北京市朝阳区2024-2025学年高二下数学期末调研试题含解析

北京市朝阳区2024-2025学年高二下数学期末调研试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．利用反证法证明：若，则，应假设（）A．，不都为 B．，都不为C．，不都为，且 D．，至少一个为2．已知点P在直径为2的球面上，过点P作球的两两相互垂直的三条弦PA，PB，PC，若，则的最大值为A． B．4 C． D．33．已知函数在处取得极值，则的图象在处的切线方程为（）A． B． C． D．4．某班级要从四名男生、两名女生中选派四人参加某次社区服务，则所选的四人中至少有一名女生的选法为（）A． B． C． D．5．已知空间三条直线若与异面,且与异面,则（）A．与异面. B．与相交.C．与平行. D．与异面、相交、平行均有可能.6．若一个直三棱柱的所有棱长都为1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）．A． B． C． D．7．设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A． B．C． D．8．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（）A．12种 B．18种 C．24种 D．64种9．函数的值域是A． B． C． D．10．从图示中的长方形区域内任取一点，则点取自图中阴影部分的概率为()A． B．C． D．11．已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合CUA．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0<x<1}12．一个口袋内装有大小相同的6个白球和2个黑球，从中取3个球，则共有（）种不同的取法A．C61C22 B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若的展开式中的系数是__________．14．如图，正四棱柱的底面边长为4，记，，若，则此棱柱的体积为______．15．在极坐标系中,过点作圆的切线,则切线的极坐标方程是__________.16．已知函数，若的所有零点之和为1，则实数的取值范围为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数．(1)当时，求函数的值域；(2)若，求实数的取值范围．18．（12分）【选修4-4，坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=22t,y=3+（Ⅰ）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A,B,求|PA||PB|的值.19．（12分）已知函数的最小值为M.（1）求M；（2）若正实数，，满足，求：的最小值.20．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，点在直线上．（1）求角的值；（2）若，求的面积．21．（12分）如图所示，四棱锥中，底面，，为中点.（1）试在上确定一点，使得平面；（2）点在满足（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值.22．（10分）在中，己知（1）求的值；（2）求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

表示“都是0”，其否定是“不都是0”.【详解】反证法是先假设结论不成立，结论表示“都是0”，结论的否定为：“不都是0”.在简易逻辑中，“都是”的否定为“不都是”；“全是”的否定为“不全是”，而不能把它们的否定误认为是“都不是”、“全不是”.2、A【解析】

由题意得出，设，，利用三角函数辅助角公式可得出的最大值.【详解】由于、、是直径为的球的三条两两相互垂直的弦，则，所以，设，，，其中为锐角且，所以，的最大值为，故选A.本题考查多面体的外接球，考查棱长之和的最值，在直棱柱或直棱锥的外接球中，若其底面外接圆直径为，高为，其外接球的直径为，则，充分利用这个模型去解题，可简化计算，另外在求最值时，可以利用基本不等式、柯西不等式以及三角换元的思想来求解．3、A【解析】

利用列方程，求得的值，由此求得，进而求得的图象在处的切线方程.【详解】，函数在处取得极值，，解得，，于是，可得的图象在处的切线方程为，即．故选：A本小题主要考查根据极值点求参数，考查利用导数求切线方程，属于基础题.4、A【解析】所选的四人中至少有一名女生的选法为本题选择A选项.5、D【解析】解：∵空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，∵m与n可能异面（如图3），也可能平行（图1），也可能相交（图2），故选D．6、B【解析】

根据题意画出其立体图形.设此直三棱柱两底面的中心分别为,则球心为线段的中点,利用勾股定理求出球的半径,即可求得该球的表面积．【详解】画出其立体图形:直三棱柱的所有棱长都为1,且每个顶点都在球的球面上，设此直三棱柱两底面的中心分别为,则球心为线段的中点，设球的半径为，在中是其外接圆半径,由正弦定理可得:,,即在中∴球的表面积.故选:B.本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质.解决本题的关键在于能想象出空间图形,并能准确的判断其外接球的球心就是上下底面中心连线的中点．7、D【解析】分析：根据题意，设，对求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得在上为减函数，分析的特殊值，结合函数的单调性分析可得在区间和上都有，结合函数的奇偶性可得在区间和上都有，进而将不等式变形转化可得或，解可得x的取值范围，即可得答案.详解：根据题意，设，其导数，又当时，，则有，即函数在上为减函数，又，则在区间上，，又由，则，在区间上，，又由，则，则在区间和上都有，又由为奇函数，则在区间和上都有，或，解可得：或.则x的取值范围是.故选：D.点睛：本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，以及不等式的解法，关键是分析与的解集.8、C【解析】

根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，有种分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有种情况，此时有种情况，则有种不同的安排方法；故选：C．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．9、A【解析】分析：由于函数在上是减函数，且，利用单调性求得函数的值域详解：函数在上是减函数，且，当时，函数取得最小值为当时，函数取得最大值为故函数的值域为故选点睛：本题主要考查的是指数函数的单调性，求函数的值域，较为基础。10、C【解析】

先利用定积分公式计算出阴影部分区域的面积，并计算出长方形区域的面积，然后利用几何概型的概率计算公式可得出答案．【详解】图中阴影部分的面积为，长方形区域的面积为1×3＝3，因此，点M取自图中阴影部分的概率为．故选C．本题考查定积分的几何意义，关键是找出被积函数与被积区间，属于基础题．11、D【解析】试题分析：因为A∪B={x|x≤0或x≥1}，所以CU考点：集合的运算.12、D【解析】

直接由组合数定义得解．【详解】由题可得：一个口袋内装有大小相同的8个球中，从中取3个球，共有N=C故选D本题主要考查了组合数的定义，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、35【解析】

利用展开式的通项公式求得答案.【详解】的展开式：取故答案为35本题考查了二项式的展开式，属于简单题.14、【解析】

建立空间直角坐标系，设出直四棱柱的高h，求出的坐标，由数量积为0求得h，则棱柱的体积可求．【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设，又，则，，，，，，，，即．此棱柱的体积为．故答案为．本题考查棱柱体积的求法，考查利用空间向量解决线线垂直问题，是中档题．15、.【解析】试题分析：点的直角坐标为，将圆的方程化为直角坐标方程为，化为标准式得，圆心坐标为，半径长为，而点在圆上，圆心与点之间连线平行于轴，故所求的切线方程为，其极坐标方程为.考点：1.极坐标与直角坐标之间的转化；2.圆的切线方程16、【解析】

先根据分段函数的形式确定出时的零点为，再根据时函数解析式的特点和导数的符号确定出图象的“局部对称性”以及单调性，结合所有零点的和为1可得，从而得到参数的取值范围.【详解】当时，易得的零点为，当时，，∵当时，，∴的图象在上关于直线对称.又，当时，，故单调递增，当时，，故单调递减，且，.因为的所有零点之和为1，故在内有两个不同的零点，且，解得.故实数a的取值范围为．故答案为：．本题考查分段函数的零点，已知函数零点的个数求参数的取值范围时，应根据解析式的特点和导数寻找函数图象的对称性和函数的单调性，最后根据零点的个数得到特殊点处函数的符号，本题属于较难题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2)【解析】

(1)当时，，求导，可知函数在上单调递增，即可求出的值域；(2)根据已知可得，对分类讨论：当时，不等式恒成立；当时，，令，只需即可，求导可得，令，则，即可得，从而可得，从而可得．【详解】(1)当时，，所以所以在上单调递增，最小值为，最大值为，所以的值域为．(2)由，得，①当时，不等式恒成立，此时；②当时，，令，则，令，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，所以，所以综上可得实数的取值范围．本题主要考查导数在研究函数中的应用，同时考查恒成立及分类讨论的思想，属于中档题．18、（1）直线l的普通方程为x-y+3=0，曲线C的直角坐标方程为(x+1)2+(y-2)【解析】试题分析：本题主要考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化、直线与圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用x2+y2=ρ2试题解析：（Ⅰ）直线l的普通方程为x-y+3=0，ρ2曲线C的直角坐标方程为(x+1)2（Ⅱ）将直线的参数方程x=22ty=3+22t（t1|PA||PB|=|t考点：本题主要考查：1.极坐标方程，参数方程与直角方程的相互转化；2.直线与圆的位置关系.19、（1）（2）3.【解析】

将绝对值函数写成分段函数形式，分别求出各段的最小值，最小的即为函数的最小值。由（1）知，直接利用公式：平方平均数算数平均数，即可解出最小值。【详解】（1）如图所示∴(2)由（1）知∴∴∴∴当且仅当，是值最小∴的最小值为3.本题考查绝对值函数及平方平均数与算数平均数的大小关系，属于基础题.20、（1）；（2）【解析】

（1）代入点到直线的方程，根据正弦定理完成角化边，对比余弦定理求角；（2）将等式化简成“平方和为零”形式，计算出的值，利用面积公式计算的面积.【详解】解：（1）由题意得，由正弦定理，得，即，由余弦定理，得，结合，得.（2）由，得，从而得，所以的面积.本题考查正、余弦定理的简单应用，难度较易.使用正弦定理进行角化边或者边化角的过程时，一定要注意“齐次”的问题.21、(1).(2).【解析】【试题分析】（1）先确定点的位置为等分点，再运用线面平行的判定定理进行证明平面；（2）借助（1）的结论，及线面角的定义构造三角形找出直线与平面所成角，再通过解直角三角形求出其正弦值：解：(1)证明:平面PAD.过M作交PA于E,连接DE.因为,所以，又，故,且，即为平行四边形,则,又平面PAD,平面PAD,平面；(2)解:因为，所