2025年中考数学三轮复习之命题与证明

2025年中考数学三轮复习之命题与证明

选择题（共10小题）

1.（2025•九龙坡区校级模拟）下列关于命题的说法中，正确的是（）

A.到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上

B.平行四边形是中心对称图形

C.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

D.最小的有理数是0

2.（2025•方山县一模）“赵爽弦图”是第24届国际数学家大会的会徽图案，源于赵爽所著的《勾股圆方

图注》.赵爽运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理，他所用的方法是（）

A.分析法B.相似法C.反证法D.等面积法

3.（2025•常州模拟）如图，在△ABC中，/C=90°,ZBAC=45°，AB=2,BC边上有一动点。，作

点2关于直线的对称点E,当点。从点B运动到点C时，点E的运动路径长为（）

4.（2025•闵行区模拟）已知在四边形ABC。中，AD//BC,对角线AC、8。交于点O,S.AC^BD,下列

四个命题中真命题是（）

A.若AB=CD,则四边形ABC。一定是等腰梯形

B.若则四边形ABC。一定是等腰梯形

C.若丝=丝，则四边形A8C。一定是矩形

OBOD

D.若AC_L8O且AO=。。，则四边形ABCZ）一定是正方形

5.（2025•铁西区模拟）下列命题正确的是（）

A.每条边都相等的多边形是正多边形

B.对角线互相平分的四边形是平行四边形

C.过线段中点的直线是线段的垂直平分线

D.三角形的角平分线将三角形的面积分成1：2两部分

6.（2025•重庆模拟）下列命题中，是真命题的是（）

A.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行

B.对顶角相等

C.如果|旬=|例，那么a=6

D.三角形的一个外角大于任意一个内角

7.（2025•潮阳区一模）要说明命题”两个数相加，和一定大于其中一个加数”是假命题，能够作为反例

的是（）

A.1+3=4B.-1+3=2

C.0+3=3D.-1+（-3）=-4

8.（2025•宁波模拟）将函数y=|（x>0）的图象绕原点。逆时针旋转45°得到图象C,在图象C上任取

两点（xi,yi）,（%2,>2）,下列命题：①若无1+无2=0,则yi="；②若yi>”，则比>2%；③若无1<

x2<0,则yi>>2.其中正确的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

9.（2025•大连一模）下列命题中，是真命题的是（）

A.两条直线被第三条直线所截，同位角相等

B.过一点有无数条直线与已知直线平行

C.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行

D.直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离

10.（2025•南宁模拟）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=BC=2,P是AC上的动点，点C与点C'

关于尸8对称，当点P从点C到点A的运动过程中C'的运动路径长是（）

A.nB.2TCC.4V2D.4

二.填空题（共5小题）

11.（2025•乌鲁木齐一模）如图，48是。。的直径，M,N是猫（异于A、B）上两点，C是而上一动

点，ZACB的角平分线交。。于点D,ABAC的平分线交CD于点E.当点C从点M运动到点N时,

则C、E两点的运动路径长的比是.

12.（2025•岳麓区校级一模）有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6,把它们像扑克牌那样洗过后，

数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：

①从左至右，按数字从小到大的顺序排列；

②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边.

将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则标注字母e的卡

片写有数字.

ABCDEF

第一行：

第二行：

abcdef

13.（2025•凉州区校级模拟）如图，等边△ABC内接于。。，BC=6,。为弧AC上一动点，过点B作射

线。O的垂线，垂足为E.当点。由点C沿运动到点A时，点E的运动路径长为.

14.（2025•管城区一模）举出一个可以说明命题“若a2=b2,则a=b,t是假命题的反

例：.

15.（2025•长沙一模）四人分别姓张、李、高和陈，他们每人各任一个职务，四个职位是班长、学习委员、

体育委员和劳动委员，已知：

（1）体育委员下围棋很厉害，班长和姓李的同学都不是他的对手；

(2)班长主持班会的时候，学习委员和姓张的同学都举手提了些建议；

(3)学习委员分别给班长和姓李的同学辅导过功课；

(4)体育委员参加篮球赛时，班长和姓高的同学一起为他助威.

根据以上信息，可以推断劳动委员姓.

三.解答题(共5小题)

16.(2025•石家庄模拟)如图1筒车是我国古代利用水利驱动的灌溉工具，筒车上均匀分布着若干个盛水

筒.如图2,筒车。。按逆时针方向转动，与水面分别交于A、B,且48=4百小，筒车的轴心。距离

水面的高度OC长为2/77.

图1图2

(1)求筒车的半径；

(2)盛水桶尸从刚浮出水面绕到离水面最高点时，求它走过的路径长.

17.(2025•江北区模拟)如图，在RtaABC中，NB=90°,AD平分NA4C.小智在刚学完“三角形全

等的判定”这节课后，老师给出了一个富有挑战性的题目，利用所学知识推导出△A3。和△AC。面积

的比值与边AB和AC长度的比值之间的关系.经过小组讨论他们的总体思路是控制变量法，即过点D

作AC的垂线，垂足为点E,再根据三角形全等来证明△A3。和△ACD的高相等，从而得到结论，请根

据小智他们的思路完成以下作图与填空：

(1)尺规作图：过点。作AC的垂线，交AC于点E(不写作法，保留作图痕迹).

(2)证明：平分NBAC,

••・①.

:DELAC,

ZAED=ZB=9Q°.

又②，

：.(AAS).

S^ABD=^AB,DB,S^ACD=^AC'DE,

.S^ABD_AB

SAACDAC

小智他们再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论.请

你依照题意完成下面命题：

如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形面积的比值与该角对

应的两边长度的比值④.

18.（2024•沙坪坝区校级三模）学习了平行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究.他们发现作平行

四边形一组对角的角平分线与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对

角顶点的连线所围成的封闭图形是一个特殊四边形.他的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出

结论.请根据她的思路完成以下作图和填空：

用直尺和圆规，过点B作NABC的角平分线，交AC于点凡连接8£、。足（只保留作图痕迹）

已知：如图，四边形A8CZ）是平行四边形，AC是对角线，OE平分NAZJC,交AC于点E.求证：四边

形2瓦不是平行四边形.

证明：•••四边形A8CO是平行四边形，

：.AD^CB,①,

：.ZDAC^ZBCA.

E平分/AOC,2尸平分NCBA,

11

/ADE=工/.ADC,NCBF=*/.ABC.

'：ZADC=ZCBA,

：.(ASA).

:.DE=BF,/DEA=/BFC.

四边形BEDF是平行四边形.

同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相

交，均具有此特征.请你依照题意完成下面命题：

过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则

④.

我们解决某些数学题的时候，经常会遇到题目中的条件比较含糊，它们常常巧妙地隐蔽在题设的背后，

不易被发现和运用，导致我们解题受阻，因此，挖掘题设中的隐含条件，应该成为我们必备的一种能力.请

阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并依次解决所给的问题.

化简：(—1—5a)2—11—a|.

解：由题意可知隐含条件1-5心0,解得：a<1,

1-a>0,

1—5a)2—11—a|=1—5a—(1—a)——1—5a—1+a=-4a.

启发应用：

(1)按照上面的解法，化简：—5乃一(V3—771)2;

类比迁移：

(2)己知△ABC的三边长分别为(《)2,J.+y)2,(行二三)2,请求出△ABC的周长.(用含有x、y

的代数式表示，结果要求化简)

拓展延伸：

(3)若(V^^)2+J(久_7)2=3,请直接写出尤的取值范围.

20.(2024•重庆二模)如图，在RtAABC中，ZB=90°,AD平分N8AC.小明在刚学完“三角形全等

的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出△ABD和△AC。面积的比值与ABAC两边比值的关系.他

的思路是：过点。作AC的垂线，垂足为点H,再根据三角形全等来证明△A3。和△ACD的高相等，

进一步得到△A3。和△AC。的面积之比等于N54C的两邻边边长之比.请根据小明的思路完成以下作

图与填空：

(1)尺规作图：过点D作AC的垂线，垂足为点X(保留作图痕迹，不写作法，要下结论).

(2)证明：9：DHLAC,

：.ZAHD=90°=NB

9：AD平分NBA。，

在△A3。和△AH。中，

'/B=NAHD

•4BAD=4HAD

<()

AABD^AAHD(AAs).

：.BD=DH.

1

,S—BO=2"8,BD9

1

s“cD~,DH,

・S^ABD_

S^ACD

小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论.请你

依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那

么.

A

BC

D

2025年中考数学三轮复习之命题与证明

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案BDCCBBDDCA

选择题（共10小题）

1.（2025•九龙坡区校级模拟）下列关于命题的说法中，正确的是（）

A.到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上

B.平行四边形是中心对称图形

C.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

D.最小的有理数是0

【考点】命题与定理；中心对称图形；有理数；角平分线的性质；垂径定理.

【专题】平移、旋转与对称；圆的有关概念及性质；推理能力.

【答案】B

【分析】根据角平分线的判定、中心对称图形、垂径定理的推论、有理数的概念判断即可.

【解答】解：A、在角的内部，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，故本选项说法错误，

不符合题意；

8、平行四边形是中心对称图形，说法正确，符合题意；

C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故本选项说法错误，不符合题意；

。、没有最小的有理数，故本选项说法错误，不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关

键是要熟悉课本中的性质定理.

2.（2025•方山县一模）“赵爽弦图”是第24届国际数学家大会的会徽图案，源于赵爽所著的《勾股圆方

图注》.赵爽运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理，他所用的方法是（）

A.分析法B.相似法C.反证法D.等面积法

【考点】反证法；勾股定理的证明.

【专题】几何图形；运算能力.

【答案】D

【分析】根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个直角三角形的面积，即可证明勾股定理.

a)2=4x5ab，

整理得/+房=02,

•••他所用的方法是等面积法,

故选：D.

【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确进行计算是解题关键.

3.（2025•常州模拟）如图，在△ABC中，ZC=90°,ZBAC=45°，AB=2,8c边上有一动点D,作

点5关于直线A0的对称点当点。从点6运动到点。时，点E的运动路径长为（）

71V27T

A.-B.——C.nD.V2TT

22

【考点】轨迹；轴对称的性质；勾股定理；等腰直角三角形.

【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；与圆有关的计算；运算能力；推理能力.

【答案】C

【分析】延长到点凡FC=BC,连接ARAE,由NC=90°,ZBAC=45°,得AC垂直平分

BF,ZABF=ZBAC=45°,贝l]AF=AB=2,ZAFB=ZABF=45°,所以/8A尸=90°,由点E与点

2关于直线4。对称，得A£=AB=2,可知点E的运动路径长为以A为圆心，半径长为2,且圆心角为

90°的办的长，根据弧长公式求得/存=m于是得到问题的答案.

【解答】解：延长BC到点R使PC=BC,连接AF、AE,

VZC=90a,ZBAC=45°,AB=2,

；.AC垂直平分ZABF^ZBAC^45°,

：.AF^AB=2,ZAFB^ZABF^45°,

.•.NBA尸=180°-ZAFB-ZABF^90°,

:点E与点B关于直线AD对称，

AO垂直平分BE,

：.AE=AB=2,

...点E在以A为圆心，半径长为2的圆弧上运动，

:当点。与点8重合时，则点E与点8重合；当点。与点C重合时，则点E与点/重合，

.•.点E的运动路径为长以A为圆心，半径长为2,且圆心角为90°的齐的长，

.,_907rx2_

・・l§p=1go=m

F

【点评】此题重点考查等腰直角三角形的性质、轴对称的性质、弧长公式、轨迹问题的求解等知识与方

法，正确地作出辅助线是解是的关键.

4.（2025•闵行区模拟）已知在四边形ABC。中，AD//BC,对角线AC、BD交于点O,且AC=B。，下列

四个命题中真命题是（）

A.若A8=CD,则四边形ABC。一定是等腰梯形

B.若/DBC=/ACB,则四边形ABC。一定是等腰梯形

C.若空=半，则四边形A8CD一定是矩形

OB0D

D.若ACJ_8D且4。=。。，则四边形ABCD一定是正方形

【考点】命题与定理.

【专题】几何图形.

【答案】C

【分析】根据等腰梯形、矩形、正方形的判定判断即可.

【解答】解：A、在四边形A8C。中，AD//BC,对角线AC、BD交于点、O,S.AC=BD,若AB=CD,

则四边形A3CD可能是矩形，错误；

B、在四边形ABCZ）中，AD//BC,对角线AC、8。交于点。，S.AC^BD,若NDBC=NACB,则四

边形ABC。可能是正方形，错误；

AOCO

C、在四边形A8CD中，AD//BC,对角线AC、BD交于点、O,S.AC=BD,若布=—,则四边形A2CD

一定是矩形，正确；

D、在四边形ABCZ）中，AD//BC,对角线AC、3。交于点。，且AC=B。，若AC_L2£）且40=0。，

则四边形A8CO可能是等腰梯形，错误；

故选：C.

【点评】此题考查命题与定理，关键是根据等腰梯形、矩形、正方形的判定解答.

5.（2025•铁西区模拟）下列命题正确的是（）

A.每条边都相等的多边形是正多边形

B.对角线互相平分的四边形是平行四边形

C.过线段中点的直线是线段的垂直平分线

D.三角形的角平分线将三角形的面积分成1：2两部分

【考点】命题与定理；三角形的面积；平行四边形的判定与性质；正多边形和圆.

【专题】三角形；多边形与平行四边形；推理能力.

【答案】B

【分析】根据各个选项中的说法可以判断是否正确，从而可以判断哪个选项符合题意.

【解答】解：每条边都相等，每个内角都相等的多边形是正多边形，每条边都相等的多边形不一定是正

多边形，如菱形不是正四边形，故选项A错误，不符合题意；

对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项8正确，符合题意；

过线段中点且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线，故选项c错误，不符合题意；

三角形的角平分线将三角形的面积分成1：2两部分是错的，如△ABC的边A8=6,AC=4,平分/

BAC,则AO将△ABC分出来的两个三角形的面积比为3：2,故选项。错误，不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查命题与定理、三角形的面积、角平分线的性质、平行四边形的判定、正多边形的定义，

解答本题的关键是明确题意，可以判断选项中的命题是否正确.

6.（2025•重庆模拟）下列命题中，是真命题的是（）

A.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行

B.对顶角相等

C.如果⑷=|6],那么a—b

D.三角形的一个外角大于任意一个内角

【考点】命题与定理；平行公理及推论；平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质.

【专题】三角形；推理能力.

【答案】B

【分析】根据平行公理、对顶角相等、绝对值的性质、三角形的外角性质判断即可.

【解答】解：A、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项命题是假命

题，不符合题意；

8、对顶角相等，是真命题，符合题意；

C、如果⑷=|可，那么a=±b,故本选项命题是假命题，不符合题意；

。、三角形的一个外角大于和它不相邻的任意一个内角，故本选项命题是假命题，不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关

键是要熟悉课本中的性质定理.

7.（2025•潮阳区一模）要说明命题”两个数相加，和一定大于其中一个加数”是假命题，能够作为反例

的是（）

A.1+3=4B.-1+3=2

C.0+3=3D.-1+（-3）=-4

【考点】命题与定理；有理数的加法.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】D

【分析】根据加法法则知识进行判断即可.

【解答】解：两个负数相加，和一定小于其中一个加数，如-1+（-3）=-4,

故选：D.

【点评】此题考查了命题与定理、加法法则等知识，熟练掌握加法法则是解题的关键.

8.（2025•宁波模拟）将函数y=］（x>0）的图象绕原点。逆时针旋转45°得到图象C,在图象C上任取

两点（xi,yi）,（X2,>2）,下列命题：①若尤1+%2=0,则yi=y2；②若yi>”，则无>2%；③若无1<

%2<0,则yi>>2.其中正确的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【考点】命题与定理；坐标与图形变化-旋转；反比例函数图象上点的坐标特征.

【专题】反比例函数及其应用；平移、旋转与对称；推理能力.

【答案】D

【分析】先根据反比例函数的对称性和旋转性质得到图象C关于y轴对称，根据轴对称性质可判断①；

根据图象C与y轴交于点（0,2）,yi>”，利用不等式的性质可判断②；根据图象C的增减性可判断

③，进而可得答案.

【解答】解：：反比例函数的图象关于直线y=x对称，且过点（鱼，V2）

图象C关于y轴对称，图象C与y轴交于点（0,2）,

...当xi+x2=0时，故命题①正确.

:图象C与y轴交于点（0,2）,V1>J2.

；.yi>y222.

.'.y^>y1y2>2y2>即无>2%，故命题②正确.

:在图象C上，当尤<0时，y随x的增大而减小，

...当xi<x2<0时，yi>yi.即命题③正确.

综上，正确的是①②③，

故选：D.

【点评】本题考查反比例函数的性质、旋转性质、轴对称性、不等式性质，利用数形结合思想求解是解

答的关键.

9.（2025•大连一模）下列命题中，是真命题的是（）

A.两条直线被第三条直线所截，同位角相等

B.过一点有无数条直线与已知直线平行

C.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行

D.直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离

【考点】命题与定理；对顶角、邻补角；点到直线的距离；同位角、内错角、同旁内角；平行公理及推

论；平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】C

【分析】根据平行线的性质、平行公理的推论、平行线的判定、点到直线的距离的定义判断即可.

【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意；

8、过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意；

C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，符合题意；

。、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故本选项命题是假命题，不符合

题意；

故选：C.

【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关

键是要熟悉课本中的性质定理.

10.（2025•南宁模拟）如图，在中，NC=90°,AC=BC=2,尸是AC上的动点，点C与点C'

关于PB对称，当点P从点C到点A的运动过程中C,的运动路径长是（）

A

c*\\

P

B

A.JTB.2TIc.4V2D.4

【考点】轨迹；轴对称的性质；勾股定理；等腰直角三角形.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【答案】A

【分析】根据对称性分析得出长度固定，当点P与点C重合时，。与点C重合，当点P与点A重

合时，。与点。重合，可得点。的运动路径是以8为圆心，8c为半径的弧CZ）的长，再求出圆心角和

半径，根据弧长公式计算即可.

【解答】解：,••点C与点。关于PB对称,

：.BC=BC,

长度固定,

.•.8C长度固定,

当点尸与点C重合时，。与点C重合,

当点尸与点A重合时，。与点。重合,

.•.点。的运动路径是以8为圆心，BC为半径的弧。的长,

VZC=90°,AC=BC=2,

ZABC=45°,

AZCB£>=90°,

...运动路径长为：'潸=兀，

故选：A.

【点评】本题考查了弧长公式，等腰直角三角形的性质，对称性质，解题的关键是得出点。的运动路

径.

填空题（共5小题）

11.（2025•乌鲁木齐一模）如图，48是。。的直径，M,N是熊（异于A、B）上两点，C是而上一动

点，NACB的角平分线交O。于点NBAC的平分线交CD于点E.当点C从点M运动到点N时,

则C、E两点的运动路径长的比是

D

【考点】轨迹；圆周角定理.

【专题】推理填空题；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力.

【答案】V2.

【分析】连接即，设。A=r,作等腰直角三角形A。"AD=DB,ZADB=90°,则点E在以。为圆

心D4为半径的弧上运动，运动轨迹是弹，点C的运动轨迹是血，由题意/A/ON=2/GDF,设NGDF

=a,则/MON=2a,利用弧长公式计算即可解决问题.

【解答】解：如图，连接即，设。4=r,

,：AB是OO的直径，

AZACB=90°,

VZACB的角平分线交。。于点D,ABAC的平分线交CD于点E.

是△ACB的内心，

ZA£B=135",

作等腰直角三角形A。'AD=DB,ZADB=90°,

则点E在以D为圆心DA为半径的弧上运动，运动轨迹是存，

点C的运动轨迹是立由题意/MON=2/GOF,

设/GDF=a,则/M0N=2a,

2aX7i"Xr

弧MN的长度：弧GF的长度=18。=V2.

aXTTXj2r

-180-

故答案为：V2.

【点评】本题考查了轨迹，圆周角定理，弧长公式，解决本题的关键是掌握与圆有关的性质.

12.（2025•岳麓区校级一模）有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6,把它们像扑克牌那样洗过后，

数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：

①从左至右，按数字从小到大的顺序排列；

②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边.

将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则标注字母e的卡

片写有数字4.

ABCDEF

第一行：

第二行：

abcdef

【考点】推理与论证.

【专题】证明题；推理能力.

【答案】4.

【分析】根据排列规则依次确定白1,白2,白3,白4的位置，即可得出答案.

【解答】解：第一行中8与第二行中c肯定有一张为白1,若第二行中。为白1,则左边不可能有2张

黑卡片，

白卡片数字1摆在了标注字母B的位置，

•••黑卡片数字1摆在了标注字母A的位置,；

第一行中C与第二行中。肯定有一张为白2,若第二行中。为白2,则a,b只能是黑1,黑2,而A为

黑1,矛盾，

.,.第一行中C为白2；

第一行中尸与第二行中c肯定有一张为白3,若第一行中尸为白3,则。，E只能是黑2,黑3,此时黑

2在白2右边，与规则②矛盾，

.,.第二行中c为白3,

.,.第二行中a为黑2,b为黑3；

第一行中尸与第二行中e肯定有一张为白4,若第一行中尸为白4,则。，E只能是黑3,黑4,与b

为黑3矛盾，

.,.第二行中e为白4.

故答案为：4.

【点评】本题考查了推论与论证，图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出

白1,白2,白3,白4的位置.

13.（2025•凉州区校级模拟）如图，等边△ABC内接于。。，BC=6,。为弧AC上一动点，过点8作射

线DO的垂线，垂足为E.当点D由点C沿运动到点A时，点E的运动路径长为—.

3

【考点】轨迹；等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心.

【专题】三角形；与圆有关的计算.

【答案】浮

【分析】连接B。，过点。作。于点凡在尸中，根据含30度角的直角三角形的性质，

勾股定理即可求出圆的半径，然后取8。的中点G,连接EG,OC,OA,贝1]6£=帝8。=百，延长C。

交OG于点H,根据NCOD=NE。/，得出E点在OG上运动了120。，进而根据弧长公式进行计算即

可求解.

【解答】解：如图所示，连接8。，过点。作。于点尸，

1

则BF=^BC=3,

•/△ABC为等边三角形，

1

AZFBO=^ZABC=30°,

：.OB=2同取2。的中点G,

连接EG,OC,OA,

-1

贝ijGE=^BO=V3,

■:/BEO=9G°,

在OG上运动，

'：AC^AC,

：.ZCOA=2ZABC^120°,

延长CO交OG于点H,

,：ZCOD=ZEOH,

当点。由点C沿衣运动到点A时，E点在OG上运动了120°,

120X7TXV32V3

点E的运动路径长为

180

【点评】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，直角

所对的弦是直径，求弧长，熟练掌握以上知识是解题的关键.

14.（2025•管城区一模）举出一个可以说明命题''若/=廿，则。=匕”是假命题的反例：。=3,5=-3

（答案不唯一）.

【考点】命题与定理.

【专题】证明题；推理能力.

【答案】a=3,b=-3（答案不唯一）.

【分析】a=3,b=-3,则32=（-3）2,3W-3,满足/=庐，不满足a=6.

【解答】解：举出。=3,b=-3代入验证可得：

32=（-3）2,3W-3,满足/=必，不满足

故命题“若『=必，则。=〃，是假命题，

故答案为：。=3,b=-3(答案不唯一).

【点评】本题考查了命题与定理掌握相关知识是解题的关键.

15.(2025•长沙一模)四人分别姓张、李、高和陈，他们每人各任一个职务，四个职位是班长、学习委员、

体育委员和劳动委员，已知：

(1)体育委员下围棋很厉害，班长和姓李的同学都不是他的对手；

(2)班长主持班会的时候，学习委员和姓张的同学都举手提了些建议；

(3)学习委员分别给班长和姓李的同学辅导过功课；

(4)体育委员参加篮球赛时，班长和姓高的同学一起为他助威.

根据以上信息，可以推断劳动委员姓李.

【考点】推理与论证.

【专题】推理能力.

【答案】李.

【分析】根据题干中的四条信息分析作答.

【解答】解：本题中“班长与姓李的同学都不是他的对手”意味着体育委员和班长不姓李；“学习委员

和姓张的同学都举手提了些建议”意味着出班长和学习委员不姓张；“学习委员分别给班长和姓李的同

学辅导过功课”意味着班长和学习委员不姓李；“体育委员参加篮球赛时，班长和姓高的同学一起为他

助威”这表明体育委员和班长不姓高.

班长不姓李、张、高，所以班长姓陈；体育委员不姓李、高，也不能姓陈，所以体育委员姓张；剩余李

和高姓，因为学习委员不姓李，所以学习委员姓高，劳动委员姓李.

故答案为：李.

【点评】本题考查推理论证，演绎是一种由一般到个别的推理方法.在演绎推理过程中，前提和结论之

间的联系是必然的，结论不能超出前提所断定的范围.对于一个正确的演绎推理过程，如果其前提是真

的，则所得到的结论也一定是真的，这是演绎推理的一个重要特征.

三.解答题(共5小题)

16.(2025•石家庄模拟)如图1筒车是我国古代利用水利驱动的灌溉工具，筒车上均匀分布着若干个盛水

筒.如图2,筒车。。按逆时针方向转动，与水面分别交于A、B,且43=4百小，筒车的轴心。距离

水面的高度OC长为2m.

G

aP水面

图14图2

(1)求筒车。。的半径；

(2)盛水桶尸从刚浮出水面绕到离水面最高点时，求它走过的路径长.

【考点】轨迹；垂径定理的应用.

【专题】圆的有关概念及性质；推理能力.

【答案】(1)筒车。。的半径为4加；

8

(2)-TTm.

3

【分析】(1)连接根据勾股定理即可解决问题

(2)利用锐角三角函数求出/CO4=60°,再根据弧长公式即可解决问题.

【解答】解：(1)如图，连接04,

(I、、J。水面

图1图2

'：AB=4V3,OCLAB,

：.AC=2V3,

在RtZXACO中，0C=2,AO2=OC2+AC2,

：,A0=J22+(2旧/=4,

答：筒车。。的半径为4%；

(2)由(1)可得加714。4=差=百，

：.ZCOA=60°,

盛水桶P从刚浮出水面绕到离水面最高点时，它走过的路径长为竺上丝兀x4=-Tim.

1803

【点评】本题考查轨迹，垂径定理的应用，解决本题的关键是掌握垂径定理.

17.(2025•江北区模拟)如图，在RtZ\ABC中，ZB=90°,平分NA4c.小智在刚学完“三角形全

等的判定”这节课后，老师给出了一个富有挑战性的题目，利用所学知识推导出△A3。和△AC。面积

的比值与边48和AC长度的比值之间的关系.经过小组讨论他们的总体思路是控制变量法，即过点D

作AC的垂线，垂足为点E,再根据三角形全等来证明△A3。和△AC£»的高相等，从而得到结论，请根

据小智他们的思路完成以下作图与填空：

(1)尺规作图：过点。作AC的垂线，交AC于点E(不写作法，保留作图痕迹).

(2)证明：平分NBAC,

①/CAD=/BAD.

■:DELAC,

：.ZAED^ZB^90°.

又②>£>=>£>,

：.AABD^AAED(AAS).

.,.③DE=BD.

S^ABD=^AB,DB,S^ACD=^AC'DE,

,S-4BD_AB

S&ACDAC

小智他们再进一步研究发现,只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形,均有此结论.请

你依照题意完成下面命题：

如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形面积的比值与该角对

应的两边长度的比值④相等.

【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；作图一复杂作图.

【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；尺规作图；推理能力.

【答案】ZCAD^ZBAD,AD=AD,DE=BD,相等.

【分析】（1）以。为圆心画弧交AC于M、N,作线段的垂直平分线交AC于E；

（2）判定△A3。g△AE。（AAS）,推出DE=BD,由三角形面积公式推出包迺=",由以上证明

St,ACDAC

即可得到结论.

【解答】（1）解:如图所示：DE1AC；

（2）证明：平分NA4C,

：.ZCAD^ZBAD,

'：DE±AC,

：.ZAED=ZB=90°,

5LAD=AD,

：.AABD^AAED（AAS）.

:.DE=BD.

Sabd

SAABD=^AB'DB,S^ACD^^AC'DE,,\^.

22SAACDAC

小智他们再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论,

如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形面积的比值与该角对

应的两边长度的比值相等.

故答案为：ZCAD=ZBAD,AD=AD,DE=BD,相等.

【点评】本题考查命题与定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，作图-复制作图，关键是

掌握尺规作图：过直线外一点作已知直线的方法，判定△A3。g△AED（AAS）,推出

18.（2024•沙坪坝区校级三模）学习了平行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究.他们发现作平行

四边形一组对角的角平分线与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对

角顶点的连线所围成的封闭图形是一个特殊四边形.他的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出

结论.请根据她的思路完成以下作图和填空：

用直尺和圆规，过点2作/ABC的角平分线，交AC于点R连接BE、DF.（只保留作图痕迹）

已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，ZJE平分/AZJC,交AC于点E.求证：四边

形BEDE是平行四边形.

证明：：四边形ABCD是平行四边形，

：.AD=CB,①D=〃8C,

：.ZDAC=ZBCA.

;平分NAOC,3斤平分NCBA,

11

^ADE=W"DC,/CBF=|UBC.

'：ZADC^ZCBA,

：.②/ADE=NCBF,

.MADE咨ACBF(ASA).

:.DE=BF,NDEA=NBFC.

：.③NDEA=/BFC,

四边形BED尸是平行四边形.

同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相

交，均具有此特征.请你依照题意完成下面命题：

过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则④这两个交点与这条对

角线两侧的对角顶点的连线所围成的四边形是平行四边形.

【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；平行四边形的判定与性质；作图一

复杂作图.

【专题】多边形与平行四边形；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】利用基本作图作/ABC的平分线得到BR再利用平行四边形的性质得到AD=C8,AD//BC,

所以/ZMC=/8CA,接着根据角平分线的定义可证明NADC=/CA4,于是可判断?则

DE=BF,ZDEA=ZBFC.然后证明从而得到四边形8EDF是平行四边形.类比方法可得

到过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角

线两侧的对角顶点的连线所围成的四边形是平行四边形.

【解答】证明：如图，

,/四边形ABCD是平行四边形,

：.AD=CB,AD//BC,

：.ZDAC=ZBCA.

£平分NAOC,BF平分NCBA,

11

^ADE=W/.ADC,NCBF=|UBC.

ZADC^ZCBA,

：.NADE=ZCBF,

.MADE咨ACBF(ASA).

:.DE=BF,NDEA=NBFC.

：.DE//BF,

...四边形BED尸是平行四边形.

一般地，过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则这两个交点与这

条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的四边形是平行四边形.

故答案为：AD//BC,ZADE=ZCBF,ZDEA=ZBFC；这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的

连线所围成的四边形是平行四边形.

【点评】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证.也考查了平行四边形的判

定与性质、全等三角形的判定与性质.

19.(2024•定海区三模)阅读理解：

我们解决某些数学题的时候，经常会遇到题目中的条件比较含糊，它们常常巧妙地隐蔽在题设的背后,

不易被发现和运用，导致我们解题受阻，因此，挖掘题设中的隐含条件，应该成为我们必备的一种能力.请

阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并依次解决所给的问题.

化简：(A/1-5a)2—11-a|.

解：由题意可知隐含条件1-5aN0,解得：a<±

1-a>0.

(V1—5CL)—11—d\——1—5a—(1—a)——1—5a—1+a=-4a.

启发应用：

(1)按照上面的解法，化简：-5尸-(V^F)2;

类比迁移：

(2)己知△ABC的三边长分别为(«)2,J(>+y)2,请求出△人与。的周长.(用含有了、y

的代数式表示，结果要求化简)

拓展延伸：

(3)若(ST。)？+J(x—7尸=3,请直接写出尤的取值范围.

【考点】命题与定理；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；不等式的性质.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】(1)2；

(2)x+2y；

(3)4OW7.

【分析】(1)先根据二次根式有意义的条件求出机的范围，再根据二次根式的性质化简即可；

(2)先根据二次根式有意义的条件求出x、y的范围，再根据二次根式的性质化简即可；

(3)先根据二次根式有意义的条件求出尤的范围，再分类讨论，根据二次根式的性质化简即可.

【解答】解：(1)由题意可知隐含条件3-解得：根W3,

m-5<0,

y/(m—5)2—(V3—m)2—5—m—(3—m)—5—m—3+m=2,

(2)由题意可知隐含条件xNO,y-x^O,解得：尤>0,y^x,

.,.x+y^0,

(V%)2+J(x+y)2+(Jy—「)2=x+x+y+y-x=x+2y,

：.△ABC的周长为x+2y；

(3)由题意可知隐含条件x-420,解得：尤24,

当4Wx<7时，X-7W0,

则(V%-4)2+J(久-7尸=%—4+7-%=3,符合题意，

当x>7时，x-7>0,

贝!—4产+J(久一7尸=久一4+久一7=2%—11,不符合题意,

综上所述，尤的取值范围为4WxW7.

【点评】本题考查了二次根式的性质和二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质和二次根式有

意义的条件是解题的关键.

20.(2024•重庆二模)如图，在RtAABC中，ZB=90°,AD平分N8AC.小明在刚学完“三角形全等

的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出△48。和△AC。面积的比值与ABAC两边比值的关系.他

的思路是：过点。作AC的垂线，垂足为点再根据三角形全等来证明△A3。和△ACD的高相等，

进一步得到△A3。和△AC。的面积之比等于/8AC的两邻边边长之比.请根据小明的思路完成以下作

图与填空：

(1)尺规作图：过点。作AC的垂线，垂足为点“(保留作图痕迹，不写作法，要下结论).

(2)证明：'：DH±AC,

：.ZAHD=90°=NB

平分/BAC,

NBAD=/HAD.

在△ABD和△A