山东省济南市2024-2025学年高一年级上册入学学情检测数学试卷（解析版）

济南市2024年高一学情检测

数学试题

本试卷共6页，满分150分.考试时间为120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案

写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.据教育部统计，2024届全国普通高校毕业生规模达1179万人，将数字11790000用科学记数法表示为

（）

A.1.179X107B.1.179xl08

C.11.79X106D.0.1179xl08

【答案】A

【解析】

【分析】由科学记数法要求可得.

【详解】11790000=1.179x107,

故选：A.

2.下列运算正确的是（）

A.3a2-a=2aB.(a+6)2=a2+b2

C.03b°+/=aD.(a2b)2=a4b2

【答案】D

【解析】

【分析】举例说明判断ABC；利用累的运算法则判断D.

【详解】对于A,3a2—a=a（3—a）,A错误；

对于B,（^a+by=a2+2ab+b2,B错误；

对于C,a3b2=而，C错误;

对于D,db?=d”=a%2,D正确.

故选：D

3.小刚同学一周的跳绳训练成绩（单位:次/分钟）如下：156,158,158,160,162,165,169.这组数据

的众数和中位数分别是（）

A.160,162B.158,162

C.160,160D.158,160

【答案】D

【解析】

【分析】根据众数和中位数的定义易得.

【详解】因在156,158,158,160,162,165,169这组数据中，158出现了2次，次数最多，故众数

158；

根据中位数的定义知，按照从小到大排列的七个数据中，第四个数160为这组数据的中位数.

故选：D.

4.某几何体是由四个大小相同的小立方块搭成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个

数，则这个几何体的主视图是（）

1

21

C.----------D.----------

【答案】A

【解析】

【分析】利用三视图的相关概念分析即可.

【详解】由题意可知从前方看第一排有3个正方体，且从左到右依次有2个、1个，第二排有1个正方体

在左侧，故A正确.

故选：A

5.已知点4（—3,%）,8（—2,3）,C（-l,y2）,。（2,%）都在反比例函数V=七（左00）的图象上，则

%,>2，>3的大小关系为（）

A.y2m3B.%<%<%

c%<%<%D.%<%<%

【答案】B

【解析】

【分析】首先代入点3的坐标，得到函数的解析式，再代入其他点的坐标，即可判断.

【详解】将点5（—2,3）代入反比例函数3=方，得左=—6,

即反比例函数的解析式是y=—,

x

将点A,C,D的坐标代入函数解析式，得乂=2,%=6，%=-3,

即为<%<%.

故选：B

6.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AO=8,尸是A。上不与A和。重合的一个动点，过点尸分别作

AC和的垂线，垂足为E,F,则PE+尸产的值为（）

122428

A.—B.—C.5D.——

555

【答案】B

【解析】

【分析】连接0P，利用勾股定理列式求出3。，再根据矩形的对角线相等且相互平分求出OA,OD,

然后根据SAAOD=SAAOP+S^DOP列式求解即可.

如图，连接0P,

•••四边形ABCD为矩形，AB=6,AD=8,

BD=y/AB'+AD2=A/62+82=10，

：.OA=OD=-xlO=5,

2

・・q-v+v

•*AOD—LAO尸丁uWP‘

:.-xADx-AB=]-xAOPE+-xODPF,

2222

.•.-x-x6x8=-x5-PE+-x5-PF,

2222

24

解得PE+PE=M，

故选：B.

7.如图，在口ABC。中，AB=2,AD=3,ZABC=60°;在AB和AD上分别截取AE（A£<AB）,

小，使分别以£/为圆心，以大于工ER的长为半径作弧，两弧在/DW内交于点G,作

2

射线AG交5C于点”，连接DH,分别以。，〃为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点

2

M和N,作直线MV交于点K,则CK的长为（）

【答案】C

【解析】

【分析】利用角平分线、垂直平分线的作法与性质确定相应线段长度，利用全等三角形、相似三角形的判定

与性质计算即可.

如图所示，设直线分别交直线3cA£>,〃£>于P,Q,S,作HR垂足为R,

根据题意易知AG,MN分别为/BAD的角平分线，线段DH的垂直平分线,

所以48/4〃=/45。=60。，所以AABH为正三角形,

则AH=BH=2,AR=CH=1,DR=2,HR=6，所以DH=@=2SD，

而tan/ADH邛嘿,则QS=答,=：

73

易证AHSP*DSQ,故DQ=—=HP,CP=HP—CH=—,

44

CPCK3CK

易知&CKP〜GKQ,故石=方=三=丁而”

\JL)KL)/Z—CK

3

解之得CK=,.

故选：C

8.如图，抛物线y=-_?+4x,顶点为A,抛物线与x轴正半轴的交点为8,连接AB,C为线段08上一

点(不与。，8重合)，过点C作CD//AS交y轴于点。，连接AD交抛物线于点E,连接0E交C。于点

S3

F,若渭心=工，则点C的横坐标为()

、4DEF4

8

D.

7

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，求出点A3坐标，设点。(%,0)并表示点。,E,尸的坐标，再利用三角形面积关系

列式计算即得.

【详解】抛物线>=一(彳一2)2+4的顶点4(2,4),由y=0,x>0,得x=4,即点3(4,0),

4=2k+b

设直线AB方程为y=由，，，解得上=—2/=8,则直线M：y=-2X+8,

0=4k+b

设点。(%,0),0</<4,由CD//A5,设直线方程为y=—2x+c,

由x=Xo，得。=2/，由％=0,得丁=。=2%,即点£>(0,2%),直线CD:y=-Zx+Zx。,

2x„=n

设直线AD的方程为丁=〃犹+〃，贝R；，解得根=2一%,〃=2%,

4=2m+n

y=(2-x)x+2xx=x

即直线AD：y=(2-%)》+2%,00解得《0即点

y=-x2+4%y=-xo+4%

E(xo,-Xo+4x0),

显然Ss°E=Smm,由]皿=],得=则¥生=；,因此点

、入。EF4MDOE/'ADOC'77

因此5。=3,解得/=±

由5=3得也=3

S.DOE7'付IQEI7

~XQ+4%g7

4

所以点C的横坐标为一.

3

故选：A

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.小明周六从家出发沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，资料查阅完毕后沿原路匀速返回，速度与来时

相同，途中遇到同学小亮，交谈一段时间后以相同速度继续行进，直至返回家中，如图是小明离家距离y

(km)与时间x(h)的关系，则()

A.小明家与图书馆的距离为2km

B.小明的匀速步行速度是3km/h

C.小明在图书馆查阅资料的时间为1.5h

D.小明与小亮交谈的时间为0.4h

【答案】AD

【解析】

【分析】由图象可判断A选项；结合图象可求小明的匀速步行速度，可判断B选项；通过计算点C到。所

需的时间，可判断C选项；通过计算点£到F所需的时间，可判断D选项.

【详解】对于A：由图象可知小明家与图书馆的距离为2km,故A正确；

对于B：因为小明沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，

所以小明的匀速步行速度是W=4（km/h）,故B错误；

对于C：小明返回的路上走2—0.8=1.2（km）后遇到小亮，

1?

则走1.2km所需的时间为一=0.3(h),

4

所以小明在图书馆查阅资料的时间为2.6—0.5—0.3=1.8（h）,故C错误;

08

对于D：走0.8km所需的时间为—=0.2(h),

4

所以小明与小亮交谈的时间为3.2—2.6—02=0.4（h）,故D正确.

故选：AD.

10.如图，点B在线段上，分别以线段和线段BD为边在线段AD的同侧作等边三角形ABC和等

边三角形BDE,连接AE,AE与8c相交于点G,连接CDCD与AE,BE分别相交于点RH,连接

A.GH//ADB.FB平分NGFH

C.GE=BDD.Z^ABE=Z\CBD

【答案】ABD

【解析】

【分析】结合图形和题设条件，易得△ABEvaCBD,可推得D项；由此得到=可证

AGBE=^HBD,可得GB=HB,从而得到正三角形BGH,由ZGHB=60°=ZHBD易得A正确；再

由全等三角形的对应边上的高相等，易得点3到NAED的两边距离相等，故得B项正确；对于C项，可采

用反向推理，假设结论正确，经过推理产生矛盾，即得原命题不成立，排除C项.

【详解】因VABC和△BED都是正三角形，故AB=BC,BE=BD,NABC=ZEBD=60。，

则ZABC+NCBE=ZFBD+ZCBE,即ZABE=ZCBD,

AB=BC

由<ZABE=ZCBD可得△ABE=Z\CBD,故D正确；

BE=BD

由AABE=△CB£>可得，ZAEB=ZCDB,HNCBE=180°-2x60°=60°，

NCBE=ZEBD

由|BE=BD可得，2BE三JiBD则有GB=HB,

NAEB=NCDB

故为正三角形，则/6〃5=60°=/〃3£),故67///4。，即A正确；

如图，分别作碗，AE,3N，CD,垂足分别是M,N,

由上知，AABE旦XCBD,故BM=BN,由角平分线的性质定理，可得FB平分NGFH,

故B正确；

对于C项，假设=则GE=5E,故ZEG5=NEBG=60°，

而在AACG中，ZACG=60°,ZCAG<ZCAB=60°，故ZCGA=ZEGB>60°

产生矛盾，故假设不成立，即C错误.

故选：ABD.

11.如图1,在中，ZABC=9Q°,BC=4,动点。从点A开始沿A8边以每秒0.5个单位长

度的速度运动，同时，动点E从点8开始沿8c边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时

停止运动，连接OE,F为DE中点,连接ARCF,设时间为t(s),°石2为、，>关于，的函数图象如图

2所示，贝U()

图1图2

A.当/=1时，DE=2.5B.AB=2

C.OE有最小值，最小值为2D.AF+C尸有最小值，最小值为J记

【答案】BD

【解析】

【分析】设4?=。，列出y关于f的函数式，结合图2,列方程求出。的值，判断B项，继而代值检验A项；

利用二次函数的图象性质，即可得到。E的最小值，判断C项；最后通过建系，将AE+CR转化为

；函+4）2+/+而—4）2+（516）2],利用距离的几何意义，借助于点的对称即可求得其最小值.

【详解】设=则AD=0.5f,5£>=a—0.5/\3石=0.5/,则

y—DE~=(a—0.5f)2+(0.5?)"=0.5t~—at+tz2(*),

2

由图2知，函数y=0.5/—at+/经过点（1,2.5）,整理得，a-a-2=0,解得a=2或a=—1（舍

去），故B正确；

由B项知，y=0.5产一2f+4,当/=1时，y=0.5—2+4=2.5,即DE?=2,5,故A错误；

对于C,由题意易得，0WfW4,由y=0.5产一2。+4=0.5«-2）2+2可得，当/=2时，”^=2，

即OE有最小值，最小值为&，故C错误；

对于D,如图，以点3为原点，OAOC所在直线分别为阳丁轴建立直角坐标系.

则42,。）。。,4）,—）,£（。。5，），因尸为"点，故爪；山），

于是AF+CF(1+3+山y+jaT)2+(4_%)2

=1[](/+4)2+广+J(f_4)2+(…16)-]

结合此式特点，设P(，/),M(-4,0),N(4,16)，则AF+CF=-(PA/+PN)，作出图形如下.

作出点M(-4,0)关于直线V=%的对称点%(0,-4),连接MN，交直线V=%于点尸，

则点P即为使PM+7W取得最小值的点.

(理由：可在直线V=x上任取点尸利用对称性特点，即可证明。四+尸可＞"欣+。、,即得)，

此时(PM+PN)^=M[N=,42+(16+4)2=4726,HPAF+CF的最小值为726.

故选：BD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在平面直角坐标系中有五个点，分别是4(1,3),8(—3,4),C(-2,-3),。(4,3),£(3,-5),从中

任选一个点，选到的这个点恰好在第一象限的概率是.

2

【答案】§##0.4

【解析】

【分析】利用概率公式求解即可求得答案.

【详解】五个点中在第一象限的点有A和。两个，

从中任选一个点共有5种等可能的结果，这个点恰好在第一象限有2种结果，

所以从中任选一个点恰好在第一象限的概率是二.

­,2

故答案为：y.

13.在RtZiABC中，ZACB=90°,AB=6,VABC的周长为14,则A3边上的高为.

71

【答案】一##2—

33

【解析】

【分析】利用勾股定理和完全平方公式以及三角形面积可得结果.

【详解】根据题意可设5C=a,AC=b,所以5。+人。+43=6+。+》=14,

可得a+b=8,

又NACB=90。，利用勾股定理可得BC2+AC2=/+〃=62；可得/+32=36；

所以/+/=（0+3）2—206=82—2。）=36,即"=14；

设AB边上的高为h,由三角形面积可得ab=ABh=6h,

147

解得//=—=—.

63

7

故答案为：一

3

14.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4,AD=6,E为A。中点，/为边CD上一点，连接所，

将ADEF沿所翻折，点。的对应点为。C,G为边5c上一点，连接AG,将AASG沿AG翻折，点5

【答案】6-2A/5

【解析】

【分析】过。祚交A£）于S,交.BC于U,过后作利用等积法可求

D'S=逑，再根据RtAD'GU可求BG的长度.

3

由题设AE=D'E=3,AD'=AB=4,

过。，作SULAD,交AD于S,交BC于U,过£作瓦/LAD',

则AH=HD'=2,则EH=的-4=&，故JAD'XV?=gAE><r>'S,

所以。'5=逑，故AS=

3

设6G=x,则O'G=x,故

故x=6-2君，

故答案为：6—2^5

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.先化简再求值：

YY—1X?—1

(1)求「——二+,的值,其中％=3；

x+1x—2x—4x+4

2

(2)求--------——二~7的值，其中2=2.

x-yx+yx-yy

【答案】(1)-

2

⑵-

3

【解析】

【分析】(1)先因式分解进行化简，进而代入x=3即可求解;

JQ%

(2)先同分母进行化简并转化一的表达式，进而代入一二2即可求解.

yy

【小问i详解】

xx-1x2-1_xx-1(x-2)

x+1x—2%2—4%+4x+1x—2(%—+

xx-2

x+1x+\

x—(冗一2)

x+1

2

x+1

即x=3代入可得？一=」.

3+12

小问2详解】

x__/=x(x+y)-小-y)_/

x—yx+yx2-y2(x—y)(x+y)%2-y2

x2+xy-xy+y2-y2

~22

%一y

/、2

X

=—2―

--1

X,24

即一=2代入可得^—=2.

y22-l3

16.某超市销售两种品牌的牛奶，购买3箱A种品牌的牛奶和2箱3种品牌的牛奶共需285元；购买

2箱A种品牌的牛奶和5箱B种品牌的牛奶共需410元.

（1）求A种品牌的牛奶，3种品牌的牛奶每箱价格分别是多少元？

（2）若某公司购买A3两种品牌的牛奶共20箱，且A种品牌牛奶的数量至少比3种品牌牛奶的数量多6

箱，又不超过3种品牌牛奶的3倍，购买A3两种品牌的牛奶各多少箱才能使总费用最少？最少总费用为

多少元？

【答案】（1）A种品牌的牛奶，5种品牌的牛奶每箱价格分别是55元、60元.

（2）最小费用为1200—5x15=1125（元），此时购买A3两种品牌的牛奶分别为15箱、5箱.

【解析】

【分析】（1）设A种品牌的牛奶，B种品牌的牛奶每箱价格分别是无,V元，根据题设列方程组后可求各自

的单价；

(2)购买A品牌的牛奶。箱，则购买总费用C=1200—5a,由题设条件可得。可为13,14,15中的某个数,

故可求最小费用及相应的箱数.

【小问1详解】

设A种品牌的牛奶，3种品牌的牛奶每箱价格分别是苍丁元，

[3x+2y=285fx=55

则4，故《

[2x+5y=410[y=60

故A种品牌的牛奶，3种品牌的牛奶每箱价格分别是55元、60元.

【小问2详解】

设购买A品牌的牛奶。箱，则购买3品牌的牛奶20-。箱，

此时总费用C=55a+60(20-a)=1200-5a,

a>20—a+6

而《、，故13WaW15,而。为整数，故。可为13,14,15中的某个数，

a<3[20-a)

故C的最小费用为1200—5x15=1125(元)，

此时购买A3两种品牌的牛奶分别为15箱、5箱.

17.如图，在。。中，AB是直径，点C是。。上一点，AC=9,3C=3,点石在AB上,

AE=2BE,连接CE并延长交。。于点。，连接AD,AFLCD,垂足为尸.

(1)求证：AADF-AABC；

(2)求。尸的长.

【答案】(1)证明见解析

(2)—

13

【解析】

【分析】(1)利用直径所对的圆周角为直角可判断ZAFD=NACfi=90°，再利用同弧所对的圆周角相等,

可得NADE=NABC,从而证明△AE*~AABC；

(2)在RtZkABC中，求出tan/ABC=3,AB=3A/10»利用tanNABC=tanNAD尸=3,设

DF=x,把Rt△AD尸的三边表示出来，再利用△CBE~AADE求出。E=—x,最后在Rt^A即中求

3

出x的值，也即是。尸的长.

【小问1详解】

•.•AB是。。的直径，.,.BCLA5,

ZAFDZACB^90°»

又•：NADF=NABC,

.\^ADF—△ABC.

【小问2详解】

AC9/__________

在RtZXABC中，tan/ABC=^=£=3,AB=y/AC-+BC-=3^/10-

nC3

又AE=2BE,则AE=2A/I5，BE=屈，

又ZABC=ZADF,/.tanZABC=tanZADF=3,

在RUADF中，设DF=x,则AF=3x,故AD=7AF2+DF2=yflOx-

又/CEB=ZAED,:.ACBEfADE,

BC_BE血3回到，日nzr—10

--------,即一,——=-----，解倚DE=­x,

DADE710%DE3

107

:.EF=DE-DF=—x-x=-x,

33

在RdAEF中，AF2+EF2=AE2>

即(3x)2+gx)=(2而『，解得x=49，

即。尸=9万.

13

18.

阅读材料：直线y=Ax+b(左00)上任意两点MOi,%),w(x2,y2),x^x2,线段

MN的中点P(*3,%)，P点坐标及人可用公式：w=%；*2,%=%；%；

左=七生计算.例如：直线y=2x+l上两点"(1,3),N(3,7),则%=三=2,

国一九22

3+73—7

%=——=5,即线段MN的中点P(2,5),k=——=2.

21-3

已知抛物线丫=相f-2/加-3(爪>0),根据以上材料解答下列问题:

图1图2

(1)若该抛物线经过点A(3,0),求m的值;

(2)在(1)条件下，B,C为该抛物线上两点，线段的中点为。，若点。(2,1),求直线8C的表达

式；以下是解决问题的一种思路，仅供大家参考：设直线BC的表达式为：y=kx+b,

B(xB,yB),C(xc,yc),则有为=必；一2"八-3①，%=s"一2蛆°一3②•①-②得：

yB-yc=〃2(君-xc)=m(xB+xc)(xB-xc)-2m(xs-xc),两边同除以(乙-xc),

得2By§=k=m(xB+xc)-2m.

X

^B-C，

(3)该抛物线上两点E,F,直线EF的表达式为：y=(5y/2-2^nvc+n(w>0).

(i).请说明线段斯的中点在一条定直线4上；

(ii).将i中的定直线4绕原点。顺时针旋转45。得到直线心当l<x<3时，该抛物线与4只有一个交

点，求机的取值范围.

【答案】(1)m=l

(2)y=2x—3

(3)i.线段斯的中点在定直线/：%=逑上；ii.或加=4或

1223

【解析】

【分析】(1)将点坐标代入函数解析式，计算即得加的值；

(2)按照题中的思路先求出左=》B+XC—2,再由线段8c的中点为。(2,1)求得左的值，利用直线5C经

过点D(2,l)即可求得直线BC的表达式;

(3)(i)由［y=(5f—2)〃a+〃消去y,利用韦达定理即可得到线段E尸的中点在定直线4：X=逑上;

y—mx—2mx-32

(ii)根据题意，作出图形，利用平面几何知识即可求得4：y=x—5；根据函数>=如2-2如—3与

-777_3<—4

，2：丁二%-5在1<%<3时的图象特点，依题意可得4。。C，解之即得.

3m-3>-2

【小问1详解】

因y=一2仙:一3经过点A(3,0),则9m-6帆一3=0,解得，m=l；

【小问2详解】

22

机=1时，y=x-2x-3=(x-l)-4,设直线8C的表达式为：y=kx+b,B(xB,yB),C(xc,yc),

则yB=m端-lmxB—3①，yc=_2mxe_3②.

=xxX

由①-②：yB-ycl-c-2(4-%)=(B-%)(/+XC-2),

两边同除以(/_2),则为：至=%=4+%—2,

XB-XC

因线段BC的中点为。(2,1),则/+左=2,即左=2x2—2=2,

2

则y=2x+b,将点。(2,1)代入解得，b=-3,故直线BC的表达式为：y=2x—3；

【小问3详解】

,y=(5A/2-2)rwc+n,,士人,口.i—

(i)由12消去y,整理得,rwc2—5y/2mx—n—3=0f

y-mx-2mx-3

依题意，设E(xE,yE),F(xF,yF),EF的中点为

则XE+》F=50,工历=工后广=孚,即线段E尸的中点在定直线4：了=亭上；

如图，将定直线/]：X=孚绕原点。顺时针旋转45。得到直线12，则点A(孚,0)转到了点A，

则04=04,=还，设点4（%,%），5（修,0）贝I]%=^cos45o=-,y.=—述sin45°=—°,

、2122122

x2—y/20^=5,

5m+n=Q

即A(»m=1

3(5,0),设右：y="a+〃，则得,55，解得,u，即得

—m+n=——n=-5

122

l7:y-x-5•

因抛物线y=mx1-2mx-3=m（x-1）2-m-3的对称轴为x=1,

故该函数在l<x<3时，V随着x的增大而增大，且x=l时，y=-m-3,%=3时，y=3加一3,

要使抛物线与乙：V=x-5只有一个交点，可分以下种情况讨论:

一rn_3<-4

①当抛物线顶点在直线下方时，如上图可得，cC，解得加>1；

3m-3>-2

y=x2—2x—3

②抛物线顶点在直线上，如上图，即加=1时，由<，解得x=l或x=2,因l<x<3,

、y=x-5

故符合题意;

y=JWC2-2mx-3

③抛物线与直线相切，且切点横坐标满足l<x<3,如上图，由

y=x-5

消去V,可得MU?-（2根+l）x+2=0,由A=（2根+1）2—8根=0解得，m=；,

代入方程可得4x+4=0,解得x=2,符合题意；

—m—3>-4

④如上图，抛物线顶点直线上方，但在1<%<3内只有一个交点,须使《