2025年高考数学复习突破集训：大题01 三角函数、三角恒等变换与解三角形（8大题型）原卷版

大题01三角函数、三角恒等变换与解三角形

》明考情-Q方向&.

根据近几年的高考情况，三角函数、三角恒变换与解三角形是高考必考点.虽然八省联考中调整了试题顺序，

但今年高考仍然会考.在高考中，解答题主考考察解三角形，利用正弦余弦定理去解决三角行中一些综合问

题.三角函数及其性质一般会考查小题.预计2025年高考中三角函数余解三角形必然会出现，解答题也会一

常规形式出现.

奥研大题-梃能力4

题型一：三角恒等变形与三角函数图象问题

(2025・上海•模拟预测)已知0>0,〃x)=sins+20cos2年.

⑴若函数y=〃x）的最小正周期为兀，求。的值；

⑵当0=1时，设。40,2兀］.若函数'=〃尤）和、=〃X+。）在［0,可上有相同的最大值，求。的取值范围.

瞎此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多.

1、首先要通过降塞公式降塞，二倍角公式化角:

(1)二倍角公式：sin2a=2sinacosa(S2a);cosla=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a(C2a)

1+cosla1—cosla

(2)降幕公式：cos2a=2，sin2a=2'

2、再通过辅助角公式“化一”，化为丁=45皿（8+0）+6

3、辅助角公式：asina+bcosa=-\ja2+&2sin（a+（p）,其中tanp=a.

4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算：

一般将8看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题.与三角函数相关的方程根的问题（零点

问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析.

磨1.（24-25高三下•天津南开•阶段练习）已知VABC的内角A、3、C的对边分别为。、

6、cJ=L-V3cjcosB=A/3^COSC.

（1）求角8的大小；

（2）若c=g,a+b=2,求VA3C的面积；

⑶若6=0a，求sin（2A+B）的值.

2.（24-25高三下•北京・开学考试）已知函数〃x）=2sin（兀-x）sin《+xj,g（x）=cos12x+3

（1）求/•（%）的最小正周期及单调递减区间；

⑵直线x与曲线y=〃x）、y=g（x）分别交于点M、N,求悭乂|的最大值.

题型二：三角形中边长及周长问题

（2025•山东临沂•一模）已知。，4c分别为VABC三个内角A,B,C的对边，且

V3acosC+csinA-y/3b=0.

⑴求A；

(2)若求

铸典行I、2.（24-25高三下•江苏苏州•开学考试）在VABC中，角A氏C所对的边分别为。，瓦c,

已知（2a-GckOSJB=A/^6COSC.

(1)求角8的大小；

(2)若。=用，a+b=2,求VA3C的面积；

(3)若。=2,且VABC为锐角三角形，求VABC的周长的取值范围.

利用正、余弦定理求解三角形的边长周长问题，对于求边长问题，主要是把未知边或者角度通过正弦余弦

定理用己知边或者是已知角度表示出来.

对于周长问题通常牵涉到两种题型，周长或者是周长范围问题，

类型一：一般来说如果求周长或者是边长的最值问题可采用基本不等式+余弦定理求解决.

类型二：常规三角形的周长范围问题也可采用余弦定理+基本不等式解决，或者是通过正弦定理把边装化成

角度，利用辅助角公式从而转化为三角函数问题

类型三：锐角三角形中周长或者是边长以及其他的范围问题，则一般采用边角转化，把边长转化成角度，

从而利用辅助角公式，转化成三角函数问题去解决，但是因注意角度的取值范围问题

(24-25高三下•北京•阶段练习)在VABC中，角A、B、C的对边分别为b、c,

ccosA=（3b-a）cosC.

⑴求cosC；

（2）若VA5C的面积为3a,且〃+=求VABC的周长.

b—c*

2.(2025•福建•模拟预测)记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA=——.

2c

(1)证明：A=2C；

(2)若a=2,且VA2C为锐角三角形，求VABC的周长的取值范围.

3.(2025高三•全国•专题练习)在VABC中，。为BC边上一点，已知C=2B,ZCAD=2ZBAD,AD=2.

(1)若BL>=1,求sinB的值;

（2）若母=g,求边3C的长.

题型三：三角形中面积问题

(2025•江西・一模)设向量初=(6sin羽sinx+cosxjn=(2cosx,sinx-cosx),

/.为.

⑴求〃元）的单调递减区间；

⑵在锐角VABC中，角AB,C所对的边分别为a,b,c,若/（A）=l,a=2,sinB+sinC=^,求VABC

的面积

（2025・陕西汉中•二模）在VABC中，a,b,。分别是角的对边，已知23=A+C.

⑴若mac=4+/—b2,求实数用的值;

（2）若6=正，求VABC面积的最大值.

利用正、余弦定理求解三角形的面积问题，两种题型，一种十求面积：另外一种是求面积范围.一般思路是:

1、选定理.对于求面积问题，一般是余弦定理或者是正弦定理加上面积公式即可解决.

2、面积范围问题：第一为求面积最值，一般采用余弦定理加基本不等式.第二类为锐角三角形中的面积范围

问题.则一般采用边角转化，把边长转化成角度，从而利用辅助角公式，转化成三角函数问题去解决，但是

因注意角度的取值范围问题

（24-25高三下•浙江•开学考试）在VA5c中，角A氏。的对边分别为。也已知

(sinA+sinB)(Jb-a)=c(sinB-sinC).

(1)求角A的大小；

(2)若8c边上的高为3,求VA2C面积的最小值.

2.(24-25高三下•湖南长沙•开学考试)在VABC中，当=gsinC+3cosc

⑴求角8；

⑵若2bl=2c2+ac.

(i)求cosC的值；

(ii)若a+c=50，求VABC的面积S.

题型四：解三角形中三线问题

1.(2025•吉林长春•二模)在VABC中，〃,6,c分别为角A8,C所对的边，且

^c=b-acosC,角A的平分线交于。，且3r>=2OC.

⑴求角A；

(2)若AC=3,求AD的长.

2.(24-25高三下•山东・开学考试)在VABC中，角A,B,C,所对边分别为〃，b,

c,已知6ZCosA+tzsinA=Z?cos_B+bsinB,且awA

⑴求C

(2)若。为A5边的中点，且A6=l,C£>=—,求VABC的面积.

2

瞎三线问题指的是角平分线，中线，高线.

对于角平分线：一种是采用等面积法（面积分割），或者是角平分线定理去解决.

对于中线问题一般采用向量思想去解决.

高线问题，一般采用正弦定理或者是等面积法去解决.

（•河南郑州・一模）记的内角的对边为a,b,c,已知2+c2-a2=垃be,

tic1.2025VABCA,2,Cb

2sin(C—A)=sinB.

⑴求sinC;

⑵设BC=10,求2C边上的高.

2.（24-25高三下•湖南长沙•阶段练习）在VABC中，角A,民C所对的边分别为。，瓦c,满足&=b（siiM+

A^COSA）.

（1）求角B的大小；

（2）若VABC的面积为",23的平分线80交AC于点。，且班＞=1,求二的值.

2a

3.（24-25高三上•湖北武汉•期末）在VA3C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点O为线段AC的

中点，A,C满足（sinA—sin。）？usin?（A+C）-sinAsinC.

⑴求5

（2）若VABC的面积为若，b=4l3,求中线的长.

题型五：三角形中图形类边长及范围问题

（24-25高三下•河南•阶段练习）在锐角三角形A3C中，角A、B、C对应的边分别

为〃、b>c,已知2asin3sinC=君/?sinA.

⑴求C;

(2)求士b的取值范围.

a

(2025•陕西榆林•二模)在VABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,J已知

2sinCcosA=sinA+2sinB.

(1)求角C的大小；

(2)求上空的取值范围.

cosA

瞎范围问题一般包含长度范围问题，周长范围问题，面积范围问题以及其他范围问题.主要是

两类题.一类是无限制三角形的对应的范围问题，一类是

第二类为锐角三角形中的范围问题.则一般采用边角转化，把边长转化成角度，从而利用辅助角公式，转化

成三角函数问题去解决，但是因注意角度的取值范围问题

磨;1.(2025・贵州遵义.模拟预测)已知VA5C的内角A、B、C的对边分别为b,c,

且CbccsB=acosC+ccosA.

⑴求tanB；

TTTT

⑵若Ae,且a=l,求6+c的取值范围.

2.(24-25高三上•山西太原•期末)在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=2B.

2

(1)证明：a=b(b+c);

(2)若VA5C是锐角三角形，求」7的取值范围.

a-b

题型六：三角形中证明类问题

（24-25高三上.安徽.期末）设△446（〃eN*）的内角4,4,,C.的对边分别为%也,党

已知4>c”4+q=2%.

（1）求A的取值范围；

⑵若对任意的“eN*,都有%=2,且也小%成等差数列,c用也也成等差数列，证明：AAAQ的周

长为定值.

（24-25高三下•安徽•阶段练习）在VABC中，角A,8,C的对边分别为

a,b,c,2a—2bcosC+c=0.

⑴求B;

(2)若“=3/=7,0为2c边上一点，且的面积为亚，证明：BD=\BC.

题型七：解三角形中内切圆、外接圆问题

1.（24-25高三下•河北沧州•阶段练习）在VABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、

（1）若VA3C的面积S=：c2,求角A；

⑵若tanC=3,VABC的面积S=6,求VABC的外接圆的面积.

2.（24-25高三下•河北张家口•开学考试）已知VABC中，角A,8,C的对边分别是°,瓦c,

由a-csinB=J3bcosC.

(1)证明：A,B,C成等差数列;

（2）若6=7,VABC内切圆半径为r,求r的最大值.

解三角形中的内切球与外接球问题，与外接球问题，对于内切圆圆心是三个角角平分线的交点，外接圆则

是三边中垂线的交点，对于内切圆的半径则采用等面积发，即5=3的4^"对于外接球半径问题一般采用

nhc

正弦定理--=--=」一=2R解决.

sinAsin3sinC

（24-25高三下•山西开学考试）已知VABC的内角A,B,C所对的边分别为。b,

c,sin2A+cos2B+sin2C=l,且。，b,c成等比数列.

⑴求3;

（2）若点。满足通=丽，VABC的外接圆半径为2叵，求△BCD的内切圆半径.

3

2.（24-25高三下•河北保定•开学考试）在VABC中，已知角A,8,C的对边分别为a,6,c,N54c的平分线交

BC于点。，的外接圆的半径分别为％&，氏，且K+&=R.

⑴证明：BC=2Rsin^ZBAC；

⑵求4AC；

⑶若〃=26，求AD的取值范围.

题型八：解三角形中图形类问题

（24-25高三下•重庆沙坪坝•开学考试）已知VABC的内角A,B,C的对边分别是

a,b,c,已知（2“。+4。2/053=/一/一。2.

A

D

⑴求角8；

(2)若。为VABC外一点，在四边形ABC。中，边长BC=2,ZDCB=ZB,ZCAD=30°,求边C。的最小值.

(24-25高三上•福建福州•期末)如图，在等边三角形VABC中，。为边BC上一点,

BQ=2CQ,点、M,N分别是边AB,AC上的动点(不包括端点)，若ZMQV=120。，且设NQV0=e.

(1)求证：不论6为何值，正■为定值.

(2)当ABMQ和ACNQ的面积相等时，求tand的值.

利用正、余弦定理求解三角形的图形类问题，此类题目比较难，这类题目的实质是实现边角的转化，解题

的思路是：利用角度的等量关系，将未知边长利用正弦定理转换成一直角度及已知边长的形式，最后变成

关于一个未知角度的三角函数关系，在利用三角函数的函数及性质，利用角度的范围，从而求出变成或者

是对应面范围问题.

1.(24-25高三上•安徽亳州・期末)如图，在平面四边形A2CD中，AD±AC,ABLBC,

AC平分/BCD.

B

A

D

TT

⑴若=>CD=2,求即;

o

⑵若BD=CD,求sin/3CD.

2.（24-25高三上•山东荷泽•期末）如图，平面四边形ABC。中，ADVAC,ABVBC,ACABCD.

⑴若ZAC£>=30。，CD=2,求8D；

⑵若BD=CD,

(i)求cosZBCD；

(ii)求sinZBDC

、刷大题・拿高分百

一、解答题

1.（2025•黑龙江•模拟预测）在锐角VABC中，AB=3,BC=不，sinC=W^

14

⑴求2A;

（2）若。为AC的中点，求cosZZ汨C.

2.(24-25高三上•贵州黔东南•期末)在VABC中，角AB,C的对边分别为。,瓦。，且岛sinB+bcosA=2b

⑴求A；

(2)若a=2,求VABC面积的最大值.

3.(24-25高三上・辽宁・期末)在VABC中，已知A8=2ji,8C=3+g,AC=3jL

⑴求/ABC；

(2)若在BC边上存在点E,使AABE为锐角三角形，求A£+3E的取值范围.

4.(24-25高三上•山西・期末)已知函数/(X)=sin2x-J5cos2x+l.

(1)求/(x)的单调递减区间；

⑵若xe3m时，不等式/(x)+m>2恒成立，求实数机的取值范围.

5.(2025•贵州六盘水•一模)在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2a—c=»cosC.

(1)求角B的大小；

(2)若6sinA=g,点。是边AC上的一点，BD平分ZABC,且BD=2,求VABC的面积.

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6.(2025・陕西西安•一模)已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=~,。为8C上一动点.

,,十八4丁ABBD

(1)若平分254C,求证：—=—；

(2)若。为BC上靠近8的三等分点，当c=2,6=1时，求的长.

7.(2025・湖南岳阳•一模)已知。，4c分别为VABC的内角AB,C的对边，且岛sinC+acosC-6=c,点O

为BC边的中点，若AD=6，且262一片=4.

⑴求A；

(2)求VABC的面积.

8.(2025高三下•全国•专题练习)如图,在平面四边形ABCD中，，AB,DE=1,EC=近,E4=2,ZADC=y,

且NCBE,NBEC,NBCE成等差数列.

⑴求sin/CED；

(2)求BE的长.

9.(24-25高三下•河北•期末)在锐角VABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，且c=2.

(1)若c=],求VABC周长的最大值.

(2)设4cos3=Z?cosA+^^,sin(A-B)=^^-

(i)求V43c外接圆的半径R；

(ii)求VABC的面积.

10.(2025・山西吕梁•一模)如图，已知三角形A5C的内角A氏C的对边分别为〃也。，且

6/cosB+ZTCOSA=2ccosA.

A

⑴求一A4c的大小；

（2）若b=4,c=6,设AD为三角形ABC的角平分线，求AD的长.

11.（24-25高三下•宁夏石嘴山•阶段练习）如图，尸是边长为2的正三角形VA5c所在平面上一点（点A、

B、C、P逆时针排列），且满足CP=C4,记NC4P=，.

⑵用。表示上4的长度；

⑶求的面积S的取值范围.

12.（24-25高三下•天津滨海新•阶段练习）在VABC中，osin2C=csinA.

⑴求C；

（2）已知c=J7,

①若a+6=4,求VABC的面积；

②若cosA=侦，求cos（2A+C）.

一、解答题

1.(2024•新课标I卷•高考真题)记VABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知sinC=0cos2，

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