江苏省镇江市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1江苏省镇江市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某医疗研究机构为了解打鼾与患心脏病的关系，运用列联表进行独立性检验，经计算，则所得到的统计学结论是认为打鼾与患心脏病有关系的把握约为（）0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以有的把握认为打鼾与患心脏病有关系．故选：B．2.有一组数据：2，4，5，7，6，7，x，10，这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】依题意，，解得，所以组数据的方差为.故选：A3.已知，的取值如下表所示，从散点图分析可知与线性相关，如果线性回归方程为，则实数的值为（）234566.51011.518.5A13 B.13.5 C.14 D.14.5【答案】B【解析】由题意可知，，因为线性回归方程一定过样本中心点，，所以，所以，解得．故选：B．4.的展开式中含项的系数为（）A.10 B.40 C.80 D.120【答案】C【解析】由二项式定理可知，展开式中含项的系数为.故选：C.5.以下运算结果为的是（）A.3封不同的信投入4个不同的邮筒的投法B.4个运动员争夺3个项目的冠军（每个项目只有一个冠军）C.3块地种植4种不同的蔬菜的种法D.4个同学购买3种不同的书籍，每人购买1本的种数【答案】D【解析】对于A，3封不同的信投入4个不同的邮筒的投法有种，故A错误；对于B，4个运动员争夺3个项目的冠军（每个项目只有一个冠军），共有种可能，故B错误；对于C，3块地种植4种不同的蔬菜的种法有种，故C错误；对于D，4个同学购买3种不同的书籍，每人购买1本的种数有种，故D正确.故选：D.6.某单位计划安排“五一”假期间值班人员，若安排甲、乙、丙，丁四人值班5天，每天均有一人值班，每人至少值班一天，则不同值班的方法数为（）A.60 B.180 C.240 D.300【答案】C【解析】方法一（不平均分组）：由题意这五天中有一人值了两天班，即四人的值班天数为，故所求为，方法二：从五天中选两天分配给其中一人，再将剩下的三人、三天进行全排列，故所求为.故选：C.7.的个位数是（）A.1 B.3 C.6 D.9【答案】A【解析】因为，而是10的倍数，所以的个位数是.故选：A.8.某单位开展联欢活动，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、鼓励奖共五种奖项.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同.甲说：“我不是鼓励奖”；乙说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖项介于丁和戊之间”.根据以上信息，这5人的奖项的所有可能的种数是（）A.15 B.18 C.22 D.26【答案】D【解析】甲是特等奖，不考虑丙位置有种；甲不是特等奖，不考虑丙的位置有种；而丙在丁和戊之间占，所以5人奖项的所有可能的种数是.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知一组数据如下：2，3，4，4，4，5，5，6，6，7，则下列说法中正确的是（）A.这组数据的极差为5 B.这组数据的平均数为4.5C.这组数据的众数为4 D.这组数据的第70百分位数是5【答案】AC【解析】对于A，这组数据的极差为，故A正确；对于B，这组数据的平均数为，故B错误；对于C，这组数据中出现次数最多的数是4，所以这组数据的众数为4，故C正确；对于D，因为，所以这组数据的第70百分位数是第7个数和第8个数的平均数：5.5，故D错误.故选：AC.10.已知，下列等式正确的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】对于A，取，得，A正确；对于B，取，得，则，B错误；对于C，对给定等式两边求导得，取，得，C错误；对于D，取，得，则，于是，D正确.故选：AD11.定义“圆排列”：从n个不同元素中选m个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为.圆排列是排列的一种,区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以.现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则（）A.共有种排法 B.若两名女生相邻，则有种排法C若两名女生不相邻，共有种排法 D.若男生甲位置固定，则有种排法【答案】ABD【解析】对于A：现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，共有种排法，A选项正确；对于B：若两名女生相邻，则有种排法，B选项正确；对于C：若两名女生不相邻，共有种排法，C选项错误；对于D：若男生甲位置固定，考虑以甲为基准的顺逆时针排列，则有种排法，D选项正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.计算_______.【答案】21【解析】.故答案为：2113.某项比赛的主办方为提高观众参与积极性，分别邀请了10名观众做场内评委和10名观众做场外评委，比赛按10分制打分.某个选手的得分情况是：场内评委打出的均分为8分，场外每个评委打分和场内每个评委的打分正好满足.最终比赛得分为所有评委打分的均分，则此选手最终得分为_______.【答案】8.3【解析】依题意，，，所以此选手最终得分为.故答案为：8.314.为研究方程正整数解的不同组数，我们可以用“挡板法”：取8个相同的小球排成一排，这8个小球间有7个“空挡”，在这7个“空挡”中选择2个“空挡”，在每个“空挡”插入1块挡板，2块挡板将这8个小球分成“三段”，每段小球的个数分别对应，，的一个正整数解，由此可以得出此方程正整数解的不同组数为．据此原理，则方程的正整数解的不同组数为__（用数字作答）；该方程自然数解的不同组数为__（用数字作答）．【答案】84；286【解析】由题意，则方程的正整数解的不同组数为，若中没有，则有种，若中有个为，则有种，若中有个为，则有种，若中有个为，则有种，该方程自然数解的不同组数为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.小吴同学计划利用“五一小长假”深度游玩镇江的五处名山：金山、焦山、北固山、茅山、宝华山，每天游玩一山，每山游玩一天．（1）若计划前两天其中一天游玩金山，另外一天游玩焦山，总共有多少种安排方案；（2）金山、焦山、北固山位于市区，茅山、宝华山位于句容，若考虑交通因素，计划市区的三山连续三天游玩，句容的两山连续两天游玩，共有多少种安排方案；（3）金山、焦山、宝华山均属于佛教名地，若计划第一天与最后一天均游览佛教名地，共有多少种安排方案．解：（1）若计划前两天其中一天游玩金山，另外一天游玩焦山，总共有种安排方案.（2）金山、焦山、北固山位于市区，茅山、宝华山位于句容，若考虑交通因素，计划市区的三山连续三天游玩，句容的两山连续两天游玩，共有种安排方案.（3）金山、焦山、宝华山均属于佛教名地，若计划第一天与最后一天均游览佛教名地，共有种安排方案．16.某电商为了解第一季度用户的网购次数，统计发现在第一季度内网购次数在间的有2千万用户，在这2千万户中随机抽取2000户统计分析他们的网购次数，将数据整理后，分为6组，画出频率分布直方图（如图所示），由于人员失误，导致第一组和第二组的数据丢失，只知道第二组频率是第一组的2倍.（1）试估计在抽取的2000户中第一季度网购次数不超过100次的户数；（2）估计这2千万户在第一季度的网购次数的平均数和中位数（结果精确到小数点后1位）；（3）该电商已经用分层抽样的方法在和这两组用户中共选择了9户.现从这9户中随机抽取6户，求在这抽取的6户中至多有2户来自这组的抽法数.解：（1）由频率分布直方图，得，解得，由第二组频率是第一组的2倍，得，解得，因此第一季度网购次数不超过100次的频率为，户数为.（2）由（1）知，从第一组到第六组的频率依次是，样本平均数：，第一组到第三组的频率和为，第一组到第四组的频率和为，因此样本数据的中位数，则，解得，由此估计2千万户在第一季度的网购次数的平均数和中位数分别为121.8次和121.3次.（3）抽取的9户中，在的户数为，在的户数为6，从9户中随机抽取6户，有种抽法，其中在的户数为3的抽法数为，所以抽取的6户中至多有2户来自这组的抽法数为.17.已知展开式中，二项式系数最大的项为第6项，且展开式中第二项系数为20.（1）求实数的值；（2）求展开式中的常数项；（3）求展开式中系数最大的项.解：（1）因为二项式系数最大的项为第6项，所以，解得，所以展开式为，而展开式中第二项系数为20，从而，解得；（2）由（1）可知，展开式为，令，解得，故所求为；（3）设展开式中系数最大的项为第项，则，即，即，解得，所以，所以展开式中系数最大的项为，经检验符合题意.18.在人体生长发育过程中，人体的各部分与身高都有一定的比例关系，根据脚长推测身高具有重要的意义．为研究根据脚长推测身高的方法，某班级数学兴趣小组对本班50名同学进行了随机抽样调查，用简单随机抽样的办法抽取10名同学，测量每个人的脚长和身高，记录相关数据并进行统计分析，现将相关数据整理如下：（单位：厘米）脚长18.920.221.121.922.823.623.925.325.826.5身高159161163165167172173177179184（1）根据上表数据，请计算脚长与身高的相关系数，并说明线性相关性的强弱；（相关系数精确到小数点后2位）（2）根据此小组研究的数据，若某同学的脚印长，试推测该同学的身高．（计算过程中结果精确到小数点后1位）（注：当，则认为与的线性相关性较弱；当，则认为与的线性相关性很强）．附：本题可能涉及到数据和公式：；；；；回归方程：，其中，．相关系数：．解：（1）由题意可得，所以脚长与身高线性相关性很强；（2），，，所以，线性回归方程为，当时，，所以当某同学的脚印长，该同学身高的估计值为．19.（1）请在以下两个组合恒等式中选择一个证明（如果两个都选，则按第①个计分）；①，②.（2）某同学在研究组合