2025高考数学专项复习：导数（7大题型）含答案解析

培优专题06导数

培

。机奥理特制•希淮提2产气

题型4双变量问题

题型1恒(能)成立问题

题型5极值点便宜问题■

题型2函数的零点方程的根导数

题型3隐零点问题

题型7导数中的新定义问题

题型1恒(能)成立问题

1、分离参数法

用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，

另一端是变量表达式的不等式；

步骤：

①分类参数(注意分类参数时自变量X的取值范围是否影响不等式的方向)

②转化：3xeD,使得。>/(x)能成立o。〉/(xLn;

3xeD,使得a</(x)能成立oa</(x)max.

③求最值.

2、分类讨论法

如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以

1/97

r舍房三诙反索薮写页面疝粒噫{a>0,'工W6最屋:E-A2而录篦'

"、等价转化法

i当遇到/(x)Ng(x)型的不等式有解(能成立)问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数

!>(x)==(x)—g(x)或者“右减左”的函数a(x)=g(x)—/(X),进而只需满足R(x)1mxi0,或者

；将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.

!4、最值定位法解决双参不等式问题

⑴期e4,V/e8,使得/(再)>g(x2)成立o/(国)1mx之gg)一

(2)%W/,加€3,使得/(%])>g(x2)成立O/(苞)min之g(^2)min

(3)叫eZ,即e3,使得/(%1)>g(x2)成立O/(xj^>g(x2)min

(4)VX]e/,V%e3,使得/(%])>g(x2)成立Q/(再):>g(x2)max

；5、值域法解决双参等式问题

IeD[,3X2eD2，使得/(xj=gC^)成立

，①VX|eQ,求出/®)的值域，记为2={/(占)]芭6口}

，②R2eD2求出g(x2)的值域，记为8={g(x2)|x2eD2}

!③则Z口8,求出参数取值范围.

1.(24-25高二上•江苏南京•期末)已知函数/jx)=x2+alnx,aeR.

(1)若曲线f(x)在x=l处的切线与直线2x+3y+l=0垂直，求。的值；

⑵讨论了(司的单调性；

(3)当xe1,e时，/(x)>(a+2)x,求a的取值范围.

【答案]⑴

(2)答案见解析

(3)

【知识点】由导数求函数的最值(不含参)、利用导数研究不等式恒成立问题

【分析】(1)求出/''(1),利用导数的几何意义，根据斜率之积为-1求解即可；

(2)求出函数的导数，分类讨论，解不等式即可得出单调性区间；

(3)利用导数确定g(x)=x-lnx>0,分离参数后，再利用导数求函数最小值即可得解.

【详解】(1)因为f(x)=/+alnx,所以r(x)=2x+(,

所以/'⑴=2+。，

2/97

乂〃x)在X=1处的切线与直线2x+3y+l=o垂直，所以尸(1).1|卜T,

即2+。=?3,所以。=—1—.

22

(2)f'(x)=2x+-=2x2+a,x>0.

XX

①当a20时，r(x)>0,所以/(X)在(0,+。)上单调递增.

②当a<0时，令/'(x)=0,得/=-|，又x>0,所以

当xe0,J-会时，-(无)<0,/(x)单调递减;当时，r(x)>0,/(x)单调递增.

综上，当a20时，/(X)在(0,+8)上单调递增;

匚|,+/上单调递增.

当a<0时，f(x)在0,/上单调递减，在

(3)由/(x)2(〃+2)x,得a(x—lnx)«x2-2%在l5e上恒成立.

e

1_i

令g(x)=x-lnx,x>0,贝i]g'(x)=l——=-r一,令g'(x)=O,得x=l,

当X£(0,l)时,gr(x)<o,g(x)单调递减；当%£。,+⑹时,g'(x)>0,g(x)单调递增,

所以g(x)2g(l)=l>0，即x—lnx〉O,

r2-2%「1

贝k匚三在-,e上恒成立.

x-\nxLe

x2-2x1

令=xG—,e

x-lnxe

2(x-l)(x-lnx)-(x-2)(x-l)6-1)g+2-21nx)

(x-lnx)2(x-lnx

因为-,e,所以lnx«l,贝！Jx+2—21nx>0,

e

令"(x)=0,得x=l,

当XG：j时，"(x)<。，〃⑴单调递减；当时，”(x)>0,单调递增,

所以可江〜⑴一，

3/97

所以aW-1,即。的取值范围是(-叫-1].

Z7Y2-1

2.(24-25高三上•上海•期中)设a£R/(x)=ln(x-1)H-------.

x-1

⑴当“=1时，求曲线了=/(尤)在点(2,3)处切线的方程；

(2)当“=-；时，求函数>=/(x)的单调区间；

⑶设函数了=/(无)的定义域为D,若〃x)22x+3对任意的xe。成立，求。的取值范围.

【答案](l)2x-y-l=0.

(2)(1,4)上是严格增函数，(4,+⑹上是严格减函数.

(3)a>2.

【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数的单调区间(不含参)、简单复合函数的导

数、求在曲线上一点处的切线方程(斜率)

【分析】(1)根据导数的几何意义求出切线斜率即可由点斜式求解.

(2)求出导数，判断导数值正负求出单调区间.

(3)先探求不等式成立的必要条件。22,再证明充分性即可，证明时构造函数利用导数求函数的最小值即

可证明.

【详解】(1)当a=l时，"x)=ln(x-l)+土==ln6-l)+x+l,求导r(x)=—+1,则广⑵=2,

所以切线方程为V-3=2(X-2),即2X7-1=0.

1Y2+2

(2)当。=—彳时，函数/(x)=ln(x—1)—；；；一^的定义域为(1,+8),

22(x-1)

求导得/(》)=」2x(x—1)—x2-2x(x-4)

x-12(1)22(x-l)2

当XE(1,4)时，f\x)>0；当(4,+oo)时，f\x)<0,

所以函数/(幻在(1，4)上严格增函数，在(4,+8)上严格减函数.

(3)函数/(》)=皿X-1)+竺匕定义域为(1,+8),

x-1

不等式〃x)W2x+3恒成立，即ln(x-l)+竺322x+3恒成立,

x-1

当工=2时，/⑵=4〃-124+3必成立，贝!Ja22,

ctx^—1is,口,口丁，/、x—1+ax2—2ax+1—2(%—1丫

令A〃(x)=ln(x-1)+上----2%-3，求导得/(%)=--------------.——-——-

x-1(x-1)

(q—2)%2+(5—2a)x—2[(a—2)x+l](x—2)

(%-1)2(%-1)2

而a22,贝(J当％£(1,2)时〃'(x)<0,当XE(2,+OO)时，hf(x)>0,

4/97

函数/?(x)在(1,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，A(x)>A(2)=4a-8>0,则a22,

所以。的取值范围是。22.

【点睛】关键点点睛：在定义域上恒有/(x"2x+3成立求。的范围，首先根据恒成立探求其成立的必要条

件，由"2)22x2+3=7可知必有/2,证明充分性时，令Mx)=ln(x-1)+竺士1-2x-3,利用导数求出

%x)»(2)恒成立,即可求解，属于难题.

3.(23-24高二下•上海•期末)已知函数〃x)=x-lnr-2.

⑴求曲线y=〃尤)在点(1,川))处的切线方程；

(2)函数/⑺在区间(后水+1乂丘附上有零点，求左的值；

13

⑶记函数g(无)=51-法-2-/(无)，设X],%(演<三)是函数g(x)的两个极值点，若62],且

g(xj-g(x2)»左恒成立，求实数左的最大值.

【答案】⑴了=T

⑵0或3

⑶个-21n2

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程(斜率)、由导数求函数的最值(不含参)、利用导数研究不等

式恒成立问题、利用导数研究函数的零点

【分析】(1)求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出切点坐标，即可求出切线方程；

(2)求出“X)的导数，判断了(x)的单调性，利用零点存在性定理判断即可；

(3)求函数的导函数，令g'(x)=O,依题意方程/-(b+1)尤+1=0有两不相等的正实根为、x2,利用韦达定

理，结合6的取值方程，即可求出A的取值范围，则8(%)-8(%)=2111%-/再2-!，构造函数

2

F(x)=21nx-1(x-Jr),,利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解.

【详解】⑴因为/(x)=x-lnx-2,所以/(x)=l-L则切线斜率为/''⑴=0,

又/⑴=-1,切点为所以切线方程为了=-1;

(2)f'(x)=,尤e(0,+8),

当0<x<l时，r(x)<0,函数/(X)单调递减；

当x>i时，r«>o,函数〃x)单调递增，

所以/(X)的极小值为〃1)=-1<0,/(e-2)=e-2-lne-2-2=e-2>0,

，/(无)在区间(0,1)上存在一个零点三，此时左=0;

5/97

X/(3)=3-ln3-2=l-ln3<0,/(4)=4-ln4-2=2-21n2=2(l-ln2)>0,

在区间(3,4)上存在一个零点x4,此时左=3,

综上，上的值为0或3；

(3)函数g(x)=；》2-fcc-2-/(x)=lnx+；x2-(b+l)x,_re(0,+<x>),

所以g'(x)=-+x-(Z)+l)=x，-g+Dx+1,

XX

由g'(x)=O得Y-(6+l)x+l=0,依题意方程f一(6+l)x+l=0有两不相等的正实根a、x2,

A=[-(/)+1)]2-4>0

则xx+x2=b+l>0，所以6>1,

xxx2=1>0

1

%!+x2=b+l,再々=1，...x2=——

石

乂S|,…=,解得Of/

g(%J—g(4)=In—+泉%；一42)—@+1)(占-4)=21nxi—

x22

,%|0,—,

构造函数方（X）=21nx-一

所以〃（刈="-3=-（*；1）2<0,

XXX

，尸（X）在[o,；上单调递减，

所以当X=：时,F(x)min=F(1)=y-21n2,

因为g（xj-g（x2”左恒成立，

所以左（胃-21n2,贝!J上的最大值为g—21n2.

88

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为

不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的

单调性、极（最）值问题处理.

4.（24-25高二上•浙江杭州•期末）已知函数/（x）="lnx+x2（0为实常数）.

（1）若。=-1,求证：/（X）在（1,+8）上是增函数；

（2）当。=-4时，求函数“X）在工e]上的最大值与最小值及相应的x值；

⑶若存在xe[l,e],使得〃x）W（a+2）x成立，求实数。的取值范围.

【答案】⑴证明见解析；

6/97

⑵答案见解析；

(3)«>-1.

【知识点】由导数求函数的最值(不含参)、利用导数研究能成立问题、用导数判断或证明已知函数的单

调性

【分析】(1)利用导数证明函数的区间单调性即可；

(2)利用导数研究函数的单调性，进而求区间内最值即可；

(3)将问题化为a>士在在xe［1,e］上能成立,应用导数研究右侧的单调性并求最小值，即可得参数范围.

x-］nx

【详解】(1)由题设〃x)=-lnx+x2,贝mx)=-L+2x=^^,

则在(1,+8)上有/'(X)>0,故〃X)在(1,+8)上是增函数，得证；

(2)由题设/(x)=Tlnx+x2,贝l］/，(x)=2x-3=^^,

XX

当〈及时八劝<0,当时

所以在［1,行)上单调递减，在(后,e］上单调递增，且/⑴=1</e)=r-4,

所以最小值为x=夜时/(0)=2-21n2,最大值为X=e时/(e)=e2-4；

(3)由题设alnx+x?W(a+2)x在xe［l,e］上能成立，则/-2xVa(x-lnx),

对于y^x-lnx,则在xe［1,e］上;/=1-工20恒成立，

故y=x-lnx在［l,e］上单调递增，且x=l时了=1,即在［l,e］上x-lnx21恒成立,

所以°之上空在xe［l,e］上能成立,

x-lnx

1

x2—2x2(x-l)(x-lnx)-(l--)(x92-2r)(x-1)(%+2-2Inx)

令g(x)=L^E且xe[l,e],则g'Q)=---------------x-----------------------------

(x-Inx)2

x-\nx(x-lnx)

2

对于＞=x—21nx+2且xe[l,e],则于=1一一,

x

当l〈x<2时，y<0,即歹=x—21nx+2在工2)上单调递减，

当2<xWe时，/>0,即y=x—21nx+2在(2,e］上单调递增，

当x=2,y=4-21n2>0,即在［l,e］上x-21nx+2>0恒成立,

在［l,e］上g'(x"O恒成立，则g(x)在［l,e］上单调递增，^g«,„=g(l)=-l,

所以Q2—1.

5.(2025•河北保定•一模)已知函数/(可=-；62'-“/+2/工

⑴当a=1时，求/'(x)的极值；

(2)若关于x的不等式/(x)+/20有实数解，求。的取值范围.

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【答案】(1)/(X)的极大值为-：，无极小值

⑵I一m

【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值(含参)

【分析】(1)通过求导来分析函数的单调性，进而求出函数的极值；

(2)分类讨论，得到单调性，求出函数最值，根据最值满足的条件来确定参数。的取值范围.

【详解】(1)当时，/(x)=-1e2,:-ev+2x,

则/'(x)=-e2x-eA+2=(ex+2)(l-ex),

令/'(x)>0,得x<0；令/'(x)<0,得x>0,

所以/(无)在(-8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，

a

所以/(X)的极大值为〃0)=-5,无极小值.

(2)由题得尸(x)=-e2'-ae，+2aZ=(a-e")(e*+2a),

当a=0时，/(x)=-1e2^<0,不符合题意；

当a>0时，令/''(无)>0,得xclna；

令/'(x)<0,得尤>lna,

所以/(X)在(-8,Ina)上单调递增，在(Ina,+8)上单调递减，

所以/Wmax=/(Ina)=-1e2lna-aetafl+2a2lna

-Q2+2。2Inq

2

3

由—a?+2。21nq+/20

2

得-,+2111。20,解得

当〃<0时，令/'(x)>0,得x<ln(-2a)；令/'(x)<0,得x>ln(-2a),所以/(x)在(-巩In(-2〃))上单调

递增，在(ln(-2a),+。)上单调递减，

所以/(%)max=/(ln(-2a))=-;e2kle2a)_qeine2a)+2421n(_2q)=2/ln(-2a),

由2Q21n(-2a)+/>o,

得21n(-2a)+1>0,解得a<广.

8/97

6.(23-24高三上•上海闵行•期中)已知函数/(x)=lnx+ax2+bx(〃,b£R).

⑴若。=0,b=l,求函数V=/(x)在点R1J⑴)处的切线方程；

(2)若。=g,b=-3,点。是函数了=/(x)上的动点，设点。处切线的倾斜角为£，求倾斜角a的取值范围;

⑶若6=-1,对任意的士,马€(0,+8),%都有:(*)-/：)>1,求实数a的取值范围.

再-x2

【答案】⑴尸21；

(3)«

【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由函数在区间上的单调性求参数、求在曲线上一点处的切线

方程(斜率)、求曲线切线的斜率(倾斜角)

【分析】(1)根据a=0,6=1,得/(x)=lnx+x,则尸(1,1),求出了'(x),所以过尸切线斜率为/'⑴=2,

写出切线方程即可.

(2)若“=1，Z)=-3,/(x)=lnx+-x*2-3x(x>0),/'(x)=，+x-3(x>0),所以点。处切线斜率范围为

22x

-+x-3>2.fZ-3=-l,根据直线斜率与倾斜角的关系进而求出倾斜角的取值范围.

xYX

(3)若6=-1,则/(%)=111%+0%2-10>0),对任意的再,买2€(0,+8),无产乙,不妨设再>》2，由

/(")>］得/(网)_/(%)>3_£即/(再)一再,构造户(x)=〃x)-X,则/(X)在(孙再)

上单调递增，则尸(x)80在(0,包)上恒成立，进而求出实数。的取值范围.

【详解】《1)若。=0，6=1，则/(x)=Inx+x,得f'(x)=1,P点坐标为尸(口)，过P切线斜率为/'⑴=2,

X

所以切线方程为V=2(X-1)+1=2X-1.

(2)若a==，6=-34ljy(x)=lnx+'x2-3Mx>0)，f'(x)=-+x-3(x>0),设函数y=/(x)上的动点

22x

则。处切线斜率范围为1+%-322JL%-3=-1,当且仅当工=%即％=1时取等号；

所以切线倾斜角a的正切值tana11,所以角1的范围为费］徽,,兀.

(3)若6=-1,则/0)=111%+"2一武1>0),对任意的再£(°，+°°)，玉不妨设玉〉工2，由

9/97

/（尤1）-/（尤2）

>H#/（X1）-/（X2）>X1-X2BP/（%1）-%1>f（x2）-X2,

再-x2

令厂(x)=/(x)-x,则F(x)在(工2，再)上单调递增，则尸'0)=，+2“X-220在(0,+00)上恒成立,

即由2_J=_（工_1）2_[=1_（L_1）2Vl当X=]时2_二取最大值L

XXXXXXXX

所以2aNl=>a»L

2

7.(23-24高二下•上海•期中)己知函数/口)=；"3一4》(0€!<).

(1)若〃=4,求函数y=/(x)在点(1J。))处的切线方程；

⑵讨论函数;'(X)的单调性及极值；

⑶若a=1,任意玉,马^「，亚]且X产乙,都有|/(占)-/(3)|<7印呻-111引成立，求实数加的取值范围.

【答案】(1)尸

⑵答案见解析

9

【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题、求已知函数的极值、求在

曲线上一点处的切线方程(斜率)

【分析】(1)求导，利用导数的几何意义求切线方程；

(2)求导，分。<0和a>0讨论求函数单调性和极值；

(3)代入。值，将问题转化为/'(西)+小111网</(工2)+加11工2恒成立，构造函数g(x)=/(无)+加lnx,xe[1,,

转化为导函数不小于零恒成立，继续构造函数求最值即可.

2

【详解】(1)当a=4时，/(X)=1X3-4X,r(x)=4x-4,

贝ij/'(i)=o,又/。)=一I，

所以函数V=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程为y=-1；

(2)由题知/(x)=ax2-4

当aV0时，/'(x)<0,函数/(x)在R上单调递减，无极值;

2-2

当〃〉0时,令/'(、)〉。得X<一~『或天）〒，函数/(x)单调递增,

>Jay/a

10/97

此时函数f(x)的极大值为八-宁-4-六=与

综上：当时，/(x)在R上单调递减，无极值;

极大值为竺也，极小值为一3江；

3a3〃

(3)当4=1时，/(x)=^-x3-4x,由(2)得函数在［1,拒］上单调递减,

不妨设IV尤1V应，则/(占)>/(无2)」nX|〈In/,

故由|/(网)一)(工2)|<加|山王一出马|得/(无1)-/@2)<5(111_¥2-111玉)，

即f(xj+mlnxj</(x2)+zwlnx2,

设g(x)=/(x)+7〃lnx,xe［1,q,则g(x)单调递增,

则g'(x)=/'(x)+—=x2一4+%20恒成立，

所以加之-d+4%对工£［1,亚］恒成立，

设力(x)=—丁+4x,亚］,贝lj/(X)=—3—+4,

2

令"(x)〉0,得l«x<耳，〃(x)单调递增，

令〃(x)<0,得!<xV后，〃(x)单调递减，

故〃(Mmax=〃

所以"亚更Yl.

9

【点睛】方法点睛：对于恒成立问题要学会转化，其中我们可以构造函数，转化为函数的最值问题来解答.

题型2函数的零点方程的根

；1、函数的零点

11/97

"(7)­而雄百漉';扁手卤薮5=7而'丽榻涓1b需袤右而楹言薪j二元豪京"

(2)三个等价关系

I方程/(x)=0有实数根=函数y=/(x)的图象与x轴有交点的横坐标=函数y=/(%)有零点.

!2、函数零点的判定

j如果函数y=/(x)在区间以切上的图象是连续不断的一条曲线，并且有/伍)•/(，)<0,那么函数

，>=/1)在区间(生人)内有零点，即存在ce(a,b),使得/(c)=0,这个c也就是/(x)=0的根.我们

!把这一结论称为函数零点存在性定理.

;注意：单调性+存在零点;唯一零点

二一(2024^±W-S»«)高薪/(^)=a^x^7o)「<7(1)=^+1

(1)判断了(尤)在R上的单调性，并利用单调性的定义证明；

(2)g(x)=/(x)-Ax,且g(x)在(0,+为上有零点，求力的取值范围.

【答案】⑴单调递增，证明见解析；

(2)2>e+l

【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的

零点

【分析】(1)由题意解出。的值，再利用单调性的定义证明即可；

(2)转化问题为e，+x-菠=0在(0,+。)上有解，则2=h+1有解，利用导函数求1+1的单调性，进而求

XX

得取值范围即可.

【详解】(1)由题意可得〃l)=a+l=e+l,解得a=e,所以f(x)=e，+x,

/(X)在R上单调递增，证明如下：

X12

任取玉>x2eR,则/(x1)-/(x2)=e+西-e*-超=炉-e"?+xl-x2,

因为V=e”在R上单调递增，且玉>々，

所以9-12>0,x,-x2>0,

所以/(%)一/(Z)>0,即/(xj>/(xj,

所以/(x)在R上单调递增.

(2)由(1)得g(x)=e*+x-,

X

g(x)在(0,+8)上有零点,即e*+x-元c=0在(0,+“)上有解，则4=上+1有解，

X

令尸(司=7+1,则尸，(尤)=上=J=e、(:T),

令尸(x)>0解得x>l,令尸(x)<0解得0〈尤<1,

12/97

所以尸(X)在(0,1)单调递减,在。,+⑹单调递增，

所以尸(x)m,„=尸(D=e+1，没有最大值，

所以>12e+1.

2.(2025•广东湛江•一模)已知函数/(x)="ln(x-1)+/一2%,其中

(1)若。=-8,求函数/(力的单调区间；

(2)当a<-2时，试判断/(x)的零点个数并证明.

【答案】⑴单调递减区间为(1,3),单调递增区间为(3,+8)

⑵两个零点，证明见解析

【知识点】利用导数求函数的单调区间(不含参)、利用导数研究函数的零点

【分析】(1)利用导数求得了⑺的单调区间.

(2)先判断2是7(x)的一个零点，利用分类讨论法，对“进行分类讨论，或利用分离参数法，结合导数来

确定正确答案.

【详解】(1)由题知x>l,/~，3=3+2尤_2=2(1)一+0,

」')x-lx-1

当.=一8时，/(X)=2(1)2—8.

令/''(x)=0,得x=3或x=-l(舍去).

当xe(l,3)时,r(x)<0,故/(力的单调递减区间为(1,3).

当xe(3,+s)时,/"(x)>0,故〃x)的单调递增区间为(3,+8).

(2)解法一：因为"2)=0,故/(x)有一个零点是2.

令/(x)=0,解得再=1一日<1(舍去)，x2=l+^.

当xe(l㈤时,f(x)<0,故/(x)单调递减.

当工€仇,+⑹时，f(x)>0,故/(x)单调递增.

当.<一2时，X2=1+^|G(2,+OO),f(x2)<f(2)=0.

/(]-q)=q[n(-a)+Q--1=—a[_q—In(-q)]—1.

下面先证明当时，x-Inx>1.

令g(x)=x-lnx(%21),gz(x)=l--=^^>0,

xx

故g(x)在[l，+8)上单调递增，

所以g(x)2g⑴=1.

13/97

因为—a>2>1,所以/(I-。)=—a[—a—In(—a)]—1>—a—1>0.

易知1-。X2,所以/'(x)在(尤2，+°°)上存在唯一的零点七,

所以当a<-2时，/(X)有两个零点，为2和W.

解法二：当x=2时，/(2)=0,故2是/(司的一个零点.

令/''卜户。，又x>l,所以毛=1+，|.

当xe(l,x。)时，r(x)<0,/(X)单调递减，

当xe(%,+oo)时，/\x)>0,单调递增，

所以x=x°是“X)的极小值点.

当。<—2时，x0>2,所以/

下证lnx〈x-l(x>0).

令g(x)=x-l-lnx,贝ijg<x)=l-工=^^.

XX

当xe(O,l)时，g,(x)<0,g(x)单调递减，当xe(L+°°)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,

从而g(x)?g(l)=0,

所以当x>l时，ln(x-l)<x-2,

所以“ln(x-l)2ax-2a,

即f(x)>ax-2a+x2-2x=x[x+(a-2)]-2a.

令玉>2-a,则有X]+a-2>0,则/'(xJ>0.

易得当a<-2时，2-a>x0,所以/(x)=0在上有唯一解.

综上，当a<-2时，/(x)有两个零点.

解法三:令f(x)=aln(x-l)+x2-2[=0,

当x=2时，/⑵=0,故2是/(力的一个零点.

,,―/+2x

当时,”记百

./\-%2+2x

令

易得g(M在(1,2)和(2,+8)上均单调递减.

2

-x+2x_r-2(x-l)__

因为巴1ln(x-1)™](洛必达法则)，

x-1

14/97

所以当xe(2,+8)时，g(x)<-2且单调递减，

—x+2x/\

故当。<-2时，。=wD在G+00)上有唯一解•

而当尤e(l,2)时，g(x)>-2,

—+2x

故当Q<一2时，a=-r~i一不无解.

综上可知，当。<-2时，/(x)有两个零点.

【点睛】方法点睛：

求函数单调区间时，先求函数的导数，令导数为0求出关键点，再根据导数在不同区间的正负确定函数的单

调区间，这是解决函数单调性问题的基本方法.

判断函数零点个数，先找出一个已知零点，再通过求导确定函数的单调性和极值，然后构造函数证明相关

不等式，进而判断在其他区间是否存在零点，这种方法综合运用了函数的导数性质和不等式证明.

3.(2025・四川巴中•一模)已知函数/(x)=xhw.

⑴求函数/'(x)的极值；

⑵求证：当0<xVl时，2/(x)>x2-l；

⑶若“外=尤2-2〃+今］，其中讨论函数〃(x)的零点个数.

【答案】⑴极小值=-厂，无极大值

⑵证明见解析

⑶答案见解析

【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点

【分析】⑴对/'(x)求导，利用导数判断函数的单调性，进而可得函数的极值；

2

⑵不等式等价于0<xWl,2xlnx-x+l>0,令g(x)=2xlnr-/十］，(0<x<l),利用导数证明g(x)20即

可；

⑶讨论=f-2小+1时(0</<1)的零点个数问题，先对x分类讨论去绝对值，易得在(0,e-')±

总有唯一的零点；当尤〉上时，对〃(x)求导，再对/分类讨论，结合导数知识及零点存在性定理判断即可.

【详解】(1)/'(x)=lnx+l(］a0),令/'(x)=0,Mx=e-1,

当0<x<eT时，r(x)<0,/(尤)单调递减，

当时,r(x)>0,单调递增,

所以/(x)极小值=/卜")=一片|,无极大值.

(2)证明：原不等式等价于：0<x«l,2x\nx>x2-B

15/97

即0<E,2xlnx-x2+l>0,

令g(x)=2xlnx—x2+l,(0<x<1),下证：g(x)>0,

则g'(x)=21nx+2-2x,设机(x)=g'(x),则/⑴=多-2=型二»N0,等号当且仅当x=l时成立，

XX

所以加(x)=g'(x)在0<xWl上单调递增，g'(尤)Vg'Cl)=0,等号当且仅当尤=1时成立，

所以g(x)在0<xVl上单调递减，g(x)>g(l)=0,即原不等式成立.

(3)等价于〃(力=，-2力+lnx|(0v/<l)的零点个数问题:

①当0<x<e—时，h(x)=x2+2z(l+lnx),显然在(0,上单调递增，

又〃⑼.一%MeT)=e->0,所以〃(x)在(0,e^)上总有唯一的零点；

②当x>e-时，/z(x)=x2-2/(l+lnx),

则3)=2》一在=21+〃)[-〃),

XX

(1)若0<芯/，则〃(x)>o在(e，+e)上恒成立，刀卜)在(e\+e)上单调递增，

/z(x)>A(e-1)=e-2>0,〃(x)在(e-,+s)上无零点；

(II)若e-2<f<l,当e-<x<"时,力’(力<0,〃(尤)单调递减；

当X>4时,〃(力>0,〃(力单调递增;

=〃(/)=-，(1+lnf),令g)min=力(4)=0，得公尸.

11

(0若e-2</<e-，则g)1nto=，(/)>0，6")在(e-,+e)上无零点；

⑺若/=「，贝!!"(》焉=〃(〃)=°”1(*)在(5，+8)上有唯一零点；

(历)若e-<f<l，贝M(x：U="(〃)<0,又Me—)=e-2>0,

又由(2)知InxV尤—1,xlnx<x2—x得〃(2。=4〃—2t—2rtn2t20,

由零点存在性定理可知，刀⑴在(1,”)，(“2)上各有一个零点.

综上所述：当0<t<e一时，〃(x)有一个零点：当公十时，〃(x)有两个零点；当e-</<l时，人⑺有三个

零点.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的极值，不等式的证明，函数零点个数的判断，去

绝对值分类讨论是关键.

4.(2025高三•全国・专题练习)已知函数/(x)=e2、+(2-2a)e"-2ax-a.

⑴讨论了(力的单调性；

(2)若「(X)恰有两个零点，求实数”的取值范围.

16/97

【答案】(1)答案见解析

⑵(1，+°°)

【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间

【分析】⑴求导/'(x)=(2e、+2Xe，-“)，再分a40和a>0讨论求解；

(2)由(1)知时，/(x)在R上单调递增，不符合题意，可知a>0,若/(x)有两个零点，由(1)

知/(xL=/(lna)<0,即l-a-21na<0,令g(a)=l-a-21na(a>0)求解.

【详解】(1)由题知/'(x)=2e2x+(2-2a)e'-2a=(2e'+2Xe，-4)，

当aW0时，r(x)>0,f(x)单调递增.

当a>0时，若e*>a,即尤>lna,则/''(尤)>0,故/(尤)在(lna,+s)上单调递增；

若e'<a,即x<lna,则八力<0,故/'(x)在(一双Ina)上单调递减，

综上，当aWO时，/(X)在R上单调递增；

(2)当a>0时，/(X)在Ina)上单调递减，在(Ina,+s)上单调递增.

由(1)可知，当aWO时，/(x)在R上单调递增，/(尤)至多有一个零点，不符合题意.

故。>0,且根据指数函数与一次函数的增长速度可知，当xf+8时，当x3—8时，f(x)^+x).

由(1)知,若/(力有两个零点,

贝!Jf(尤)mm=/(Ina)=a°+(2-2a)a-2alna-a<0,

即1一。一21na<0.

令g(〃)=l-a—21na(a>0),

则g(。)在(0,+°0)上单调递减，

Hg(l)=l-l-21nl=0,则当0<a<l时，g(a)>g(l)=0；

当a>l时，g(a)<g(l)=0.

所以实数。的取值范围为(1,+").

【点睛】易错点点睛：本题第二问，容易忽视分析，当Xf+8时，/(X)—+8,当Xf-00时，/(X)f+8,

仅仅由/(X)而n<0去求解.

5.(2025高三■全国■专题练习)已知函数/'(x)=aln(l-x)+xe「*,aeR.

(1)若函数［(x)在［-1,1)上单调递减，求实数a的取值范围；

(2)若方程/(x)=0有负实数根，求实数。的取值范围.

【答案】(l)［4e2,+8)

(2)(e,+«)

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【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究方程的根

【分析】(1)对024e2和0<4e2两种情况分类讨论，即可得到结果;

(2)对a>e,0<a<e和aVO分类讨论，即可得到到。的取值范围是(e,+(»).

【详解】(1)①若则对-!<x<l有

/,(x)=(l-x)--y0—<(l-jr)eH-1)-a-=(1-x)/-g<2/-4=0,所以/(x)在［-1,1)上单调递减,

满足条件.

②若a<4e2,取〃为凡和ITne?巳中更小的一个，贝且对一1〈尤〈“有

从而此时r3=(1_同$一'_六=止日上;>0,所以/'(x)在(T")上单调递增，不满足条件.

综合①②两方面，可知。的取值范围是［4e\+/).

1

(2)设〃(x)=-尤-ln(l-x),则对x<0有〃(x)=-l+---=——Y<0,所以在(-℃,0)上递减，从而对

1-x1-x

x<0有〉〃⑼=0,Bp-x>ln(l-x).

①若a>e,取丫为1_1@；和1-111卜行］中更大的一个，贝1］"0,且对v<x<0有

从而此时/⑴=0_x)一―=(一4一a>0,所以f(x)在(匕0)上单调递减，故f(v)>〃0)=0.

1—X1—X

而当x<l—ln〃<0时，利用之前证明的一%>ln(l—x),有/(x)=tzIn(1-x)+xe1-%<-ax+xel~x<x(e1-x-tz).

所以根据零点存在定理，可知/(x)=0一定有一个负实数根，满足条件；

②若0<a<e,则对x<0有/'(X)=(l-x)e1-x———>(l-x)e1-0———=(l-x)e-«>e-a>0.

1—x1—0

所以/(X)在(F,o)上单调递增，从而对x<0有/(尤)</(。)=0,故/(x)=0一定没有负实数根，不满足条

件；

③若040,贝IJ对x<0有/'(尤)=(l-x)ej--2(1-尤)>0.

\-X

所以/(X)在(-8,0)上单调递增，从而对x<0有/(x)<〃o)=o,故/(x)=o一定没有负实数根，不满足条

件.

综合①②③，可知。的取值范围是(e,+8).

18/97

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对求导工具的灵活运用.

6.(24-25高三上•福建,期中)已知函数/(x),g(x)满足〃x)=2e，-b+"，

/⑺+g⑴=(2e?-1)葭+12-5卜+2a.

⑴若/'⑺为R上的增函数，求〃的取值范围.

⑵证明：〃x)与g(x)的图象关于一条直线对称.

⑶若底-2夜，且关于x的方程/3+/(d-同=28(2-％)在［-1,1］内有解，求加的取值范围.

【答案】⑴12於,+00)

⑵证明见解析

⑶

【知识点】函数对称性的应用、由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究方程的根

【分析】(1)求导，利用广(x”0对xeR恒成立，可求。的取值范围；

(2)求得g(x)的解析式,根据g(x"/(2-x)可得结论:

(3)可得g(2-x)=/(x),结合已知可得/(1-根)=/(')在『1川内有解，结合(1)的单调性可得e;m=x，

构造函数可得冽的取值范围.

【详解】(1)由/'(%)=21-b+办，可得/'(x)=2e*+eT+a,

因为/(x)为R上的增函数，所以/'(尤"0对尤eR恒成立，

所以2e*+片工+a20对尤eR恒成立，所以。＞-(2eA+b*)对尤eR恒成立，

因为2芳+尸22J2e,e工=20，所以-(2e"+b、)4-2后，

当且仅当2/=6一，，即e、=5时取等号，所以［-(2炉+片,)京=-2行，

所以a2行，所以。的取值范围为［-2后,+8).

(2)因为/(x)=2ex-e-"+ax,f(x)+g(x)=(2e2-l^e-x+12一！卜+2〃，

所以g(x)-(2e2-l)e-“+2a-(2ex-e-x+ax)