北京某中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试题（解析版）

北师大实验中学2024-2025学年度第一学期

初二年级数学期中考试试卷

试卷说明：

1.本试卷考试时间为100分钟，总分数为110分.

2.本试卷共8页，四道大题，28道小题.

3.请将答案都写在答题纸上.

4.一律不得使用涂改液及涂改带，本试卷主观试题铅笔答题无效.

5.注意保持卷面整洁，书写工整.

A卷

一、选择题（本大题共8道小题，每小题2分，共16分）

1.下列四届奥运会会徽中，是轴对称图形的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线

叫做对称轴进行分析即可.

【详解】解：B,C,D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能

够互相重合，所以不是轴对称图形；

A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称

图形；

故选：A.

2.下列计算，错误的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查同底数幕的乘除法、幕的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键.根据同底

数塞的乘除法法则、幕的乘方与积的乘方法则进行计算即可.

【详解】解：A、（2"）=8",故该项正确，不符合题意；

B、a3a:=as,故该项正确，不符合题意；

c、故该项正确，不符合题意；

/_3\2_（5

D、一"'一，故该项不正确，符合题意；

故选：D.

3.如图，2ABC0N2DA,乙804=50。，,3=90。，则NC4D的度数等于（）

A.40°B.45。C.50°D,60°

【答案】c

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的性质，由三角形全等可知乙4CE=/CAD,进而即可得出答案.

【详解】解：：△450经△CR4,

AACB=ACAD,

•.•乙8c4=50。，

NOW-50。，

故选：c.

4.若分式X+1的值为0,则无的值为

A.-1B.0C.2D.-1或2

【答案】C

【解析】

【分析】根据分式值为零的条件可得％-2=0,再解方程即可.

【详解】解：由题意得：x-2=0,且无+1力0,

解得：x=2,

故选C.

5.等腰三角形的一个角为50。，则顶角的度数为（）

A.65。或50。B.80°c,50°D.50。或80。

【答案】D

【解析】

【分析】分50°角是等腰三角形的顶角和底角两种情况计算，熟练掌握等边对等角，三角形内角和定理是

解题的关键.

【详解】当50°角是等腰三角形的顶角时，顶角的度数是50。；

当50°角是等腰三角形的底角时，顶角的度数是130°-50°-50°=30°.

故选D.

6.下列因式分解正确的是()

2

人ab+ac+a=a(b+c]Da-2a-3=(a+3)(a-1)

222-22

Ca+2ab+b=(a+b)D16=(a+4)(a-4j

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式，掌握提公因式法和公式法分解因式的步骤和要求是解答的关

键.利用提公因式法或公式法对每个选项中的式子进行因式分解，进而可作出判断.

【详解】解：A、a6+ac+a=a(b+c+l),原计算错误，不符合题意；

B、J-2a-3=(a7)(a+l),原计算错误，不符合题意；

C、aJ+2ab+b2=(a+b)\原计算正确，符合题意；

D-16s(aJ+4)(aa-4)■(a3+4)(a+2)(a-2)原计算错误,不符合题意;

故选：c.

7.下列说法中正确的是()

A.如果两个三角形全等，则它们一定关于某直线成轴对称.

B.到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

C.等腰三角形任意角的平分线与该角所对边的高线、中线互相重合.

D.到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定及角平分线的判定，

熟练掌握全等三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定及角平分线的判定依次进行判断

即可.

【详解】解：如果两个三角形全等，则它们不一定关于某直线成轴对称，

故A选项不符合题意；

到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，

故B选项符合题意；

等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高相互重合，

故C选项不符合题意；

在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，

故D选项不符合题意，

故选：B.

8.如图是2•2的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的

A23C为格点三角形，则正方形网格中与44BC成轴对称的格点三角形的个数是（）

备用图

A.6个B.5个C.4个D.3个

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，根

据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解.

【详解】解：如图所示，

HM

—BCD,AEBC,hlAHN,AAAO与色45。成轴对称

••・共5个.

故选：B.

二、填空题（本大题共8道小题，每小题2分，共16分）

9.若分式-V-2有意义，则x的取值范围是.

【答案】XH2

【解析】

【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为。进行求解即可.

1

【详解】解：•.•分式X-2有意义，

.X*2,

故答案为：

10.计算-3/4x=.

【答案】T2/

【解析】

【分析】此题考查的是单项式乘单项式，解决此题的关键是掌握单项式乘单项式的运算法则.直接根据单

项式乘单项式的运算法则计算即可.

【详解】解：原式=-1卜’.

故答案为：

11.如图，BE、交于点。，且BE=CD,请添加一个条件，使得9AHeD,则可以添加的条

【答案】Z5=ZC（答案不唯一）

【解析】

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法.添加条件：

N5=NC,再由已知条件AE=CD和公共角/力可利用AAS定理证明^ABE^^ACD.

【详解】解：添加条件：/-B-Z.C,

在dABE和i力UD中，

’4=4

<Z5=ZC

BE=CD

L9

^ABE^ACD（KkS）

ff

故答案为：NB=/C（答案不唯一）.

12.如图，一个直角三角板的一条直角边经过/HOB的顶点。，一把直尺经过三角板的直角顶点E并且

与这条直角边垂直，直尺与/幺08的两边分别交于0、D,当CE=0E时，/4。月与/月。8的数

ZAOE=-AAOB

【答案】？

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质与判定.根

据SAS可以证明LOEC9一OED,从而得结论.

【详解】解：由题意得OR_LCD,

ZO5C=ZO£D=90°

在△OEC和xCED中，

'CE=DE

<40EC=40ED

OE=OE

..AOSCA。即(SAS),

ZAOE=ABOE,

ZAOE--ZAOB

2,

ZAOE=-Z.AOB

故答案为：2

13.关于x的多项式(、+l一对展开合并后一次项系数为一1,则刀的值为.

【答案】4

【解析】

【分析】本题考查了多项式乘以多项式的法则的应用，关键是理解展开合并后一次项系数为-1.根据多

项式乘以多项式法则展开后，根据工项的系数等于-1可得出”的值.

【详解】解：(x+l)(3x-")=3xJ/ix+3x-"=3x、(3-")xf

•••一次项系数为-1,

3-〃=-1

.,.7/=4,

故答案为：4.

14.如图，射线。G为/'0B的平分线，点尸为射线。G上一点，于点M,PN上。B于点、

N,且/W=3,点C为。4上一点，S-9,则。。=.

【解析】

【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关

键.

首先根据角平分线的性质定理得到PM=PN=3,然后利用=9代数求解即可.

【详解】解：•谢线°G为乙4。3的平分线，PMLOA,PN10B,且4=3,

：.PM=PN=3；

：&oc?=9,

-0CioCx3=9

.-.2，即2,

.-.0C=6.

故答案为：6.

15.如图，线段为匚力夕。的中线，且RD15C,BC=4,若N4+NC=45°,则BD=

【答案】2

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定.解题的关键是作辅助线，构造全等三

角形.延长BZ）至点片，使得DE=BD,连接CE,证明二4D5W28E,可得458=乙4,再

证得NBCE-45・，最后根据等腰三角形判定求解可.

【详解】解：如图，延长至点后，使得=连接CE,

在AADH和ACDE中，

'AD=CD

<NADB=ZCDE

BD=DE

:.^ADB^CDE(SK^

ZECD~ZA,

•.Z+4CD=45。，

..AECD+4CD=45。,

ZBCE-45,,

-BDVBC,

ZBCE=NBEC=45。,

BE=BC=4,

：,BD=-BE=2

故答案为：2

16.如图，在等边aZBC中，点P、2在边3C上，并且满足B尸=℃,连接加、HQ,点N'为4C

上一动点，连接尸"、QN.

⑴当PM+NQ最短时，测量CM=cm；(精确到01cm)

(2)若/出=4,则在点尸从B运动到C的过程中，PN+QN最短时,CN=.

【答案】①.05②.1

【解析】

【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，三角形的外角，两点之间线段最短问题.

(1)作点。关于直线力。的对称点Q',连接尸Q',交4c于点N,根据“两点之间线段最短”可知,

此时PA'+NQ最短，测量出CN即可；

(2)连接幺0'，CQ'，根据题意证明"?绦NCQ(SAS),结合点。关于直线力。的对称点Q',证

明"QS"0C(SSS),mAP=AQ=AQ',ABAP=ACAQ=ACAQ',进而证明一网'是

等边三角形，根据“两点之间线段最短”可知，要使PN+QN最短,则p、N、Q'三点共线，此时

PN+NQ=PQ',又因为加=尸0,即分最小，过点a作⑷于点p,止匕时心最小，由

Q"=QW,二"。'是等边三角形，得WPQ',再结合/NPC=30°,AB=4,即可求出答

案.

【详解】解：(1)作点。关于直线10的对称点Q',连接尸Q',交AC于点N,此时PN+NO最短,

则测量CN=0.5cm；

(2)连接CQ',

A

BP=CQ,

^ABP^ACO(SAS)

:点Q关于直线AC的对称点Q',

AQ=AQ',CQ=CQ\

•：AC=AC,

”Qm“Qe(SSS)

AP^AQ=AQ'.£BAP=NC4Q=NC40,

■：ABAC=60°,

ZP4Q'=60。，

是等边三角形，

AP=PQ，,

■：PN+QN=PN+NQ'2PQ,

要使PN+QN最短，则尸、N、Q'三点共线，此时尸及+畋=做',

•：AP=PQ\

即⑷3最小，

过点A作4E_LBC于点尸，此时月P最小，

•.•△SBC为等边三角形,

..BP=CP,

.：BP=CQ,

此时p、。重合，

,.・QN=2W,△4RQ，是等边三角形,

ANLPQ'

..=90°-ZXCB=90°-60°=30°,

-：AB=4,

：,CP=-BC=-AB=2

——，

CN=-CP=1

1o,

,PN+ON最短时，CN=1,

故答案为：i.

三、解答题(本大题共10道小题，其中第17至21题每题8分，第22至23题每题6分,

第24题5分，第25题4分，第26题7分，共68分)

17.计算：

⑴4.T(.X-2)-(.X+1)

【答案】⑴4『-9戈-1

(2)支-4ab

【解析】

【分析】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

(1)直接利用单项式乘多项式法则进行化简，再去括号，最后合并进而得出答案；

(2)直接利用多项式除以单项式法则计算得出答案.

【小问1详解】

解：原式=4?-8戈-戈-1,

=4.v2-9.x-1.

【小问2详解】

解：原式=3c-4a6

18.计算：

ab1-Aca

(1)

【答案】(1)3

(2)。-3

【解析】

【分析】本题考查了分式的乘法运算和分式的除法运算，熟记分式的运算法则是解题的关键.

(1)根据分式的乘除法则，先将除法转化为乘法，再约分化简即可;

(2)先将分子分母因式分解，再约分化简即可.

【小问1详解】

ab2-Aca

I,,

解：6c2b2c

_ab2-4cc

6c2b2a

=——

3；

【小问2详解】

("3、，a2+aa

\aJa-3a+1

(a-37a(a+l)a

5

=aa-Ja+717

=a-3

19.把下列各式分解因式：

⑴2AV2-12.w+18x

⑵2叫；2

【答案】⑴2，(jT)

⑵(3a一切(a-b)

【解析】

【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式

法，完全平方公式法，十字相乘法等.

(1)先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可.

(2)利用平方差公式因式分解即可.

【小问1详解】

2xr3-12xy+18j

=6y+9)

【小问2详解】

(

=(2a-b+ai(2a-b-a)

20.如图，射线QM平分NBQ4.

(1)按要求尺规作图：作线段用的垂直平分线交射线0”于点0,连接C8、CA.(保留作图痕

迹)

(2)请把以下解题过程补充完整：

求证：NOBC+NQ4C=180°.

证明：在。4上截取00=。3,连接CD.

,.•。四平分/80月

..ABOM=ZAOM

'OB=OD

</BOM=ZAOM

在乙。8。与9DC中：［①--------

-OBC-ODC(②)

..CD-CB,Z.0BC=Z.ODC

•.•点C在线段的的垂直平分线上

..CB=CA(③)

CD=CA

..Z.CDA=Z.CAD(④)

•・•点。在射线以上

：.ZODC+ZCm=180°

NOBC+Na4c=180。

【答案】(1)见解析(2)OC=OC.SAS；线段垂直平分线的性质；等边对等角

【解析】

【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟

练的作图是解本题的关键.

(1)按题意作出图形即可；

(2)根据全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定，逐步填写推理过程与

推理依据即可.

【小问1详解】

解：如图；

【小问2详解】

证明：在。4上截取00=03,连接CD.

...。”平分/比乂

Z.BOM=ZAOM

'OB=OD

<乙BOM=&OM

在△OBC与A0QC中：［OC=OC

:^OBC^ODC（SAS）

CD~CB,AOBC=^ODC

•.•点C在线段3的垂直平分线上

CB=CA（线段垂直平分线的性质）

CD=CA

ACDA=ACAD（等边对等角）

...点。在射线C4上

ZODC+ZCm=180°

NOBC+NORC=180。

故答案为：。。=。。；SAS；线段垂直平分线的性质；等边对等角

21.如图，在平面直角坐标系中，，（-一,-1）,连接月B.

5

4

3

52

/1

2345

（1）画线段44,使得线段4区与线段/关于r轴对称，并写出44的坐标:

A，,4，

(2)如果点C在】'轴上，且上期。是等腰三角形，试着写出一个满足条件的点C的坐标：.这

样符合条件的点。共有个.

【答案】(1)图见解析，4(21)，用(1，2)；

⑵(0,0),4.

【解析】

【分析】根据轴对称的性质画出图形并写出对称点的坐标即可；

选取一点与线段八〃构成等腰三角形分三种情况：以点A为等腰三角形的顶点为腰；以点3为等腰

三角形的顶点“,为腰；以八〃为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的顶点在线段48的垂直平分线上.

【小问1详解】

解：如下图所示，

分别作点A、B关于丁轴的对称点4、Bi,

连接4为，线段与线段川，关于T轴对称；

5

4

3

2

—

plV345

:已知点A、B的坐标分别是(一二一1)、(一1二),

Y的坐标是二一口，‘1的坐标是(1,2)；

【小问2详解】

解：当以点A为等腰三角形的顶点48为腰时，

在】’轴上有2个点可以与线段48组成等腰三角形,

如下图所示，

当以点B为等腰三角形的顶点A8为腰时，

=AB

在丁轴上有两个点使.CiB=ABt

可以看出点A、B、G在同一条直线上，不能构成三角形,

在丁轴上有1个点可以与线段48组成等腰三角形，

如下图所示，

当以八必为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的顶点在线段“，的垂直平分线上,

如下图所示，可以发现这个点恰好是原点.

综上所述，在】'轴上有4个点可以与线段八〃构成等腰三角形，其中一个满足条件的点是.

【点睛】本题考查了轴对称变换和等腰三角形门性质.关于丁轴对称的两个点的纵坐标相等，横坐标互

为相反数；有两条边相等的三角形是等腰三角形.

当一时,求戈~

22.化简求值:6x—1=03(2)・(X+3)(X-3)的值.

【答案】23

【解析】

【分析】此题考查了整式乘法的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解决本题的关键.

原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将已知等式

整体变形代入计算即可求值.

【详解】解：•••x’-6x-l=0

.-.X2-6x=1

...2.x3-12.T=2

3(x-2)-(x+3)(x-3)

=3(x2-4x+4)-(x2-9)

=3?-12x+12-.r3+9

=2x3-12x+21

=2+21

23.如图，等腰A&C中，AB=AC,于。，过点Z)分别作交出于点E,

。斤人。交幺。于点尸.

求证：BE=CF.

【答案】见解析

【解析】

【分析】此题考查了等腰三角形三线合一性质，等边对等角，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关

键是掌握以上知识点.

首先由三线合一性质和等边对等角得到3。=8,NB=NC,然后证明出

△CDF(AAb)即可得到BE=C尸.

【详解】解：•••等腰aSBC中，AB=AC,ADJ.BC于D,

,-.BD=CD,ZS=NC

■.■DEIAB,DE1AB

；ZBED=ZCFD=90。

:.BE=CF.

24.如图1,小长方形的长和宽分别为a和方，将四块这样的长方形按如图2所示位置摆放.

(1)图2中的四边形E尸G丹为正方形，其边长为.

(2)能用图2中的图形面积关系来验证的等式是：=.

(3)若*一丁=3,k=4,求X+.V的值.

【答案】⑴

⑵(a+b/-4ab

⑶x+y=+5

【解析】

【分析】此题考查了列代数式，完全平方公式和几何图形的应用，利用完全平方公式的变形求值，解题的

关键是掌握以上知识点.

(1)由小长方形的长和宽分别为。和.求解即可；

(2)分别用两种方法表示出正方形E尸GH的面积即可求解；

(3)由(2)得(*■>=(*+♦)-4中然后整体代数求解即可.

【小问1详解】

解：•••小长方形的长和宽分别为。和6,

・••图2中的四边形分弓目为正方形，其边长为(a—6)；

【小问2详解】

解：正方形EFGH的面积为班-(”，)；

正方形EFGH的面积还可以表示为(a+b「-4ab；

.■(a+b「-4ab

,,,;

【小问3详解】

解：由⑵得，(x-.M=(x+»-4.xy

•••bx-V=3，”AT=4，

32=(j+y)2-4x4

.(x+y)'=25

•.•x+•T=±5.

25.已知：如图，^MON=36°,射线OM、QH上分别有点A和点B,点尸在线段OB上，连接

月4,=a(0°<a(144°),若线段R4将士幺03分割为两个等腰三角形，则称线段尸幺为

△HOB的“a角等分线”.

ooo

(1)如图1,当a=90°时，画出△月OB的“90角等分线”此时/。4尸=

(2)当“。90°时，若存在线段尸/为乙幺。3的“仪角等分线”，则&=。.

【答案】(1)画图见解析；36；

(2)72或108

【解析】

【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理及外角的性质，解决本题的关键是熟练

掌握等腰三角形的性质与判定.

(I)作出线段0E的中点P,连接力P,线段为的“90角等分线”,再根据直角三角形性质

及等腰三角形性质求解即可；

(2)作出图形并分两种情况讨论：作=。3交CW于点B,在线段上作点P,使得

OP=AP.作/。23=108°,OB交ON于点从在线段上作点P,使得。尸=",再求解即可.

【小问1详解】

解：如图，作出线段03的中点p,连接力P,线段24为乙4。8的“90角等分线”，

OP=AP=PB,

线段产幺将-HO8分割为两个等腰三角形，

线段尸4为△HOB的“90角等分线”，

Z0AP=2M0N=36。,

故答案为：36；

【小问2详解】

解：如图，作N。加=72°,0B交ON于点B,在线段上作点尸，使得。尸=",

o

p

M\N

■：AMON=36°,OP=AP,

..40AP=NM0N=36。,

・2045=72。，

ZP/5=720-36°=36°,

■：ZAPB=AM0N+A0AP=12°,

•.•ZABP=^O0-APAB-ZAPB=72°,

ZABP=£APB,

：.AP=AB,

线段P4将dHOB分割为两个等腰三角形，

a=72。；

如图，作NQ45=108°,OB交ON于点、B,在线段上作点P,使得。尸=",

ZOAP=/MON=36。,

期=108。，

..ZP/5=108o-36o=72°,

■：ZAPB=AM0N+A0AP=12°,

APAB=ZAPB,

：.AB=PB,

.线段R4将-HOB分割为两个等腰三角形，

a=108°;

故答案为：72或108

26.如图1所示，在A&c中，AB=AC,Na4c=2a(45°<a<90°),E)为线段3c上一点，E

为CO中点，连接花.作乙=得到射线期，过点E作昉交射线41/于点尸.

(2)求证：Z5=ZAFE；

(3)如图2,当仪=60°时，连接即、DF,求证：△尸为等边三角形.

【答案】(1)见详解(2)见详解

(3)见详解

【解析】

【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质等;

(1)按要求补全图形，即可求解；

Z5=-(180°-2a)

(2)由角的和差得乙“*=90°-/即，由等腰三角形的性质得2,即可求证;

(3)延长延至H使28=即，连接DH,FH,证明4忿0,”7助(845)得出h0・0耳，

ACAE=£EHD,进而证明NO砂=2氏4斤，证明△力8尸/AHDR(SAS),推出尸3=尸。,

ZAFB=AHFD,即可得出NBFZ)=/4阳=60°,则为等边三角形.

【小问1详解】

解：如图,

证明：...庭_LHE,

..ZX£F=90°,

ZAFE=9Q°-^EAF

=9Q°-a,

-,•AB-AC,ABAC=2a,

Z5=1(180°-2a)

=90°-a,

,AB=AAFE.

【小问3详解】

证明：延长延至H使幺E=EH,连接DH,FH,

...AE=EH,ZAEC=AHED,DE=EC

.."EC'HEQ(SAS)

：.AC-DH,ZCAE=ZEHD

又：AB=AC

:.AB=DH

va=60°,则/a4。=120。，ZFAE=60°

：.ABAF=6Q°-AEAC

■：EF1AH,AE=EH

.：AF=FH,

"FAH=ZFHA=60。

:.ADHF=AAHF-£EHD=60°-AEAC=ABAC-£FAE-AEAC=ZBAF

.AABF知HDFttAS、

:.FB=FD,ZAFB=AHFD

:ZBFD=AAFH=60°

AFBD为等边三角形.

B卷

四、填空题(本大题共两道小题，其中27题4分，28题6分，共10分)

27.如图，点B在线段4c上，点E在线段3。上，ZABD=ADBC,AB=DB,EB=CB,M,

N分别是线段抽、°。的中点.以下结论正确的是：.

①丝=CD；@AELCD.③四平分/MC；④BMtBN且BM=BN

【答案】①②④

【解析】

【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定

方法是解题的关键.

首先证明出"&9血0(*),得到烟=CD,即可判断①；延长花交CD于点R得到

二EAB='BDC,然后结合三角形内角和得到一=即可判断②；根据题意无法证

明？Iff平分/A4C,即可判断③；证明出△ABM/ADBN'IASA),得到乙18M=进而可判

断④.

【详解】解：在AHBE和LOBC中，

'AB=DB

<NABD=ZDBC

EB=CB

,A48E%Z)2C(SAS),

.-.AE=CD,故①正确；

如图所示，延长至交°。于点F

...NA5Z)=NQ3C,点B在线段用上，

:.ZABD=ADBC=9Q°

•.•△ABE一DBC

...AEAB=ABDC

•：zLAEB=ZDEF

：ZABD=NDFE=90。

：.AELCD,故②正确；

根据题意无法证明HE平分/"C,故③错误；

;AABE^ADBC,M,N■分别是线段越、CD的中点

又...4LAB=4NDB,AB=BD

,AABM，DBN(ASA)

...ZABM=ADBN

.-.ZABM+ADBM=ZD3M+tDBM

.•.UBD=」1BN=90。

...BM1BN,故④正确；

综上所述，结论正确的是：①②④.

故答案为：①②④.

28.在平面直角坐标系中，己知点*s力).

对于点P给出如下定义：先将点P向右(°二°)或向左(°<°)平移同个单位长度，再关于直线】'=6对

称，得到点P',则称点尸'为点尸的“R关联点”

(1)如图1,点P坐标为(31

①当点R坐标为时，则点尸的“R关联点”P的坐标为：；

②若点2'4，-3i为点户的“正关联点”，则R的坐标为.

(2)如图2,点川一2,0)、0(0,1),点B与点A关于J’轴对称.点正在一心。边上，点尸坐标为(5,0)

①画出点产所有的“R关联点”；

②这些关联点组成的图形形状是：.

(3)如图3,点现一，")、尸(f，f)、G5，f)、H(n,n)〃>o,点R在正方形EFGH边上，

点M(6,4)"(7,5),若线段池上存在点尸(3万叫的，，正关联点”，直接写出方的取值范围.

【答案】(1)①(?§；②。,-D

(2)①图见解析；②等腰三角形

57

2s力4—

(3)2或2

【解析】

【分析】本题考查了坐标变换，解题关键是得到“五关联点”变化规律.

(1)根据“正关联点”定义可得点P*，丁)的“区(0力)关联点”的坐标为产'㈠+a,»-丁)，据此计算

即可；

(2)①根据关联点的定义计算出当R在三角形的顶点时，点尸的“五关联点”坐标，即可画

图；②由图可知关联点组成的图形形状是三角形.

(3)分点R在正方形的四条边上上时，坐标不同，根据尸|的，，R关联点”在线段上方程和不

等式求解即可.

【小问1详解】

解：设P坐标为（1，T）,设P的坐标为产先将点尸向右（。之°1或向左平移忖个单位

长度，得到点的坐标为（x+a，J'）,

再关于直线丁=B对称，得到点P',

<y+y'x=x+a