2023-2025北京高三（上）期末数学汇编：数列的应用（人教B版）

第1页/共1页2023-2025北京高三（上）期末数学汇编数列的应用（人教B版）一、解答题1．（2025北京东城高三上期末）已知有穷正整数数列满足：，且当时，总有．定义数列，其中，．当时，称数列具有性质．(1)判断下列数列是否具有性质；①4，3，2，1；②1，2，3，5，4．(2)已知数列具有性质，求的最小值；(3)是否存在数列具有性质，且？若存在，请找到使最小的一个数列；若不存在，请说明理由．2．（2025北京朝阳高三上期末）已知无穷数列，给定正整数，若数列满足以下两个性质，则称为数列：①；②(1)已知和分别为数列和数列，且，求和；(2)已知正整数数列是数列.（i）无穷数列满足且为奇数，其中，证明：对于任意的，；（ii）求满足条件的，并写出与对应的所有可能取值．3．（2024北京西城高三上期末）给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列满足如下三个性质：①，且；②；③与不同时在数对序列A中．(1)当时，写出所有满足的数对序列A；(2)当时，证明：；(3)当为奇数时，记的最大值为，求．4．（2023北京通州高三上期末）约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为.(1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；(2)当时，若构成等比数列，求正整数；(3)记，求证：.

参考答案1．(1)①不具有性质，②具有性质(2)的最小值为(3)【分析】（1）①求出即可求解；②求出即可求解；（2）证明，证明与的奇偶性相同，证明为偶数，根据求出的取值范围，求出的最小值；（3）证明，根据数列具有性质求出，记，求出，证明时，，求出满足题意的数列.【详解】（1）①由题意得，，，，因为，所以数列不具有性质；②由题意得，，，，，所以数列具有性质；（2）由已知，设，其中，可得，又，所以，即，因为，所以，所以与的奇偶性相同，因为，所以为偶数，又，所以，又数列，此时，，综上，的最小值为；（3）由已知，，且，则，因为数列具有性质，即，所以，记，所以，因为，所以，当时，，所以，当时，数列，此时，，，所以数列满足题意.【点睛】关键点点睛：本题（2）关键在于证明与的奇偶性相同，证明为偶数，（3）关键在于根据数列具有性质求出.2．(1)(2)（i）证明见解析；（ii），的全部可能取值为【分析】（1）根据数列的定义分别求解即得；（2）（i）运用反证法，不妨假设为满足且使得取最小的某个整数，经推理得到，与最小性矛盾，即得证；（ii）假设及的取值已使得为数列且每一个项均为整数，先证明满足对任意的，有，又根据（i）的结论可知必存在某个，使得对于任意的，均有，从而，可取某个，使得，推出也为2的次幂，求得，由此即可求得的全部可能取值.【详解】（1）根据数列的定义可知：,则；根据数列的定义可知：，则．（2）（i）假设结论不成立，不妨设为满足且使得取最小的某个整数．由，可知，因为是奇数，从而，且，这与最小性矛盾，所以对于任意的，．（ii）假设及的取值已使得为数列且每一个项均为整数．由（i）中所定义出的构成数列，首先证明满足对任意的，有．若，则，从而；若，则．分三种情况讨论①

若，则．故；②

若，则．故；③

若，则．又因为为奇数，所以也为奇数，从而有；综上所述，对任意的，有．又根据（i）的结论可知必存在某个，使得对于任意的，均有；由于当时，总有，于是，数列中存在无穷多项小于，从而，可取某个，使得．由前面的证明可知只有当且时，才可使得及同时成立，所以．又因为对任意的，有，所以对任意，有，进而对任意均为2的次幂．由，依次得，因此也为2的次幂．显然，只有当时才成立．因此，只能为2．对，若，则数列的各项为，满足要求．当时，数列的各项为，也符合题意．若，则，不满足要求．综上，，且此时的全部可能取值为．【点睛】关键点点睛：本题考查了数列新定义问题，属于难题。根据性质规定新生出数列的题目，涉及到归纳推理的思想方法，解答的关键是要理解新定义数列的特征，根据定义进行逻辑推理展开，进而解决问题.3．(1)或(2)证明见详解(3)【分析】（1）利用列举法即可求得正确答案；（2）利用组合数公式求得的一个大致范围，然后根据序列满足的性质证得；（3）先证明，然后利用累加法求得.【详解】（1）依题意，当时，有或；（2）当时，因与不同时在数对序列中，故，即每个数至多出现5次.又因，所以只有对应的数可以出现5次，故.得证.（3）当是奇数时，先证明.因与不同时在数对序列中，所以,当时，构造恰有项，且首项的第一个分量与末项的第二个分量都为1.对奇数，如果可以构造一个恰有项的序列，且首项的第一个分量与末项的第二个分量都为1，那么对奇数而言，可按如下方式构造满足条件的序列：首先，对于如下个数对集合：每个集合中都至多有一个数对出现在序列中，所以，其次，对每个不大于的偶数,将如下4个数对并成一组：，共得到组，将这组对数以及按如下方式补充到的后面，即：,此时恰有项，所以.综上，当是奇数时，.【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：（1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况;（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.4．(1)8(2)(3)证明见解析【分析】（1）正整数的个正约数构成等比数列，则满足题意，即；（2）由题意可知，结合可推出是完全平方数，进而可得，由此可知为，即可求得；（3）由题意知，从而可得，采用放缩法以及裂项求和的方法，即可证明结论.【详解】（1）当时正整数的4个正约数构成等比数列，比如为8的所有正约数，即.于是的一个值为8.（2）由题意可知，因为，依题意可知，所以，化简可