1)中心对称，若a=g,且/(力与g(x)的图象共

有2022个交点,记为4=1,2,…,2022),则(石+%)+(%+%)+…+(3<E2+'2022)

的值为4044

【答案】ACD

【解析】对于A：y(x+1)—2a=a(x+l)n------------Fa—2<J=ax—

由解析式可知y=依+，是奇函数，故A正确；

X

/3)=315

对于B：特殊值法/(51—54+、+口―5。+/,/(2)=2«+—+a=3a+\

2-2-1

即/1|]一/(2)=1-/若0<a<2,则/(力在(1,+<句上不是单调递增，故B错误.

对于C:令/(X)=以+—一+。=0,分离参数后a=—二，(1-x2)e(-00,0)0(0,1]

x11x

1

故e(-<x),0)u[l,+oo),C正确;

1-x2

对于D:由A可知，当a=g时，“X)关于(1/)中心对称，且g(x)关于(1,1)中心对称,

所以这2022个交点关于(1,1)对称，

故(石+w+…+Wo22)+(X+%+…+%022)=2022+2022=4044,D正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

2

12.VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,J已知Z?=3,c=2,cosA=-,

3

贝Ia=.

【答案】b

2

【解析】Z?=3,c=2,cosA=—,

3

9

：•由余弦定理可得：/=方2+/_2Z?ccosA=32+22—2x3x2x—=5，

3

「・解得：a=A/5•

故答案为：由.

13.在(x—1)4—(x—1)5+(x—1)6—(x—1)7的展开式中，含了3的项的系数是.(用数

字作答)

【答案】-69

[解析](X—1)4—(X—I)，+(X—1)6—(X—1)7的展开式中，

含/的项的系数是_C；_C；_C：_C；=_4_10_20_35=_69.

故答案为：-69.

14.若圆f+y2+6x—8y+25=4与％轴相切，则实数4的值是.

【答案】16

【解析】由一+丁+6%—8y+25=2,可得(x+3>+(y—4)2=4,

方程表示圆，则可得圆心为(-3,4),半径为J5(九>0),

由圆与x轴相切，则可得曰=样，解得4=16.

故答案为：16.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(x)=在％=e处取到极值.

(1)求加的值；

(2)当1>1时，证明/(x)+12+g]x〉2x-2；

(3)如果s,t,厂满足|s-r|W|"r|,那么称$比f更靠近r，当。之2且时，试比

e

较一和e%T+a哪个更靠近Inx,并说明理由.

x

(1)解：由/(x)=(x+加)lnx—[加+l+']x,

求导f\x)=%+m+lnx-^m+l+-^,

由/''(6)=0,则------m——=0,解得：机=1,加的值为1；

ee

(2)证明：由题意可知：不等式左边为(x+l)lnx,

设“(x)=Inx——~,贝I]h'(x)="02.

x+1x(x+l)

'：X>1,，”(x)>0恒成立，

在(l,+8)单调递增;

/./z(x)>/z(l)=O,

A(x+l)lnx>2x-2,

e

(3)解：设7(x)=——Inx,q{x}-ex-1+a-In%,

x

Vp,(x)=-^-^<0,q'(x)=ex~1--,

%x

...p(x)在xe[1,+00)上为减函数，

又p(e)=0,

二当iWxWe时,p(x)>0；

当％〉e时，p(x)<o.

•.,4’(无)在尤6口,+00)上为增函数，

又/⑴=0,

xe[1,+00)时，q'(x)>0,

q(x)在xe[l,+co)上为增函数，

/.q(x)>q⑴=a+1>0.

①当iWxWe时，

e

Ip(x)|-|9(X)I=p(x)-q(x)=一—e'T_a,

X

设m(x)=--e'T-a,则m'(x)=--■一ex-1<0,

xx

：.加(%)在X£[l,+oo)上为减函数，

m(x)<m(l)=e-l-af

：.a>2,/.m(x)<0,A|p(x)|<|^(x)|,

—比ex~x+a更靠近Inx.

x

②当x>e时，

e

|p(x)|-1q(x)\=-p(x)-q(x)=----i-21nx-ex~l-a<21nx-ex-1-a,

%

।2

设〃(％)=21nx——a,则〃'(冗)=—e*T,

令厂(x)二——e'T,则/(x)=——2~eXi<.，

XX

2

.•.(%)单调递减，r(x)<r(e)=——ee-1<0,

e

「.〃(%)单调递减，

H(X)<n(e)=2—a—ee~l<0,

xx

|/?(x)|<|^(x)|,-比e-+a更靠近Inx.

X

e

综上，在。之2,时，一比e'T+a更靠近Inx.

x

16.某运动产品公司生产了一款足球，按行业标准这款足球产品可分为一级正品、二级正品

、次品共三个等级.根据该公司测算：生产出一个一级正品可获利100元，一个二级正品可

获利50元，一个次品亏损80元.该运动产品公司试生产这款足球产品2000个，并统计了

这些产品的等级，如下表：

等级一级正品二级正品次品

频数1000800200

(1)求这2000个产品的平均利润是多少；

(2)该运动产品公司为了解人们对这款足球产品的满意度，随机调查了100名男性和100

名女性，每位对这款足球产品给出满意或不满意的评价，得到下面的列联表：

满意不满意总计

男性3268100

女性6139100

总计93107200

问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为男性和女性对这款足球产品的评价有

差异？

n(ad-be)?

附：K~=其中〃=a+〃+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

解：⑴依题意可得平均利润为山吧°°°+5°2°+2«刈=62（元）.

2000

（2）假设〃°：男性和女性对这款足球产品的评价无差异,

200x(32x39—61x68)2

依题意可得K?«16.903>10.828,

100x100x93x107

所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为男性和女性对这款足球产品的评价有差

异.

17.已知数列｛4｝的前〃项和为an+l-Sn^n.

U）当/为何值时，数列｛4+1｝是等比数歹！J?

（2）设数列也｝的前〃项和为（，4=1,点（&”北）在直线上==上，在（］）

n+\n2

byb?h、9

的条件下,若不等式肃…+m-对于“eN*但成立，求实

2+2an

数加的最大值.

解：（1）由明+|-S“=”，得a”-S,i="-1（"22）,

两式相减得an+l-a„-(S“—S,i)=1,即a.+i=2a,+1,

所以a“+i+1=2(a„+1)(〃22),

由q=f及an+l-Sn=n,得4=f+1，

因为数列｛4+i｝是等比数列，所以只需要''=F=2,解得/=0,

此时，数列｛4+1｝是以4+1=1为首项，2为公比的等比数列

（2）由（1）得4=2'T—1,因为点（4+1,7；）在直线4―2==上，

n+1n2

所以工±1__"1

n+1n2

故是以彳=1为首项'十为公差的等差数列,

n2

所以雹=及罗

n(ji+V)(n—l)n

当“22时，b=T-T_----------------二n,

nnnx22

4=1满足该式，所以句=〃,

b,bb

不等式-^―+——2+...+-n-

Q]+1%+14+12+2ati

23n9

即1+”+...H------2m------

2a2n

令R”=1-1----1----7+•••■!-------r,

"2222'i

nl1„123n

贝！J—R-1—7H—T+…H----，

222223T

n

1-

两式相减得(1—=1+1-+111n2n小〃+2

-7—r+…+——=2--------

2n222232"T―2”―12"2n

i----

2

n+2

所以凡=4—

2”T

92〃一5

由R>m----恒成立，即4---------->m恒成立,

nT2"

又/[--22〃"+一132n—52n—7

2〃2n+1

2n-52n-5

故当“W3时,A4--------单-调递减；当八时,A4--------单-调递增,

2nT

2x3-5312x4-561

当〃=3时，4-一；当p九=4时，4-

2382416

2n-5的最小值为?，

贝!]4-

2"16

所以实数加的最大值是生

16

18.已知圆尸的圆心坐标为(1,0),且被直线x+y-2=0截得的弦长为应.

(1)求圆产的方程;

(2)若动圆M与圆尸相外切，又与y轴相切，求动圆圆心M的轨迹方程;

(3)直线/与圆心〃轨迹位于y轴右侧的部分相交于A,3两点，且近.砺=—4,证明

直线/必过一定点，并求出该定点.

解：(1)设圆尸的方程为(x—ly+V=/,r>0)

由圆心到直线x+y—2=0的距离为4=|1+^21=5,

由弦长公式可得、历=2小户一；，解得厂=1,

可得圆产的方程为(x-ir+y2=i；

(2)设刊的坐标为《y),由动圆M与圆尸相外切，又与V轴相切，

J(x-1)2+/=l+|x|>

当xN0,y2=4x；当x<0,y=0,

故可得动圆圆心M的轨迹方程为/=©或y=0(xV0)；

(3)设/：%=。+匕代入抛物线丁=4x,消去x得丁-4什-46=0,

设4&,必），3（%,%），则%+%=射，%%=-伤，

OAOB=+%%=（，+》）（物+》）+%%

=/%%+罚（％+%）+°?+%％

=-Abt1+4bt2+b2-4b=b2-4b-

令Z?2—4b=—4，b1—4b+4=0，Z?=2,

直线/过定点(2,0).

22

19.平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：与=1(。>〃>0)左、右焦点分别为

CTb1

耳，F2,离心率为经过片且倾斜角为。(0<^<|)的直线1与C交于A,B两点

(其中点A在x轴上方)，且△ABB的周长为8.现将平面xoy沿x轴向上折叠，折叠后

A,B两点在新图象中对应的点分别记为4，B1,且二面角A-耳耳-耳为直二面角，如

图所示.

y>

折叠前折叠后

(1)求折叠前c的标准方程;

JT

(2)当。时，折叠后，求平面44耳与平面448夹角的余弦值;

(3)探究是否存在。使得折叠后的周长为5?若存在，求tan。的值；若不存

在，说明理由.

c_1

a2a=2

解：（1）由题意得：［4。=8解得"=

a=b2+c2C=1

故折叠前椭圆c的标准方程上+X=1.

43

(2)当6=1时，直线/的方程为：y=g(x+l),

"22

土+匕=1(83

联立<43,解得A(0,6B-----,

J=73(X+1)IJ

以原来的x轴为y轴，y轴正半轴所在直线为z轴，y轴负半轴所在的直线为了轴建立空

间直角坐标系，如图所示，则：

(ahg、

A倒,o,6),B}-^-,--,0,^(o,-i,o),月(o,i,o),

I55,

故耳瓦=邛，专,0,，国，

设平面的法向量为加=(x,y,z),则

飞613八

ih-F2Bx=0---x----y=0

___.,即V55

m-FA=0

2i—y+y/3z=0

取)=也，则*=,，z=l,故比=恻=+3+1=.

平面用公工的一个法向量为为=M=仅,0,6),

__沅•拓63ji5^

；

,,cosm,n=-=i------------=----2--0-5----

故|m||n|回x和•

3

设平面用耳身与平面鸟的夹角为a,贝iJcosa=|cos玩，司=之也更.

-11205

即平面耳耳玛与平面44g所成角的余弦值为之也变.

205

由三维空间三角形面积的计算公式可得

_1181169x