2025年九年级数学中考复习：实数及其运算

2025年九年级数学中考总复习实数及其运算

1.请阅读下面材料，并完成相应的任务.

设是有理数，且满足0+缶=3-2豆，求/的值.

解：由题意,得(a-3)+后("2)=0.

因为都是有理数，

所以a-3,》+2也是有理数.

因为近是无理数，

所以0+2=0,“_3=0,即a=3,8=_2,

所以6"=(-2)3=-8.

根据阅读材料，解决问题：

设X，y都是有理数，且满足/-2y+Ky=10+3石，求x+y的值.

2.某公司需要在一片湖泊边铺地砖建人行道，如图所示，已知C在A的北偏东30。方向500米处，8在A北

偏东60。方向，且在C的正南方向(参考数据：

4*

Al

(1)求8、C两点的距离(结果保留根号).

(2)按规定要求，公司需要在湖边AC,AB,BC上铺地砖，预计的总费用不超过85000元，若平均每平方米地质的

费用为20元，人行道的宽度为4米，请问公司预计的总费用是否充足.

3.团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意.某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两

种，每种扇面面积均为500加2.完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理(接口处长度忽略不计)，如

图所示.

(1)圆形团扇的半径为(结果保留兀)cm,正方形团扇的边长为cm.

(2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短.

4.根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根

据这个定理得到一个结论：若％+y标=0,其中X,y为有理数，而是无理数，则x=0,y=o.

证明：「九+y〃?=0,X为有理数，

/.是有理数.

y为有理数，砺是无理数，

••y=o.

x+0-s/m=0.

."=0.

⑴若,X+V2y=^(l-V2),其中X,y为有理数，则尤=—,y=___;

(2)若x+y>[m=a+b4tn,其中％,丁，a,b为有理数，金是无理数，求证：％=“，》=%

(3)已知47的整数部分为。，小数部分为"x,y为有理数，a,b,%,,满足

Vly+历y+国后*=2a后+b方,求％,)的值.

5.在一次海上救援中，两艘专业救助船A、B同时收到某事故渔船尸的求救讯息，已知此时救助船B在A的

正北方向，事故渔船尸在救助船A的北偏西3。。方向上，在救助船8的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相

距120海里.

答案第2页，共17页

(1)求收到求救讯息时事故渔船P与救助船3之间的距离(结果保留根号)；

(2)求救助船A、8分别以30海里/小时，20海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船尸处搜救，试

通过计算判断哪艘船先到达.

6.某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为3:2.

(1)求该长方形的长宽各为多少？

(2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4:3,面

积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗?并说明理由.

7.2022年卡塔尔世界杯共有32支球队进行决赛阶段的比赛.决赛阶段分为分组积分赛和复赛.32支球队通

过抽签被分成8个小组，每个小组4支球队，进行分组积分赛，分组积分赛采取单循环比赛(同组内每2支

球队之间都只进行一场比赛)，各个小组的前两名共16支球队将获得出线资格，进入复赛；进入复赛后均进

行单场淘汰赛，16支球队按照既定的规则确定赛程，不再抽签，然后进行:决赛，：决赛，最后胜出的4支球

队进行半决赛，半决赛胜出的2支球队决出冠、亚军，另外2支球队决出三、四名.

(1)本届世界杯分在c组的4支球队有阿根廷、沙特、墨西哥、波兰，请用表格列一个c组分组积分赛对阵表(不

要求写对阵时间).

(2)请简要说明本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？

(3)请简要说明本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？

8.第19届亚运会即将在杭州举行，某商店购进一批亚运会纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元，

如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件.据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将

减少2件.

(1)若销售单价定为每件45元,求每天的销售利润；

(2)要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少

元？

9.阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1,记为产=-1,这个数i叫做虚数单位，把形如a+沅(a,b

为实数)的数叫做复数，其中。叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式

的加，减，乘法运算类似.

例如计算：(2-i)+(5+3i)=(2+5)+(T+3)i=7+2i

(1+J)(2-Z)=1X2-J+2«-Z2=2+(-1+2)Z+1=3+«；

根据以上信息，完成下列问题：

(1)填空：Z3=—，Z4=—;

⑵计算：/+/+『+……+/2023

(3)试一试：请利用以前学习的有关知识将尹，化简成a+次的形式

1

10.虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花

园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗(误差小于1米)？如果你是投资者，你会选择

哪种方案，为什么？

答案第4页，共17页

11.阅读材料：若点/，N在数轴上分别表示实数%",那么M,N之间的距离可表示为向例如

即表示3,1在数轴上对应的两点之间的距离；同样：I5+3H5-(-3)|表示5,-3在数轴上对应的两点之间的距

离.根据以上信息，完成下列题目：

⑴已知A,B,C为数轴上三点，点A对应的数为上，点C对应的数为1.

①若点B对应的数为-2,则B,。两点之间的距离为—；

②若点A到点B的距离与点A到点C的距离相等，则点B对应的数是____.

⑵对于Ix-3|+|x+4|这个代数式.

①它的最小值为—；

②若|x-3|+|x+4|+|y-l|+|y+2|=10,贝口+y的最大值为____.

12.某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4.

(1)求该长方形的长宽各为多少？

(2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3,面

积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这

样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？

13.如图，将长方形分成四个区域，其中A,3两正方形区域的面积分别是3和9.

AB

(1)43两正方形的边长各是多少？

(2)求图中阴影部分的面积(结果保留两位小数.参考数据：血。1.414.621.732).

14.数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生

主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一.请你先阅读下面的材料，然后再根据

要求解答提出的问题：

问题情境：设。，。是有理数，且满足。+后=3-2应，求曲的值.

解：由题意得(。-3)+S+2)e=0,

-a,。都是有理数，

a-3,Z>+2也是有理数，

：右是无理数，

a—3=0,〃+2=0,

a=3,b=—2,

ab=(-2)3=—6

解决问题：设X,y都是有理数，且满足/-2y+有>=8+4布，求x+y的值.

15.在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用

整数的除法运算来研究一种数一“差一数”.

定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4,且除以3余数为2,则称这个数为“差一数”.

例如:14+5=2…4,14+3=4…2,所以14是“差一数”；

19+5=3…4,但19+3=6.1,所以19不是“差一数”.

(1)判断59和64是否为“差一数”？并说明理由；

(2)求大于600且小于700的所有“差一数”.

16.我们知道，每个自然数都有正因数，将这个自然数的所有正奇数因数之和减去所有正偶数因数之和，再

除以这个自然数所得的商叫做这个自然数的“完美指标例如：10的正因数有1,2,5,10,它的正奇数因

数是1,5,它的正偶数因数是2,10.所以10的“完美指标”是：［(i+5H2+io)"o=q.我们规定，若一个自

答案第6页，共17页

然数的“完美指标”的绝对值越小，这个数就越“完美”.例如：因为6的“完美指标”是［。+3)-(2+6)卜6=-|,没

有正偶数因数，7的“完美指标”是(1+7)"*，且忖崎，所以6比7更“完美”.

根据上述材料，求出18,19,20,21这四个自然数中最“完美”的数.

《2025年九年级数学中考总复习实数及其运算》参考答案

1.x+y的值为7或T

【分析】本题主要考查实数运算，二次根式的运算，根据提供的方法，先变形为，+行"-3)=0,从而

得出$-2y-10=0,丫-3=0,求出y=3,x=±4,最后代入求值即可.

【详解】解:因为产-2》+后=10+38

所以(/-2y-10)+(6>-3石)=0,

所以(d-2y-10)+&(y-3)=0.

因为x，y都是有理数，

所以丁-2〉-10,y-3也是有理数.

因为有是无理数，

所以/-2>-10=0,>-3=0,

解得y=3,x=±4,

当x=4,y=3时，x+y=7,

当x=-4,y=3时，x+y=-l,

综上所述，工+〉的值为7或-1.

(2)公司预计的总费用不充足

【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题.

(1)延长CB交过点的水平线于N点，如图，则ZM4c=30。，ZM4B=60。，BC//AM,AC=500米，根据平行线的

性质得到』C=30。，ZABN=6O°,则NS4c=30。，所以M=BC,在R%CN中计算出TW=250米，接着在R34W中计算出

的=50器米，从而得到此的长；

(2)先计算出人行道的总长度为(竺用米，则可计算出人行道所占的面积为4；譬3500)平方米，再计

算出铺地砖的费用，然后比较铺地语的费用和预计的总费进行比较大小，从而可判断公司预计的总费用是否

充足.

【详解】(1)解：延长CB交过点A的水平线于N点，如图，

，M-

4N

根据题意得4c=30。，ZM4B=60°,BC//AM,AC=500米，

AZC=ZM4C=30°,ZABN=ZMAB=^°f

ZBAC=ZMAB-ZMAC=30°,

AB=BC,

在Rt&iaV中，4V=gAC=250(米)，

答案第8页，共17页

在R3ABN中,\*N^W=90。-60。=30。，

/.BN=^ffiO°24N=*正=25。6米,

33

A3=25N=W^米，

BC=竿米，

即8、C两点的距离为警米；

(2)解：I,人行道的总长度=AB+BC+AC

=50|旦/+500=[R+500j米，

而人行道的宽度为4米，

•••人行道所占的面积=4]竺芈+500)平方米，

/.铺地砖得费用=20*4(史竽+500卜86133(元)，

85000<86133,

・・・公司预计的总费用不充足.

3.⑴业画，io有

71

(2)圆的周长较小

【分析】本题考查扇形面积的计算，实数的运算，掌握圆周长，面积的计算方法以及扇形面积的计算方法是

正确解答的关键.

(1)根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可；

(2)求出两种形状的扇子的周长即可.

【详解】(1)解：设圆形扇的半径为皿明正方形的边长为庆m,

由题意得，^r2=500,Z>2=500,

,'，='回屋”"^(cm),b=5/500=1075(cm),

V7171

故答案为：羽近，10小;

7C

(2)解：圆形扇的周长为：2兀xW^K=206^(cm卜>/^55dcm,

71

正方形扇的周长为：4X10A/5=40^5(cm)«78000cm,V6000<y/8000,

・,•圆的周长较小.

4.(1)-2,1

(2)见解析

⑶W，y=2

【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是读懂材料内容.

(I)将式子化为工+y而=。的形式，结合X,y为有理数，即可求解；

(2)将式子化为工+y而=。的形式，结合X,y,a,万为有理数，即可证明;

(3)先根据无理数的估算求出“、〃的值，再将所给的等式化简为17k34工+2与"17+4厉，然后根据题意列出方

程即可求解.

【详解】(1)解：F+0〉=3(I-忘)，

二x+2+啦(y_l)=O,

—>为有理数，

x+2=0,y—1=0,

x=-2,y=l,

故答案为：-2,1;

(2)证明：x+y4m=a+b4m,

x—a+^y—b^y/m=0,

「X,丁，。,b为有理数，

x~a，y-b都是有理数，

x-a=0,y-b=0,

.•.%=4,y=b；

(3)解：4<V17<5,

•••如的整数部分〃=4,小数部分。=47-4,

T7y++后(y-2=2aVF7+附7,

17y+屈y+历(y-2后叫=8屈+历,

17y-34x+2旧y=17+4后，

%,y为有理数，

fl7y_34x=17

.•[2y=4'

解得：f=2,

J=2

.•x=；,y=2.

5.⑴600海里

(2)救助船A先到达

【分析】本题考查了解直角三角形的应用、实数的混合运算的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加

适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键.

(1)作户C_LAB于C,则NPCB=NPCX=9O。，由题意得：PA=120海里，NC4P=30。，NCBP=45。,先解直角三角形求

出PC的长，再解直角三角形即可得出答案；

(2)分别求出救助船A、B所花时间，比较即可得出答案.

【详解】(1)解：如图，作PC_LAB于C,则“CB=401=90。，

答案第10页，共17页

北

X

由题意得：以=120海里，NC4P=30。，ZCBP=45°,

在R，ACP中，CP=APsin30°=1AP=60（海里），

*।BP=―-==605/2/后由、

在RtAHCP中，sin45°①V（海里），

・•・收到求救讯息时事故渔船p与救助船3之间的距离600海里；

（2）解：・・,救助船A、5分别以30海里/小时，20海里/小时的速度同时出发，

；•救助船A所花时间为累=4（小时），救助船B所花时间为8尸=等=30,

4<3氏

二救助船A先到达.

6.（1）长方形的长30米，宽20米

（2）不能改造出这样两块不相符的实验田，见解析

【分析】（1）按照设计的花坛长宽之比为32设长为3x米，宽为2K米，以面积为600平方米作等量关系列方程，

解得X的值即可得出答案；

（2）设大正方形的边长为4y米，则小正方形的边长为3y米，根据面积之和为500m2,列出方程求出y,得到

大正方形的边长和小正方形的边长，即可求解.

【详解】（1）解：,长方形长宽之比为3:2,

设该长方形花坛长为3x米，宽为2x米，

依题意得：3x2x=600,

N=100,

；.x=10或x=-10（不合题意，舍去）

:.3x=3O,2x=20,

答：该长方形的长30米，宽20米；

（2）解：不能改造出这样两块不相符的实验田，理由如下：

・两个小正方形的边长比为43,

设大正方形的边长为4y米，则小正方形的边长为3y米，依题意得：（4»+（3>）2=500,

/.25/=500,

.'./=20,

;y=2«或y=-2不（不合题意，舍去）

4v=863尸6«,

8A/5+6A/5=1475>30,

所以不能改造出这样两块不相符的实验田.

【点睛】本题主要考查了平方根的应用，运用方程解决实际问题，关键是找出题目的两个相等关系.

7.(1)C组分组积分赛对阵表见解答过程；

(2)本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了7场比赛；

(3)本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了64场比赛.

【分析】(1)根据同组内每2支球队之间都只进行一场比赛列表即可；

(2)冠军阿根廷队分组积分赛踢了3场，!决赛，：决赛，半决赛，决赛又踢了4场，即可得到答案；

(3)分组积分赛48场，(决赛一共8场，[决赛一共4场，半决赛2场，冠、亚军决赛和三、四名决赛各1

场，相加即可.

【详解】(1)。组分组积分赛对阵表：

阿根廷沙特墨西哥波兰

阿根廷阿根廷：沙特阿根廷：墨西哥阿根廷：波兰

沙特沙特：阿根廷沙特：墨西哥沙特：波兰

墨西哥墨西哥：阿根廷墨西哥：沙特墨西哥：波兰

波兰波兰：阿根廷波兰：沙特波兰：墨西哥

(2)冠军阿根廷队分组积分赛踢了3场，(决赛，；决赛，半决赛，决赛又踢了4场，

:一共踢了3+4=7(场),

，本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了7场比赛；

(3)分组积分赛每个小组6场，8个小组一共8x6=48(场)；

；决赛一共8场，《决赛一共4场，半决赛2场，冠、亚军决赛和三、四名决赛各1场；

二一共踢了48+8+4+2+1+1=64(场)；

，本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了64场比赛.

【点睛】本题考查数学在实际生活中的应用，解题的关键是读懂题意，理解世界杯比赛的对阵规则.

8.(1)1350元

(2)50元

【分析】⑴根据(45-30)“口00-2*(45-40)],计算求解即可;

(2)设该纪念品的售价单价应定为每件x元,则销售量为口00-2(x-40)]件，由题意得，(X-30)*[K)0-2X(.L40)]=1600,

计算求解，然后判断即可.

【详解】(1)解：由题意知,(45-30)X[100-2X(45-40)]=1350(元)，

•••当销售单价定为每件45元，每天的销售利润为1350元；

答案第12页，共17页

(2)解：设该纪念品的售价单价应定为每件工元，则销售量为口00-2(工一40)]件，

由题意得，(X-30)X[100-2X(X-40)]=1600,

解得占=50,”70,

V50<70,

.,•该纪念品的售价单价应定为每件50元.

【点睛】本题考查了实数运算的应用，一元二次方程的应用.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

9.(1尸，1

(2)-1

⑶i

【分析】(1)根据题目中给出的进行计算即可；

(2)根据题意得到规律，”的结果是4个一循环，且每4个的结果和为：i-」i+i=o,据此求解即可；

(3)仿照分母有理化的方法对分子分母同时乘以1+，•进行求解即可.

【详解】(1)解：

i3=i2-z=-1x/=-；；Z4=『•『=—1x(—1)=1；

故答案为：T；1；

234546

(2)解：*•*i=—1,i=—if/=1,i=ixi=i,i=-l...9

・•・严的结果是4个一循环，且每4个的结果和为：i-1-i+i=o,

2023+4=505……3,

・・・，+/+『+……+严3

=-1；

(3)解：当

1-1

(1+H

(1-00+0

l+2i+i2

-1"2

1-Z

1+21

1+1

=i.

【点睛】本题主要考查了新定义下的运算，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键.

10.圆形广场围墙224.2米，正方形广场围墙253.0米，选择圆形广场的建设方案，理由见详解

【分析】分别计算出圆形花园和正方形花园所需围墙的长度，比较即可作答.

【详解】当为圆形时，设圆的半径为，，则有："=4000,

即：F答(负值舍去)，

则此时花园的围墙为：2口=2"#^=40倜。224.2(米)；

当广场为正方形时，设正方形边长为。，则有：。、4000,

即：a=，4000（负值舍去），

则此时花园的围墙为：4a=4x〃000=80屈~253.0（米）；

,/253.0>224.2,

,建造成圆形时，广场的围墙会更短，

则建造成本更低，

作为投资商，会选择建圆形花园.

【点睛】此题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，

不能死学.

11.（1）①3;②20-1

⑵①7；②4

【分析】（1）①根据两点间的距离公式解答即可；②根据两点间的距离公式解答即可；

（2）①根据两点间的距离的几何意义解答；②根据两点间的距离公式填空.

【详解】（1）解：①B,C两点之间的距离为-TH；

故答案为：3；

②设点B对应的数是X,

则有

解得x=2点-1或1（舍去），

故答案为：2应-1;

（2）解：①根据数轴的几何意义可得Y和3之间的任何一点均能使lx-3|+|x+4|取得的值最小，

二当T触3时，|x-3|+|x+41的最小值为7.

故答案为：7;

@v|-v-3|+|x+4|+|y-l|+|y+2|=10,

3,-2强*1,

.•.-6•+y4,

的最大值为4.

故答案为：4.

【点睛】此题主要考查了绝对值的意义，实数与数轴，解题的关键是了解两点间的距离公式和两点间距离的

几何意义.

12.（1）该长方形的长为35米，宽为20米

（2）能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用

【分析】（1）设该长方形的长为加米，则宽为©米，再根据面积为700平方米建立方程，利用平方根解方程

即可得；

答案第14页，共17页

（2）设较大的小正方形的边长为4y米，则较小的小正方形的边长为3y米，根据面积之和为600平方米建立方

程，解方程可得y=厉，再根据无理数的估算进行分析判断即可得.

【详解】（1）解：设该长方形的长为八米，则宽为4x米，

由题意得：7xx4x=700,

解得x=5或x=-5<0（不符题意，舍去），

贝|J7X=7X5=35,4X=4X5=20,

答：该长方形的长为35米，宽为20米.

（2）解：设较大的小正方形的边长为4y米，则较小的小正方形的边长为3y米，

由题意得：（4>『+（3a=600,

解得y=0^或，=-8?<0（不符题意，舍去），

则较大的小正方形的边长为4扃米，较小的小正方形的边长为3后米，

.>/24<A/25=5,

:4后+3反=7@<35,4后<20,

能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，

改造出这样的两块不相连的正方形试验田所需铁栅栏围墙长为7用*4=28用（米），

原来长方形空地的铁栅栏围墙长为（35+20）x2=110米，

.V24>716=4,

.■,28V24>112>110,

，原来的铁栅栏围墙不够用，

答：能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用.

【点睛】本题考查了算术平方根的应用、利用平方根解方程、无理数的估算、实数运算的应用，找准等量关

系，正确建立方程是解题关键.

13.（1）正方形A和正方形8的边长各是6,3

（2）2.20

【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方求解即可；

（2）根据阴影部分面积=最大的大长方形面积-正方形A的面积-正方形B的面积进行求解即可.

【详解】（1）解：：正方形A和正方形8的面积分别为3和9,

正方形A和正方形B的边长各是后百=3；

（2）解：由题意得：S雕