比例线段（4大考点）解析版

第07讲比例线段（4大考点）

考点考而

一、成比例线段的概念

1.比例的项：

在比例式a:6=c:d（即@=£）中，a,济尔为比例外项，6,c称为比例内项.特别地，在比例式a:b=b:c

bd

（即3=2）中，6称为a,C的比例中项，满足廿=*.

bc

2.成比例线段：

四条线段a,b,c,冲，如果a和力的比等于c和取］比，即q=9,那么这四条线段a,b,c,9”做成比

bd

例线段，简称比例线段.

二、比例的性质

比例的性质示例剖析

(1)基本性质：—=—u>ad=bc(Jbdw0)

bd23

xy23z八、

(2)反比性质：-=-^>-=-(abcd^0)7=W0—=—(即0)

baac23xy

/C、—>rr--ClCClb_.V

(3)更比性质：不=-；0—=;或

baca

(23>3x2

—d=—c(abied4w02)

ba

Airt,ir-r-aca+bc+d/77八、x2x+y2+3/八、

(4)合比性质：-==(M^O)=二==二("°)

baba>3y3

/1-、/\Irhaca—bc—d,八、y3y-x3-2

(5)分比性质：—=—o——=——(ZTbd0)z

babax2x2

,八八八aca+bc+d

(6)合分比性质：-=-«--=--x2x+y2+3八、

baa-bc-d=尸z

y3x-y2-3

(JbdwU,awb,cwd)

(7)等比性质：

234

已知_=_=则当％时，

acm,八、+y+zwO

—=—=•••=—zS+dd-----xyz

bdn2_3_4_2+3+4

a+c-\-----\-ma7T八、

n-----------------=—Sz7+d+L+〃wO)xyzx+y+z'

b+d-\-----\-nb

三、黄金分割

如图，若线段/此一点G把线段26分成两条线段/分口比1（AC>3C）,且使2提/褥口式的比例中

项（即AC2=AB-BC）,则称线段/磁点途金分割，点线段/颂黄金分割点，其中

AC=避二143=0,61843,BC=3-4ABa0.382AB,/修力踊）比叫做黄金比.（注意：对于线段4?

22

而言，黄金分割点有两个.）

•---------------•----------•

ACB

四、平行线分线段成比例定理

两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例,简称为平行线分线段成比例定理.如图:

ABDEABDEBCEF

如果4/4/〃3，则

【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如/6）称为上,位置靠下的称为下，两条线段合成的线段

上上上上下下

称为全，则可以形象的表示为三=三，元=工，

rr全全全全

五、平行线分线段成比例定理的推论

平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线）,所得的对应线段成比例.如图：如

果EF〃BC，则晋喂,AEAFBE_CF

~AB~^ACAB-AC

六、平行线分线段成比例定理的推论的逆定理

若/喂或器噎喷啜，则有”.

【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立,反例：任意四边形中一对对边的中点

的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行.

【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做交/行尸点，再证明

尸与擂合即可.

I二考点精讲

比例的性质（共7小题）

1.（2022•堇B州区校级开学）已知电=5,则三”的值是（）

aa+b

A.2B.-Ac.2D.A

3333

【分析】根据已知可得6=5m然后代入式子中进行计算即可解答.

【解答】解：：2=5,

a

・・Z?=5〃，

•・•a-b-_-a---5--a--_-4a—__—2，

a+ba+5a6a3

故选：A.

【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.

2.（2022•萧山区二模）若2m=3n,则二的值是_2_.

m3

【分析】根据比例的基本性质，进行计算即可解答.

【解答】解：；2%=3〃,

.』=2,

m3

故答案为：1.

3

【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.

3.（2021秋•丽水期末）己知2a=3%，求下列各式的值.

（1）A；

b

（2）2a-b

a+2b

【分析】（1）根据比例的基本性质进行计算即可；

（2）利用（1）的结论，然后用设左法进行计算即可.

【解答】解：（1）,：2a=3b,

•a_3.

b2

（2）VA=2；

b2

.•.设a=3瓦b=2k,

.2a-b=6k-2k

a+2b3k+4k

=4k

7k

T

【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设左法是解题的关键.

4.(2021秋•温州月考)计算:

(1)已知3：x=5：2,求x的值.

(2)已知工=2y-x,求三的值.

35,y

【分析】(1)根据比例的性质直接计算即可；

(2)根据比例的性质直接计算即可.

【解答】解：(1)V3：x=5：2,

••5x=6,

解得X=旦；

5

(2)•.•工=五，k0,

35

.・.5y=3(2y-x),

5y=6y-3x,

y=3x,

•三,

【点评】本题考查了比例的性质，代数式的求值；熟练掌握比例的性质是解决问题的关键.

5.(2021秋•余杭区月考)已知曳求2a+3b+c的值.

326a-b-c

【分析】直接利用已知设。=3玄b=2k,c=6k,进而代入得出答案.

【解答】解：设包=0=£=左，则a=3k,b=2k,c=6k,

326

2a+3b+c=2X3k+3X2k+6k=_骚

a-b-c3k-2k-6k5

【点评】此题主要考查了比例的性质，正确用同一未知数表示出各数是解题关键.

6.(2022•郸州区校级开学)已知至上二三，且2x+3y-z=18,求x+y+z的值.

234

【分析】设立=工=三=瓦得出x=2G,y=3/，z=4k,再根据2x+3y-z=18,求出人的值，然后得出x,y,

234.'

Z的值，从而得出x+y+z的值.

【解答】解：设三=工=三=左，则x=2左，y—3k,z=4k,

234

2x+3y-z=18,

・・・4%+9%-4左=18,

:.k=2,

.*.x=4,y=6,z=8,

/.x+y+z=4+6+8=18.

【点评】此题考查比例的性质，关键是设三=工=三=总得出上的值.

234

7.（2021秋•江干区校级期中）根据条件求值.

（1）若包=1,求生也的值；

b5b

（2）若三」，求史上的值.

y3x-y

【分析】（1）把生也化成包+1,再把电=1代入计算，即可得出答案；

bbb5

（2）根据三=工，得出y=3x,再代入要求的式子进行计算即可得出答案.

y3

【解答】解：（1）vA=l,

b5

.•.地=且+1=1+1=旦.

bb55

（2）vA=l,

y3

.•・y=3x,

•2x+y=2x+3x=__5

x-yx-3x2

【点评】此题考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键.

二.比例线段（共7小题）

8.（2021秋•宁波期中）下面四组线段中，成比例的是（）

A.（1=1,b=2,c=2,d=4B.a=2,b=3,c=4,d=5

C.〃=4,b=6,c=8,d=10D.a=b=V3,c=3,d=V3

【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段.对选项一一分析,

排除错误答案.

【解答】解：A、1X4=2X2,故选项符合题意；

B、2X5W3X4,故选项不符合题意；

C、4X10W6X8,故选项不符合题意；

C、&X3W«XF，故选项不符合题意；

故选：A.

【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外

两个相乘，看它们的积是否相等.同时注意单位要统一.

9.（2021秋•西湖区校级月考）已知线段。是线段b,c的比例中项，b=4cm,c=9cm,贝（I。为（）cm.

A.36B.-36C.6D.-6

【分析】根据题意可得代入数值，解答出即可，注意线段为正值.

【解答】解：由题意得，2=bc,

b=4cm,c=9cm,

.'.a2—36,

.".a=6或-6（舍去）；

故选：C.

【点评】本题主要考查了比例线段，注意理解比例中项的定义.

10.（2021秋•下城区校级月考）比例尺为1：2000000的地图上，A、8两地间的图上距离为2厘米，则两

地间的实际距离是（）千米.

A.0.4B.4C.40D.400

【分析】设两地间的实际距离是尤厘米，根据比例尺的定义得到2：x=l：2000000,再利用比例的性质求

出无，然后把单位化为千米即可.

【解答】解：设两地间的实际距离是无厘米，

根据题意得2：x=l：2000000,

解得x=4000000a”,

所以两地间的实际距离是40千米.

故选：C.

【点评】本题考查了比例线段，理解比例尺的定义是解决问题的关键.

11.（2022•钱塘区一模）已知线段。=泥+1,>=泥-1,则a,1的比例中项线段等于2.

【分析】根据比例中项的定义直接列式求值，问题即可解决.

【解答】解：设服6的比例中项为x,

'.'a—yf5+l,-1,

'.j?=ab=（V5+1）（V5-1）=（V5）2-12=5-1=4

.•.无=\伍=2（舍去负值），

即。、6的比例中项线段等于2,

故答案为：2.

【点评】该题主要考查了比例中项等基本概念问题和根式的乘法；熟练掌握比例中项的概念和根式的化简

方法是解决问题的关键.

12.（2021秋•衢江区期末）在比例尺为1：5000的地图上，甲、乙两地相距20c机，则它们的实际距离为

1000cm.

【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式即可求得甲乙两地的实际距离.要注意统一单位.

【解答】解：设甲乙两地的实际距离为xcm,则

1：5000=20：尤，

解得x=100000,

100000cm=1000m.

即它们的实际距离为1000/H.

故答案为：lOOOow.

【点评】考查了比例线段，熟练运用比例尺进行计算，注意单位的转换.

13.（2021秋•鹿城区校级期中）（1）已知线段a=2,b=9,求线段a,b的比例中项.

（2）已知尤：y=4：3,求三二三的值.

y

【分析】（1）设线段X是线段a,b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外

项之积即可得出答案.

（2）设x=4匕y=3总代入计算，于是得到结论.

【解答】解：（1）设线段x是线段a,6的比例中项，

b=6,

W=3X6=18,

尤=±372（负值舍去）.

二线段。，6的比例中项是3&.

（2）设x=4左，y=3k,

.y-x=3k-4k=_1

y3k3

【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.

14.（2021秋•射阳县校级期末）已知线段a、b、c满足a：b：c=3：2：6,且a+2b+c=26.

（1）求a、b、c的值；

（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求尤的值.

【分析】（1）利用a：b：c=3：2：6,可设a=34，b=2k,c=6k,则次+2X24+6左=26,然后解出k的值

即可得到a、b、c的值；

（2）根据比例中项的定义得到彳2=诏，即X2=4X6,然后根据算术平方根的定义求解.

【解答】解：⑴b：c=3：2：6,

••设。=3鼠Z?=2Z,c=6怎

又•:a+2/?+c=26,

，3人+2X2女+6%=26,解得左=2,

♦・。=6,Z?=4,c~~12；

（2）•・”是〃、b的比例中项，

・・/=次?，

.*.X2=4X6,

:・x=2或x=-2，^（舍去），

即尤的值为小.

【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段。、6、c、d,如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与

另两条线段的比相等，如a：b=c：［（即ad=6c）,我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.注

意利用代数的方法解决较为简便.

三.黄金分割（共9小题）

15.（2022•富阳区一模）已知线段AB=2,点尸是线段AB的黄金分割点（APXBP）,则线段AP的长为（）

A.3一遍B.娓-1C.3-75D.V5-1

22

【分析】根据黄金比值为运二1计算即可.

2

【解答】解：：点尸是线段A8的黄金分割点，AP>BP,

：.AP=Xx2=V5-1，

22

故选：D.

【点评】本题考查的是黄金分割的概念，熟记黄金比值为1二1是解题的关键.

2

16.（2021秋•舟山期末）某品牌汽车将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒

车镜的水平距离为L58米，倒车镜到车尾部分的水平距离较长，则该车车身总长约为（）米.

A.4.14B.2.56C.6.70D.3.82

【分析】设该车车身总长为由黄金分割点的定义得到汽车倒车镜到车尾的水平距离为近二L•米，再

2

根据题意列方程X-1二lx=L58,然后解方程即可.

2

【解答】解：设该车车身总长为X米,

•••汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置，倒车镜到车尾部分的水平距离较长,

汽车倒车镜到车尾的水平距离为运L米，

2

；.尤-在二1关=1.58,

2

解得：W4.14,

即该车车身总长约为4.14米.

故选:A.

【点评】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段AC和8C（AOBC）,且使AC是和BC的比

例中项（即A8：AC=AC：BC）,叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点.

17.（2021秋•嘉兴期末）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP>PB,若A2=4,则AP的值为，遥二

2.

【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段=A8X近二1,代入计算即可.

2

【解答】解：：点P是线段A8的黄金分割点，S.AP>PB,AB=4,

：.AP~4X、5-1=2遥-2,

2

故答案为：-2.

【点评】此题考查了黄金分割点的概念.识记黄金分割的公式是解题的关键.

18.（2018秋•长兴县期末）若线段AB=6c机，点C是线段AB的一个黄金分割点（AOBC）,则AC的长

为3（返-1）cm（结果保留根号）.

【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫

做黄金分割，他们的比值（返二1）叫做黄金比.

2_

【解答】解：根据黄金分割点的概念和AO8C,得：AC=1二1A8=3（遍-I）.

2

故本题答案为：3（Vs-1）.

【点评】此题考查了黄金分割点的概念，要熟记黄金比的值.

19.（2021•金东区校级模拟）黄金比杏4=0.61803398…，这个比用四舍五入法精确到。初的近似数是

0.62.

【分析】把黄金比按要求用四舍五入法即可得出答案.

【解答】解：力-1=0.61803398…=662,

故答案为：0.62.

【点评】本题考查了黄金比以及近似数，熟记黄金比是解题的关键.

20.（2022•西湖区模拟）已知线段AB=2,点尸为线段A3的黄金分割点（AP>BP）,则-BP=2芯

-4.

【分析】根据黄金分割的概念、黄金比值计算即可.

【解答】解：：点尸是线段A2的黄金分割点，AP>BP,

：.AP=-1，

2

贝I]BP=2-AP=3-遍，

：.AP-BP=（5/5-1）-（3-依）=2疾-4,

故答案为：2灰-4.

【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段48分成两条线段AC和8CG4c>20,且使AC是

AB和2C的比例中项，叫做把线段AB黄金分割.

21.（2021•西湖区校级三模）如图，已知矩形ABCD.

（1）作出正方形点、E,点尸分别在线段A。，BC上（尺规作图）；

（2）若4。=8,点E为线段A。的黄金分割点且AEAED,求AE的长.

A|---------ID

【分析】（1）根据题意作图即可；

（2）根据黄金分割的比值可得答案.

【解答】解：（1）如图，

首先以A为圆心，以A2的长为半径画弧，交AD于E,

再以8为圆心，以A8的长为半径画弧，交8C于凡

最后连接ER正方形A2FE即为所求.

（2）♦.2。=8,点E为线段的黄金分割点，

AAE=8=4（A/5-1）.

22

【点评】本题主要考查作图-基本作图，矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握角平分线的尺规作图是解

题的关键.

22.（2021秋•拱墅区校级期中）（1）已知a=4.5,b=2,c是a,%的比例中项，求c.

（2）如图，C是AB的黄金分割点，J.AOBC,AB=4,求AC的长.

I_____________________I_______________I

ACB

【分析】（1）由c是a,6的比例中项，得到02=油，代入即可求出答案；

（2）由黄金分割点的定义进行计算即可.

【解答】解：（1）是a,6的比例中项，

•*.c2=aZ?=4.5X2=9,

・・ci=3,C2=-3,

:・c为3或-3；

（2）是A5的黄金分割点，,1AOBC,AB=4,

AC=X4=2V5-2.

22

【点评】本题考查了黄金分割点的概念以及比例中项，正确运用黄金比进行计算是解题的关键.

23.（2021•杭州模拟）如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABC。，取AB的中点P,连接尸D

在54的延长线上取点R使PF=PD,以AE为边作正方形AMER点M在上.

（1）求AM,OM的长；

（2）点用是的黄金分割点吗？为什么？

R

【分析】（1）要求AM的长，只需求得AF的长，又AF=PF-AP,PF=PD=y[^[=述,则

-1,DM=AD-AM=3-西；

（2）根据（1）中的数据得：幽=近二1,根据黄金分割点的概念，则点M是的黄金分割点.

AD2

【解答】解：（1）在中，AP=1,A£>=2,由勾股定理知尸。=《州2+研2=返71=麻,

.".AM^AF^PF-AP=PD-4尸=遍-1,

DM=AD-AM=3-娓.

故AM的长为遥-1,OW的长为3-、而；

（2）点/是A。的黄金分割点.

由于鲤=1二1,

AD2

...点M是的黄金分割点.

【点评】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念.先求得线段AM,OM的长，然后求

得线段AM和AD,DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行判断.

四.平行线分线段成比例（共10小题）

24.（2021秋•温州期末）如图，h,12,/3是一组平行线，直线AC,。尸分别与这组平行线依次相交于点A,

【分析】根据平行线分线段成比例和题目中的条件解答即可.

【解答】解：-：h//l2//h,

•.--D-E-=-A--B-_-2-,

EFBC3

•EF=3=3

DF3+25

故选：C.

【点评】本题考查平行线分线段成比例，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用平

行线分线段成比例解答.

25.（2021秋•越城区期末）如图，在△ABC中，DE//BC,分别与AB、AC相交于点。、E,若AE=4,

EC=2,则矩的值为（）

AB

3234

【分析】根据平行线分线段成比例定理，写出比例线段，代入线段的值.

【解答】W：-DE//BC,

•AD=AE；

"ABAC"

•AD_4_2

AB63

故选：A.

【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线

段成比例，用此定理写出比例线段是解题关键.

26.（2022•拱墅区校级开学）如图，在△ABC中,DEaBC,AZ）=EC,3£>=4,AE=3,则A2的长为2y+4.

【分析】利用平行线分线段成比例可得延4,代入可求得AD,利用线段的和差可得AB的长.

BDEC

【解答】解：-：DE//BC,

•ADAE

"BD"EC，

,：AD^EC,

：.AD2=AE'BD=3X4=n,

：.AD=2y[3,

：.AB=AD+BD=2-/3+4.

故答案为：2«+4.

【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段是解题的关键.

27.（2022•镇海区校级开学）如图，己知AB〃CD〃ER若AC=6,CE=3,DF=2,则2。的长为4

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可.

【解答】解：：AB〃CD〃EF,

•AC=BD

"CEDF，

VAC=6,CE=3,DF=2,

•-•—6_B--D-,

32

解得：BD=4,

故答案为：4.

【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.

28.（2021秋•余杭区月考）如图，在△ABC中，点、D,E分别在边A8,AC上，且坦=2,返」,射线

DB2EC2

和CB的延长线交于点孔则里的值为1.

FC一

【分析】过点8作交AC于H,根据平行线分线段成比例定理求出地，进而求出旦旦=」，再根据

EHEC3

平行线分线段成比例定理计算即可.

【解答】解:过点B作88〃E下交AC于

则AE=AD=3,

'E.HDB2

AE

一1

EC2

E-H

EC1

3

"."BH//EF,

•••FB—-E―H-1,

FCEC3

故答案为：X.

3

FBC

【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，正确作出辅助线、灵活运用定理是解题的关键.

29.（2021•西湖区校级三模）正方形纸片ABC。中，E,尸分别是AB、CB上的点，且AE=CF,CE交AF

于相若E为42中点，则史=2；若NCMF=45°,则史=、日+1.

EMEM一

A

E

B

【分析】①如图1中，延长交。C的延长线于点T.构造全等三角形解决问题即可.②根据正方形的性质得

到AB=8C,等量代换得到根据全等三角形的性质得到AM=CM,EM=FM,推出点M在点A

和点C的对称轴上，连接3。，过M作MGL2C于G,则点M在BO上，根据等腰三角形的判定得到

=BM,设BG=GM=x,得到根据相似三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：①如图1中，延长交DC的延长线于点♦

在正方形ABC。中，

/.ZABC^ZBD=ZFCr=90°,AB=CB,

"：AE=CF,AE=EB,

：.BE=BF=CF,

在△54尸和△CTF中,

，ZAFB=ZCFT

•BF=CF，

ZABF=ZFCT

:.LABF经ACTF(ASA),

：.AB=CT,

：.CT=2AE,

'：AE//CT,

图2

在△AB尸与△C8E中，

'AB=CB

-ZABF=ZCBE>

BF=BE

AABF^/\CBE(SAS),

：.ZBAF=ZBCE,

在△AEM与△CFM中，

rZEAM=ZFCM

,ZAME=ZCMF)

AE=CF

:.丛AEM学ACFM(AAS),

J.AM^CM,EM=FM,

...点M在点A和点C的对称轴上,

连接BD,过M作MG_L8C于G,

则点〃在8。上，

AZABM=ZCBM=45°,

VZAME=ZCMF=45°,

ZAME^ZCBM,

：.ZBEM=ZBAM+ZAME=ZBME=ZCBM+ZBCM,

;BE=BM,

'：MGLBC,

:.BG=GM,

设BG=GM=x,

:.BE=BM=®x,

,:MG〃BE,

:ACMGsACEB,

•CM=MG=V2

，-CEBE~T'

.••史=丹_=料+1,

EM2-V2

故答案为：2,V2+1.

【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅

助线是解题的关键.

30.（2021秋•拱墅区月考）如图，直线a〃b〃c,坦=5,则理=互.

BCDF—6一

【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可.

【解答】解：：直线。〃b〃c,

•ABDE「

BCEF

.DE=DE=5=5

"DF=DE+EF=5+1

故答案为：

6

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

31.（2021秋•定海区校级月考）如图，在△ABC中，EF//CD,DE//BC.求证：AF：FD=AD：DB.

【分析】根据平行线分线段成比例定理得出空=坐，坦=胆，推出空=也即可.

FDECDBECFDDB

【解答】解：,：EF//CD,DE//BC,

••--A-F.-A-E-，--A-D.-A-E-，

FDECDBEC

BPAF：FD=AD：DB.

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意对应成比例.

32.（2021秋•下城区校级期中）如图，直线人〃/2〃/3,若AB=6,8c=10,EF=9,求。E的长.

【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出OE的长.

【解答】解:'：h//l2//h.AB=6,BC=10,

•••DE一_A,B_6_3,

EFBC105

'：EF=9,

:.DE=ZL.

5

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，并能进行推理计算是

解决问题的关键.

33.（2021秋•竦州市校级月考）如图：AD//EG//BC,EG分别交AB,DB,AC于点E,F,G,已知

=5,8C=10,AE=9,AB=12.求EG,FG的长.

【分析】在AABC中，根据平行线分线段成比例求出EG,在△54。中，根据平行线分线段成比例求出EE

即可求出FG=EG-EF.

【解答】解：:△ABC中，EG//BC,

：.AAEG^^ABC,

•EGAE

"BC"AB'

VBC=10,AE=9,42=12,

•-•EG一_-9,

1012

2

「△BA。中，EF//AD,

■EF=BE；

"AD而‘

VA£>=5,AE=9,AB=12,

•••EF_1-2---9-,

512

；.£F=$.

4

:.FG=EG--互=空.

【点评】本题考查了平行线分线段成比例，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得

的对应线段成比例.

U巩固提升

一、单选题

1.（2021•温州市实验中学九年级月考）如图，已知4?〃切〃瓦'且/C：龙=3：4,@'=14,则所的长为

A.8B.7C.6D.3

【答案】A

【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论.

【详解】解：由题意：：四〃。〃即

：.AC：CE=BD\DF=3：4,

所以设初=3x,DF=4x,

所以3x+4x=14,即x—2,

:.DF=4x=3

故答案选：A

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，关键是找出对应的比例线段，写出比例式，用到的知识点是

平行线分线段成比例定理.

2.（2021•温州市实验中学九年级月考）若二=g,则二上的值为（）

》2y

,3c2c2r3

A."-B.-C.-D.一

5532

【答案】D

【分析】先将一^变形为一-1,再代入计算即可求解.

yy

x5

[W11/-=-,

y乙

.X-yX53

..-----=--]=--]=一

yy22,

故选：D.

【点睛】考查了比例的性质，解题的关键是将三二上变形为2-1.

yy

3.（2019•浙江温州•九年级期末）如图，在，ABCD中，E,F,G依次是对角线5。上的四等分点，连结CG

并延长交AD于点瓶连结儿中并延长交5c于点〃若MF=MC,MG=1,MH的长为（）

A.4B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】根据4V/6C，得到桨=警=段，根据四等分点和的得到CG,可得心g4,再证明黑=空=1

BCCGBGBFFH

可得HF,可得MH.

【详解】解：・・•四边形/题是平行四边形,

AD//BC,

MDMGDG

~BC~~CG~~BG"

E,F,G依次是对角线切上的四等分点，好1,

1DG1

CG~^G~3f

CG=3,

AD//BC,

DFMF

而=而j1

HF=4,

MtMRH户8,

故选D.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，平行四边形的性质，解题的关键是根据平行线得到相应的比例

式.

4.（2020•浙江九年级期末）已知如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC>BC）,则下列结论中正确的

是（）

।_____________I_________।

ACB

A.AB2=AC2+BC2B.BC^AOBA

„BC75-1AC75-1

U.------n

AC2BC2

【答案】C

【详解】黄金分割定义知,击片，所以Wc.

设/庐1,AC=x,

1—xX

X1

解得：下土5BCV5-1

选C.

2AC2

5.（2021•浙江九年级期末）有一种有趣的读数法：如图，在图纸上确定纵轴与横轴，从交点。处开始依

次在两轴上画出单位相同的标度，再作两轴交角的角平分线/少上的标度与纵轴上的标度在同一水平线

上,拿一根直尺，使得它的两端分别架在横轴和纵轴上，且如二4OB=b,读出直尺与少的交点。的标度就

可以求出。。的长度.当天4,左6时，读得点。处的标度为（）

人12「12后「2424公

A.—B.—V2C.一D.—V2

5555

【答案】A

【分析】通过分别向横轴和纵轴作辅助线得到等腰三角形，建立线段之间的对应关系，同时利用平行线分

线段成比例的推理，建立比例关系式即可求解.

【详解】解：如图所示，过C点分别向如、协作垂线，垂足分别为点〃、点与

因为N/6户90°,OP平分4AOB,

：.ZBO（=ZAO（=^°,

AZB0C=Z0CE=ZA0C=Z0CD=45o,

：・0&CB^CF0D,

设0斤CB^CFOAx,

：.BE=6-x,

CE//OA,

.BECE

9,~OB~~OA"

.6-xx

6-4'

.•»中,

5

V。上的标度与纵轴上的标度在同一水平线上，

12

・,•点。处的标度等于切的长，即为了，

故选：A.

【点睛】本题综合考查了等腰三角形的判定、角平分线的定义和平行线分线段成比例定理的推论等内容,

解决本题的关键是正确理解题意与图形，能在图形中得到对应等量关系，能正确作出辅助线构造相似三角

形等，本题蕴含了数形结合等思想方法.

二、填空题

6.（2021•杭州市采荷中学九年级二模）线段"=2cm,点尸为线段的黄金分割点则期

的长为cm.

【答案】（石-1）

【分析】根据黄金分割的定义得到4尸=叵口AB,把=代入计算即可.

2

【详解】解：；线段AB=2cm,点尸是线段的黄金分割点（AP>BP）,

AP=AB=^―!-x2cm=（加,

22

故答案为：（小-1）.

【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键.

7.（2021•浙江九年级月考）如图，在△/8C中，点〃在/C边上，AD-.DC=\,2,点£是劭的中点，连接

/£并延长交6。于点凡除12,则阱.

【答案】3

【分析】过月作〃7的平行线交/。与G,由中位线的知识可得出〃G：屐1：2,根据已知和平行线分线段成

比例得出£6：降2：3,再根据比M2,即可得出班'的值.

【详解】解：过E作EG〃BC,交然于G,

又,：AD：DOX-.2,

：.AG：A(=2：3,

'：EG//BC,

.EGAG2

FC"AC_3'

.•.陷9,

;除12,

:.B氏BC-FG3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理

和三角形面积公式.

8.（2021•浙江衢江•九年级期末）数2和8的比例中项是—.

【答案】x=±4

【分析】根据比例中项的概念：比例中项的平方等于两个数的乘积，设2和8的比例中项是x,列出方程计

算即可.

【详解】设2和8的比例中项是x,

2x

••一~,

x8

Y=16,

角军得x=±4.

故答案为：x=±4.

【点睛】题主要考查了比例中项的概念，设出未知数列出方程是解题的关键.

9.（2021•温州市实验中学九年级月考）若线段a=4,6=9,则线段a,6的比例中项为.

【答案】6

【分析】由四条线段a,x,x,6成比例，根据成比例线段的定义解答即可.

【详解】解：设线段a,6的比例中项为c,c>0,

根据比例中项原则：（^=ab,

・，♦/=4X9,

c=6

故答案：6.

【点睛】本题考查成比例线段、比例中项等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键.

10.（2020•浙江拱墅•树兰中学九年级月考）如图，在AABC中，。是5c边上的一点，5D:OC=4:1,G为

AD的中点，联结BG并延长交AC于点E,则石G:G4=

【答案】1：9

【分析】过D做DM〃AC,得出4AEG丝ZXDMG,进而得出EG二MG,再根据平行线分线段成比例定理即可得出

BG与EG关系，从而得出石G:G3=1:9.

【详解】过D做DM〃AC,

AZEAG=ZMDG,ZAEG=ZDMG

・・・G为AD的中点

AAG=DG

AAAEG^ADMG

二•EG=MG,

VBD:DC=4:1

ABM:EM=BD:DC=4:1

・・・BM=4EM=8EG

.,.BG=9EG

.'.EG:BG=1:9

故答案是1:9

【点睛】本题主要考察了全等三角形和平行线成比例定理等知识点，根据已知条件做出合适的辅助线是解

题关键.

11.（2021•浙江衢州•）将一副三角板如图放置在平面直角坐标系中，顶点/与原点。重合，45在x轴正

半轴上，且A2=4A/L点£在肥上，DE=^AD,将这副三角板整体向右平移个单位，C,£两点

同时落在反比例函数y=七的图象上.

【答案】12-73

【分析】分别求出C（4如+6,6）,£（373,9）,假设向右平移了勿个单位，将平移后的店代入y=f中，列出

方程进行求解即可.

【详解】过£作ENLDB,过C作CMVBD,

：.ZDNE=90。,

由三角板及AB=可知NOB£>=90。，劭=12,CM=BM=^D46,

：.C（473+6,6）,

'：ZDNE=90°,ZDNE=90°,

J.EN//OB,

'：DE=-AD

4

EN=-OB=y/3,DN=-DB=9,

44

E（3A/3,9）,

设将这副三角板整体向右平移勿个单位，C,£两点同时落在反比例函数＞的图象上.

X

•.•。（4百+6,6）,网3后9）,

二平移后C'（4g+6+〃z,6）,£（3石+帆9）,

6=k

4A/3+