二级结论：焦点三角形的面积公式（含答案解析）

二级结论1:焦点三角形的面积公式

【结论阐述】1.椭圆中焦点三角形面积公式

22

在椭圆=+==1（。>6>0）中，片，耳分别为左、右焦点，尸为椭圆上一点，^PF=e,

ab2

AP耳匕的面积记为其晔，则：①义晔=；因尸2①尸力/；②&晔

°

③5师&=62tan（其中。"廖.

2.双曲线中焦点三角形面积公式

22

在双曲线二-白=1（a>0,b>0）中，K，鸟分别为左、右焦点，P为双曲线上一点,

ab

^PF2=o,△/华鸟的面积记为几加，贝IJ：①耳耳帆|=力）；

②S,PFiF=^PFx\\\PF2\^e；③.

注意：在求圆锥曲线中焦点三角形面积时，根据题意选择适合的公式，注意结合圆锥曲线的

定义，余弦定理，基本不等式等综合应用.

【应用场景】

【典例指引1】

（2022・湖北・天门教育科学研究院高二期末）

22

1.已知《、鸟是椭圆C:'+?=l的两个焦点，尸是椭圆上一点，""=60。,贝屋尸£心

的面积是（）

4L

A.3B.2C.yV3D.V3

【典例指引2】

（2022•安徽亳州一中高二月考）

试卷第1页，共10页

22

2.已知直线卜=息（左HO）与双曲线方=l（a>0,6>0）交于A,8两点，以为直径

的圆恰好经过双曲线的右焦点尸，若△必尸的面积为2r,则双曲线的离心率为（）

A.72B.V3C.2D.V5

【针对训练】

（2022•吉林吉林・高三期末）

3.已知尸是椭圆/=>6>0）上一动点，K,月是椭圆的左、右焦点，当NF'PF]=y

时，"一5当线段3的中点落到y轴上时，tan/W则点P运动过程中，

F12](82

A.B.JP工

-18F12]

C.

2话,)12切

（2022・天津和平•高二期末）

22

4.双曲线上-匕=1的两个焦点分别是02，点尸是双曲线上一点且满足N单岑=60。，

169

则的面积为（）

A.25>/3B.16下>C.973D.3拒

（2022•江西鹰潭•高二期末）

5.椭圆C]+（=1的焦点为片，月，点尸在椭圆上，若|3|=8,贝U△巴笆的面积为

（）

A.48B.40C.28D.24

（2022・安徽亳州第一中学高二期末）

221

6.设号月是椭圆工+匕=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且cos/耳尸石、.则APG区的

12243

面积为（）

A.6B.6拒C.8D.8近

（2022•甘肃・永昌县第一高级中学高二期末）

f7T

7.椭圆]+/=1的左右焦点为片、用，尸为椭圆上的一点，ZFtPF2=j,则鸟的面

积为（）

试卷第2页，共10页

V3

A.1B.V3C.TD.2

（2022•北京第五十七中学高二月考）

8.已知椭圆C：（+K，用分别为它的左右焦点，A,B分别为它的左右顶点,

点尸是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的是（）

4

A.离心率eB.△片尸鸟的周长为18

a

C.直线尸/与直线尸B斜率乘积为定值一卷D.若N4产区=90°,贝心片尸工的面积为8

（2022•黑龙江・大庆中学高二期末）

22

9.已知片，鸟分别为椭圆C:1^+%=l（a>6>0）的左右焦点，。为坐标原点，椭圆上存

在一点P，使得2|。尸|=|大闾，设直的面积为S,若5=（附|-忸£「则该椭圆的离

心率为（）

A.-B.|C.—D.—

3223

（2022•山西运城•高二期末）

22

10.已知点心凡是双曲线斗-2=1（°>0,6>0）的左、右焦点，以线段为工为直径的圆与双

曲线在第一象限的交点为尸，若归周=3|尸工则（）

A.|尸周与双曲线的实轴长相等

B.△期月的面积为:/

C.双曲线的离心率为M

2

D.直线3x+2y=0是双曲线的一条渐近线

（2022•内蒙古赤峰•高三期末）

22

11.已知双曲线土-匕=1的两个焦点为片，F2,尸为双曲线上一点，PFQg,在加

916

的内切圆的圆心为/,则附1=（）

A2734nV34c3734nV34

3322

（2022・广东・执信中学高三月考）

12.已知双曲线C的离心率为百，耳鸟是C的两个焦点，P为C上一点，|理|=3|尸尸2〔，若

试卷第3页，共10页

△尸£鸟的面积为逝，则双曲线C的实轴长为（）

A.IB.2C.3D.4

（2022・广西玉林•模拟预测）

2

13.已知双曲线C:/-匕=1的左，右焦点为片,乙，尸为双曲线右支上的一点，NP片居=30。，

2

/是人尸耳月的内心，则下列结论错误的是（）

A.是直角三角形B.点/的横坐标为1

C.|尸/|=26-2D.的内切圆的面积为打

二级结论2：圆锥曲线的切线问题

【结论阐述】

1.过圆C：（x-a）2+（y-b）2=R2上一点尸（七,%）的切线方程为（%-。）（尤-。）+（%-b）（y-6）=玄.

22

2.过椭圆「+」=1上一点P（x。,%）的切线方程为岑+鬓=1.

ab'ab"

3.已知点”（x。,%）,抛物线C：w0）和直线/：yoy=p（x+x0）.

（1）当点"（x。,％）在抛物线C上时，直线/与抛物线C相切，其中河为切点，/为切线.

（2）当点”（%,%）在抛物线C外时，直线/与抛物线C相交，其中两交点与点M的连线分

别是抛物线的切线，即直线/为切点弦所在的直线.

（3）当点在抛物线C内时，直线/与抛物线C相离.

【应用场景】圆锥曲线的切线问题常用方法有几何法，代数法：比如求圆的切线，常用圆心

到直线的距离等于半径来解决切线问题，也可以联立直线与圆的方程根据A=0来求解；比

如涉及到椭圆的切线问题，也常常联立直线与椭圆的方程根据A=0来求解；对于抛物线的

切线问题，可以联立，有时也可以通过求导来求解.也可以运用上述结论快速得出切线方程.

【典例指引1】

14.过点尸（2,2）作抛物线y=2》的切线/,切线/在了轴上的截距为—.

【典例指引2]

（2022•安徽•六安一中高二期末）

22

15.已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为三+1=1（°>6>0）,则椭圆在其上一点

a2b2v'

试卷第4页，共10页

2

/（X。,为）处的切线方程为竽+罟=1,试运用该性质解决以下问题；椭圆£：］+/=1,

点2为G在第一象限中的任意一点，过3作£的切线/,/分别与x轴和y轴的正半轴交于

两点，则AOCZ）面积的最小值为（）

A.1B.V3C.41D.2

【针对训练】

16.已知过圆锥曲线《+狼=1上一点尸（乙,儿）的切线方程为汉■型=1.过椭圆

mnmn

22

］+:=l上的点/（3,-1）作椭圆的切线/,则过A点且与直线/垂直的直线方程为（）

A.%->一3=0B.x+y-2=0

C.2x+3y-3=0D.3x-y-10=0

17.过圆/+/=〃上一定点尸（匕,儿）的圆的切线方程为x°x+”y=/.此结论可推广到圆

22

锥曲线上.过椭圆++?=1上的点作椭圆的切线/.则过A点且与直线/垂直的直线

方程为（）

A.%+>一2=0B.x-y-3=0

C.2x+3y-3=0D.31一》-10=0

（2022•新疆・乌苏市第一中学高二月考）

22

18.已知点尸（xj）是椭圆］+亍=1上任意一点，则点p到直线/：y=x+5的最大距离为（）

A.5.+而B.§.一aC.5V2+V26D.5/一而

22

（2022•广东佛山•模拟预测）

22

19.过双曲线。:三-,=1（〃〉0/>0）上一点尸作双曲线。的切线/,若直线。尸与直线/的

2

斜率均存在，且斜率之积为《，则双曲线。的离心率为（）

.V29口廊rV35n回

5355

20.若直线>=区+2与曲线工=犷藐交于不同的两点，那么上的取值范围是

（2022•山西临汾•一模）

21.过点尸作抛物线C:/=2y的两条切线，切点分别为”,N.若。为APMN的重心,

试卷第5页，共10页

则点。的坐标为（）

A.（1,1）B.（0,0）C.［1,；］D.（2,2）

（2022・甘肃・金昌市教育科学研究所高三月考）

22.倾斜角为135。的直线/与抛物线产=8x相切，分别与x轴、了轴交于A、3两点，过A,

B两点的最小圆截抛物线必=8x的准线所得的弦长为（）

A.4B.2C.272D.亚

23.设抛物线X?=2眇（?>0）,M为直线>=-2。上任意一点，过“引抛物线的切线，切

点分别为A,B,A,B,"的横坐标分别为苞，XB，x“贝I］（）

A.X4+=2丫加B.xA*XB=x'

112

C.D.以上都不对

（2022•河南•高三月考）

24.已知抛物线C:f=2抄（0<p<6）的焦点为尸，P为C上一点，点/（3,0）,5（1,-2）,

设/ABP取最小值和最大值时对应的点分别为耳，P2,且蛇.康=0，则。=（）

A.4B.3C.2D.1

二级结论3:圆锥曲线的中点弦问题

【结论阐述】

22

1.在椭圆C：=+5=15>6>0）中（特别提醒此题结论适用焦点在X轴上椭圆）：

（1）如图①所示，若直线>=日（左。0）与椭圆。交于4,3两点，过4,8两点作椭圆的切

线有////',设其斜率为%则太心=-"

a

（2）如图②所示，若直线歹=点（左。0）与椭圆。交于Z,B两点,尸为椭圆上异于4,5的

点，若直线尸4,P3的斜率存在，且分别为左，k2,则勺&=一土.

a

（3）如图③所示，若直线>=依+6（4N0,%N0）与椭圆。交于4,B两点，尸为弦N3的中点,

设直线尸。的斜率为E，贝味/=-与.

试卷第6页，共10页

图①图②图③

22r2

2.在双曲线C：二_3=1.>0,6>0）中，类比上述结论有（特别提醒此题结论）：（1）上/=」；

aba

7212

（2）kk=—；（3）kk=—.

x2aaQ

3.在抛物线C：/=2px（p>0）中类比1（3）的结论有仁wO）.

y（）

【应用场景】以上关于椭圆（双曲线）的结论适用于焦点在X轴上椭圆（双曲线）.圆锥曲

线的中点弦问题常用点差法，但是注意使用点差法后要检验答案是否符合题意；另外也可以

通过联立+韦达定理求解.

【典例指引1】

（2022•内蒙古・海拉尔二中高三期末）

22

25.设椭圆的方程为二+匕=1,斜率为左的直线不经过原点。，而且与椭圆相交于N,B

24

两点，M为线段43的中点，下列结论正确的是（）

A.直线N3与垂直；

B.若直线方程为y=2x+2,贝！

C.若直线方程为y=x+l,则点”坐标为，怖）

D.若点"坐标为（1,1）,则直线方程为2x+y-3=0；

【典例指引2】

（2022•安徽•淮北师大附中高二期中）

22

,Vv

26.已知椭圆E:一=1（a>&>0）的右焦点F与抛物线/=12x的焦点重合，过点F的直

ab

线交E于A、B两点，若的中点坐标为（1,T）,则E的方程为（）

22

B.工+匕=1

3627

22

D.土+J

189

【针对训练】

（2022•江苏漂阳•高二期末）

27.将=4上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线C,若直线/与曲

试卷第7页，共10页

线。交于4,5两点，且45中点坐标为M（l,f）,那么直线/的方程为（）

A.x+2y-2=0B.x-2y=0C.2x—jv—3=0D.2x+y+2=0

2022・湖南长沙•高三月考）

28.已知机，n,s,/为正数，m+n=4,—I——9,其中冽，〃是常数，且s+,的最小值是

st

o丫22

［，点M（私〃）是曲线上+匕=1的一条弦的中点，则弦N3所在直线方程为（）

9328

A.x-4y+6=0B.4x-y-6=0

C.4x+y-10=0D.x+4y-10=0

（2022・江苏盐城•高二期末）

22

29.椭圆三+三=1中以点M（2,l）为中点的弦所在直线斜率为（）

A.--B.1C.—D.--

9233

（2022•江西南昌•高二期末）

225

30.如图，双曲线C:三一二=l（q>0,6>0）,是圆M:（x+2）2+（y-l）2=；的一条直

ab2

径，若双曲线。过A,5两点，且离心率为血，则直线的方程为（）

B.4x+y+6=0

C.x+y+5=0D.2x+>+3=0

（2022•四川•石室中学一模）

22

31.已知双曲线C：A-4=1的左、右焦点分别为&-c,0）,匕（c,0）,过片的直线/交双曲

ab

Q

线C的渐近线于4,3两点，若I8/|=叵同，s△阳B+S△期&=y2（S"筋表示△/片乙的

面积），则双曲线。的离心率的值为（）

A.6B.—C.V5D.晅或叵

235

试卷第8页，共10页

22

32.设直线y=2x+f"0)与双曲线-—『ig>0,b>0)两条渐近线分别交于点A,B,

若点尸(牝0)满足归国=|必则该双曲线的渐近线方程是()

A.y=i3xB.y=+y[?>x

C.y=+)-xD.y=±—x

39

(2022•江苏•高三月考)

33.已知/,3在抛物线/=4x上，且线段48的中点为M(l,1),则02尸()

A.4B.5

C.V15D.2vH

(2022•重庆巴蜀中学高二期中)

34.已知抛物线Cj：V=2pMp>0),其焦点厂到准线的距离为2,过焦点厂且斜率大于0

的直线/交抛物线于4,2两点，以为直径的圆G与准线相切于点0，。为坐标原点，

\OQ\=6则圆G的标准方程为()

A.(x-3)2+(y-2)2=16B.(x-2)2+(y-3)2=16

C.(无一3『+(y-2)2=8D.(x-2)2+(y-3)2=8

(2022•湖南邵东•高二期末)

22

35.椭圆方程为5+1=1Q>6>0)椭圆内有一点(1/)，以这一点为中点的弦所在的直线

ab

方程为x+2y-3=0,则椭圆的离心率为.

(2022•黑龙江•大庆中学高二期中)

226

36.已知椭圆C:号+方=l(a>6>0)的离心率为奇，直线/与椭圆。交于4,2两点且线

段的中点为〃(3,2),则直线/的斜率为.

(2022・上海・复旦附中高二期末)

22

37.过点W(l,1)作斜率为；的直线与双曲线「:3-5=1相交于4,3两点，若M是线段AB

2ab

的中点，则双曲线r的离心率为.

2

38.已知双曲线X?-乙=1上存在两点机N关于直线k-x+b对称，且的中点在抛物线

2

V=3x上，则实数6的值为.

试卷第9页，共10页

（2022•四川省南充高级中学高三月考）

22

39.已知双曲线。:三―%=1（。>0,6>0）的右焦点为尸，虚轴的上端点为8,点P,Q为C

上两点，点M（-2,1）为弦尸。的中点，S.PQ//BF,记双曲线的离心率为e,则《?=.

试卷第10页，共10页

《专题10解析几何1》参考答案:

1.D

【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理可求得归用•1尸用的值，再利用三角形的面积公式可

求得结果.

22

【详解】由椭圆C:?+g-=l的方程可得/=4,/=3,c=l,则归凰+归身=方=4,

因为/片根=60°,则归邸2+|尸闾2_2|尸外|尸囚©os60=|FXF\\

即（附|+\PF2\f-3冏卜陶卜爪f,即16-31刊讣|尸局=4,解得陷卜陷|=4,

因此,“七闻明sin60,=：x4=5

故选：D.

2.D

【分析】求出以42为直径的圆的方程为x2+/=c2,设尸=加"所＞〃，贝U"—〃=2a,

通过三角形的面积推出办"=8/,且"+/=M8F=4C2,联立三式，即可求解双曲线的离心

率.

【详解】•••以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点厂，

以AB为直径的圆的方程为x2+y2=c2,

则AF±BF,\AB\=2\OF\=2c,

设|4F|=加，|BF|=n,

贝=|/B1=4/①，

由对称性和双曲线的定义知根-〃=2a②，

=］加,〃=2S,OAF=4/③，

m-n=2a

联立三式：,加〃=8/,化简可得,2=5/,

m'+n2=4c2

:.e=4i-

故选：D.

答案第1页，共24页

3.A

,...f211

【分析】设|明=加,|%先由题意求出椭圆标准方程为.需+/1.把西+忸^转化

118

为忸可+商［=嬴，由加+〃=8求出124冽〃<16,即可求得.

【详解】^\PFx\=m,\PF2\=n,

在中，当/片尸乙=（时，由椭圆的定义，余弦定理得：

m+n=2a2

<22c兀、2整理得：mn=^―

m+n-2加〃cos§=（2cJ3

由三角形的面积公式得：S^FPF=lmnsin-=^=4V3,解得：b'12.

△g233

因为线段尸片的中点落到y轴上，又。为《心的中点，所以尸耳〃y轴，即尸

由tan4%=；得盟=g，解得：|明吾，所以小4），

代入椭圆标准方程得：=+。=1.

a24b2

又有/=/—o2=12,解得：/=16,。2=4,所以椭圆标准方程为：—+^=1.

1612

所以加+〃=8.

因为。一。（加Wa+c,所以24加K6.

1111m+n8

所以而司+而尚=一+—==——.

|必［\rr2\mnmnmn

因为加〃=加（8—加）=-m2+8加=-（m-4）2+16,

答案第2页，共24页

当2v冽W6时，124加〃〈16,

刈所以“1|---尸----\团+।--|---尸-----r阅=mn£[2—•一3」。

故选：A.

【点睛】解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路：

①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；

②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.

4.C

【分析】设|尸耳|=机，|尸周=〃，可得=2。=2,AF\PF]中再利用余弦定理可得皿=36,

由面积公式即可求得答案.

22

【详解】■■—-^=1,所以。=4,6=3,c=5,

169

・•,尸在双曲线上，设忸片|=机，|尸8|=〃，

\m-n\=2a=S①，

由/斗”二60。，在△片程中由余弦定理可得：

寓用2=陷『+/[_2阳|陀|cos60。，

故100=加2+〃2—加〃=(加—句2+加〃②，

由①②可得冽〃=36,

.•・直角A取有的面积S"照=尸周sinN为明=(m"-sin600=9G.

故选：C.

5.D

【分析】根据给定条件结合椭圆定义求出1尸£1,再判断AS石形状计算作答.

22

【详解】椭圆C：工+匕=1的半焦距c=5,长半轴长a=7,由椭圆定义得

4924

\PF2\=2a-\PFi\=6,

222

而|公尸21=10,且|FtF21=|PFt\+\PF21,则有△尸百巴是直角三角形，Sg=j咫H尸刃=24,

所以人尸4鸟的面积为24.

答案第3页，共24页

故选：D

6.B

【分析】利用椭圆的几何性质，得到|尸囿+|尸工|=加=4痴，闺图=2c=48,进而利用

烟/月尸尸2=；得出I尸4H尸闾=18,进而可求出SgF。

22

【详解】解：由椭圆上+匕=1的方程可得1=24万=12,

1224

所以/=/-6?=12,得a=,c=2也

且归囿+|尸周=为=4«,闺周=2c=4也，

在巴中，由余弦定理可得

cosNFPFJ^|2+l^|2-1^I2="用+|尸的）2-2|尸耳||尸月|一|耳7f

12

2|助||尸2\PF}\\PF2\

_4.2一4c2-21尸尸］||尸尸21_462—2|尸尸］||户工|=4x12-21s|陷|

=

二2|P^||PF2|2\PFl\\PF2\~2\PFt\\PF2\~'

而cos/单龙=；,所以，|尸国尸闾=18,

又因为，COS/4尸❷=；,所以sinN原典=半，

所以，S△尸7第=；户*P工|■sin4尸工=卜18x6&

故选：B

7.C

【分析】由椭圆方程可得|尸团+|尸闾=4,结合余弦定理求得|尸耳卜|尸乙卜，，最后根据三角

形面积公式求△Pg的面积.

【详解】:•点P是椭圆1+必=1上的一点，片、鸟是焦点，

附|+叫=4,即（附|+|尸山）2=16①，

JT

:在△尸中/片尸耳=§,

|尸片『+忸居「_2忸片口尸工|cos2=（26『=12②，

①一②得：附|.附|=；邑小=小片|.因卜呜=；义全曰=£

答案第4页，共24页

故选：c.

8.D

【分析】根据离心率的定义可判断A；利用椭圆的定义可判断B；求出怎/原B可判断C；

利用勾股定理以及椭圆的定义求出|咫||尸£|可判断D.

22

【详解】由二+匕=1,可得。=5,6=3,.=，解一注=4,

259

、.c4

A,离心率e=—=—,故A正确；

a5

B,4甲线的周长为|尸蜀+归阊+阳阊=2a+2c=18,故B正确.

C,设尸（%,%）,卜,k_%%_4=（一*[9,故C正确；

PA'PB~x+-22

05'x0-5X0-25~X0-2525

D,耳尸鸟=90°,二』尸引尸入『=忸巴『=64,

又因为1m|+|尸叫=2。=10,所以（忸团+|"『=100,

即,阀「+忸町+2附归工|=100,解得附11尸闾=18,

所以“浙=-尸闻忸用=9,故D错误.

故选：D

9.D

21

【分析】由2|。尸1=1小可得”名为直角三角形，故S=（|呐-用『=寸呐质且

|尸耳『+忸耳『=|甲叶，结合卢耳|+|尸引=2%联立可得02=手，即得解

【详解】由题意2|。尸|=|耳闻，故巴为直角三角形，

.•.s=（附HP闻）2=小用质I，

221

又（阿|卡闻）=（阀|+匹|）-4|呐囱1=5附||尸马，附|+|尸用=2。

又在片巴为直角三角形，故归与「+归《「=归丹『，

尸闻+|也|）2一2|尸耳陀玛|=寓阊2,

答案第5页，共24页

故选：D.

10.B

【分析】由题意及双曲线的定义可得产用，I根I的值，进而可得A不正确，计算邑咫生可

判断B正确，再求出。，。的关系可得C不正确，求出“，b的关系，进而求出渐近线的方

程，可得D不正确.

【详解】因为|P印=3|P4又由题意及双曲线的定义可得：|理H冉|=2%

则|尸耳|=“，|尸£|=3"2°,所以A不正确；

因为P在以片名为直径的圆上，所以小，尸鸟，

113

2

所以S^F2=-\PFi\-\PF2\=--3a-a=-a,所以B正确；

2

在必△Pg中,由勾股定理可得|片匕|=|尸耳「+1PF2『=10/,

即4c2=10],所以离心率《=£=回，

a2

所以C不正确；

由C的分析可知：4c2=10/,故所以渐近线的方程为二土%=±*八

2aV2

即A/3X±42y=0,所以D不正确；

故选：B.

11.A

【分析】根据题意得尸=|^|=io,|^|=y＞进而在△尸片《中，利用

等面积法得右尸£耳的内切圆的半径r=2,再设《尸片工的内切圆与边尸鸟相切于点H,进而

在△板中结合勾股定理求解即可.

答案第6页，共24页

22

【详解】解：因为双曲线土-匕=1的两个焦点为《，F,尸为双曲线上一点，PFIF,F,

916222

所以尸［5,3，|PF2|=y,闺£|=10,

因为阀|一|*=2。=6,所以附|=6+|*=/，

设△产£鸟的内切圆的半径为r,

则凡.=；（M+I*+1耳阊阳叫明，即三厂=10告，解得，=2,

如图，设巴的内切圆与边尸鸟相切于点77,贝1J|田|=2,\HF2\=2,

所以忸川=£,

所以留|=而不再=行耳=榨=亭

故选：A

12.B

【分析】根据双曲线的定义，在笆中，运用余弦定理，并结合I郎|=3|P可和AS区的

面积建立方程，解出方程即可

【详解】根据双曲线的定义，可得：|sH尸眉

又:附|=3|尸周

解得：|理|=3a,|尸闾=a

双曲线C的离心率为行，则有：c=V3a

在△尸耳石中，由余弦定理，可得：3/芳桃」尸用：忸?用=」

2\PE\PF.\3

答案第7页，共24页

贝I有：sinNRPFLq-

△尸片石的面积为近,可得：；|尸片||叫卜也/片/"=收/=也

解得：a=1

故双曲线C的实轴长为：2

故选：B

13.D

【分析】由双曲线的定义得，|尸凰-|尸阊=2,区词=26，设归闻=x,|尸耳|=龙+2,由余弦

定理可求解x=2,即可判断出相_L《8,再由等面积法计算内接圆的半径，即可得点/的

坐标和面积，写出点尸坐标，利用距离公式可求解出|巴|.

【详解】由已知可得，|尸周一|尸闾=2,闺用=26,设户闾=x,|尸周=x+2,则

cosR工=Q+2^+：2-xg得苫=2,所以|尸阊=2,|尸耳卜4,即

2x2,3x(x+2)2

忸国耳闻2=|尸耳2,所以耳匕，所以A正确；设内接圆半径为「，贝!J

，（忸用+|产园+山丹|）7=：|巴讣闺耳I，得'=百_1,所以/的坐标为（1,右一1）,面积为

S="-（6-ly=（4-26卜所以B正确，D错误；由题意P（道,2）,

|Pl|=7（V3-l）2+（3-V3）2=2（73-1）;所以C正确；

【分析】设出切线方程，与抛物线联立，利用A=0求得次=工，即可得出所求.

2

【详解】设切线斜率为左，则切线方程＞-2=左。-2）,

答案第8页，共24页

了12一后（无一2）可得®2_2y_4左+4=0

联立方程

y=2x

贝!]A=4—4彳(一4肚+4)=0,解得A=1,

即切线方程为广2=*-2),

取x=o,得y=i.

...切线/在＞轴上的截距为1.

故答案为：1.

15.C

【解析】设55,%),区＞0,必＞0),根据题意，求得过点B的切线/的方程，即可求得C、

。坐标，代入面积公式，即可求得AOCD面积S的表达式，利用基本不等式，即可求得答案.

【详解】设3区,％),区＞0,必＞0),由题意得，过点8的切线/的方程为：当+JV=1,

令＞=0,可得。(2,0),令x=0,可得£＞(0,工)，

再弘

1211

所以△OCZ)面积S=7x—x—=---,

2%%玉%

又点2在椭圆上，所以1+短=1,

所以5='=万+乂=三人上2匹江=旧

国弘再弘2%再』2ylx,

当且仅当9=21,即％=1,弘=包时等号成立，

1

2必X152

所以AOCD面积的最小值为7L

故选：C

【点睛】解题的关键是根据题意，直接写出过点8的切线方程，进而求得面积S的表达式,

再利用基本不等式求解，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题.

16.B

【解析】根据题中所给的结论，求出过幺(3,-1)的切线方程，进而可以求出切线的斜率，利

用互相垂直的直线之间斜率的关系求出过A点且与直线/垂直的直线的斜率，最后求出直线

方程.

【详解】过椭圆片+乙=1上的点43,-1)的切线/的方程为包+上？1=1,即x-y_4=0,

124124

答案第9页，共24页

切线I的斜率为1.与直线/垂直的直线的斜率为-1,过A点且与直线I垂直的直线方程为

y+l=-(x—3),即x+y_2=0.

故选：B

【点睛】本题考查了求过点与已知直线垂直的直线方程，考查了数学阅读能力，属于基础题.

17.A

【解析】根据类比推理，可得直线/的方程，然后根据垂直关系，可得所求直线方程.

22

【详解】过椭圆会+?=1上的点43,-1)的

切线/的方程为行+三=1,

124

即》7-4=0,切线/的斜率为1,

与直线/垂直的直线的斜率为-1,

过A点且与直线/垂直的

直线方程为＞+1=-(》一3),

即x+y-2=0.

故选：A

【点睛】本题考查类比推理以及直线的垂直关系，属中档题.

18.A

【分析】求出椭圆与直线/平行的切线，它们与/的距离一个最大值一个是最小值.

[22

“尸-1

【详解】设直线＞=》+加与椭圆相切，由｛94得13X2+18/MX+9〃/_36=0,

y=x+m

AA=(18m)2-4x13(9m2-36)=0,m=±V13,

切线方程为v=和»=、一4^,与/距离较规远的是v=,

..•所求最大距离为d=HEzi=5'+后.

V22

故选：A.

【点睛】本题考查椭圆上的点到直线距离的最值，解题方法是转化为平行直线与椭圆相切，

求出两平行线间的距离即可.

19.C

答案第10页，共24页

【分析】设尸(2。)，则可得切线/为十华人从而可求出直线/的斜率再

由题意可得%•儿=],则得与=2,进而可求出双曲线的离心率

Q%/5a15

【详解】设尸(X。,%),由于双曲线c在点尸(%,%)处的切线方程为浮-岩=1,故切线/的

ab

斜率先="；因为左》“=],则孕•为=£,则与=2,即双曲线c的离心率

【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的方程与性质，考查考生直观想象、数学运算的核心

素养，解题的关键是求出双曲线c在点p(%,%)处的切线方程为将-答=1,则有切线/的

ab

斜率左=竺，再结题意可得答案，属于中档题

a%