山东省日照市2025届高三年级下册校际联合考试数学试题（含答案）

参照秘密级管理★启用前试卷类型：A

日照市2025届高三下学期校际联合考试

数学

2025.2

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合/={xlx〉l},8={x[—2<x<2},贝（）

A.（-0）,2）B.（l,2]C.（-2,l）D.（-2,l]

2.己知等差数列{%}中，a2+a4=6,则%+%+%=（）

A.15B.9C.3^6D.5痴

3.“。=1”是“复数S（aeR）为纯虚数”的（）

1-1

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D,既不充分也不必要条件

4.已知a是第一象限角，且5也£+（：05。=3（：05（/12111,则sin[a+的值为（）

D.竽

A石R275「亚

A.------D.--------------C.----------

555

12

5.点幺（2,1）在直线/:加x+町=1上,且加〃>0,则—I■—的最小值为（）

mn

A.4B.6C.8D.10

6.定义在R上的函数了=/（x）满足以下条件：①/（-x）-/（x）=0；②对任意再,々e[0,+"）,当

工尸马时都有用上/应〉0.则/（一^），/（兀），/（一3）的大小关系是（）

X]一/'/

A./(TT)>/(-3)>/(-V5)B./W>/(-V5)>/(-3)

C./(TT)</(-3)</(-V5)D./(TI)</(-V5)</(-3)

7.高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检

即可进入.现有三男三女六位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有

(

A.66种B.93种C.195种D.273种

8.已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4,高为3百.若该圆台内有一个球，则该球的表面积的最大

值为()

八64兀C27兀D.吟

A.9兀B.------

3

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/(x)=sin2x+；,则下列说法中正确的有()

A./(x)的图象关于直线x=-对称

6

B./(x)的图象关于点对称

C./(x)在［-上单调递增

D.若/(石)—/(%)=2，贝1」年一马|的最小值为］

10.下列说法正确的是()

A.已知扇B为非零向量，若忖+,〉卜—可，则璃B的夹角为锐角

B.［x—展开式中的常数项为-20

223

C.若方程一一+「=1表示椭圆，则根〉一

2m-3m+12

D.点尸在直线x-y-l=Q上运动，Z(2,3),3(2,0),|尸国—|尸耳的最大值是亚

11.已知点集C={(xj)l(x—cos。/+(y—sin8)2=4,0W8W。},其部分图形如图中阴影所示，图形将

平面剩余部分分成内外两部分（空白区域），下列说法正确的是（

A.图形内部空白区域的面积最小值为兀

B.图形上的点到原点的最小距离为注

2

C.当°=万时，图形关于歹=一》对称

D.当。=兀时，图形内外边界的长度和为8兀

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知函数/（x）='y]l°xg<3（1x+8）,H'则/⑴+〃-1）=------------♦

13.已知函数/（力=反，的图象关于点尸对称，则点尸的坐标为.

14.设片，片分别为双曲线C：=-£=1（。>0力〉0）的左、右焦点，过用且斜率为-姮的直线/与C

ab5

的右支交于点与C的左支交于点8,点。满足丽=；诙，丽•1万=0,则双曲线C的渐近线方程

为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.（13分）

c

在V48C中，角4民。的对边分别为“c,J.V3CSIIL4=2ocos2—.

2

（1）求角C；

n

（2）若。为边ZC上一点，且BD=BC=4AB=1，求4D的值.

3

16.（15分）

近期根据中国消费者信息研究报告显示，超过40%的消费者更加频繁地使用网上购物，某网购专营店统

计了2025年1月5日到9日这5天到该专营店购物的人数歹和时间第X天间的数据，列表如下:

X12345

y75849398100

（1）由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数》和时间第X天之间的关系？若可用，估

计1月10日到该专营店购物的人数；若不可用，请说明理由（人数用四舍五入法取整数，若相关系数

网＞0.75,则线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合，厂精确到0.01）；

（2）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案.方案一：购物金额每满100元可减5元；方案二：一次

性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为1,且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中

4

奖两次打8折，中奖三次打6折.某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期

望的角度分析选哪种方案更优惠.

参考数据：74340«65.88.

附：相关系数.二］日"，b=上，-------------,a=bx.

作（xT）E（B一寸石―寸

VZ=1z=l1=1

17.（15分）

已知数列｛%｝为等差数列，且满足的,=2%+l（〃eN+）.

（1）若q=1,求数列］」一的前〃项和S”；

（2）若数列也"｝满足24+%=姑2,且数列｛%。｝的前及项和1=（3〃-4）2+1+8,求数列｛4｝的

通项公式.

18.（17分）

已知函数/（x）=axlnx.

（1）当a＞0时，讨论函数/（x）的单调性；

（2）当0＜。＜2时，若曲线/（x）上的动点尸到直线2x—歹―lle=0距离的最小值为2石e（e为自然

对数的底数）.

①求实数。的值；

②求证：/（x）＜eA+cosx-2.

19.（17分）

已知在四面体产一/BC中，g（:1,2,3,…,6）分别为所在棱的中点，如图所示.

（1）证明：£]/〃平面P5C；

（2）若用E2，E3E4，E5E6两两垂直，则称四面体尸-48C为“斜垂四面体”.

①在斜垂四面体尸-4BC中，若£]£2=1，£3£4=2,£5纥=3,求直线产/与平面所成角的正弦

值；

②在空间直角坐标系。-xyz中，X。平面内有椭圆。：乙+一=1,直线歹=依-1与。交于2,8两点.

2

尸为空间中一点，若尸-480为斜垂四面体，求其外接球表面积S的最小值，并求出此时的直线方程.

2022级高三校际联合考试数学答案

2025.2

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1-4DBCD5-8CABB

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.BCD10.BD11.ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.【解】（1）依题意，\Z3csirU=2acos2—,由正弦定理可得GsinCsirU=2sirk4cos之2，

22

因为0＜兀，所以sirUwO,所以J^sinC=2cos2£,

2

ccc（JC

法一：即2V3sin-cos一=2cos之一,所以JJsin—=cos一，

22222

因为。＜。＜兀，所以o＜C〈工，

22

lpc=

所吟吟r

法二：即V3sinC-cosC=1，

所以2sin[c—"=l,即sin[c-"=g

TTTTSjT

因为0<。<兀，所以—<c—<—，

666

J[7T兀

所以C__=—，即C=_

663

I-.J[

(2)因为5C=1,48=G，又因为BD=8C,C=§,

所以V8CQ为等边三角形，

2兀

AD?+BD?-AB?

由余弦定理得cos/405=

2AD-BD2

所以4D?+4D—2=0,解得40=1或2。=—2（舍去）,故Z£）=l.

16.【解】(1)由表中数据可得元=3,歹=90,

555

Z&-可之=10,Z5-力2=434,Z（%-可他-力=64,

Z=1Z=1Z=1

E（x/-^）（z-y）

64

所以/=IJ“«0.97>0,75,

t（X,一元）2t（%一歹『4340

V/=i1=1

所以可用线性回归模型拟合人数》与天数x之间的关系.

-£（%-可5-刃64

而6=J----------------=正=6.4,

210

Z（x;-x）

i=l

则6=歹—加=90—6.4x3=70.8所以9=6.4X+70.8,

令x=6,可得/=109.2,所以1月10日到该专营店购物的人数约为109.

(2)若选方案一、需付款1000-50=950元.

若选方案二、设需付款X元，则X的取值可能为600,800,900,1000,

〉P（X=800）=C；xj3__9_

贝UP（X=600）=C；7X4-64

2727

产（X=900）=C；x：W，P（X=1000）=C：

64

19272759100

所以E(X)=600x—+800x—+900x—+1000x—<950,

6464646464

因此选择方案二更划算.

17.【解】(1)当〃=1时，由。2〃=2%+1,

则%=2%+1,由q=1,则%=3,

所以等差数列｛%｝的公差为?一%=2，所以%=1+(〃-1>2=2〃-1,

11一1（1______

故一

（2M-1）（2«+1）2（2〃-12n+l）

故数列｛4｝的前〃项和S"=万11—I"1—n

2〃+1

4

（2）当〃=1时，Q/I=7]=（3-4）x2?+8=4,可得乙二1，

当〃》2时，a也盟一心=[（3”4）-2用+8]—[（3〃一7）2+8]

=3n-2,,+1-2"+3—3小2"+7•2"=2"（6〃—8-3〃+7）=2"（3〃一1）,

将〃=1代入上式，则％a=2x（3-l）=4=7],

综上所述，anbn=2"（3"-1）,〃eN*.

,,z、,20

a2b2=2"x（3x2—1）=20,可得打=—

,20

又因为%=2%+1，则仇=中

21

由方程26]+仇=6也，可得■^■(2。]+1)+a。]=1,解得q=2,

由a2=241+1=5,则等差数列｛%｝的公差为3,所以%=3〃-1,

由%a二2"(3〃—l),〃eN+，则〃=2〃.

18.【解】(1)函数/("的定义域为(0,+。)J'(x)=a(lnx+1),

因为Q>0,令/'(x)〉0,得：x>-,令/'(x)<0,得：0<工<,，

ee

所以函数/(X)的单调递增区间为I：,+勿)，单调递减区间为

2±_i

a

(2)①由(1)知：/'(X)=a(lnx+l).由/'(工。)=2n“Inxo+1)=2n1叫=—1x0=e,

2T,2、A(A

又/(%o)=QXolm：o=〃守x——1=(2—4)/.所以切点e<(2-a)e。,

I"JI)

由(1)可知，切点在直线2x—歹―lle=0的上方，

22

所以—2e“+(2—a)e"+lle=2辰，整理得=q,

7F7T

222」

设—l=x,则。=---0<6/<2,x>0,(也可构造//(〃)=ae。)

x

2YP^Op

设〃(x)=A，X〉0,则〃'(x)=冒尸〉0在(0,+")上恒成立.所以〃⑴=鼻在(0,+”)单调

递增.

2

又•.•H(l)=e,又•.・「—：!=1,;.a=1,方程四不21=e只有1解：。=上

②依题意：要证xlwc<e"+cosx-2，

当0<%<1时，xlnx<0,令加(x)=e"+cosx—2,0<xWl,

•・,加'(x)=e"-sinx>0,?.加(x)在(0,1］上单调递增

/.m(x)>m(O)=l+l-2=O,所以不等式成立；

当%>1时，要证xlnx<e"+cosx—2，即xlnx—e"—cosx+2<0.

设/z(x)=xlnx-ex-cosx+2,x>1,贝"/z'(x)=lnx-ex+sinx+l,x>1.

设0(x)=Inx-e"+sinx+1,x>1.则0’(x)=，-e"+cosx,x>l.

x

当x>l时，e>e?—<l,cosx<l,所以。'(x)=1-e"+cosxcO,x>l.

xx

所以°(x)在(1,+。)上单调递减.

所以°(x)<夕⑴=l-e+sinl<0..即<0,x>1.所以〃(%)在(1,+a?)上单调递减，所以

〈〃⑴=2-e-cosl<0,即当x>l时，xlnx<e*+cosx-2成立.

综上：当a=l时，/(x)<eX+cosx-2在(0,+。)上恒成立.

19.【解】(1)如图，连接号刈，

因为用,骂，是棱的中点，所以〃PB,

又片区必平面PBC,PBu平面PBC

(2)由(1)可知，C4平行且等于;尸民生鸟平行且等于上尸8

所以四边形E1E3E2E4为平行四边形，

又1EE,则四边形E1E3E2E4为菱形，

EXE234

所以后再3=后再4,显然PB=2后否3,4C=2后34,故尸8=ZC,

同理可得尸幺=8C,PC=45,

如图，将该三棱锥补全为一个长方体，并建立空间直角坐标系8-肛z,

因为E]E2=1，E3E4=2,其纥=3

所以有/（2,3,0）,8（0,0,0）,C（0,3,1）,尸（2,0,1）,

PZ=（O,3,—1）,84=（2,3,0）,8C=（0,3,1）

设平面48。的一个法向量为拓=（x,y,z）

BA•万=012x+3y=0一/、

易知〈一.=>1.八令>二一2,解得x=3/=6,所以力=（3,-2,6）

BC-n=0[3y+z=0

\PA-n\126V10

直线PA与平面ABC所成角的正弦值为_।,

叫向710x74935

（3）由（2）易知将尸-480补成长方体，设长宽高分别设为mc,

则外接球半径为该长方体的体对角线长的一半即：R=-sla2+b2+c2,

2

则：S=4nR2=7i（a2+b2+c2）,

显然ZB?=。2+/,8。2=/+。2,4。2=/+。2,所以5=；（282+8。2+4。2）兀,

在工勿平面内设2（苞,月）,8（%2，%）

2金=]

联立彳2一,得（2+左2卜2-2丘—1=0,显然A〉0恒成立,

y=Ax-1

2k[4

M+X?=----7…=2+公

由韦达定理可知，（