2025年中考数学复习难题之图形点的旋转

2025年中考数学复习难题速递之图形点的旋转（2025年4月）

选择题（共10小题）

1.（2025春•崇川区校级月考）如图，在△ABC中，/A=30°,将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△

DBE,延长AC分别交瓦），DE于点、F,G,连接BG.下列结论：①/PGE=120°；②AGLBD；③

DG=BG；④AG=DE+BE,其中正确的是（）

C.①②③D.①②③④

2.（2025春•沛县月考）如图，将aABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△?!'B'C.若NBCA=80°,

则NACB的度数是（）

A.50°B.30°C.20°D.10°

3.（2025•鱼台县一模）如图，△OZ5C是由△04B绕点。顺时针旋转30°后得到的图形，若点。恰好落

在AB上，且NAOC的度数为100°,则NC的度数是（）

A.15°B.30°C.35°D.40°

4.（2025•兴隆台区模拟）央视2025年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，与全球华人相约除夕、欢

度农历新年.下面是中心对称图形的是（）

A.8g

5.(2025•偏关县一模)如图，在Rt^AOB中，NB=90°,以。为坐标原点，0A所在直线为x轴建立平

面直角坐标系，将△A02绕点。逆时针旋转90°得到△A03,若点2的横坐标为3,=竽，则点

A.(3,4)B.(-3,4)C.(-4,3)D.(-5,3)

6.(2025•秦淮区校级模拟)如图，△ABC是由△ABC以点。为位似中心放大得到，△A9C还可以看作

是△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次平移和1次位似；②1次旋转和1次位似；③2

次轴对称和1次位似；④1次轴对称、1次旋转和1次位似.其中所有正确结论的序号是()

A'

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

7.（2025春•历城区校级月考）如图，尸是等边△ABC外一点，把8尸绕点8顺时针旋转60°到BP1,已

知/APiB=150°,PiA=l,PiC=2,则等边△ABC的边长为（）

A.V6B.V7C.2A/2D.V13

8.（2025春•西城区校级月考）下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是（）

9.（2025•河南一模）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移。（«>0）个单位，再绕原点按

逆时针方向旋转。角度，这样的图形运动叫做图形的p（小。）变换.如：点尸（1,2）按照p（3,90°）

变换后得到点P的坐标为（-5,1）,则点。（1,-1）按照p（2,75。）变换后得到点。，的坐标为（）

10.（2024秋•吴兴区期末）如图，在RtaABC中，NC=90°,NA=30°,AB=4,点。是直角边AC

上的一个动点，连结BD,以3。为边向外作等边△BZ5E,连结CE,在点。运动的过程中，线段CE的

最小值为（）

二.填空题（共5小题）

11.（2025春•渝中区校级月考）如图，以等边△ABC的边CB为斜边在△A2C外作RtABCD,/BDC=

90°,ZBCD=30°,将CD绕着点C逆时针旋转60°得线段CE,平移线段CB使得点C与D重合，

得到线段。R连接ER点M,N分别为线段BZ）,EF的中点，连接MN,AN,若MN=1,则线段AN

的长为________________.

12.（2025春•南京月考）如图，将△A8C绕点A逆时针旋转到旋转角为a（0°<a<180°），点

B的对应点。恰好落在边BC上.若。ELAC,ZCAD=24°,则旋转角a的度数为.

13.（2025•市北区校级一模）如图，在矩形ABCD中，42=10,BC=6,点〃是48边的中点，点N是

边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转90°,点N旋转到点N',则△MBN'周长的最小

值为_____________________

14.（2025•槐荫区一模）如图，在正方形A8C。中，48=4,点E、F分别在边A8、CD上,MBE=DF,

将线段EF绕点F顺时针旋转90°得到线段MF,连接AM,则线段AM的最小值

为.

15.（2025春•鼓楼区校级月考）如图，点尸是等边三角形ABC内一点，若B4=3,PB=4,PC=5,则

AB2—.

16.（2025•浦口区校级模拟）用一张矩形纸片剪一个等边三角形.

第一步，如图（1）,对折矩形纸片ABC。（A8>3C）,使AB与CO重合，得到折痕EF,把纸片展平;

第二步，如图（2）,再一次折叠纸片，使点。落在跖上的加处，并使折痕经过点A,得到折痕AG；

第三步，如图（3）,沿GM折叠纸片，得到折痕GH.

第四步，沿AG,GM裁剪矩形纸片，得到△AGH.

（1）说明△AGH是等边三角形.

（2）已知矩形纸片一边长为3,另一边长为a.对于每一个确定的。的值,都能剪出最大的等边三角形.画

出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围.

（3）如图（4）,用一张边长为4的正方形纸片A8CD剪一个等边三角形，使这个等边三角形的三个顶

17.(2025春•沈河区校级月考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别为点A(1,3),8(0,1),

C(3,2).

(1)请在图中画出将AABC向左平移4个单位长度得到的△A1B1Q；

(2)请在图中画出将△ABC绕着原点顺时针旋转90°得到的282c2.

ZACB=90°，AC=BC=4,在AB上取一点D,使

=热4点P在边AC上运动，点。在射线C£)上运动，在运动过程中使AP：。。=3：5,当

点尸到达点C时，点。、点尸同时停止运动.

(1)线段AB的长为.

(2)当尸。_LCD时，求A尸的长.

(3)当点P和点。到A8的距离相等时，求AP的长.

(4)作点尸关于直线A3的对称点P,当直线PQ经过△ABC一边中点时，直接写出AP的长.(写出

一个即可)

19.(2025春•南京月考)(1)【操作发现】

如图1,将△ABC绕点A顺时针旋转60°,得到△AOE,连接则是三角形.

(2)【类比探究】

如图2,在等边三角形ABC内任取一点P,连接以，PB,PC,若PB=1,PC=3,ZAPB=150°,求

PA的长.

(3)【解决问题】

如图3,在边长为V7的等边三角48C内有一点P,ZAPC=90°,ZBPC=120°,求△APC的面积.

(4)【拓展应用】

如图4是A,B,C三个村子位置的平面图，经测量/AC8=30°,P为△ABC内的一个动点，连接研，

PB,PC.求当E4+PB+PC的最小时NAPB的度数.

图1图2图3图4

20.(2025•朝阳区校级一模)数学兴趣活动课上，小致将等腰△ABC的底边8c与直线/重合.

(1)如图①，在△ABC中，AB=AC=4,120°,点P在边BC所在的直线/上移动，根据“直

线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短”，小致发现AP的最小值是.

(2)为进一步运用该结论，在(1)的条件下，小致发现，当AP最短时，如图②，在中，作

AD平分NA4P,交BP于点D,点、E、F分别是边AD,AP上的动点，连接PE、ER小致尝试探索PE+EF

的最小值，小致在AB上截取AN,使得AN=A尸，连接NE,易证从而将PE+EF转化

为PE+EN,转化到(1)的情况，则PE+EF的最小值为；

(3)解决问题：如图③，在△ABC中，ZACB=90°,NB=30°,AC=6,点D是边CB上的动点,

连接AD,将线段A。绕点A顺时针旋转60°,得到线段AP,连接CP,求线段CP的最小值.

2025年中考数学复习难题速递之图形点的旋转（2025年4月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案cCCACABCAB

选择题（共10小题）

1.（2025春•崇川区校级月考）如图，在△ABC中，NA=30°,将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△

DBE,延长AC分别交8DDE于点,F,G,连接8G.下列结论：①NFGE=12Q°；®AG±BD；③

DG=BG；④AG=DE+BE,其中正确的是（）

C.①②③D.①②③④

【考点】旋转的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质.

【专题】三角形；图形的全等；平移、旋转与对称；推理能力.

【答案】C

【分析】根据旋转的性质，可得NA8F=60°,根据三角形的内角和，可得/AFB=90°,

判断①；根据旋转的性质，三角形的内角和，平角的性质，可得//6£=120。，判断②；连接A。，根

据等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，可得判断③；连接CE,根

据旋转的性质，可得AC=DE,BC=BE,根据等边三角形的判定和性质，可得ABCE是等边三角形,

CE=8E,根据三角形三边的关系，可得BE=CE>CG+GE,进行判断④即可.

【解答】解：：AABC绕点B顺时针旋转60°得到△O8E,

/.ZABF=6Qa,ZA=ZD,

VZA=30°,ZA+ZABF+ZAFB=180°,

；.30°+60°+ZAFB=180°,

AZAFB=90",

：.AGLBD；

・••②正确;

：.ZDFG=90°,

VZA=ZD=30°，

：.ZDGF=60°,

：.ZFGE=120°,

・••①正确;

连接AD

VAB=BZ),ZABF=60°,

・•・△A3。是等边三角形，

：.ZDAB=60°,

VZA=30°,

：.ZDAF=30°,

在△ABG和△AOG中，

AD=AB

乙DAG=/-BAG=30°,

AG=AG

：.AABG^AADG(SAS),

:.DG=BG,

・••③正确；

连接CE,

由旋转可得：AC=DE,BC=BE,

'：AG^AC+CG,

：.AG=DE+CG,

VZCB£=60°,BC=BE,

.,.△BCE是等边三角形，

:.CE=BE,

VZFGE=120°,

:.BE=CE，CG+GE,

：.AG^DE+BE,

二④错误.

综上，正确的是①②③.

故选：C.

【点评】本题考查等腰三角形，等边三角形，全等三角形的知识，解题的关键是掌握旋转的性质，等腰

三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系.

2.（2025春•沛县月考）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到AA'B'C.若/BCA=80°,

则/ACB'的度数是（）

A.50°B.30°C.20°D.10°

【考点】旋转的性质.

【专题】推理能力.

【答案】C

【分析】由旋转的性质知，ZBCB'^ZACA'=50°,由NACB'=NBCB'+ZACA'-ZBCA'即

可求解.

【解答】解：,••将△ABC绕着点C顺时针旋转50。后得到B'C,

：.ZBCB'=ZACA'=50°,

VZACB'=ZBCB'+ZACA'-ZBCA',ABCA'=80°,

AZACB'=50°+50°-80°=20°,

故选：C.

【点评】本题考查了旋转的性质，掌握对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角是解题的关键.

3.（2025•鱼台县一模）如图，△OOC是由绕点。顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落

在AB上，且NAOC的度数为100°,则/C的度数是（）

A.15°B.30°C.35°D.40°

【考点】旋转的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力.

【答案】C

【分析】根据旋转的性质可得/4。。=30°,4。=。。，再求出NC。。，及NA,即可知NOOC的度数，

然后根据三角形的内角和定理即可求出/C的度数.

【解答】解：:△ODC是绕点。顺时针旋转30°后得到的图形，

AZAOZ）=30°,AO=DO,

VZAOC=100",

J.ZCOD^ZAOC-ZAOD^100°-30°=70°,ZA^ZADO=（180°-ZAOD）=＞（180°

-30°）=75°,

：./ODC=/A=15°,

AZC=180°-ZCOD-ZODC=180°-70°-75°=35°,

故选：C.

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关

键.

4.（2025•兴隆台区模拟）央视2025年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，与全球华人相约除夕、欢

度农历新年.下面是中心对称图形的是（）

A.8g

【考点】中心对称图形.

【答案】A

【分析】根据中心对称图形的概念判断即可.

【解答】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以是中

心对称图形；

选项8、C、。均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是

中心对称图形.

故选：A.

【点评】本题考查的是中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来

的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

5.（2025•偏关县一模）如图，在RtZkAQB中，ZB=90°,以。为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平

面直角坐标系，将△AOB绕点。逆时针旋转90°得到△AO3,若点8的横坐标为3,。4=学，则点

斤的坐标为（)

y

A.(3,4)B.(-3,4)C.(-4,3)D.(-5,3)

【考点】坐标与图形变化-旋转.

【专题】平移、旋转与对称；运算能力.

【答案】C

【分析】分别过点B和点次作无轴的垂线，垂足分别为"，N,先利用相似三角形的判定及性质求出

的长，再结合旋转的性质及全等三角形的判定与性质即可求出点次的坐标.

【解答】解：分别过点B和点B'作无轴的垂线，垂足分别为M,N,

：.ZOBM+ZABM^ZABM+ZBAM,

：.ZOBM=ZBAM.

又,：/BMO=/AMB,

MBMOS^AMB,

:点B的横坐标为3,且04=早

；.0M=3,AM=学，

:.BW=3*竽=16,

：.BM=4.

由旋转可知,

OB=OB',/BOB'=90°,

：.ZBOM+ZB'ON=ZBOM+ZOBM=90°,

：.ZB'ON^ZOBM.

在AB'ON和AOB/中，

'/B'NO=/OMB

■乙B'ON=乙OBM，

、0B=OB'

:AB'ON冬AOBM(44S),

：.B'N=OM=3,ON=BM=4,

:.点B'的坐标为(-4,3).

故选：C.

【点评】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转，熟知图形旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解

题的关键.

6.(2025•秦淮区校级模拟)如图，△A'BC是由△ABC以点。为位似中心放大得到，△ABC还可以看作

是△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次平移和1次位似；②1次旋转和1次位似；③2

次轴对称和1次位似；④1次轴对称、1次旋转和1次位似.其中所有正确结论的序号是()

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【考点】几何变换的类型.

【专题】平移、旋转与对称；推理能力.

【答案】A

【分析】针对①②③④逐一画图分析即可得解.

【解答】解：①如图，

\*/

''O"

假设△ABC沿AB所在直线向下平移得到UB“C

由图很明显可知“B"C”与△AB'C是位似图形，

所以AABC经过一次平移和一次位似可以得到8c,

故①正确；

②如图，

假设AABC绕点C旋转180°,得到"B"C,

由图很明显可知AA“B“C与△A3C是位似图形，

所以△ABC经过一次旋转和一次位似可以得到△ABC,

故②正确；

③两次轴对称之后，可以看作一次平移，

所以结合①我们可知，再通过一次位似图形可以得到△ABC,

故③正确；

④如图，

再绕点。旋转180°得到八4"B”C”,

由图很明显可知其对应点连线并未交于同一点，所以其与△ABC不是位似图形，

故④错误；

故选：A.

【点评】本题主要考查了几何变换类型，熟练掌握相关知识是解题的关键.

7.（2025春•历城区校级月考）如图，尸是等边△ABC外一点，把BP绕点8顺时针旋转60°到2P1,已

知NAP1B=15O°,PiA=l,FiC=2,则等边△ABC的边长为（）

A.V6B.V7C.2V2D.A/13

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股

定理.

【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】连接AP,PP,取AP的中点D连接。P,根据等边三角形的性质和旋转的性质，可证△PLBC

g△PBA（SAS）,APBP1为等边三角形，得到AP=PiC=2,ZAPiP=90°,然后利用勾股定理得到

BP=PP1=V3,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出NAPPi=30°,从而得到/APB

=90°,最后利用勾股定理即可得到AB.

【解答】解：连接AP,PP1,如图，

•/△ABC是等边三角形，

：.AB=AC,ZABC=60°,

,：BP绕点B顺时针旋转60°到BPi,

：.ZPBPi=60°,BP=BPi,

：.APBPi为等边三角形，ZABC-NABPi=NPBPi-ZABPi,

在△P1BC和中，

RB=PB

乙P、BC=Z.PBA

BC=BA

：.4P1BC%4PBA(SAS),

：.P1C=AP,

：P1C=2,

：.AP=PiC=2；

,.,△PBPi为等边三角形，

:.BP=PP\=BPi,NBPPi=/BPiP=60°,

VZAPiB=150°,

：.ZAPiP=ZAPiB-ZBPiP=150°-60°=90°,

VZAPiP=90°,PiA=l,AP=2,

：.PP1=J&P2_砒=互一12=V3,

：.BP=PPi=V3；

取AP的中点。，连接。P,

11

贝以。=DP=DP1=jXP=Jx2=1,

：.DPi=AD^APi,

：.AADPi为等边三角形，

：.ZDAPi=60°,

AZAPPi=90°-ZDAPi=30°,

AZAPB=ZAPPi+ZBPPi=90°,

VZAPS=90°,AP=2,BP=®

.XB=7BP2+AP2=J（V3）2+22=V7,

等边△ABC的边长为夕.

故选：B.

【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角

形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关

键.

8.（2025春•西城区校级月考）下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是（）

C.

D./_____________

【考点】中心对称图形；轴对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；应用意识.

【答案】C

【分析】轴对称图形是指平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；而

在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180。，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形

叫做中心对称图形，据此进一步判断求出答案即可.

【解答】解：根据轴对称图形和中心对称图形定义逐项分析判断如下：

A、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意；

2、是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项不符合题意；

C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项符合题意；

。、不是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意；

故选：C.

【点评】本题主要考查了轴对称图形与中心对称图形的识别.熟练掌握该知识点是关键.

9.（2025•河南一模）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移。（a>0）个单位，再绕原点按

逆时针方向旋转。角度，这样的图形运动叫做图形的p（。，。）变换.如：点尸（1,2）按照p（3,90°）

变换后得到点P的坐标为（-5,1）,则点。（1,-1）按照p（2,75。）变换后得到点。的坐标为（）

A（一旦丝R&_必

A.（2，2）2

一（—匹―yn'也_屈、

C.（）~2'JD.V2,

【考点】坐标与图形变化-旋转；坐标与图形变化-平移.

【专题】新定义；推理能力.

【答案】A

【分析】由题易得点。（1,-1）向上平移2个单位所得点的坐标为（1,1）,以及与y轴夹角为

30°,进而求解即可.

【解答】解：如图，由题知，将点Q（l,-1）向上平移2个单位所得点〃的坐标为（1,1）.

ZMOy^45°,

:将点（1,1）绕原点按逆时针方向旋转75°,

：.ZMOQ'=15°-45°=30°,

过点。’作y轴的垂线，垂足为A,

则Q'2=冬。4=孚.

所以点。'的坐标为（—孝，孚），

故选：A.

【点评】本题主要考查了坐标的平移和旋转，画出图形，利用特殊角求解即可.

10.（2024秋•吴兴区期末）如图，在中，ZC=90°,ZA=30°,AB=4,点。是直角边AC

上的一个动点，连结8D,以8。为边向外作等边△BDE,连结CE,在点。运动的过程中，线段CE的

最小值为（）

【考点】旋转的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角

三角形；勾股定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】延长BC到点R使尸C=3C,连结AF,FE,由NACB=90°,N54C=30°,AB=4,得FC

=BC=%B=2,可证明△ABF是等边三角形，因为△8OE是等边三角形，所以EB=DB,ZDBE=60a,

可证明△F8E0得/BFE=ZBAD^3Q°,可知点E在经过点F且与AF垂直的射线FE上运

动，作CXLPE交射线FE于点X,则C8=*PC=1,由CE2C8,求得CE的最小值为1,于是得到

问题的答案.

【解答】解：延长5C到点尸，使尸C=3C,连结ARFE,

VZACB=90°,ZBAC=30°,A8=4,

1

:・FC=BC=^B=2,NAB/=90°-ZBAC=60°,

：.FB=2BC=4,

:・FB=AB,

・•・AAB尸是等边三角形，

ZAFB=60°,

・・・△50月是等边三角形，

；・EB=DB,ZDBE=60°,

：.ZFBE=ZABD=60°-/DBF,

在AFBE和△A3。中，

FB=AB

Z.FBE=乙ABD,

、EB=DB

：.AFBE^AABD(SAS),

；・NBFE=NBAD=30°,

ZAFE=ZAFB+ZBFE=90°,

...点E在经过点尸且与AF垂直的射线压上运动，

作CHLFE交射线FE于点H,则ZCHF=900,

1

，CH=*FC=1,

■:CENCH,

：.CE^1,

，CE的最小值为1,

故选：B.

F，、

:'、、、、E

/>■

D

AB

【点评】此题重点考查旋转的性质、直角三角形中30。角所对的直角边等于斜边的一半、等边三角形

的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键.

填空题（共5小题）

11.（2025春•渝中区校级月考）如图，以等边△ABC的边为斜边在△A8C外作RtZXBCD,ZBDC=

90°,NBCD=30。,将CD绕着点C逆时针旋转60°得线段CE,平移线段CB使得点C与D重合，

得到线段。R连接ER点M,N分别为线段BZ）,所的中点，连接MN,AN,若MN=1,则线段AN

的长为.

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；平移

的性质.

【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力.

【答案】V13.

【分析】依据题意，连接AE,AF,BF,CF,先证出四边形是平行四边形，根据三角形的中位

线定理可得CE=2"N=2,再利用勾股定理求出CM=挈，从而可得CF=马等，然后证出△AB尸丝△

CBF,AACE咨AABF,根据全等三角形的性质可得4E=4尸=CF=^NCAE=NBAF,从而可

得NEAF=60°,最后证出所是等边三角形，根据等边三角形的性质可得求出EN,结合

在Rt^AEN中，利用勾股定理求解即可得.

【解答】解:如图，连接AE,AF,BF,CF,

E

A

F

由平移的性质得：BC=DF,BC//DF,

四边形BCDF是平行四边形，

：.BD,互相平分，CD=BF,CD//BF,

:点M是8。的中点，

.•.点M也是C尸的中点.

又：点N是EF的中点，MN=1,

：.CE=2MN=2(三角形的中位线定理)，

由旋转的性质得：CD=CE=2,ZDCE=60°.

在RtZkBCDZBDC=9Q°,ZBCD=30°,

:.BC=2BD.

：.CD=VBC2-SD2=V3B0=2.

：.BD=竽.

又；点M是BD的中点，

：.DM==字.

CM=y/CD2+DM2=挈

又：点M是CP的中点，

ACF=2CM=

'：CD//BF,/BCD=30°,

AZCBF=180°-ZBC£>=150°.

VAABC是等边三角形，

：.AB=CB=AC,ZBAC^ZABC^ZACB=60°,

AZABF=360°-ZCBF-ZABC=150°,

NABF=NCBF.

在△ABF和△CBF中，

AB=CB

Z.ABF=乙CBF,

BF=BF

：.AABF^/XCBF(SAS).

.AT-,2739

..AF=CrFU=-—.

VZACE=ZACB+ZBCr>+Z£>CE=150°,

NACE=ZABF.

■:CD=CE,CD=BF,

：.CE=BF.

在AACE和AAB尸中，

AC=AB

Z.ACE=匕ABF,

CE=BF

：.AACE^AABF(SAS).

：.AE=AF=NCAE=ZBAF.

：.NEAF=/BAE+/BAF=NBAE+NCAE=ZBAC^60°.

...△A所是等边三角形.

,2回

..ErFr=AAEt7=―—.

又：点N是跖的中点，

-1log

：.EN=^EF=啜ANLEF,

:.AN=<AE2-EN2=V13.

故答案为：V13.

【点评】本题主要考查了平移的性质、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、

三角形全等的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、二次根式的应用等知识，综合性强,

通过作辅助线，构造全等三角形和等边三角形是解题关键.

12.(2025春•南京月考)如图，将△A8C绕点A逆时针旋转到△&£)区旋转角为a(0°<a<180°)，点

8的对应点。恰好落在边BC上.若DELAC,ZCAD=24°,则旋转角a的度数为48°.

【考点】旋转的性质.

【专题】平移、旋转与对称；推理能力.

【答案】48°.

【分析】先求出NADE=66°,再利用旋转的性质求出N8=66。，AB=AD,然后利用等边对等角求

出乙M>8=66。，最后利用三角形的内角和定理求解即可.

【解答】解：如图，

AZAFZ)=90°,

VZCAD=24°,

AZAZ)E=180°-ACAD-ZAFD=180°-24°-90°=66°,

■:旋转,

：.ZB=ZADE=66°,AB=AD,

：.ZADB=ZB=66°,

AZBAD=180°-ZB-ZABD=180°-66°-66°=48°,

即旋转角a的度数是48°.

故答案为：48°.

【点评】本题考查了旋转的性质，关键是旋转性质的熟练掌握.

13.(2025•市北区校级一模)如图，在矩形ABC。中，AB=IO,8c=6,点M是AB边的中点，点N是

A。边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转90°,点N旋转到点N',则周长的最小

值为5+5时.

【考点】旋转的性质；矩形的性质；轴对称-最短路线问题.

【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力.

【答案】5+5V5.

【分析】由点M是AB边的中点得8/=5,要求AMBN'周长最小，实际是求BN'+MN'最小，转化

成”将军饮马”模型，先找出，运动轨迹，由线段旋转90。，可得三垂直全等，进而推出点V在平

行于A3,且与的距离为5的直线上运动，再作对称求解即可.

【解答】解：如图，过点N'作EF〃AB,交4。、8C于E、F,过点/作于点G,

:四边形ABC。为矩形，

C.AB//CD,

J.AB//EF//CD,

：.四边形AMGE和BMGF都是矩形，

AZA=ZMGN'=90°,

由旋转的性质得/NMN'=90°,MN=MN',

：.ZAMN=90°-ZNMG=ZGMN',

在△AMN和△GMN'中，

(NAMN=/GMN/

J/.A=NMGN'，

(MN=MN'

：.AAMN咨△GMN'(AAS),

:.点、N'在平行于AB,且与AB的距离为5的直线上运动，

作点M关于直线所的对称点M',连接MB交直线跖于点N',

此时△〃比▽周长取得最小值，最小值为,

'：BM=^AB=5,MM'=5+5=10,

：.BM+BMz=5+7s2+102=5+s瓜

故答案为：5+5V5.

【点评】本题主要考查了旋转的性质、矩形的性质、轴对称，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解

决此题的关键.

14.(2025•槐荫区一模)如图，在正方形ABCD中，A3=4,点£、尸分别在边48、上，且BE=DF,

将线段跖绕点厂顺时针旋转90。得到线段MR连接AM,则线段4M的最小值为卓

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质.

【专题】二次函数图象及其性质；图形的全等；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；运算能力.

【答案】嗒

【分析】过M■作MHLAB交BA延长线于H,交CD延长线于T,过E作EFLCD于K,设BE=DF

x,贝I]CF=AE=4-x=DK,证明△£心乌△尸力W(44S),可得EK=7F=4,KF=MT=2x-4,故

MH^MT+TH^2x-4+4=2x,AH=DT=TF-DF=4-x,由勾股定理得VZ/T而/=

J(4一久)2+(2久)25(%-32+管，再根据二次函数性质可得答案.

【解答】解：过M作交3A延长线于X,交延长线于T,过E作所，CD于K,如图:

AE=4-x=DK,

：.KF=DF-DK=x-(4-x)=2x-4,

1/将线段EF绕点厂顺时针旋转90°得到线段MF,

：.MF=EF,ZMFE=90°,

:.NKFE=90°-ZMFT=ZTMF,

•・・NEW=90°=/CTM,

：./\EKF^/\FTM(AA5),

:.EK=TF=4,KF=MT=2x-4,

：.MH=MT+TH=2x-4+4=2x,AH=DT=TF-DF=4-x,

rz4、2,64

：.AM=7AH2+MH?=7(4-x)2+(2x)25(%一耳)+亨

图寸，AM取最小值栏648V5

当x=

5

故答案为：

【点评】本题考查正方形中的旋转问题，涉及全等三角形的判定与性质，二次函数最大值等，解题的关

键是作辅助线，构造全等三角形解决问题.

15.（2025春•鼓楼区校级月考）如图，点尸是等边三角形ABC内一点，若以=3,尸8=4,PC=5,则

AB2^25+12V3.

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理.

【专题】推理能力.

【答案】25+12V3.

【分析】作等边三角形BPM,连接CM,作BNLCM交CM的延长线于点N,证明△ABP之△CBM,

得CM=R1=3,证明是直角三角形，得NBMN=30°,由勾股定理求出MN,即可.

【解答】解：作等边三角形BPM,连接CM,作BNLCM交CM的延长线于点N,

；ABPM,△ABC为等边三角形,

：.AB=BC,NABC=/PBM=60°,

ZABP^ZCBM,

在△ABP和△CBM中，

AB=BC

^ABP=CBM,

BP=BM

：.AABP^/\CBM(SAS),

：.CM=PA=3,

;PC=5,

CM2+PM2=PC2,

.,.△PCM是直角三角形，且NCMP=90°,

：.ZBMN=1SO°-90°-60°=30°,

；/BNM=90°,NBMN=3G°,

：.BN=^BM=2,

：.MN=y/BM2-BN2=2同

CN=CM+MN=3+2V3,

■:/BNC=9Q°,

：.BC2=BN2+CN2=22+(3+2V3)2=25+12百，

'：AB^BC,

\'AB2=25+12V3,

故答案为：25+12V3.

【点评】本题考查了旋转的性质，掌握等边三角形的性质，勾股定理及其逆定理是解题的关键.

三.解答题(共5小题)

16.(2025•浦口区校级模拟)用一张矩形纸片剪一个等边三角形.

第一步，如图(1),对折矩形纸片ABC。(AB>BC),使AB与CO重合，得到折痕斯，把纸片展平;

第二步，如图(2),再一次折叠纸片，使点。落在斯上的〃处，并使折痕经过点A,得到折痕AG；

第三步，如图(3),沿GM折叠纸片，得到折痕GW.

第四步，沿AG,GM裁剪矩形纸片，得到△AGH.

(1)说明△AG8是等边三角形.

(2)已知矩形纸片一边长为3,另一边长为a.对于每一个确定的a的值,都能剪出最大的等边三角形.画

出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围.

(3)如图(4),用一张边长为4的正方形纸片A8C£)剪一个等边三角形，使这个等边三角形的三个顶

点都在正方形的边上.设这个等边三角形的面积为S,直接写出S的取值范围.

【专题】矩形菱形正方形；展开与折叠；几何直观；推理能力；模型思想.

【答案】(1)见解析；

Q/o3A/3

(2)示意图见解析；0<。3竽或-^-，(<2次或022遍；

(3)4V3<S<32V3-48.

【分析】(1)由折叠性质导角证明HA=HG.由平行线分线段成比例证明GM=HM,进而证明RtAAMH

^RtAAMG(SAS),故A8=AG,所以A8=AG=8G,即可证明结论；

(2)分三类情形，分别画出图形，由等边三角形的性质结合三角函数计算，即可求出。的范围；

1

(3)当等边三角形GE尸的顶点£、P分别在正方形的两对边上，且EB〃C£),此时S最小，S而"='x

EFx2遮=1x4x2V3=4百；

当等边三角形GEF的顶点F与D重合，G、E分别在正方形两邻边上时，此时S最大，根据勾股定理

列方程可求等边三角形的边长，进而可求S“x=32百-48,故而4百WS332百-48.

【解答】(1)证明：由折叠性质可得NAG£>=NAGHNAZ)G=/AMG=90°,

由可得NAGD=NHAG,

所以/AG”=NHAG,

所以/M=HG.

由题意可知E尸为4。和8c边的对称轴，^.AB//EF//DC,

GMDE

由平行线分线段成比例可得丁=—=1,

HMAE

故GM=HM,

在RtAAMH和RtAAMG中,

AM=AM

Z.AMH=AAMG=90°,

.HM=GM

/.RtAAMH^RtAAMG(SAS),

故AH^AG,

又,：HA=HG,

故AH=AG=HG,

所以△AGH是等边三角形.

(2)解：第一种情形如图。所示，为等边三角形，一边位于边长为3的边上时,

图a

当GP=a时，可知A£=2AF=2Xtan30°XFG=^a,

2V3「

即---a<3,又a>0,

3

解得：0VaW

第二种情形如图b所示，AAGE为等边三角形，一边位于边长为。的边上时,

FG=3,贝IAE=2Af=2b,

故tz^2V3；

第三种情形如图c所示，△。斯为等边三角形，各边位于矩形的内部时,

图c图c.l图c.2

当。E与。。重合时如图cl,DE=DC=3,

此时等边三角形的高为萨，AD最小，则竽;

当。尸与A。重合时如图c.2,DF=AD=a,

此时。石=2B，AD最大,故a<2次,

〜…3V3「

所以---<a<2-\/3.

2

(3)解：当等边三角形GE尸如图d.l所示时，E、尸分别在正方形的两对边上，且所〃CD,

当等边三角形GE尸如图d.2所示，即尸与D重合，G、E分别在正方形两邻边上时,

此时S最大.

图d.2

此时易证Rt^AOG以RtZ\C£)E(乩)，故AG=CE,

设AG=CE=x,则BG=4-x=BE,