北京市某中学2024-2025学年高二年级下册期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市东城区东直门中学高二（下）期中数学试卷

一、选择题：（共10小题，每题4分）

1.（4分）已知函数/（x）sinx,贝！JUm

△XTOAx

<3

AB.1c.—D.V3

-12

2.（4分）下列求导运算正确的是（

A.(cos^)'=-sin^B.[ln(2x-l)J'=^j

C.⑵)/=2XD.(Inx)'=

3.（4分）有7件产品，其中4件正品，3件次品,现不放回从中取2件产品，每次一件，则在第一次取

得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（)

427

A.一B.-C.D.-

7336

4.（4分）已知某地市场上供应的一种电子产品中,甲厂产品占60%,乙厂产品占40%,甲厂产品的合格

率是95%,乙厂产品的合格率是90%,则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（）

A.0.92B.0.93C.0.94D.0.95

5.（4分）在佃X-我5的展开式中，x3的系数为10,则°的值为（）

A.-1B.1C.-2D.2

6.（4分）如果记录了x,y的几组数据分别为（0,1）,（1,3）,（2,5）,（3,7）,（4,9）,那么y关于x

的经验回归直线必过点（）

A.（2,5）B.（1.5,2）C.（1,2）D.（1.5,4）

7.（4分）从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一支志愿者小队，要求男、女都有，则不同的组

队方案共有（）

A.60种B.50种C.40种D.30种

8.（4分）已知函数/（x）=x3+ax2+2x,则“aWl”是（x）在R上单调递增”的（）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

9.（4分）函数的=*的图象大致为（）

1/17

yy

10.（4分）甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1〜6,两人

各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点

数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙

各出牌X次，则P（X=4）=（）

15511

A.——B.——C.-D.——

16326464

二、填空题：（共5小题，每题5分）

11.（5分）已知随机变量X~N（2,o2）（o>0）,若尸（XV4）=0,8,则P（2<X<4）=.

12.（5分）已知。为常数，"WN*,+的展开式中各项系数的和与二项式系数的和均为32,则展开

式中x的系数为（用数字作答）.

13.（5分）随机变量X服从两点分布，若P（X=0）=；,则下列结论中：

①尸（X=1）=~

②。（X）=焉

③E（2¥+1）=~

®D（2X+1）=1.

正确结论的序号有.

14.（5分）关于x的方程2|x+a尸"有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为.

15.（5分）同构法是将不同的代数式（或不等式、方程式）通过变形，转化为形式结构相同或相近的式子，

然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或

不等式问题.如^=。乎与y=b历6（可化为历6・°历”可以同构为/（x）—xe^.若已知axe"'-几x

-Inx,（a>0,x>l）恒成立，则a的取值范围是.

三、问答题：（共6小题，共85分）

2/17

16.(15分)将6个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1〜6.现从中任取3个球，以X表示取

出球的最大号码.

(1)求X的分布列；

(2)求X的期望及方差.

17.(14分)已知函数/(x)—Inx-x+1,

(1)求函数/(x)在点(1,/(I))点处的切线方程；

(2)求函数/(x)的极值点和极值.

18.(14分)近年来，我国电影市场非常火爆，有多部优秀国产电影陆续上映，某影评网站统计了100名

观众对某部电影的评分情况，得到如下表格：

评价等级★★★★★★★★★★★★★★★

人数23101075

以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立.从全国

所有观众中随机抽取4名，

(1)求恰有3人评价为五星，1人评价为四星的概率；

(2)记其中评价为五星的观众人数为X,求X的分布列与数学期望.

19.(14分)已知函数/㈤=必然，aER.

(1)求/(x)的单调区间；

(2)证明：xf(x)+ex>a.

22V2

20.(14分)椭圆C：r+v条=的左、右焦点分别为为，尸2,上顶点为“(0,1),离心率为彳.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点(-1,-1)的直线交椭圆C于4,3两点，设直线M4,上0的斜率分别为所，42,证明：

ki与fo的和为定值.

21.(14分)如图，设/是由"X”(〃23)个实数组成的〃行〃列的数表，其中的表示位于第，行第/列

的实数，且满足邮,aa,ain(z=l,2,,,,,n)与矶/,ay,•,,,anj(J=l，2,…，n)均是公差

不为0的等差数列.

。12…及

・・・

。21。22a2n

•••

3/17

.・・

斯1斯2Qnn

若根据条件0,能求出数表N中所有的数，则称/能被P确定.

(I)已知"=3,分别根据下列条件，直接判断数表/能否被其确定：

条件0："已知。13,。22,。31”；

条件02：“已知。12,。21,。23，。33”.

(II)设条件P”任意给定数表N中的加个数"，“能被P确定，证明：加的最小值为2〃；

(III)设条件p“已知集合｛a沛=7,或W=〃+l,其中i=l,2,…，〃｝中的任意上个元素”，求后的最

小值，使得/能被p确定.

4/17

2024-2025学年北京市东城区东直门中学高二（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

选择题（共10小题）

题号12345678910

答案CDBBDADDAD

一、选择题：（共10小题，每题4分）

1.（4分）己知函数/（x）=sinx,则把，,黑一二（）

1V3l

A.—B.1C.—D.V3

22

【分析】根据函数的定义及，（x）=cosx求出答案.

【解答】解：由导数的定义知，"m喷学理=/（5，

4%一ozlx，6

.一7171

又f（x）=COSX,所以/（-）=COS^=—.

故选：C.

【点评】本题考查了导数的定义与运算问题，是基础题.

2.（4分）下列求导运算正确的是（）

A.（cos^）r=~sin^B.[ln（2x-1）]'=

C.⑵）'=2工D.（lnx）'=^

【分析】由基本初等函数的导数公式及复合函数求导逐项判断即可.

【解答】解：对于a（cog）'=（¥）'=o,故/错误；

42

对于8,[/〃（2x7）]'=恭7，故3错误；

对于C,（2工）'=2》加2,故C错误；

对于。，（Zwx）'=p故。正确.

故选：D.

【点评】本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题.

3.（4分）有7件产品，其中4件正品，3件次品，现不放回从中取2件产品，每次一件，则在第一次取

得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（）

5/17

【分析】根据题意，分析可得在第一次取得次品的条件下，还有2件次品，4件正品，由古典概型公式

计算可得答案.

【解答】解：根据题意，有7件产品，其中4件正品，3件次品，在第一次取得次品的条件下，还有2

件次品，4件正品，

则在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率=1

63

故选：B.

【点评】本题考查条件概率性的计算，注意条件概率的计算公式，属于基础题.

4.(4分)已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%,乙厂产品占40%,甲厂产品的合格

率是95%,乙厂产品的合格率是90%,则从该地市场上买到一个合格产品的概率是()

A.0.92B.0.93C.0.94D.0.95

【分析】根据已知条件，结合全概率公式，即可求解.

【解答】解：由题意可得，60%X95%+40%X90%=0.93.

故选：B.

【点评】本题主要考查全概率公式，属于基础题.

5.(4分)在fax-旧5的展开式中，x3的系数为10,则°的值为()

A.-1B.1C.-2D.2

【分析】求出二项式的展开式的通项公式，然后令X的指数为3,求出x3的系数，进而可以求解.

5rrr5

【解答】解：二项式的展开式的通项公式为C5(ax)-(-后,=(-l)-a^c5x~^,r=0,1,

5,

令5-/=3,解得，=4,

则十的系数为1-1尸,。玛=10,解得a=2.

故选：D.

【点评】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题.

6.(4分)如果记录了x,y的几组数据分别为(0,1),(1,3),(2,5),(3,7),(4,9),那么y关于x

的经验回归直线必过点()

A.(2,5)B.(1.5,2)C.(1,2)D.(1.5,4)

【分析】利用经验回归直线必过样本中心点(总J)求解.

6/17

―0+1+2+3+4。1+3+5+7+9

【解答】解:由题意可知,x=-----------------7----------------=2,二

y=55,

所以y关于x的经验回归直线必过点（2,5）.

故选：A.

【点评】本题主要考查了经验回归直线的性质，属于基础题.

7.（4分）从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一支志愿者小队，要求男、女都有，则不同的组

队方案共有（）

A.60种B.50种C.40种D.30种

【分析】根据题意，按选出的男女人数不同，分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案.

【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：

①选出的3人为1男2女，有=12种选法；

②选出的3人为2男1女，有CG=18种选法；

所以一共有18+12=30种选法.

故选：D.

【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题.

8.（4分）已知函数/（x）=X3W+2X,则是“f3在R上单调递增”的（）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

【分析】根据/（X）在R上单调递增求出。的取值范围，结合充分条件、必要条件的概念可得答案.

【解答】解：../G）在R上单调递增，

：.f（x）=3;?+2办+220恒成立，

△=4后-24W0,46<a<V6,

...“aWl”是"fG）在R上单调递增”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础题.

丫2_1

9.（4分）函数/闰=卡的图象大致为（）

7/17

【分析】根据题意，利用函数的奇偶性和特殊值加以分析，即可得到本题的答案.

x2_j

【解答】解：因为函数的不满足-X)=/(x),不是偶函数，所以排除C、。两项，

当x=0时，f(0)=-1<0,可知/项满足条件，2项不符合题意.

故选：A.

【点评】本题主要考查函数的图象与简单性质等知识，考查了概念的理解能力，属于基础题.

10.(4分)甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1〜6,两人

各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点

数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙

各出牌X次，则尸(X=4)=()

15511

A.——B.——C.——D.——

16326464

【分析】分甲乙出牌的张数和甲乙胜负情况结合古典概率和二项分布讨论.

【解答】解：甲乙每次出牌1张，若两人出牌的点数都是偶数或都是奇数，则平局，

所以平局的概率0=条京=P

若甲胜，则结果有(2,1)、(3,2)、(4,1)、(4,3)、(5,2)、(5,4)、(6,1)、(6,3)、(6,5),

共9种，

所以甲胜的概率为“=忌=；，同理乙胜的概率也为:

各出牌4次后停止游戏，若4次全平局，概率为弓/=%，

若平局2次，则最后1次不能是平局，

另外2次甲全胜或乙全胜，概率为穹［尸x；x；x2=W，

若平局。次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，概率为C：x；x分、2=春

8/17

所以P(X=4)=%+击+卷=卷.

故选：D.

【点评】本题主要考查概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题.

二、填空题：(共5小题，每题5分)

11.(5分)已知随机变量X~N(2,a2)(a>0),若尸(X<4)=0,8,则尸(2<X<4)=0.3.

【分析】由正态分布的性质求解即可.

【解答】解：随机变量X〜N(2,。2)(。>0),

则尸(X24)=P(XW0)=1-尸(X<4)=1-0.8=0.2,P(2<X<4)=^^^=0.3

故答案为：0.3.

【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题.

12.(5分)已知a为常数，"GN*,+的展开式中各项系数的和与二项式系数的和均为32,则展开

式中x的系数为270(用数字作答).

【分析】根据二项展开式的二项式系数和为2",可求得"；采用赋值法，令x=l可得各项系数和，求

得a；根据二项式定理可得展开式通项，代入厂=2即可求得x的系数.

【解答】解：•••命+》的展开式的二项式系数和为2"=32,

••77=5；

令x=l,则必+丁展开式的各项系数和为(3+a)5=32,

解得：a=-1；

5r

则徐-，展开式通项为：Tr+1=C5(3x)--(_，=(_「35yx5f,(0WrW5),

令5-2r=l,解得：r—2,

则A=33c"=270x,.•.展开式中x的系数为270.

故答案为：270.

【点评】本题考查的知识要点：二项展开式，组合数，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础

题.

13.(5分)随机变量X服从两点分布，若P(X=0)=；,则下列结论中：

①尸(X=l)=1；

②。(X)=%;

9/17

③E(2A3-1)=]；

@D(2R1)=1.

正确结论的序号有①②④.

【分析】结合两点分布的定义，期望、方差公式，即可求解.

【解答】解：P(X=0)=；,

则尸(X=l)=1-p(X=0)=|,故①正确；

D(X)=4x4=-yp,故②正确；

4416

E(2杆1)=2E(X)+1=2x]+/=多故③错误；

D(2A+1)=4D(X)=故④正确.

故正确结论的序号有①②④.

故答案为：①②④.

【点评】本题主要考查两点分布的定义，期望、方差公式，属于基础题.

14.(5分)关于x的方程2|x+a尸"有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为+8

【分析】利用导数的几何意义求出＞="的斜率为2的切线方程，结合函数图象得出。的范围.

【解答】解：二•关于x的方程2|x+a尸"有3个不同的实数解，

.”=2,+旬与＞=y的图象有3个交点，

设y=2x+6与相切,切点为(xo,yo),

好。=2

则=2切+6,解得6=2-2加2.

-yo=

10/17

，切线方程为y=2x+2-21n2,

令y=0得x=ln2-1,

-。<加2-1,解得a>1-Ini.

故答案为:(1-ln2,+°°).

【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题.

15.(5分)同构法是将不同的代数式(或不等式、方程式)通过变形，转化为形式结构相同或相近的式子，

然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或

不等式问题.如与>=6/泌(可化为〃仍•/"")可以同构为/"(x)=xe(.若已知axe"-加x

-Inx,(a>0,x>\)恒成立，则a的取值范围是_[g,+co)—.

【分析】根据题中所给同构知识，设/(x)^xlnx-Inx,则不等式转化为/(e"，)2/(x)(a>0)在x

>1时恒成立，利用/(x)=x/〃x-历x的单调性，可将不等式转化为(a>0)在x>l时恒成立，

两边取以e为底的对数，再参变分离，可求出。的取值范围.

【解答】解：设/'(x)—xlnx-Inx,

ax

则ax*-ax=e"历e"-/ne,

故不等式转化为了(〃x)(x)(a>0)在x>l时恒成立，

f(x)=/«x+l-4则/(x)在xd(1,+8)上递增，且/(1)=0,

所以xG(1,+8)时，f(x)>0,f(x)递增，

因为a>0,x>\,所以故/(e“x)2/G)(a>0)在x>l时恒成立，

等价于e。，》》(a>0)在x>l时恒成立，

即ax^lnx在x>1时恒成立，即a>电在x>1时恒成立，

、几/、Inx、1，/、l~lnx、1

设g(%)=—,x>Lg(x)=%、，x>L

(1,e),g'(%)>0,g(x)递增，(e,+°°),g'(%)<0,g(x)递减，

所以g(x)rnax=g(e)=/，故壮(，即。的取值范围是"，+00>.

故答案为：[3,+00).

【点评】本题主要考查不等式恒成立问题以及利用导数求函数的最值，属于中档题.

三、问答题：(共6小题，共85分)

16.(15分)将6个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1-6.现从中任取3个球，以X表示取

出球的最大号码.

11/17

(1)求X的分布列；

(2)求X的期望及方差.

【分析】(1)由已知判断随机变量X的所有取值，并分别求解其概率，可得分布列；

(2)由(1)的分布列，利用期望和方差公式即可求解.

【解答】解：(1)由已知可得随机变量X的可能取值有：3,4,5,6,

所以P(X=3)P(X=4)=式=5,P(X=5)=同=今/,P(X=6)=d=3=g,

所以X的分布列为：

X3456

p133

2020102

iei2i

⑵£（X）=3x力+4x而+5x而+6x7=7,

八zs_（、21x21zA21x23（u21、23（右21x21_63

Dm=（3-T）x力+（4-7）X方+（5-7）x万+（6-7）~'7=丽.

【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与期望的计算，属于中档题.

17.(14分)已知函数/(x)=lnx-x+l,

(1)求函数/(x)在点(1,/(I))点处的切线方程；

(2)求函数/(x)的极值点和极值.

【分析】(1)求出函数/(x)的导数，利用导数的几何意义求出切线方程;

(2)利用导数求出函数的极值点和极值.

【解答】解：(1)由题意得/㈤=：-1,

则，(1)=0,又/(I)=0,所以切点坐标为(1,0),

所以所求切线方程为y=0.

(2)函数/(x)的定义域为(0,+8),/㈤=?,

由，(x)>0,得0<x<l；由(x)<0,得x>l,

函数/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

所以函数7(x)的极大值点为1,极大值/(I)=0,无极小值.

【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的极值，考查运算求解

能力，属于中档题.

18.(14分)近年来，我国电影市场非常火爆，有多部优秀国产电影陆续上映，某影评网站统计了100名

12/17

观众对某部电影的评分情况，得到如下表格:

评价等级★★★★★★★★★★★★★★★

人数23101075

以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立.从全国

所有观众中随机抽取4名，

(1)求恰有3人评价为五星，1人评价为四星的概率；

(2)记其中评价为五星的观众人数为X,求X的分布列与数学期望.

【分析】(1)首先求出评价为五星、四星的频率，再根据相互独立事件的概率公式计算可得；

(2)依题意可得X〜8(4,力，利用二项分布的概率公式求出所对应的概率，即可得到概率分布列与数

学期望.

【解答】解：(1)依题意样本中抽取1人,评价为五星的频率为尸5=磊=1评价为四星的频率为尸4=

10_1

Tod~To'

所以从全国所有观众中随机抽取4名，恰有3人评价为五星，1人评价为四星的概率尸=C©尸乂由=

27

面

(2)依题意X的可能取值为0、1、2、3、4,且X〜5(4,9，

13

所以P(X=0)=C*T4=先,P(X=1)=C4(1-^)4=^

2

P(X=2)=C4(l一)2x(»=急，P(X=3)=C\(l—)/x弓尸=螺,

P(X=4)=CX4)4=%,

所以随机变量X的分布列为:

X01234

P1125410881

256256256256256

所以£田=4><9=3.

【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题.

19.(14分)已知函数的aER.

(1)求/(x)的单调区间；

13/17

(2)证明：切(x)+ex>a.

【分析】(1)求出了(x),分aWO、。>0讨论可得/(x)的单调区间；

(2)f(x)=Inx+p由/'(x)(1)=1得x/〃x+l2x,不等式M(x)+e*>a等价于x/〃x+ex>0,

令g(x)=x+/x-1,利用导数判断g(x)的单调性，即可得出结论.

【解答】解：(1)的=华卫=/.+?白>0,

当aWO时，f(x)>0恒成立，

所以函数/(x)在(0,+8)上递增，

当a>0时，(0,a)时，/(x)<0,f(x)单调递减，

xG(a,+8)时，f(x)>0,f(x)单调递增，

综上所述，当aWO时，f(x)的单调增区间为(0,+8),无单调减区间，

当a>0时，/(%)的单调增区间为(a,+8),单调减区间为(0,a).

(2)证明：由(1)知，当a=l时，f(x)=Inx+A且/(x)引"(1)—1,

所以xlnx+12%,

、

因h*为z的vxlnx+a

所以不等式货(x)+e等价于％加r+e*>0,

令g(x)=x+ex-1,则/闰=]—ef在％>0时恒成立，

所以函数g(x)在(0,+8)上递增，

所以当x>0时，g(x)>g(0)=0,

又xlnx+1则xlnx^x-1,

所以x历x+e-1+ex>0,

所以》加:+e*>0,

所以货(x)+ex>a.

【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题.

22V2

20.(14分)椭圆C：%Y+鑫V=/白>6>切的左、右焦点分别为乃，F1,上顶点为M(0,1),禺心率为3.

(1)求椭圆。的方程；

(2)过点(-1,-1)的直线交椭圆C于4,8两点,设直线M4,"5的斜率分别为肌，左2,证明：

14/17

k\与ki的和为定值.

【分析】（1）根据给定条件，求出。，6即可得椭圆C的方程.

（2）当直线的斜率存在时，设出其方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合斜率坐标公式计

算推理得证，再验证斜率不存在的情况即可.

【解答】解：⑴根据题目：椭圆。胃+营="“〉6>。的左、右焦点分别为为，尸2,

V2

上顶点为M（o,1）,禺心率为；■.得6=1,

V2JMV2I—

由椭圆C的禺心率为-7，得------=―,解得a=V2,

2a2

所以椭圆。的方程为：—+y2=1.

（2）证明：由题：过点（-1,-1）的直线交椭圆。于4,8两点，设直线加4,3的斜率分别为左1，

左2，

当直线43的斜率存在时，设其方程为歹=左(x+1)-1,左W2,A(xi,ji),B(也，丝),

."Vkx+k-1

{)+2J,2=2消去x得：(2F+1)，+4后(后-1)x+2(k-1)2-2=0,

A=16后(k-1)2-8(20+1)[(左-1)2-1]=8(庐+2左)＞0,解得左＜-2或左＞0,

4k2—4k2k2—4k

修+'2=一去才'才，

因此曷+%=2左+生工+包2=2左+优-2）•里士登=2,

X1x2xlx2

当直线斜率不存在时，由I%；2）：?’得了=士孝，

不妨令/（一/,与），B（-1,一浮）,则局+0=0_乙）+。，（,，）二2,

所以41与七的和为定值2.

【点评】本题考查椭圆的定点及定值问题，属于中档题.

21.（14分）如图，设/是由"初（〃23）个实数组成的〃行〃列的数表，其中旬•表示位于第，行第/列

的实数,且满足mi,an,atn（z=1,2,…，ri'）与。1八ay,anj（J=l>2,…，〃）均是公差

不为0的等差数列.

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anan.・・

・・・

421422a2n

・・・

・・・

an\an2Qnn

若根据条件/能求出数表/中所有的数，则称/能被〃确定.

(I)已知〃=3,分别根据下列条件，直接判断数表/能否被其确定:

条件0：“已知。13，<222,。31”；

条件02："已知。12，。21，。23