2025年中考数学二轮复习考前预测：图形的相似（含解析）

2025年中考数学二轮复习考前预测：图形的相似

选择题（共10小题）

1.（2025•崇明区一模）如图，在三角形纸片ABC中，AB=6,AC=4BC=8,沿虚线剪下的涂色部分的

三角形与△ABC相似的是（）

AA

〕上

*

A.BD2CB.B

A4

C.B4DcD.BC

2.（2025•柳州模拟）如图，网格中每个小正方形的边长均为1,点A,B,C,O均在格点上，连接AD,

BC交于点、E,则SADCE=（）

CD

fl二於球R

：7v"：

1/11tl1\1

AB

A.1：3B.1：9C.3：1D.9：1

3.（2025•大渡口区模拟）如图，四边形ABCD与四边形斯GH位似，位似中心是0,若。4：AE=1：2,

且四边形A8CD的周长为3,则四边形EFGH的周长为（）

EF

0cG

A.6B.9C.12D.27

4.（2025•江北区模拟）如图，点。、点E在△ABC的边上，MDE//AB,AD：DC=2：1,则△48（7与4

DEC的相似比为（）

B,

/入石

ADC

A.2：1B.3：1C.1：2D.1：3

5.（2025•登封市一模）如图，在平面直角坐标系中，△AB。与是位似图形，点。是坐标原点，点

A,B,C,D,E都在格点上，且A（-2,0）,则位似中心的坐标是（）

6.（2025•登封市一模）小郑在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是1：

2,若烛焰AC的高是4c〃z,则实像DB的高是（）

A.12cmB.8cmC.6cmD.5cm

7.（2025•虹口区一模）如图，已知A3〃CD,联结A。、BC交于点O,联结AC,ZACB=ZBAD,如果

8.（2025•松江区一模）如图，在nABCD中，E是边CD的中点，AE交BD于点O,如果1的面积为

1,那么△ABO的面积为（）

AD

9.（2025•青浦区一模）如图，在△ABC中，AC=BC,ZC=36°,AO是△ABC的角平分线.胆是（）

A.支返

B.

2c专•亨

10.（2025•黄浦区一模）某学习小组研究问题“如图，已知。、E、/分别是△ABC的边8C、CA、A8的

中点，求证：△。环S^ABC.”经过小组讨论得到以下方法，其中存在错误的是（）

A

BDC

A.可证迈用_型，进而证得△£）£尸

ABBCAC

B.可证ZC=ZEFD,进而证得△OEF'S^ABC

C.可证进而证得

EFED

D.可证△BB£）s△£）£■—/\FBD^/\ABC,进而证得△■DE/S/VIBC

二.填空题（共5小题）

11.（2025•永寿县校级一模）如图，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AO_LBC于点。，若BD=1,AD=2,

则BC的长为.

BD口

12.（2025•安阳模拟）已知m6,c使等式包=且J成立，则代数式史』的值是

bcaa+b-c

13.（2025•晋安区校级模拟）如图，直线人〃/2〃/3,另两条直线分别交A,/2,/3于点A,B,C及点、D,

14.（2025•佛山一模）如图，线段为。O的直径，点C在A8的延长线上，A8=4,8。=2,点尸是。。

上一点，连接CP,以C尸为斜边在PC的上方作Rt^PCD且使得/OCP=60°,连接。则。。的

15.（2025•柳州一模）如图，是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面

镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知CDLBD,且

测得AB=1.4米，EB=2.1米，尸。=12米，那么该古墙的高度是米.

16.（2025•河北模拟）风力发电是我国电力资源的重要组成部分.嘉嘉为了解某风力发电机的风叶长度，

通过测量其影子长度的方法进行计算.如图14（图中所有的点均在同一平面，太阳光线视为平行光线），

线段。4,OB,0c表示三片风叶，OA^OB^OC,ZAOB^ZBOC^ZCOA^120°,某时亥UOA,OB

的影子恰好重合为线段ERO£>_LEF于点。，测得。E=36根，EF=20m.同一时刻测得高4"?的标杆

影长为3m.

（1）直接写出乙480的度数及。。的长；

（2）求风叶转动时点B到地面。尸的最小距离.

A

17.(2025•晋安区校级模拟)如图，等腰直角三角形48c中，ZC=90°,。为BC中点，以。为直角顶

点作等腰直角三角形〃在N的左侧.

(1)若点M与点A重合，DN与M3相交于点P.

①若AC=2,求MN的长；

②求证：DP・PN=AP・PB；

(2)若点M在AC左侧，且N4WC=90°时，过点。作DE_L8C交4?于点E,连接ME、CN,在线

2

段CN上取一点E且满足/N£)F=/EA/。，求证：ySAABC+SAAMC=2DF-

图1图2

18.(2025•泸县一模)如图，已知点C在圆上，%为0。的一条割线，ZPCB=ZA.

(1)求证：APBCsAPCA；

(2)若尸2=4,AB=6,求尸C.

19.(2025•大渡口区模拟)如图，在口48。中，对角线AC与2。相交于点O,ZCAB=ZACB,过点B

作BELAB交AC于点E.

(1)求证：△ABOS^BEO；

(2)若A2=10,AC=16,求OE的长.

DC

E

20.(2025•茅箭区校级模拟)在Rt^ABC中，AC=1,ZC=90°,。为BC边上一动点，且空

BCn

为正整数)，在直线BC上方作△ADE,使得

(1)如图1,在点。运动过程中，△ACO与AABE始终保持相似关系，请说明理由；

(2)如图2,若〃=2,A/为AB中点，当点E在射线CM上时，求C。的长；

(3)如图3,设AE的中点为尸，求点。从点C运动到点2的过程中，点P运动的路径长(用含"的

代数式表示).

图1图2图3

2025年中考数学二轮复习考前预测：图形的相似

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.（2025•崇明区一模）如图，在三角形纸片ABC中，AB=6,AC=4,BC=8,沿虚线剪下的涂色部分的

三角形与△ABC相似的是（）

【考点】相似三角形的判定.

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】A

【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可.

【解答】解：在三角形纸片ABC中，AB=6,8C=8,AC=4.

A、•.•史上=处，NC=NC,

AC4BC

故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项符合题意；

D,,AD3-£AB

AB6AC

故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与AABC不相似，故此选项不符合题意；

r-•BD4gAB

AB6BC

故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不符合题意；

。、•.•毁庭，

BC8AB

故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与AABC不相似，故此选项不符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

2.（2025•柳州模拟）如图，网格中每个小正方形的边长均为1,点A,B,C,£＞均在格点上，连接AD,

BC交于点E,则S^ABE：S&DCE=()

【考点】相似三角形的判定与性质.

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】D

【分析】判定由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求解.

【解答】I?：'JCD//AB,

：.△ABEsLDCE,

S^ABE:SADCE=AB2：CD2,

：AB=6,CD=2,

•'.SAABE：SADCE=9：1.

故选：D.

22

【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，关键是由△ABEs△£＞（2,推出s战BE：SADCE=AB：CD.

3.（2025•大渡口区模拟）如图，四边形ABC。与四边形斯GH位似，位似中心是O,若。4：AE=1：2,

且四边形ABC。的周长为3,则四边形瓦G8的周长为（）

A.6B.9C.12D.27

【考点】位似变换.

【专题】图形的相似；运算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】根据位似图形的概念得到AO〃EH,根据相似三角形的性质解答即可.

【解答】解：：四边形ABCD与四边形EFGH位似，

J.AD//EH,

：./\OAD^^OEH,

.•.胆=处=，=工，即四边形ABCZ）与四边形EFG8的相似比为工

EH0E1+233

:四边形ABC。的周长为3,

四边形EFGH的周长为9,

故选：B.

【点评】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的判定和性质、相似多边形的性质，熟记相似多边

形的周长比等于相似比是解题的关键.

4.（2025•江北区模拟）如图，点。、点E在△ABC的边上，JLDE//AB,AD；DC=2：1,则△42。与4

OEC的相似比为（）

R

A.2：1B.3：1C.1：2D.1：3

【考点】相似三角形的判定与性质.

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】B

【分析】根据相似三角形的判定与性质求解即可.

【解答】解：DC=2：1,

：.AC：DC=3：1,

'：DE//AB,

.'.△CDE^ACAB,

...△42。与4。石。的相似比=挺_=3：1,

DC

故选：B.

【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键.

5.（2025•登封市一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABO与出是位似图形，点。是坐标原点，点

A,B,C,D,E都在格点上，且A（-2,0）,则位似中心的坐标是（

C.(2,2)D.(-2,0)

【考点】位似变换；坐标与图形性质.

【专题】图形的相似；几何直观.

【答案】C

【分析】连接AC,BD,OE,并分别延长，相交于点P,则△A3。与△(7£)£是以点尸为位似中心的位

似图形，即可得出答案.

【解答】解：如图，连接AC,BD,OE,并分别延长，相交于点P,

则△A3。与△CDE是以点P为位似中心的位似图形,

二位似中心的坐标是(2,2).

故选：C.

【点评】本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键.

6.(2025•登封市一模)小郑在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是1：

2,若烛焰AC的高是4c",则实像。3的高是()

A.12cmB.8cmC.6cmD.5cm

【考点】相似三角形的应用.

【专题】图形的相似；应用意识.

【答案】B

【分析】根据证明△AOCs^g。。，利用相似三角形的性质求解即可.

【解答】解：如图所示：AB.CO相交于点O,

A

C

是烛焰的高，是实像的高，

J.AC//DB,

：.AAOC^ABOD,

..•蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2,AC=4cm,

•AC=1

"BD2"

:.BD=8cm.

故选：B.

【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键.

7.（2025•虹口区一模）如图，已知AB〃a）,联结A。、BC交于点、O,联结AC,NACB=NBAD,如果

A.1B.2C.3D.4

【考点】相似三角形的判定与性质.

【专题】图形的相似；运算能力；推理能力.

【答案】C

【分析】由AB〃C。，证明△AOBszXooc,得地=地=1_,贝!]CO=38O,所以CB=48O,由/AC8

COCD3

=ZBAD,NB=/B,证明△ACBS/XOAB,所以思=金殳，则CB・8O=482=22=4,所以48。2=4,

ABBO

求得8。=1,则CO=3,于是得到问题的答案.

【解答】解：'：AB//CD,AB=2,CD=6,

：.△AOBsADOC,

•-•BO-_AB_2_1,

COCD63

：.CO=3BO,

：.CB^BO+3BO^4BO,

VZACB=ZBAD,/B=/B,

•CB=AB（

"AB的，

：.CB'BO=AB2=2r=4,

：.4BO2=4,

解得8。=1或2。=-1（不符合题意，舍去），

；.C0=3,

故选：C.

【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明△AO2sZV）oc及△ACBSAOAB是解题的关

键.

8.（2025•松江区一模）如图，在中，E是边C。的中点，AE交BD于点、O,如果△QOE的面积为

【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质.

【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；几何直观；推理能力.

【答案】B

【分析】根据平行四边形的性质求得△AOB〜△EOO,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方来求

出SAAOB=4.

【解答】解：ABC。中，E为C。边上的中点，

：.DE=1CD=^AB,AB//CD,

22

'：KB//CD,

：.ZABO=ZEDO,ZOAB=ZOED,

：.△AOBs^EOD,

•AO=BO=AB=0

-，0EODDE，

SAAOB—4s△DOE=4,

故选：B.

【点评】本题考查了平行边形的性质，相似三角形的判定和性质，理解相似三角形的面积比等于相似比

的平方是解答关键.

9.（2025•青浦区一模）如图，在△ABC中，AC=BC,NC=36°,是△ABC的角平分线.旭是（

BC

c•等D.VLLI

2

【考点】相似三角形的判定与性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力.

【答案】C

【分析】根据AC=5C,NC=36°,求出N3=NR4C=72°,根据AZ）平分NA4C可得NA4O=NCW

=36°,进而证得根据相似三角形的性质证得结论.

【解答】解：,.・AC=8C,ZC=36°,

：.ZB=ZBAC=12°,

9：AD平分NA4C,

ZBAD=ZCAD=36°,

：.ZBAD=ZC=ZCAD=36°,

：.AD=CDfZADB=72°,

：.AB=ADf

：.AB^AD=CD,

「ZABD=ZCBA,

/.AABD^ACBA,

•BDAD

••-Z2---,

ABAC

设BC=AC=a,BD=x,

贝ljAO=CO=A8=a-x,

•xa-x

••---=-----，

a-xa

解得尤=空叵”（不符合题意，舍去）或尤=生近”,

22

.".AB=a--I®

粕-1

•AB2aV5-1

故选：C.

【点评】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键掌握相似三角形的判定方法.

10.（2025•黄浦区一模）某学习小组研究问题“如图，已知。、E、歹分别是AABC的边8C、CA、的

中点，求证：△OEFs△Age.”经过小组讨论得到以下方法，其中存在错误的是（）

BDC

A.可证迈用_型，进而证得△£）£尸

ABBCAC

B.可证ZC=ZEFD,进而证得△OEF'S^ABC

C.可证/B=/FEZ）,应L普2,进而证得

EFED

D.可证△产BDsADERAFBD^AABC,进而证得△。所S/VIBC

【考点】相似三角形的判定；三角形中位线定理；相似三角形的性质.

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】c

【分析】由。、E、歹分别是△ABC的边BC、CA、A8的中点，得。EF=±BC,FD=±AC,

222

则地=旦旦=里=2，所以△QE/S/XABC,可判断A不符合题意；由DE〃BF,EF//BD,证明四边

ABBCAC2

形是平行四边形，则/8=/尸皮＞,同理NC=NEFZ),则△DEFS^ABC,可判断8不符合题

意；由A2〃即，证明△ABCs△££)(?,得旭=AC,而。C=EF,所以细■=生，可知胆=区_不成

EDDCEDEFEFED

立，所以由/2=/尸即，空=生，不能证得△。瓦'sA48C,可判断C符合题意；由/BFD=NEDF,

EFED

ZBDF=ZEFD,证明由FD//AC,证明△FB£(S^ABC,则△DEFS/XABC,可判

断。不符合题意，于是得到问题的答案.

【解答】解：；。、E、尸分别是△ABC的边8C、CA,A2的中点，

J.DE//AB,且EF//BC,MEF=^BC,FD//AC,且m=Lc,

222

•-•DE一_--EF-_FD._—1,

ABBCAC2

：.4DEFSAABC,

故A不符合题意；

,JDE//BF,EF//BD,

...四边形8。即是平行四边形，

:./B=/FED,

同理四边形CDFE是平行四边形，

：.ZC=ZEFD,

.♦.△DEFsAABC,

故2不符合题意；

,JAB//ED,

：.AABC^/\EDC,

.AB=BC

"ED而’

;DC=EF,

-f-B-C,

A-BEF

EF里不成立，

.Etlz

ED

3=/FED,不能证得

EFED

故c符合题意；

'：DE//AB,EF//BC,

：.NBFD=ZEDF,ZBDF=ZEFD,

:.△FBDsXDEF,

'."FD//AC,

:.△FBDs^ABC,

.♦.△DEFsAABC,

故。不符合题意，

故选：c.

【点评】此题重点考查三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识,

适当选择相似三角形的判定定理证明△OEPs△ABC是解题的关键.

二.填空题（共5小题）

11.（2025•永寿县校级一模）如图，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,于点。，若BD=1,AD=2,

则BC的长为5.

【考点】射影定理；直角三角形的性质；相似三角形的判定与性质.

【专题】三角形.

【答案】5.

【分析】根据题意，得/晟4。=90°-/DAC=/C,结合NBD4=90°=/AZ）C,证明△BADS2\AC。,

列比例式解答即可.

【解答】解：•.•NBAC=90°,AD±BC,

：.ZBAD=90°-ZDAC^ZC,NBZM=90°=ZADC,

••-B-D-~-A--D,

ADDC

VBD=1,AD=2,

•.1•-----2--,

2DC

解得Z)C=4,

：.BC=BD+DC=5,

故答案为：5.

【点评】本题考查了三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定是解题的关键.

12.（2025•安阳模拟）己知a,b,c使等式包&=£成立，则代数式史』的值是-1.

bcaa+b-c

【考点】比例的性质.

【专题】计算题.

【答案】-1.

【分析】设包一上工=k，求得左=1，得到a=6=c,然后代入代数式化简解题即可.

bca

【解答】解：设包上£=k，

bca

••ci~~bk.9b--ckfc~~cikf

・・a=Lck。k='ak*k*k='a/，

・=1,解得％=1,

・・a='b'='c,

-a-b_ca-a_a-a-

••----=------=---=_1，

a+b-ca+a-aa

故答案为：-1.

【点评】本题考查比例的性质，注意正确计算.

13.（2025•晋安区校级模拟）如图，直线/1〃/2〃/3,另两条直线分别交"，12,/3于点A,B,C及点、D,

E,F,且AC=8,DE=6,EF=3,贝!IBC=心.

-3-

【考点】平行线分线段成比例.

【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力.

【答案】旦.

3

【分析】根据平行线分线段成比例定理列式计算即可得解.

【解答】解：直线/1〃/2〃/3,另两条直线分别交/1,h,/3于点A,B,C及点。，E,F,

•••AC=---DF,

BCEF

VAC=8,DE=6,EF=3,

••8•--6-+-3-,

BC3

解得吃力

O

故答案为：竺

3

【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，正确进行计算是解题关键.

14.（2025•佛山一模）如图，线段AB为。。的直径，点C在A2的延长线上，AB=4,BC=2,点P是

上一点，连接CP,以C尸为斜边在PC的上方作Rt^PCD,且使得/DCP=60°,连接则。。的

最大值为2E+1.

【考点】相似三角形的判定与性质；三角形三边关系；勾股定理；点与圆的位置关系.

【专题】图形的相似；推理能力.

【答案】273+1.

【分析】如图，作△（%>£1,使得/CEO=90°,ZECO=60°,连接。P,贝UCO=2CE,OE=2弧,

ZOCP=ZECD,由△COPs/^CE。，得比例式，从而求得££）=1（定长），由点E1是定点，DE是定

长，推出点。在半径为1的OE上，由此即可解决问题.

【解答】解：如图，作△（?（?£,使得NCEO=90°,NECO=60°,连接OP,则CO=2CE,OE=2如,

ZOCP=ZECD,

9：ZCDP=90°,ZDCP=60°,

：.CP=2CD,

・COCP=9

CECD

:.△COPs^CED,

•OPCP=?

EDCD

即E£）=］。尸=1（定长），

2

:点E是定点,是定长，

.,.点。在半径为」的。E上，

2

OD^OE+DE,

：.OOW2依+1,

的最大值为2、笈+1,

故答案为：2A/^+1.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质及圆的有关概念及性质，熟练掌握相关性质及定理是解题

的关键.

15.（2025•柳州一模）如图，是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面

镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知CDLBD,且

测得AB=1.4米，尸2=2.1米，产。=12米，那么该古墙的高度是8米.

【考点】相似三角形的应用.

【专题】图形的相似；应用意识.

【答案】8.

【分析】由光学知识反射角等于入射角不难分析得出再由/ABP=/CZ）P=9（r得到

△ABPsACDP,得到细_=史代入数值求的C£>=8.

CDPD

【解答】解：vZAPB=ZCPD,ZABP=ZCDP,

：.AABPsACDP

•AB=BP

"CDPD"

即L4=2」,

CD12

解得：CZ）=8.

故答案为：8.

【点评】本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，注意到相似三角形，解决本题

关键.

三.解答题（共5小题）

16.（2025•河北模拟）风力发电是我国电力资源的重要组成部分.嘉嘉为了解某风力发电机的风叶长度，

通过测量其影子长度的方法进行计算.如图14（图中所有的点均在同一平面，太阳光线视为平行光线），

线段。4,OB,0c表示三片风叶，OA=OB=OC,ZAOB=ZBOC=ZCOA=120°,某时亥U04OB

的影子恰好重合为线段ERODLEF于点、D,测得。E=36%EF=20m.同一时刻测得高4根的标杆

影长为3m.

（1）直接写出ZABO的度数及OD的长；

（2）求风叶转动时点B到地面。尸的最小距离.

【考点】相似三角形的应用.

【专题】图形的相似；运算能力.

【答案】（1）30°,OD=48m；

（2）16m.

【分析】（1）通过△OOEs^NMG,即可求得。。=48根，再根据等腰三角形的性质结合三角形的内角

和定理即可求解/A80的度数；

（2）过点。作08_LAB于点X,过点E作E/L4F于点/,由LEIFs^NMG,求得E7=16〃Z,则。X

=EI=16m,根据直角三角形的性质得到80=2。”=32机，故当时，风叶转动时点8到地面

DF的最小距离为48-32=16（m）；

【解答】解：（1）如图，

A

：.ZOED=ZG,

:AODEsANMG,

根据三角形相似性质可得：

OP_DE

而同，

•-•-0--D--=--3--6-,

43

.*.DO=48m,

，：OA=OB,ZA0B=12Q°,

ZABO=ZAQB=180°~120°=30°；

(2)过点。作。/LAB于点X,过点E作E/LAF于点/,

同理可证明：£\EIFsANMG,

•EIEF

"NM'NG"

•••EI=20,

45

.\EI=16m,

由题意得，OE〃AR而OHLAF,EILAF,

：.OH=EI=16mf

:在RtZXOBH中，ZABO=30°,

:.BO=2OH=32m,

.•.当081.OF时，48-32=16(m),

答:风叶转动时点B到地面DF的最小距离为16m.

【点评】本题考查了相似三角形的实际应用，勾股定理，含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性

质，三角形的内角和定理等知识点，正确运用相似三角形的性质是解题的关键.

17.(2025•晋安区校级模拟)如图，等腰直角三角形ABC中，ZC=90°,。为8C中点，以。为直角顶

点作等腰直角三角形WON,/在N的左侧.

(1)若点M与点A重合，ON与M8相交于点P.

①若AC=2,求MN的长；

②求证：DP・PN=AP,PB；

(2)若点M在AC左侧，且/AMC=90°时，过点。作。E_L8C交于点E,连接ME、CN,在线

2

段CN上取一点/且满足求证：-|SAABC+SAAMC=2DF-

图1图2

【考点】相似形综合题.

【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力.

【答案】(1)①MN=JI5；

②见解析；

(2)见解析.

【分析】(1)①如图，过点N作NK_LCB交CB延长线于点K,则NK=90°,证明△ACDg/XOKN,

则。K=AC=2,NK=CD=L故BK=DK-DB=1,对RtZXBKN中运用勾股定理得DN=遥，在RtA

MDN中,由勾股定理即可求得MN；

②证明即可得到DP・PN=AP・PB；

(2)过点£作AE的垂线与MC的延长线交于点J,连接CE,BN,由平行线分线段成比例得点E为

AB中点，可证明A,M,C,E四点共圆，则/EMC=/CA8=45°,故△"£：/为等腰直角三角形，Z

AME=ZAMC-ZEMC^45°,△CEA为等腰直角三角形，可证明△£Wg/\EC7,同理可得

为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，同理可证明：4MDE出4NDB,导角/3=/4,得

DF//BN,则有△CD/S^CBN,得BN=2DF,在等腰RtAMEJ中，由勾股定理得凡丁=我ME，故

M.T=V2BN;由CHR.T=6BN，得CH+AM=&BN，BPAM<M=2V2DF;再利用三角形面积公式即可得

证.

【解答】（1）①解：如图1,过点N作NKLCB交CB延长线于点K,则NK=90°；

图1

VZACB=90°,CB=CA,

；.AC=BC=2,

,由勾股定理得AB八历BC=2&，

:点。为8C中点，

：.CD=BD=1,

•1,4MDN是等腰直角三角形，

：.MD=ND,NMDN=90°,

ZNDK+ZADC=ZDAC+ZADC=90°,

ZNDK=ADAC,

:NC=NK=90°,

：.AACD咨ADKN,

；.r)K=AC=2,NK=CD=\,

在RtADKN中，由勾股定理得：DNW22+12='

在Rtz\Mr>N中，由勾股定理得：MN=J5DN=T5；

②证明：由①得△AC。丝△DKN,

：.DK=AC=BC,NK=CD=BD,

:.CD=BK,

:.NK=BK,

・•・ABKN是等腰直角三角形，

:・/NBK=45°,

ZABN=1SO°-45°-45°=90°=ZADN,

ZAPD=/NPB,

：.AAPDsANPB,

•・•—AP~—DP,

PNPB

:・DP、PN=AP・PB：

(2)解：过点片作ME的垂线与MC的延长线交于点J,连接CE,BN,

VZACB=90°,

：.AC±BC,

•：DELBC,

：.DE//AC,

.BEBD.

••—=—二i，

AECD

・・・点七为A5中点，

VCA=CB,

・•・CELAB,

・・・N5+N6=N6+N7=90°,

・・・N5=N7,

9：CA=CB,ZACB=90°,

：.ZCAB=ZCBA=45°,

VZAMC=90°,ZAEC=90°,

ZAMC+ZAEC=180°,

/.A,M,C,E四点共圆，

：.ZEMC^ZCAB=45D,

为等腰直角三角形，ZAME=ZAMC-ZEMC=45°,

：.EM=EJ,ZJ=45",

/J=ZAME,

VCEXAB,ZCAB=45°,

...△CEA为等腰直角三角形，

CE=AE,

在和△£口中，

'/7=/5

<EM=EJ，

ZAME=Z.T

:.AEAM咨AECJ(ASA),

：.AM=CJ,

•.•同理可得△瓦啰为等腰直角三角形，

:.DE=DB,

1/△MON为等腰直角三角形，

同理可证明：△ATOE0△NZM,

：.EM=BN,Z2=Z4,

VZ2=Z3,

.•.Z3=Z4,

S.DF//BN,

:ACDFsACBN,

.•.此g」，则BN=2O凡

BNCB2

在等腰RtzXME/中，由勾股定理得MlSllE，

•••M.T=V2BN，

：CMKI=in=&BN，

，AMKM=2&DF，

(AM+CM)2=8。尸2,即AM2+CM2+2AMXCM=8HF2,

J.AC^+IAMXCM=WF2,

..121

-S^ABCWACZ，S△槐wAMXCM，

.".AC2—1S^ABC,AMXCM—1S^AMC,

2,

"2s△ABC+2X2SAAHC=8DF

.19

11~2SAABC+SAAMC=2DF,

【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆

周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练构造基本全等模型是解决本题的关键.

18.(2025•泸县一模)如图，已知点C在圆上，抬为0。的一条割线，ZPCB=ZA.

(1)求证：△PBCsNCA；

(2)若尸8=4,AB=6,求PC.

【考点】相似三角形的判定与性质.

【专题】与圆有关的位置关系；推理能力.

【答案】(1)见解答；

(2)2^10.

【分析】(1)根据有2组角对应相等的两三角形相似可判定△P8CsZ\pcA；

(2)根据相似三角形的性质得到尸8：PC=PC：PA,即4：PC=PC：(4+6),然后利用比例的性质求

出PC.

【解答】(1)证明：'：ZCPB=ZAPC,ZPCB=ZA,

:.APBCsApcA；

(2)解：VAPBC^APCA,

:.PB：PC=PC：PA,

即4：PC=PC：(4+6),

解得尸C=2百5或PC=-2710(舍去)，

即PC的长为2内.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公

共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关

系.

19.(2025•大渡口区模拟)如图，在nABCD中，对角线AC与8。相交于点。，ZCAB=ZACB,过点8

作交AC于点E.

(1)求证：△ABOS^BEO；

(2)若A2=10,AC=16,求OE的长.

D__________________C

【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质.

【专题】图形的相似；运算能力；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)证AB=C2,得口48。。是菱形，再由菱形的性质得AC_LBD,可得/AOB=/BOE=90°,

再由BE_L4B,可得/£BA=90°,从而得出NBEO=NABO,

然后证即可；

由勾股定理得。由SBE得迈理，即可得出结论.

(2)8=6,△A8O/SJO,

OB0A

【解答】(1)证明：

：.AB=CB,

是菱形，

：.AC.LBD,

：.ZAOB^ZBOE^9Q°,

'JBELAB,

AZEBA=90°,

ZBEO+ZBAO=ZABO+ZBAO=90°,

:./BEO=/ABO,

：.AABO^^BEO；

(2)解：ABC。是菱形，

•■-0A=0C=yAC=8-AC±BD,

：.ZAOB=ZBOE=90°,

OB=7AB2-OA2=V102-82=6，

,:△B0ES/\A0B,

•••O-E=--O-B,

OBOA

即箜

68

解得：OE^)

即OE的长为g.

2

【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及相似三

角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键.

20.(2025•茅箭区校级模拟)在RtZkABC中，AC=1,ZC=90°,。为BC边上一动点，且空(w

BCn

为正整数)，在直线2C上方作△AOE,使得△ADES/XACB.

(1)如图I,在点。运动过程中，△ACD与△ABE始终保持相似关系，请说明理由；

(2)如图2,若”=2,M为AB中点，当点E在射线CM上时，求C。的长；

(3)如图3,设4E的中点为P,求点。从点C运动到点8的过程中，点P运动的路径长(用含"的

代数式表示).

图1图2图3

【考点】相似形综合题.

【专题】几何综合题；运算能力；推理能力.

【答案】(1)理由见解答；

(2)CD的长是2；

3

(3)点P运动的路径长是|Hn2+1•

【分析】(1)由△AZ)ESZ\ACB,得包■=胆，ZEAD=ABAC,可推导出包■=电1,ZDAC=ZEAB,

ACABAEAB

即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似"证明△ACOS^ABE；

(2)作CG_LA3于点G,则NACG=NABC=90°-ZBAC,由AC=1,£=2，n=2,得BC="AC