与球有关的“切”“接”“截”问题课件-高三数学二轮专题复习

第一阶段突破核心升华思维专题四立体几何§2与球有关的“切”“接”“截”问题【备考指南】

空间几何体的外接球、内切球是历年高考命题的热点，几乎每年都有涉及，熟知球与常见几何体的切接模型，掌握确定几何体外接球的球心的方法是破解此类问题的关键．基础考点1外接球问题（一）基础考点2内切球问题（二）基础考点3球的截面问题（三）专题限时集训(十二)与球有关的“切”“接”“截”问题（四）√基础考点1外接球问题

√2

求解空间几何体的外接球问题的策略(1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径；(2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的；(3)求半径：根据作出的截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解．1．(2024·湖南张家界二模)如图，在四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥CB，PA＝AC＝2BC＝2，则此四面体的外接球表面积为(

)A．3π

B．9πC．36π

D．48π√

2．(2024·浙江绍兴模拟)已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为(

)A．6π

B．8π

C．16π

D．20π

√3．(2024·江苏南京二模)在圆台O1O2中，圆O2的半径是圆O1半径的2倍，且O2恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为(

)A．3∶4

B．1∶2C．3∶8

D．3∶10√

√

基础考点2内切球问题

√(2)(2024·山东潍坊二模)如图，圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且2r1＋r2＝12，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为(

)

A．36π

B．64πC．72π

D．100π√

(2)如图所示，作出轴截面，O1，O2分别为上、下底面圆的圆心，M为侧面切点，O为内切球球心，则O为O1O2的中点，OM⊥AB，OO1＝OM＝4，O1O2＝8，O1A＝MA＝r1，O2B＝MB＝r2．因为2r1＋r2＝12，所以r2＝12－2r1，则AB＝MA＋MB＝r1＋r2＝12－r1．过点A作AG⊥O2B，垂足为G，则BG＝r2－r1＝12－3r1，在Rt△ABG中，由勾股定理得AG2＋BG2＝AB2，即82＋(12－3r1)2＝(12－r1)2，解得r1＝2或r1＝4．因为r1<r2，所以r1＝2，r2＝8，故AB＝10，所以圆台的侧面积为π×10×(2＋8)＝100π．故选D．]空间几何体的内切球问题的两种解决方法：一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径．

√

2．如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，若半径为r的球O与该正四棱台的各个面均相切，则该球的表面积S＝________．8π

[设球O与上底面、下底面分别切于点O1，O2，与平面ADD1A1、平面BCC1B1分别切于点E，F，作出其截面如图所示，则MO1＝ME＝1，EN＝NO2＝2，于是MN＝1＋2＝3．8π

【教师备选资源】1．(2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．

2．(2024·浙江温州一模)与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球．若圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r1·r2＝1，则它的内切球的体积为________．

【典例3】

(1)(2020·全国Ⅰ卷)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为(

)A．64π

B．48πC．36π

D．32π√基础考点3球的截面问题

√

巧用直角三角形解决截面圆问题的步骤(1)确定球心O和截面圆的圆心O′；(2)探求球的半径R和截面圆的半径r；(3)利用OO′2＋r2＝R2计算相关量．1．球的两个平行截面面积分别为5π和8π，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为(

)A．3

B．4

C．5

D．6√

√

243题号1√

243题号1243题号1

243题号1√A

[如图所示，连接PQ，QA．由PB＝PC＝AB＝BC＝AC＝2，可知△ABC和△PBC都是等边三角形．设三棱锥P-ABC外接球的球心为O，所以球心O在平面ABC和平面PBC内的射影是△ABC和△PBC的中心E，F．因为△PBC是等边三角形，Q为BC中点，所以PQ⊥BC．又因为侧面PBC⊥底面ABC，侧面PBC∩底面ABC＝BC，PQ⊂侧面PBC，243题号1

243题号1

243题号1

243题号1√D

[如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球球心是BD1的中点O，而BD1∩α＝B，则点O到平面α的距离h等于点D1到平面α的距离的一半，又平面α过线段DD1的中点P，因此点D1与点D到平面α的距离相等，由AB⊥平面ADD1A1，AB⊂平面α，得平面α⊥平面ADD1A1．在平面ADD1A1内过点D作DE⊥AP，垂足为E.由平面α∩平面ADD1A1＝AP，可得DE⊥平面α．243题号1

243题号14．(2024·辽宁大连一模)在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把△AEB，△AFD和△EFC折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥P-AEF，如图2所示，则三棱锥P-AEF外接球的表面积是________；过点M的平面截三棱锥P-AEF的外接球所得截面的面积的取值范围是________．243题号124π

[π，6π]

243题号1

243题号1一、单项选择题1．(2024·山东枣庄模拟)已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为(

)A．4π

B．6π

C．8π

D．10π题号1352468791011121314√专题限时集训(十二)与球有关的“切”“接”“截”问题

题号1352468791011121314√

题号1352468791011121314

题号1352468791011121314√

题号1352468791011121314√

题号1352468791011121314

题号1352468791011121314

题号1352468791011121314√

题号1352468791011121314

题号1352468791011121314√B

[圆锥和侧面展开图如图所示．题号1352468791011121314

题号1352468791011121314

题号1352468791011121314√A

[如图，直角三角形ABC外接圆的圆心是斜边AC的中点O1，过该点作一条垂直于平面ABC的直线．因为平面ABC⊥平面PAC，所以所作直线在平面PAC内，且经过等边三角形PAC的中心，所以等边三角形PAC的中心就是三棱锥P-ABC外接球的球心，所以△PAC外接圆的半径也是三棱锥P-ABC外接球的半径．题号1352468791011121314

题号13524687910111213148．(2024·宁夏银川一模)如图，球O1与圆锥相切，切点在圆锥PO的底面圆周上，圆锥PO的母线长是底面半径的2倍，设球O1的体积为V1，圆锥PO的体积为V2，则V1∶V2＝(

)A．32∶9B．27∶8C．26∶7D．9∶4题号1352468791011121314√

题号1352468791011121314

题号1352468791011121314二、多项选择题9．已知某圆台的上底面半径为1，下底面半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切．则下列说法中正确的是(

)A．圆台的母线长为4B．圆台的高为4

C．圆台的表面积为26πD．球O的表面积为12π题号1352468791011121314√√√

题号1352468791011121314

题号1352468791011121314√√√

题号1352468791011121314

题号135246879101112131411．(2023·新高考Ⅰ卷)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有(

)A．直径为0.99m的球体B．所有棱长均为1.4m的四面体C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体题号1352468791011121314√√√

题号1352468791011121314三、填空题12．(2024·四川成都模拟)已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中存在内切球，若AB＝3，BC＝4，AB⊥BC，则该三棱柱外接球的表面积为________．题号1352468791011121314

29π

题号135246879101112131413．(2024·陕西西安模拟)三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝PC＝2，且PA，PB，PC两两垂直．设三棱锥P-ABC的外接球和