河北省承德市八校2024届高考一模数学试卷（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1河北省承德市八校2024届高考一模数学试卷一、单选题1.已知为虚数单位，若，则A. B. C. D.【答案】C【解析】2故选：C2.某航天器的运行轨道是以地心为一个焦点，且离心率为的椭圆.设地球半径为，若其近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知且，解得，，则远地点离地面的距离为.故选：A.3.若集合，，若，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】集合，，若则，即的取值范围是.故选：D.4.不等式在R上恒成立的必要不充分条件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】当不等式R上恒成立时，可得，解得．选项A中，是不等式成立的充分不必要条件；选项B中，是不等式成立的既不充分也不必要条件；选项C中，是不等式成立的必要不充分条件；选项D中，是不等式恒成立的充要条件．故选：C．5.把3个相同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子最多放2个小球，则不同方法有（）A.16 B.24 C.64 D.81【答案】A【解析】把3个相同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子最多放2个小球，可分成两类情况：①在4个不同的盒子中任取3个盒子，每个盒子中放一个，有种放法，②把3个球分为两组，一组1个，一组2个，分别放到两个不同的盒子中，有种放法.由分类加法计数原理：不同方法有：4+12=16种．故选：A．6.（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】，故选：B7.若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，则函数的定义域为，则，令，解得：或，当时，即，令，解得：，令，解得：，此时函数在处取得极大值，不符合题意，舍去；当时，即，则恒成立，此时函数单调递增，没有极值，不符合题意，舍去；当时，即，令，解得：，令，解得：，此时函数在处取得极小值，符合题意.故选：C.8.三人玩报数游戏：首先报数字1，然后报两个数字2、3，接下来报三个数字4、5、6，然后轮到报四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2022个数字为（）A.5982 B.5981 C.5980 D.以上都不对【答案】A【解析】由题意可得:A第n次报数的个数为3n-2,则A第n次报完数后共报的个数为.再代入正整数n,使得Tn≥2022,解得:n的最小值为37,得T37=2035.而A第37次报时,3人总共报了36×3+1=109次,当A第109次报完数3人总的报数个数为,即A报出的第2035个数字为5995,故A报出的第2022个数字为5995-(2035-2022)=5982.故选:A.二、多选题9.定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（）A. B.2是的一个周期C.是的一个对称中心 D.为偶函数【答案】ACD【解析】定义在上的奇函数满足，所以，故A正确；且，所以，即周期是4，不是2，故B错误；因为，所以的对称轴为，又为的一个对称中心，所以是的一个对称中心，故C正确；因，所以，即为偶函数，故D正确.故选：ACD.10.已知抛物线焦点与双曲线的一个焦点重合，点在抛物线上，则下列说法错误的是（）A.双曲线的离心率为2B.C.双曲线的渐近线为D.点P到抛物线焦点的距离为6【答案】CD【解析】焦点坐标为，离心率，A正确；的焦点坐标为，故，解得：，B正确；双曲线渐近线方程为，C错误；点在抛物线上，故点P点抛物线焦点的距离为，故D错误.故选：CD11.已知，，且，则（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】对于A，由，则需证，，，显然不成立，故A错误；对于B，令，，令，，令，解得，可得下表：极小值则，即单调递增，当时，，由，则，即，故B正确；对于C，由B的证明过程，易知C正确；对于D，由，则，易知单调递增，无最大值，故D错误.故选：BC.三、填空题12.已知，则______，______．【答案】①.0②.5【解析】因为令，可得，，二项式的展开式中含的项为，代数式的展开式中含的项为，所以的展开式中含的项为，所以，则，故答案为：0；5.13.若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为______．【答案】【解析】因为是偶函数，所以所以，又因为在上单调递增，所以，解得：，故答案为：.14.如图在中，为斜边的中点，，，则的最大值是__________．【答案】【解析】设，，则，，，，所以，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：四、解答题15.已知函数.（1）求函数在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.解：（1）由函数，所以，直线斜率，切点，则直线方程为.（2）令，，得，所以，列表0-0+-3极小值因此在区间上的最小值为，最大值为.16.大坝是一座具有灌溉、防洪、发电、航运、养殖和游览等综合效益的大型水利枢纽工程．为预测渗压值和控制库水位，工程师在水库选取一支编号为的渗压计，随机收集个该渗压计管内水位和水库水位监测数据：样本号总和水库水位渗压计管内水位并计算得，，．（1）估计该水库中号渗压计管内平均水位与水库的平均水位；（2）求该水库号渗压计管内水位与水库水位的样本相关系数（精确到）；（3）某天雨后工程师测量了水库水位，并得到水库的水位为．利用以上数据给出此时号渗压计管内水位的估计值．附：相关系数，，，．解：（1）水库的平均水位，号渗压计管内平均水位.（2），同理可得：，，（3），，号渗压计管内水位关于水库水位的经验回归方程为，当时，预测值，即水库的水位为时，号渗压计管内水位的估计值为.17.如图，在四面体PABC中，，，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点.（1）求证：平面BCP；（2）求证：四边形DEFG为矩形；（3）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？若存在，写出点Q的位置（不需要论证）.证明：（1）由题意，DE是底边PC上的中位线，，平面BCP，平面BCP，平面BCP；（2）由题意，，同理，，四边形DEFG是平行四边形，同理，，∴平行四边形DEFG是矩形；（3）如图：设PC的中点为J，AB的中点为K，连接JG，EK，则有：，，∴四边形EKGJ是平行四边形，连接JE，KG，则有:，平行四边形EKGJ是矩形，连接JK，DG，交点为O，则O是EG的中点，因此也是矩形DEFG对角线的交点，是直角三角形，O是斜边EG中点，，即点O到四面体PABC的6条棱的中点的距离相等，所以所求的Q点即是O点；综上，到四面体PABC的6条棱的中点的距离相等的点存在，就是矩形DEFG的对角线的交点O.18.已知等差数列中，，，数列满足，.（1）求数列通项公式；（2）求数列的前n项和.解：（1）设等差数列的公差为，由，，所以，，（）；（2）由（1）得，，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，（）.19.已知二次函数.（1）若等式恒成立，其中，，为常数，求的值；（2）证明：是方程有两个异号实根的充要条件；（3）若对任意，不等式恒成立，求的最大值.解：法1：，由得，故.法2：在中令得.（2）证明必要性：由于方程（a，b，c是常数且）有一正实根和一负实根，设两根为，∴，且，∴.充分性：由