第五章 相交线与平行线 单元测试

第五章相交线与平行线

注意事项：

本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑

色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置

一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）

1.（2022秋•黑龙江哈尔滨•七年级校考阶段练习）下列四个图形中，N1与N2互为内错角的是（）

【答案】c

【分析】根据内错角的定义逐一判断即可.

【详解】解：A.N1与N2不是内错角，不符合题意，选项错误；

B.N1与N2不是内错角，不符合题意，选项错误；

C.N1与N2是内错角，符合题意，选项正确；

D.N1与/2不是内错角，不符合题意，选项错误，

故选C.

【点睛】本题考查了内错角，能根据内错角的定义正确判断是解题关键.

2.（2022春•福建龙岩•七年级校考阶段练习）直线AB,8相交于点。，若ZAOC+/3QD=60。，则ZAOC=

（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

【答案】D

【分析】两直线相交，对顶角相等，即=已知NAOC+4OD=60。，可求NAOC=30。；

【详解】解：如图，ZAOC=NBOD,又因为NAOC+/3QD=60。，所以NAOC=30。.

CB

X

AD

故选D.

【点睛】本题主要考查了对顶角性质，掌握对顶角相等是解题关键.

3.（2023秋•河南洛阳•七年级统考期末）如图，点尸是直线。外的一点，点A、B、C在直线。上，且尸

垂足是8,PALPC,则下列不正确的语句是（）

p

A.线段尸3的长是点尸到直线。的距离

B.PA,PB、PC三条线段中，PB最短

C.线段AC的长是点A到直线PC的距离

D.线段PC的长是点C到直线上4的距离

【答案】C

【分析】利用点到直线的距离的定义、垂线段最短分析判断即可.

【详解】解：A.根据点到直线的距离的定义：即点到这一直线的垂线段的长度.因为尸3，。，垂足是S

故此选项正确，不符合题意；

B.根据垂线段最短，PBLa,垂足是2,可知此选项正确，不符合题意；

C.线段PA的长是点A到直线PC的距离，故选项正确，符合题意；

D.线段PC的长是点C到直线外的距离.故此选项正确，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了点到直线的距离的定义，及垂线段最短的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.

4.（2023秋・河北保定•七年级统考期末）如图，。是直线AB上一点，OC为一条射线，射线31平分/AOC,

若/BOC=104。，则等于（）

A.38°B.104°C.142°D.144°

【答案】C

【分析】根据邻补角求得/AOC=76。，根据角平分线的定义，得出NVOC=g/AOC=38。，进而即可求

解.

【详解】解：：N3OC=104。，

ZAOC=180°-ZBOC=180°-104°=76°,

:射线0河平分NAOC,

ZMOC=-ZAOC=38°,

2

・•・ZBOM=ZBOC+ZMOC=104°+38°=142°,

故选：c.

【点睛】本题主要考查角平分线定义，邻补角的定义，掌握角平分线定义，补角的定义是解题的关键.

5.（2022秋•湖南怀化•八年级校联考阶段练习）下列语句中，命题的个数为（）

①若两个角相等，则它们是对顶角；②等腰三角形两底角相等；

③画线段AB=4cm；④同角的余角相等；⑤同位角相等；

A.2个；B.3个；C.4个；D.5个；

【答案】C

【分析】根据命题的概念判断即可.

【详解】①若两个角相等，则它们是对顶角，是假命题；

②等腰三角形两底角相等，是真命题；

③画线段AB=4cm,不是命题；

④同角的余角相等，是真命题；

⑤同位角相等，是假命题；

故选：C.

【点睛】此题考查了命题，解题的关键是熟悉命题的概念.

6.（2023秋・山西太原•八年级校考期末）如图，已知。〃人，则/4中的度数是（）

A.45°B.60°C.73°D.90°

【答案】C

【分析】如图，过点C作直线。〃。，根据平行线的性质得到48=28。+45。.

【详解】解：如图，过点C作直线c〃a,则4=28。.

又，

c//b，

.-.Z2=45°,

r.ZACD=+N2=28°+45°=73°.

故选：C.

A

28°■a

【点睛】本题考查了平行线的性质.关键是熟悉两直线平行，内错角相等的知识点.

7.（2023春•七年级单元测试）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图①是某品牌共享单

车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB,。都与地面/平行，ZBCD=60°,ABAC=54°.当

/MAC为（）度时，AM与CB平行.

D.114

【答案】C

【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可.

【详解】解：：A3,。都与地面/平行,

AB//CD,

：.ZBAC+ZACD=180°,

ZBAC+ZACB+ZBCD=180°,

VZBCD=60°,ZBAC=54°,

ZACB^66°,

.•.当NM4C=NACB=66。时，AM//CB.

故选：C.

【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键.

8.（2023春•七年级课时练习）如图，大正方形与小正方形的面积之差为S,则图中阴影部分的面积是（）

A

CBD

A.2SB.SC.-SD.-S

24

【答案】C

【分析】根据正方形的特征分析出大正方形与小正方形的面积之差等于长方形HIFG的面积,再通过等底、

等高的三角形面积相等，分析出LACE=以4防，S^ADE=S^AGE,进而推出阴影部分面积为以耳前，找出

S^HEG与长方形HIFG的面积的倍数关系即可得到答案.

【详解】解：如图，在大正方形A8CH与小正方形E8DF的背景下

二长方形IEBC和长方形ABDG面积相等

/.大正方形与小正方形的面积之差等于长方形HIFG的面积

又,S/XACE=SMHE,S^ADE=^Z\AGE

阴影部分面积为S公小

又,**S4HEG=；长方形的面积=；S

故选：C.

CBD

【点睛】本题考查了正方形的特征和等积转化，学会等积转化是解题关键.总结：等底、等高的三角形面

积相等；等高的三角形，面积比等于底之比；等底的三角形，面积比等于高之比.

9.（2021春•重庆九龙坡•七年级重庆市杨家坪中学校考期中）如图，AB〃CD,点E在CD上，点G,F,

/在A3,8之间，且GE平分/CEF,BI平分NFBH,GF//BI.若NBFE=52。，则NG的度数为（）.

A.1120B.114°C.116°D.118°

【答案】C

【分析】如图，过尸作FT〃AW,oi^ZABF=ZBFT=x,由AB〃CD,可设N7FE=NC斯=2y,设

ZHBF=2z,而3/平分产，可得ZHBI=NFBI=z,可得z-y=64,由NFB/+/BFG=180。，可得

ZGFE=180°-ZFBI-ZBFE=128°-z,ZG=180°-ZGFE-ZGEF可得答案.

【详解】解：如图，过尸作FT〃AH,

・••设ZABF=NBFT=x,

AB//CD,

：.FI\\CD,

：.设ZTFE=ZCEF=2y,

,:EG平分NCEF,

：.ZCEG=ZFEG=y,

设ZHBF=2z,而B/平分NHBF,

JZHBI=ZFBI=z,

•:/BFE=52。,

x+2y=52,

由平角的定义可得：x+2z=180,

2z—2y—128,即z—y=64,

'：BI//FG,

AZra/+ZBFG=180°,

・•・Z.GFE=180。—ZFBI-ZBFE=180。—52。—z=128。—z,

・•・NG=18。。—NGFE—NGEF

=180。—y—128。+2

=52°+64°

=116°.

故选c.

【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，作出适当的辅助线构建平行线

是解本题的关键.

10.（2023春•七年级课时练习）如图，AB//CD,点、E,尸在直线上（尸在E的右侧），点G在直线

上，EF±FG,垂足为EM为线段EF上的一动点，连接GP,GM,/PGP与/APG的角平分线交与点

Q,且点。在直线AB,CD之间的区域，下列结论：①/AEP+/CG/=90。；②NAEF+2NPQG=270。；

③若/MGF=2NCGF,则3NAEF+NMGC=270°；④若/MGF=〃NCGR则/AEF+—!—ZMGC=90°.正

n+1

确的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】①过点尸作切〃Ab利用平行线的性质以及已知即可证明；

②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到/3=2/2,NCG且2/1+/3=180。，结合①的结论即可证明;

③由已知得到NMGC=3NCGH结合①的结论即可证明；

④由已知得到/MGC=(〃+1)NCGR结合①的结论即可证明.

【详解】解：①过点/作如图：

\'AB//CD,：.AB//FH//CD,

：.ZAEF=ZEFH,ZCGF=ZGFH,

"：EF±FG,即NEFG=NEFH+NGFH=9。。,

：.ZAEF+ZCGF=90°,故①正确；

@'：AB//CD,尸。平分NAPG,G。平分/PGP,

AZAPQ=Z2,ZFGQ=Zlf

：.Z3=ZAPQ+Z2=2Z2,

ZCGF+ZFG2+Zl+Z3=ZCGF+2Zl+Z3=180o,

即2N1=18O02N2NCGH

A2Z2+2Z1=180°ZCGF,

VZPeG=180°(Z2+Zl),

A2ZP2G=360°2(Z2+Z1)=360°(l80°ZCGF)=180°+ZCGF,

；・/4石/+2/尸。6=/人石厂+180。+/。6尸=180。+90。=270。，故②正确；

③•：/MGF=2NCGF,

：./MGC=3/CGF,

：.3ZAEF+ZMGC=3ZAEF+3ZCGF=3(NAEF+ZCGF)=3x90。=270°；

3ZAEF+ZMGC=210°,故③正确；

®*：ZMGF=nZCGF,

：.ZMGC=(n+l)ZCGF即NCG/NMGC,

fn+1

ZAEF+ZCGF=90°,

：.ZAEF+-^-ZMGC=90°,故④正确.

n+1

综上，①②③④都正确，共4个，

故选：A.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识点，作辅助线求得/AE/+NCGF=90。，是

解此题的关键.

二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）

11.（2022春•江西南昌•七年级校考阶段练习）把命题“等角的余角相等”写成“如果...，那么...”的形式为

【答案】如果两个角相等，那么这两个角的余角相等

【分析】命题中的条件是两个角是等角，放在“如果”的后面，结论是它们的余角相等，放在“那么”的后面，

即可得到答案.

【详解】解：把命题“等角的余角相等”写成“如果...，那么…”的形式为：如果两个角相等，那么这两个角

的余角相等，

故答案为：如果两个角相等，那么这两个角的余角相等.

【点睛】本题考查了将原命题写成“如果…那么...”即题设（条件）与结论的形式，解决问题的关键是找出

相应的题设和结论.

12.（2023秋・湖南长沙•九年级湖南师大附中校考期末）庆庆是一位特别喜欢学习数学的小朋友，周末这天

他做完作业，在手机上找了一款数学相关的益智类游戏《推箱子》，要求将图中编号为①②③的三个箱子

分别推进图中“回”字的位置.如果庆庆要想一次性通关，且尽可能让自己步数少，应该先推（）号箱

子，再推（）号箱子，最后推（）号箱子.

【答案】②①③

【分析】要一次性通关，先推阻碍其它箱子的箱子，然后推动其它箱子即可.

【详解】要想使游戏一次性通关，则三个箱子要把右边的三个阴影位置占完，且每个箱子只能占一个位置；

观察三个箱子的位置，发现②号箱子会阻碍其余两个箱子的移动，因此要先推动②号箱子，其余两个箱子

才能推动；然后推动①号箱子，最后推动③号箱子可以使得步数最少.

故答案为：②，①，③

【点睛】本题考查平移变换，解答本题的关键要明确推箱子游戏的规则.

13.（2023秋•重庆沙坪坝•七年级校考期末）如图，直线和直线CZ）相交于点。，OE±AB,垂足为

OF平分NBOD.若NCOE=；NDOF,则NCOE的度数为.

【分析】设2COE=x,则NOO尸=2x,根据角平分线的定义得到N3O产=/£>,=2x,求出

/3。7=180。一4彳，利用垂直得至【JNEOC+N3OCU9。。，由此得到x+4尤=90。，求出x=18。即可得到答案.

【详解】解：设NCOE=x,则"O尸=2x,

,/OF平分/BOD,

：.ZBOF=ZDOF=2x,

：.ZBOC=180°-4x,

"?OE±AB,

：.ZEOC+ZBOC^90°,

Ax+180°-4x=90°,

解得x=30。，

ZCOE=30°,

故答案为：30°.

【点睛】本题主要考查了垂直的定义，角平分线的定义，邻补角的性质，熟记各知识点是解题的关键.

14.（2023春•七年级单元测试）将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一条

直角边共线，含45。角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含30。角的三角板的一个顶点在纸条的另一边

上，则/I的度数是_____度.

【分析】过点E作即〃根据题意得出NAEC=180。-90。=90。，ZBAE=45°,AB〃CD,根据平行

线的性质，得出NEE4=/B4E=45。，求出NC£F=90。-45。=45。，最后根据平行线的性质求出

Nl=180。一NCEF=135°即可.

【详解】解：过点E作EF〃AB,如图所示:

CD

GAB

根据题意可知，乙4£。=180。-90。=90。，NBAE=45。,AB//CD,

：.AB//EF//CD,

：.NFEA=ZBAE=45。,

：.ZCEF=90°-45°=45°,

'：CD//EF,

：.Z1=180°-ZCEF=135°.

故答案为：135.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线的性质.

15.（2022秋.黑龙江哈尔滨•七年级校考阶段练习）如图，AB//CD,CF平分NECD,AE±EF,

ZEGA-ZAEC=50°,贝UNF+NA=________度.

【答案】110

【分析】过点£作肠V〃血，过点尸作利用余角的性质NEG4+NCEF=140。，根据平行线的性

质得至I]ZECD=ZAEC=4O,再根据角平分线的定义和平行线的性质得到="CD=20。，ZMEF=ZEFH,

将ZA+ZEFC转化为ZAEN+ZMEF+ZCFH,最后根据平角的性质即可得到答案.

【详解】解：过点E作肱V〃AB,过点尸作见〃AB,

-,-AB//CD,

:.AB//CD//MN//FH,

QAELEF,

.-.ZAEF=90°,

ZAEC+ZCEF=90°,

­.­ZEGA-ZAEC=50°,

:.ZAEC=ZEGA-50°,

ZEGA-50°+ZCEF=90°,

.\ZEG4+ZCEF=140°,

•：AB//MN,

/./EGA+ZNEF=180°,ZA=ZAEN,

:.ZEGA+ZNEC+NCEF=180。,

:.ZNEC=4O。,

•/MN//CD,

ZECD=ZNEC=40°,

♦.・CF平分NECD,

/.ZFCD=-ZECD=20°,

2

•;HF〃CD,

.\ZCFH=ZFCD=20°,

QMN//HF,

:.ZMEF=ZEFH,

ZA+ZEFC=ZAEN+ZEFH+ZCFH=ZAEN+ZMEF+ZCFH,

•/ZAEN+ZMEF=180°-ZAEF=90°,

.\ZA+ZEFC=900+20°=110°,

故答案为：110.

【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质余角，平角等知识，解题关键是熟练掌握两直线平行，

内错角相等，同位角相等，同旁内角互补.

16.（2021秋.黑龙江哈尔滨.七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）如图，直线MN与直线AB、CD

分别交于点£、F,AB//CD,"所与一的角平分线交于点P,EP与CD交于点G,点H是MN上

一点，且G"_LEG,连接PH,K是GH上一点使ZPHK=NHPK,作尸。平分NEPK,交MN于点。，

ZHPQ:ZQFP=3:2f则/现依=.

【分析】根据AB〃CO,与NEED的角平分线交于点P,可得

ZPEF+ZEFP=^(ZEFD+ZBEF)=90°,即可得/£8=90。=/£7/，则有"〃HG,进而可得

ZEHG=ZQFP,NFPH=/PHK,/FPH=NHPK,即有NEPK=/EPF+NFPH+NHPK=90。+2NFPH,

结合PQ平分NEPK,可得NQPK=g/EPK=45o+NFPH,进而可得NQPH=NQPK—Nm次=45。，问

题随之得解.

【详解】9：AB//CD,

：.NBEF+/EFD=180。,

:“跖与一的角平分线交于点P,

11

；・/PEF=—/BEF,/EFP=—/EFD,

22

ZPEF+ZEFP=g(/EFD+/BEF)=90°,

：.ZEPF=90°f

•；GH【EG,

：.ZEGH=90°=ZEPF,

：.FP//HG,

:・/EHG=/QFP,ZFPH=ZPHK,

ZPHK=ZHPK,

:./FPH=/HPK,

：.ZEPK=ZEPF+AFPH+AHPK=90°+2AFPH,

•・•PQ平分NEPK,

：.ZQPK=|ZEPK=45°+ZFPH,

ZQPH=ZQPK-ZHPK=45°+ZFPH-ZFPH=45°,

,/ZHPQ:ZQFP=3:2,

：.ZQFP=30°,

：.NEHG=NQFP=30。，

故答案为：30°.

【点睛】本题主要考查了角平分线的定义,平行线的判定与性质等知识，证明EP〃"G是解答本题的关键.

三、解答题（8小题，共66分）

17.（2023秋・福建莆田•七年级仙游一中校考期末）如图所示，AB,CD相交于点O,OE平分ZAOD,

ZAOC:ZAOE=4:1,求Z5OZ）,2AOE的度数.

【答案】NBOD=120°,ZAOE=30°.

【分析】根据角平分线的定义、邻补角的概念分别求出/AOC=120。，NAOD=60。，根据对顶角相等、

角平分线的定义计算即可.

【详解】解：平分4OD，

ZAOE=ZDOE=-ZAOD,

2

ZAOC:ZAOE=4:1,

：.ZAOC:ZAOD=2:1,

ZAOC+ZAOD=180。，

ZAOC=120°,ZAOD=60°,

Z.BOD=ZAOC=120°,

ZAOE=-ZAOD=30°.

2

【点睛】本题考查的是对顶角、邻补角的概念、角平分线的定义，正确理解对顶角的性质、角平分线的定

义是解题的关键.

18.（2023秋•湖南衡阳•七年级统考期末）如图是A、8、C三个岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35。方

向，8岛在A岛的北偏东65。方向，C岛在8岛的北偏西40。方向.求从C岛看A、8两岛的视角—ACB的

度数.

【答案】75。

【分析】过点C作CE〃AD,贝IJ：CE//BF,根据两直线平行，内错角相等，以及NACB=/ACE+/BCE,

进行计算即可.

【详解】解：由题意，得：ZZMC=35°,NF3c=40。，

作CE〃AD,则CE〃班

/.NECA=ADAC=35°,NECB=ZFBC=40°,

ZACB=NECA+NECB=75°.

【点睛】本题考查平行线的判定和性质.熟练掌握方向角的定义，通过添加辅助线，构造平行线，是解题

的关键.

19.（2023秋・福建福州•七年级统考期末）如图，直线A3与8相交于点。，OC平分且

ZAOM=90°,射线ON在N3QM内部.

⑴求ZAC©的度数；

⑵若Z.BOC=5ZNOB,求ZMON的度数.

【答案】⑴ZAOD=135°

⑵/MON=63°

【分析】(1)根据角平分线的定义求出ZAOC=45。，然后根据邻补角的定义求解即可；

(2)由=可求解NNO3=27。，结合/BOM=90。，利用角的和差可求解NMON的度数.

【详解】(1)W：VZAOM=90°,OC平分，AOM,

ZAOC=-ZAOM=1x90°=45°,

22

"?ZAOC+ZAOD=180。，

ZAOD=180°-45°=135°,

(2)VZBOC=ZAOD=135°,ZBOC=5ZNOB,

：.ZNOB=2T,

"?ZAOM=9Q°,

：.ZBOM=90°,

：.ZMON=ZBOM-ZNOB=90°-27°=63°.

【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键.

20.(2023秋・江苏盐城•七年级校考期末)如图，在AABC中，点O,F在边BC上，点E在边A3上，点G

在边AC上，EF与GO的延长线交于点H,Z1=ZB,Z2+Z3=180°.

(D判断E"与AD的位置关系，并说明理由.

⑵若4>GC=58°,且/”=N4+10。，求的度数.

【答案】(1)平行，理由见解析

(2)NH=34°

【分析】(1)由同位角相等，两直线平行可得AB〃G£>,从而得则可求得NBAT>+N3=180。，

即可证得EH//AD；

(2)由平行线的性质可得/2=/A4D,NDGC=NBAC,可得N"4C=58。，再利用平行线的性质可求得

NH=NBAD,则可求N4的度数，从而求4的度数.

【详解】(1)EH//AD,理由如下：

VZ1=ZB,

・•・AB//GD,

Z2=ZBAD,

N2+N3=180。，

・・・NA4O+N3=180。，

:.EH//AD；

(2)由(1)得AB〃GD,

/.Z2=ZBAD,/DGC=/BAC,

VZZ)GC=58°,

・•・NB4c=58。，

,/EH//AD,

・•・N2=ZH,

JNH=/BAD,

：.ZS4C=ZBAD+Z4=ZW+Z4=58O,

VZH=Z4+10°,

/.Z4+10°+Z4=58°,

解得：N4=24。，

・•・NH=34。.

【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系.

21.(2023秋・陕西宝鸡・八年级统考期末)问题情境

在综合与实践课上，同学们以“一个含30。的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1,已知两

直线Q,b且〃〃b和直角三角形ABC,N3c4=90。，ZBAC=30°,ZABC=60°.

⑴在图1中，Zl=46°,求N2的度数；

⑵如图2,创新小组的同学把直线〃向上平移，并把N2的位置改变，发现N2-N1是一个定值，请写出这

个定值，并说明理由；

(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3,AC平分4W,此时发

现N1与N2又存在新的数量关系，请直接写出N1与N2的数量关系.

【答案】（1）44。；

⑵定值为120。；理由见详解；

⑶4=-2；

【分析】（1）根据直角三角形的性质求出23,根据平行线的性质解答；

（2）过点8作瓦）||。，由此可得180。-/2+/1=60。，进而可得出结论；

（3）根据A3平分可知=54c=60°,过点C作CE||a,贝|/2=/3。后，根据“,

CE\\a,可知CE||6,^1=^BAM=60°,贝UNEG4=NC4M=30。，进而可知—2=/BCE=60。，则

4=-2.

【详解】（1）解：如图标出/3,

・2304=90°,

/3=90°—Nl=44°,

'：a\\b,

：./2=/3=44。；

(2)解：定值为：120°,理由如下:

过点8作RD||°,

则/AB£)=180°--2,

'：a\\b,BD\\a,

：.BD\\b,

：./DBC=/1,

'：/ABC=60°,

180°-/2+/l=60°,

/2—/1=120°；

(3)解：/!=/2,理由如下:

A3平分N54M,

二ZBAM=2ZBAC=60°,

过点C作C£||a,

N2=NBCE,

*/a\\b,CE\\a,

：.CE\\b,Z\=ZBAM=6Q°,

ZECA=ZCAM=30°,

N2=NBCE=NACB—/ACE=60°,

/=/2.

【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，平行线的性质，掌握连续性的性质定理是解题的关键.

22.(2022秋•重庆潼南•七年级统考期末)如图，点。是直线AB上一点，在直线A3的上方作射线OC,使

ZBOC=30°,将一个直角三角板。OE的直角顶点放在点。处(注：Z£>OE=90°),且直角三角板。OE始

终保持在直线A3的上方.

⑴如图1,若直角三角板。OE的一边在射线上，则/COE的度数=；

(2汝口图2,若直角三角板NOOE的边OE在—3OC的内部.当OE平分/3OC时，试判断平分/AOC

吗？并说明理由.

(3)若ZAOD=4/COE,求NBOE的度数.

【答案】(1)60。

(2)0。平分/AOC,理由见解析

⑶ZBOE的度数为10°或42°

【分析】(1)根据直角三角形的直角可知NCOE=N5O£-N5OC求解即可得到结果；

(2)根据角平分线的定义可以求得NCOE的度数，进而求出NCOD的度数，得到NAQD=NCOD最后得

到结论.

(3)根据题意分情况讨论，再根据邻补角，余角互余即可得到结果.

【详解】(1)解：V=30°,/DOE=90。

J/BOE=90。

：.ZCOE=ZBOE-ZBOC=60°

故答案为：60°

(2)解：VZBOC=30°,OE平分NBOC

：.ZCOE=-ZBOC=15°

2

ZDOE=90°

ZCOD=ZDOE-ZCOE=90°-15°=75°

ZAOB=180°

・•・ZAOD=180°-ZCOD-ZBOC=75°

:./AOD=/COD=Q5。

・•・OO平分/AOC

(3)解：如图

第一种情况，当。石在/5O。的内部时，设NCOE=x

•；NAOD=4NCOE,ZDOE=90°

：.ZAOD=4x,^COD=90°-x

丁ZBOC=30°

：.ZAOC=180°-ZBOC=180°-30°=150°

J可得方程：4x+90°-x=150°

解得：x=20°

：.^BOE=30°-20°=10°

第二种情况，当。£在/5。。的外部时，设NCOE=九，则/000=90。+%

・•・ZAOC=ACOE+ADOE+AAOD

ZBOC=30°

ZAOC=180。—Z.BOC=180。—30°=150°

"?ZAOD=4/COE,Z.DOE=90°

可得方程：4x+90°+x=150°

解得：x=12°

ZBOE=ZBOC+Z.COE=30°+12°=42°

综上所述，/BOE的度数为10。或42。

【点睛】本题考查了邻补角，角平分线等相关知识点，根据图形分析出各角之间的关系是解题的关键.

23.(2022春・广东湛江•七年级校考阶段练习)(1)如图1,点E、尸分别在直线AB、CD上，点P为平面

内AB、CD间一点，若ZEPF=ZPEB+ZPFD,证明：AB//CD-

(2)如图2,AB//CD,点£在直线A8上，点GG分别在直线CD上，GP平分/EGF,/PEG=NPFG,

请探究NEP尸、/PEG、/DGE之间的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,AB//CD,ZEPF=120°,ZPEG=nZBEG,ZPFK=nZCFK.直线MN交FK、EG分别于

点M、N,若NFMN—/ENM=25°,求"的值.

7

【答案】(1)见解析；(2)ZEPF=2ZPEG-ZDGE+180°,理由见解析；(3)n=-

【分析】(1)过点尸作尸根据角的和差得到乙叩。=/尸尸。，即可判定AB〃C£>；

(2)ZEPF=2ZPEG-ZDGE+180°,过点尸作尸则尸T〃AB〃CE>,根据平行线的性质及平角

的定义求解即可;

(3)过点M作M/〃过点、N作NI〃CD,根据平行线的性质及角的和差求解即可.

【详解】(1)证明：如图1,过点尸作尸。〃AS,

图1

/.NBEP=/EPQ,

・.・ZEPF=ZPEB+ZPFD,/EPF=ZEPQ+ZFPQ,

：.ZPFD=ZFPQ,

：.PQ//CD,

又PQ〃A3,

：.AB//CD；

(2)解：/EPF=2/PEG—ZDGE+18。。,理由如下:

如图2,过点。作PT〃AB,则PT〃人B〃CD,

设NFGP=/EGP=x,/PEG=/PFG=y,

•：AB//CD,

：.ZBEG=ZEGFf

PT//AB,

：./EPT=/BEP=/PEG+/BEG=2x+y,

PI//CD,

ZFPT=ZPFG=y,

...ZEPF=ZEPT+FPT=2x+y+y=2x+2y,

,.,x=1x(180°-Zr>GE),

：.ZEPF=(180°-NDGE)+2ZPEG,

即NEPF=2/PEG—ZDGE+180。；

(3)如图3,过点M作也过点N作NZ〃CD,

图3

•：AB//CD,

：.MH//AB//NI//CD,ZEPF=ZPEB+ZPFD,

：.ZHMN=ZINM,ZHMF=ZCFK,/BEG=/INE,

设N5£G