2025年中考数学考点过关练：三角形及其全等

第15关三角形及其全等

基础练

考点1三角形的有关概念

1.[2024内蒙古包头]如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是0(0,0),A(l,2)、B(3.3),

C(5,0),则四边形OABC的面积为()

A.14B.llC.10D.9

2.[2024湖南长沙]如图、在△ABC中,/BAC=60。,/B=50。,AD〃BC,则Nl的度数为()

A.50°B.60°

C.70°D.80°

3.[2024广东]如图,一把直尺、两个含30。角的三角尺拼接在一起，则/ACE的度数为()

A.1200B.90°

C.600D.30°

4.[2024重庆校级模拟]如图，在△ABC中,AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是

A.BF=CFB.ZC+ZCAD=90°

C./BAF=/CAFDSAABC=2sAABF

5.[2024四川南充三模]如图所示，将含45。角的直角三角尺与含60。角的直角三角尺叠放在一起，若/1=70。,则/

2的度数为()

C.500D.95°

6.[2024河北石家庄二模]如图，三角形中线段的长度x的值可能为)

A.10B.9C.7D.6

考点2全等三角形的性质与判定

7.[2024四川遂宁]如图1,A人：6(2与4AxBiCx满足NA=NAi,AC=A1g,BC=BiG,我们称这样

的两个三角形为“伪全等三角形”.如图2,在^ABC中,AB=AC,点D,E在线段BC上，且BE=CD,则图中共有“伪全

C.3对D.4先1

8.[2024甘肃临夏州]如图.在△ABC中，点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(4,1),点C的坐标为(3,4),点D在

第一象限(不与点C重合)，且4ABD与4ABC全等，点D的坐标是.

9.[2024黑龙江牡丹江]如SUABC中,D是AB上一点,CF〃AB,D,E,F三点共线，请添加一个条件：

，使得AE=CE.（只添一种情况即可）

10.[2024云南]如图，在△ABC和4AED中,AB=AE,NBAE=NCAD,AC=AD.

求证:△ABC^AAED.

11.[2024湖南长沙]如图，点C在线段AD上,AB=AD,/B=ND,BC=DE.

⑴求证:△ABC^AADE;

⑵若/BAC=60。,求/ACE的度数.

12.[2024吉林松原二模]如图，已知AE，AB,BC，AB,EA=AB,D为AB上一点，连接ED,AC相交于F,ED=AC,

求证:R3EAD^RtAABC.

提升练

13.[2024甘肃兰州]如图，小张想估测被池塘隔开的A,B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C,然后

步测出AC,BC的中点D,E,并步测出DE的长约为18m,由此估测A,B之间的距离为

()

A.18mB.24mC.36mD.54m

C

第13题图第14题图

14.[2024青海]如图,0C平分NAOB,点P在OC上,PD±OB,PD=2,则点P到OA的距离是

()

A.4B.3C.2D.1

15.[2024广东广州]如图，在△ABC中,/人=90。△8二八062为边封的中点点E,F分别在边AB,AC上,AE=CF,

则四边形AEDF的面积为()

A

E

8

DC

A.18B.9V2D.6V2

16.［2024安徽合肥校级模拟］如图,AD,BE,CF分别是△ABC的中线、高和角平分线,/ABC=9(F,CF交AD于点

G,交BE于点H,则下列结论一定正确的是

BD

A.ZABE=ZFCBB.ZGAC=ZGCA

C.FG=GCD.BF=BH

17.R024山东烟台］如图，在正方形ABCD中，点E,F分别为对角线BD,AC的三等分点，连接AE并延长交C

D于点G,连接EF,FG.若NAGF=a，则ZFAG用含a的代数式表示为()

90°-a

D.---------

45°+a

D.TT/2

18.如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形(△ABECBCF,ACDG,ADAH)和中间一个小正方形EFGH

组成，连接DE.若AE=4,BE=3厕DE=

A.5B.2V6C.V17D.4

19.［2024江苏无锡二模］如图，在平面直角坐标系中,A(0,4),B为x轴正半轴上的动点，以AB为边在第一象限内

作4ABC,使得NBAC=90。，S3ABe=12连接OC,则OC长的最大值为()

Bx

20.［2024辽宁大连校级模拟］如图，在△ABC中,分别以A,B为圆心，AC,BC长为半径作弧交于点C,连接B

C,AC,CC;在CB上取点M,以点C为圆心，CM长为半径作弧交CC于点N,再分别以M,N为圆心，大于|M

N的长为半径作弧交于一点，延长点C与这点的连线交BC于点P,交AB于I.若BC=2逐℃=4,则BP的长为

4号B.10(V5-2)

C.5V5+3D.10

21.[2024湖北]如图，由三个全等的三角形(△ABE,△BCF,ACAD)与中间的小等边三角形DEF拼成一个大等

边三角形ABC.连接BD并延长交AC于点G若AE=ED=2,则⑴NFDB的度数是_______42)DG的长是_________

22.如图，在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O*=1线段AB与AE关于过点O的直线1对称点B

DL)3

的对应点B，在线段OC上,AB交CD于点E,则ABCE与四边形OBED的面积比为.

23.[2024四川遂宁]在等边△ABC三边上分别取点D,E,F,使得AD=BE=CF,连接三点得到△DEF,易得△ADF0

△BED以ACFE,设S-BC=1，则・SADEF=1-3S“DF'

如图①，当£=之时，SA.=1-3X；=5；

如图②，当笔=|时，ShDEF=l-3x|=i；

如图③，当第口：时,SADEF=1-3X5=2；

直接写出当苦时,SADEF一

24.[2024四川南充]如图.在△ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE〃AC交AD的延长线于点E.

⑴求证:△BDE^ACDA;

(2)若AD_LBC,求证:BA=BE.

25.[2024宁夏]综合与实践

如图1,在△ABC中,BD是NABC的平分线,BD的延长线交外角/CAM的平分线于点E.

【发现结论】

结论1:/AEB=ZACB;

结论2:当图1中NACB=90。时，如图2所示延长BC交AE于点F,过点E作AF的垂线交BF于点G,交AC

的延长线于点H,则AE与EG的数量关系是________.

【应用结论】

⑴求证:AH=GF;

(2)在图2中连接FH,AG.延长AG交FH于点N,补全图形，求证：FN=NH+五AE.

图1图2

第15关三角形及其全等

.D解析过A点作AE，x轴于E,过B点作Bhx轴于F,

四边形0ABe的面积=SMOE+S+S^BCF=x1x2+x(3+2)x(3-1)+ix(5-3)x3=9.

悌形ABFE222

.C3.C

C解析:「AF是AABC的中线

，BF=CF,A说法正确,不符合题意；

'.AD是高,..NADC=90。，

・•・NC+/CAD=90°,B说法正确，不符合题意；

••AE是角平分线，

，NBAE=NCAE,，ZBAF与NCAF不相等,C说法错误,符合题意;

.BF=CF,

SMBC=2sA4BF,D说法正确i不符合题目•

故选C.

D解析：如图，

・21=70。，、

.•23=180°-60°-<1=50°,舄八

.24=45°,

.♦2=与+N4=50°+45°=95°.

B解析：由三角形三边关系可得，在上方的三角形中,7-3<x<7+3,即4<x<10;

在下方的三角形中,11-4<X<11+4,即7<x<15.

故7<x<10,故选B.

7.D解析:•.・AB=AC,；.NB=NC.

又.BE=CD,・.AABE%ACD(SAS),..AD=AE.

•.AB=AB,NB=NB,AD=AE/BADHNBAE,

."ABD和AABE是一对"伪全等三角形".同理可得,MBD和AACD是一对"伪全等三角形"；^ACD和必

CE是一对"伪全等三角形"；AABE和AACE是一对"伪全等三角形".

所以"伪全等三角形"共有4对.

8.(1,4)

解析：•.点D在第一象限(不与点C重合)，且AABD与AABC全等，

.1△BAD当ABC,

，AD=BC,BD=AC,如图，

易知D(l,4).

9.DE=EF(或AD=CF)

解析:XFllAB,

.,.zA=zECF,zADE=zF,

..添加条件DE=EF,可以使得3DE当CFE(AAS);

添加条件AD=CF,可以使得“DE%CFE(ASA).

10证明:../BAE=NCAD,

zBAE+zCAE=zCAD+zCAE,

即NBAC=NDAE.

在AABC和AAED中，

AB=AE,

{ZBAC=ZDAE,

AC=AD,

."ABC%AED(SAS).

11.(1)见解析⑵60。

解析：(1)证明:在MBC与AADE中,

AB=AD,

{ZB=ZD,

BC=DE,

所以AABC%ADE(SAS).

(2)因为AABC^ADE,所以AC=AE/CAE=NBAC=60°;所以AACE是等边三角形.所以NACE=60°.

12.证明:•.AE，AB,BC，AB,

..NEAB=NABC=90°,

在RtAEAD和RbABC中,

ED=AC,

*=AB,

：.Rt△EAD^RtAABC(HL).

13.C

14.C解析:过P作PE^AO于E”OC平分NAOB,点P在OC±,PD±OB,

PE=PD=2,

二点P到OA的距离是2.

15.C解析:连接AD.

・zBAC=90°,AB=AC=6,点D是BC的中点，

zBAD=NB=NC=45°,AD=BD=DC.

•.♦AE=CF,.”ADE学CDF.

S内边用(EDF=SAAED+SAAD,=S4CFD+S^ADF—^HADC=^^ABC'

1

又；SNBC=6x6x-=18,

ii

四边用AEDT=-2S^&ABC=-2x18=9.

16.D解析:A.「NABC=90。，

.•.zABE+zEBC=90°,

•.zBEC=90°,

..NACB+NEBC=90°,

.•ZABE=NACB>NFCB,故本选项结论错误，不符合题意；

B.当MBC为等腰直角三角形时，NBAC=NACB,ABHAC,

.AD是中线，

•AD不是角平分线，

NGAC丰—2^BAC,

又；ZGCA=^ACB,

・•・NGAC/NGCA,故本选项结论错误,不符合题意；

C./AD是AABC的中线，

.-.BD=DC,

当FG=GC时,DG是ACBF的中位线，则GDllBF,不成立，故本选项结论错误，不符合题意；

D./zACF=zBCF,NBFC=90°-ZBCF,ZBHF=ZEHC=90°-ZACF,

..NBFC=NBHF,

二.BF=BH,故本选项结论正确，符合题意.

故选D、

17.B解析:设AC,BD交于点0,连接0G,

•••四边形ABCD是正方形，点E为对角线BD的三等分点,

・•・AB\\CD,AB=CD喘=2,

/.△ABE^AGDE,

•_B_E—_A_B—_C_D—仁/

"ED~DG~DG~'

--G是CD的中点

又•.O是AC的中点,

.-.OGllBCllAD,易知NCOD=90O/DOG=NDBC=45O,NCOG=NCAD=45。，

.'.zDOG=zCOG.

易知OE=OF,

.1△OEG学OFG、

NEGO=NFGO=-ZEGF=

22

1go0—rr

ANFAG=NGOF-ZEGO=45°-％

22

18.C解析:.RtADA也RtAABE,

：.DH=AE=4,AH=BE=3,

.•.EH=AE-AH=4-3=L

••.四边形EFGH是正方形，

.-.zDHE=90o,

DE=VDW2+EH2=V42+l2=V17.

19.C解析如图作M2DB,使ACDB学BAC,作AEllx轴交CD于点E,取AE的中点F,连接CF,OF.

•.■ACBD^ABCA,/.ZABC=ZBCD,

•.zABC+zACB=90°,

.•.zACB+zBCD=90°,BPzACD=90°,-.zBAC=90°,

.,.zACD+zBAC=180°,.,.CDIIAB,X,.AEIIx轴，

.".zABO=zEAB=zAEC,

X-.zAOB=zACD=90°,

：.LAOBACE.：­—=—,

ACAE

即AOAE=ABAC,

1'"SAABC=12,5AB,AC=12,

.■,AB-AC=24,.-.AOAE=24.

X-.A(0,4),.-.AO=4.

..AE=24+4=6.

CF=AF=-AE=3.

2

在Rt△AFO中，OF2=AF2+OA2,

即。产=32+42=25,.-.OF=5（舍负）.

•.OC<OF+CF,gp0C<8,

」QC的最大值是8.

20.B解析:如图，过点P作PE_LBC于点E,PF_LCC'于点F.

由题中作图可知C'P平分NBCC,BC=BC'=2V5,

..PE=PF,

1,

,S^nc=严一BCPB

PC1

,△TCC£cc.PFCC

PB2A/5V5

」•正=丁=h

PB=磊x2V5=10（V5-2）.

21.30。；¥

解析:「AABE学CAD,..BE=AD=4.

DEF为等边三角形，

，ED=DF=EF=2/DFE=60°,

，BF=BE-EF=2=DF,

ANDBF=NFDB=^NDFE=30。.作CHJ_BG交BG的延长线于点H.易知CD=2,

.NCDH=NBDF=30°,

ACH=^CD=1,.-.DH=V22-l2=百，易知zADG=NH=90°,NAGD=NCGH,

.“AGDSACGH,

._DG日n4_DG

"CH-GH'1-V3-DGf

・•・D“G=4—陋.

5

22.-

3

解析:连接OE,AD,

.AB与AB关于直线I对称，

，A在BD延长线上，

•••'=9,.•.设AC=10k厕BD=6k,

BD3

,・四边形ABCD为菱形,.QA=OC=5k,OB=OD=3k,

.AB与AB关于直线I对称，

.•QA=OA'=5I<,OB=OB=3I<,

zA'=zBAC=zDAC=nDCA,

AD=BC=2k,

ZAED=NCEB,

.△A'ED斗CEB'(AAS)

.DE=B'E,

'

-.OE=OE/OD=OB/

「.△DOE当B'OE(SSS),

S^DOE=S

△BOE

S,

ABCEBC2

S,3’

△BOE

S，21

△BCE_£_£

S,-6-3'

四边形OBED

73

23.—

100

12—11

SADFF=l-3x;=l-3x—

AD

AB

23—11

^f=l-3x-=l-3x—

34—17

SADFF=l-3x-=l-3x—=-;

当笔=¥寸SADEF=1_3x壁

故当笔时,4由=1-3*条=爵

24.证明:⑴•;D为BC的中点BD=CD.

BEIIAC,/.zE=zDAC,zDBE=zC.

NE=ZDAC,

在ABDE和ACDA中，(/no„7...△BDEVACDA(AAS).