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第

6章平面向量及其应用高一数学必修第二册（人教A版2019）6.4.3.1余弦定理

一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系。例如，在初中，我们得到过勾股定理、锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系.对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了SSS，SAS，ASA，AAS等判定三角形全等的方法.这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的.那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？下面我们利用向量方法来研究这个问题.引入新知探究新知

探究：如右图，在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们考虑用向量的

数量积

来探究.cba①把几何元素用向量表示：

②进行恰当的向量运算：

③向量式化成几何式：

学习新知利用余弦定理可以解决三角形的哪类问题？【问题】利用余弦定理，我们可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边.思考1：你能用其它方法证明余弦定理吗？

坐标法

几何法思考2：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎样确定呢？

从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式！余弦定理及其推论把用“SAS”和“SSS”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画．

由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例.

勾股定理ACBabc思考3：勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系,余弦定理指出了三角形的三边与其中的一个角之间的关系.你能说说这两个定理之间的关系吗?

应用新知

探究点一

已知两边和一个角解三角形

√典例分析

√

√√探究点二

已知三边解三角形

√［素养小结］（1）已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角，值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一.（2）若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解.探究点三

利用余弦定理判断三角形的形状

A.等边三角形

B.直角三角形C.等腰三角形

D.等腰直角三角形√

等边三角形［素养小结］利用余弦定理判断三角形形状的两种途径（1）化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再进行判断．（2）化角的关系：将条件中边的关系，通过余弦定理或三角恒等变换变形，得到角与角之间的关系，再进行判断．1.了解向量法证明余

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