电路原理（邱关源）第一章 电路模型和电路定理 习题答案

第一章电路模型和电路定律

电路理论主要研究电路中发生的电磁现象，用电流，、电压”和功率P等物

理量来描述其中的过程。因为电路是由电路元件构成的，因而整个电路的表现如

何既要看元件的联接方式，又要看每个元件的特性，这就决定了电路中各支路电

流、电压要受到两种基本规律的约束，即：

（1）电路元件性质的约束。也称电路元件的伏安关系（VCR）,它仅与元件

性质有关，与元件在电路中的联接方式无关。

（2）电路联接方式的约束（亦称拓扑约束）。这种约束关系则与构成电路的

元件性质无关。基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（KVL）是概括

这种约束关系的基本定律。

掌握电路的基本规律是分析电路的基础。

1-1说明图（a）,（b）中，（1）“，'的参考方向是否关联？（2）如乘积表示什么

功率？（3）如果在图（a）中">°，，<°；图（b）中“<°，，>°,元件实际发出

还是吸收功率？

5----------*-------元件--------??-----*----元件--------?

UU

G）题1-1图⑻

解：（1）当流过元件的电流的参考方向是从标示电压正极性的一端指向负极

性的一端，即电流的参考方向与元件两端电压降落的方向一致，称电压和电流的

参考方向关联。所以（a）图中"，''的参考方向是关联的；（b）图中“，'的参考方

向为非关联。

（2）当取元件的〃，,参考方向为关联参考方向时，定义。=就为元件吸收的

功率；当取元件的"，'•参考方向为非关联时，定义。=如为元件发出的功率。所

以（a）图中的立乘积表示元件吸收的功率；（b）图中的位乘积表示元件发出的

功率。

(3)在电压、电流参考方向关联的条件下，带入或数值，经计算，若

P=m>°,表示元件确实吸收了功率；若。表示元件吸收负功率，实际是

发出功率。(a)图中，若">。，，<。，则"=如<0,表示元件实际发出功率。

在〃，'•参考方向非关联的条件下，带入"，'•数值，经计算，若。=5>0,为

正值，表示元件确实发出功率；若。为负值，表示元件发出负功率，实际

是吸收功率。所以(b)图中当">。，，>0,有，=5>0,表示元件实际发出功

率。

1-2若某元件端子上的电压和电流取关联参考方向，而"=170cos(100加)V,

i=7sin(100R)A,求：(1)该元件吸收功率的最大值；(2)该元件发出功率的

最大值。

解.p(t)==170COS(100TT0X7sin(lOO^)=595sin(200^)W

(1)当sin(20(k/)>°时，p«)>。，元件吸收功率；当sin(20(k/)=l时，元

件吸收最大功率：'max=595W

(2)当sin(20(k/)<0时,P⑴<°,元件实际发出功率;当sin(200rt)=-1时,

元件发出最大功率：'max=595W

1-3试校核图中电路所得解答是否满足功率平衡。(提示：求解电路以后，校核

所得结果的方法之一是核对电路中所有元件的功率平衡，即元件发出的总功率应

等于其他元件吸收的总功率)O

解：由题1-3图可知，元件A的电压、电流为非关联参考方向，其余元件的

电压电流均为关联参考方向。所以各元件的功率分别为：

PA=60x5=300W>0,为发出功率

%=60x1=60W〉0,为吸收功率

=60X20=120W〉0,为吸收功率

0,=40义2=80W〉0,为吸收功率

PE=20x2=40W>0,为吸收功率

——2A

---------------------------—Di>-i

M5A"1Av2A+40V-,r2A

A60VB60VC60V20Vg

题1-3图

电路吸收的总功率

p=PB+Po+Pc+PE=60+120+80+40=300W

即，元件A发出的总功率等于其余元件吸收的总功率，满足功率平衡。

注：以上三题的解答说明，在电路中设电压、电流参考方向是非常必要的。在计算一

段电路或一个元件的功率时，如果不设电流、电压的参考方向，就无法判断该段电路或元件

是发出还是吸收功率。

此外还需指出：对一个完整的电路来说，它产生（或发出）的功率与吸收（或消耗）的

功率总是相等的，这称为功率平衡。功率平衡可以做为检验算得的电路中的电压、电流值是

否正确的一个判据。

1-4在指定的电压"和电流,参考方向下，写出各元件"和珀勺约束方程（元件的

组成关系）。

z10kQZ20mH

u

(b)

u+

(d)

题1-4图

解：（a）图为线性电阻，其电压、电流关系满足欧姆定律。需要明确的是:

（1）欧姆定律只适用于线性电阻；（2）如果电阻R上的电流、电压参考方向非

关联，欧姆定律公式中应冠以负号，即〃0）=一用”）。由以上两点得（a）图电阻

元件"和珀勺约束方程为

u=—Rz=-10xl03z

欧姆定律表明，在参数值不等于零、不等于无限大的电阻上，电流与电压

是同时存在、同时消失的。即电阻是无记忆元件，也称即时元件。

MQ）=L由（‘）

（b）图为线性电感元件，其电压、电流关系的微分形式为：dt。

如果电压、电流参考方向为非关联，上式中应冠以负号，所以（b）图电感元件”

和，的约束方程为

w=-20xl0-3—

dt

电感元件的电压、电流微分关系表明：（1）任何时刻，其电压与该时刻的电

流变化率成正比，显然直流时，电感电压为零，电感相当于短路。因此，电感是

一个动态元件。（2）当电感上的电压为有限值时，电感中的电流不能跃变，应是

时间的连续函数。

c绊2

（c）图为线性电容元件，其电压、电流关系的微分形式为：dt。

如果电压、电流的参考方向为非关联，上式中应冠以负号，即dt。

所以（b）图电容元件”和，的约束方程为

=10xl0-6—=10-5—

zdtdt

电容元件的电压。电流微分关系表明：（1）任何时刻，通过电容的电流与该

时刻其上的电压变化率成正比，即电容是一个动态元件。显然直流时，电容电流

为零，电容相当于开路。（2）当电容上的电流为有限值时，电容上的电压不能跃

变，必须是时间的连续函数。

3）图是理想电压源。理想电压源的特点为：（1）其端电压与流经它的电

流方向、大小无关。（2）其电压由它自身决定，与所接外电路无关，而流经它的

电流由它及外电路所共同决定。由以上特点得（d）图的约束方程为

〃=—5V

（e）图是理想电流源。理想电流源的特点为：（1）其发出的电流位）与其两

端电压大小、方向无关。（2）其输出电流由它自身决定，与所接外电路无关，而

它两端电压由它输出的电流和外部电路共同决定。由以上特点得（e）图的约束

方程为

i=2A

注：以上五个理想元件是电路分析中常遇到的元件。元件电压、电流的约束方程，反

映了每一元件的特性和确定的电磁性质。不论元件接入怎样的电路，其特性是不变的，即它

的“"约束方程是不变的。因而深刻地理解和掌握这些方程，就是掌握元件的特性，对电路

分析是非常重要的。

1-5图（a）电容中电流，的波形如图（b）所示现已知％（°）=°,试求”1s时,

'=2s和'=4s时的电容电压。

解：已知电容的电流,⑺求电压比⑺时，有

“⑺=；匚J席=u(t0)+"席

式中MH。）为电容电压的初始值。

本题中电容电流，⑺的函数表示式为

0t<0

i（t）=<5t0<?<2

-10t>2

根据“"积分关系，有

/=1s时Uc（l）=uc（0）+-1£

=0+；卜力=；x（y）“1.25V

”2s时气⑵="c（0）+1口⑺力

=0+都5回=恭（|咻=5V

/=4s时%（4）="c（2）+1j；⑺力

=5+g'10E=5+gx（-104=-5V

注：电路元件”"关系的积分形式表明，’时刻的电压与‘时刻以前的电流的“全部

历史”有关，即电容有“记忆”电流的作用，故电容是有记忆的元件。因此在计算电容电压

时，要关注它的初始值0°）,反映了电容在初始时刻的储能状况，也称为初始状

态。电感元件也具有类似的性质，参见1-6题。

1-6图（a）中L=4”,且，，电压的波形如图（b）所示。试求当t=ls,t=2s,

/=3s和t=4s时的电感电流

解：电感元件"，'关系的积分形式为

上式表明，电感元件有“记忆”电压的作用，也属于记忆元件。式中9。）为电感

电流的初始值，反映电感在初始时刻的储能状况。

本题中电感电压的函数表示式为

0t<0

100<t<2

〃⑺=<02<t<3

10-403<?<4

04<t

应用"，'•积分关系式，有

'=1S时,

=O+1j^lO^=1x（lOO|o=2.5A

2s时，氏2）=,⑴+*"⑺力

=2.5+[10力=2.5+；x（10叶=5A

1=3s时'⑶='⑵+*—=5+；，0力=5A

t=4s时，'（4）=，'（3）+：["«）d/=5+（J3（18—40）d/=3.75A

1-7若已知显像管行偏转线圈中的周期性行扫描电流如图所示，现已知线圈电感

为0.01H,电阻略而不计，试求电感线圈所加电压的波形。

解：电流'⑺的函数表达式为

\4^x106[0<^<60U5

l(t)=j6。L

3xl05(64xl0-6-t)60<t<6411s

根据电感元件”•的微分关系，得电压的函数表达式为

小力⑺/2x1020〈/<60口

u(t)=0.01—.

dt1-3xl()360〈/<64”

M⑺的波形如题解1-7图，说明电感的电压可以是时间的间断函数。

1-82日/电容上所加电压的波形如图所示。求：(1)电容电流，；(2)电容电荷也

(3)电容吸收的功率P。

解：(1)电压M。)的函数表达式为

0t<0

103f0<t<2ms

ll(t)=<

4-103/2<t<4-ms

04<tms

根据电容元件"，i的微分关系，得电流i⑴的函数表达式为:

0?<0

2x10-30<t<2ms

5

-2x10-32<t<4ms

@DM展

04<tms

c=£

(2)因为“，所以有

0t<Q

2x10-70<t<2ms

2x106(4-103?)2<t<ms

q(t)=Cu(t)=04<tms

(3)在电压电流参考方向关联时，电容元件吸收的功率为

0t<0

ItQ<t<2ms

'-2x10-3(4—IO?/)2<%<4ms

p(t)=〃")，(/)=.04<tms

，⑺应⑺,p⑺波形如题解上8图所示。

注：在图(c)所示的功率波形中，表示电容吸收功率，处于充电状态，其电压和电荷

随时间增加；表示电容供出功率，处于放电状态，其电压和电荷随时间减小。和的两部分面

积相等，说明电容元件不消耗功率，是一种储能元件。同时它也不会释放出多于它吸收的或

储存的能量。所以，电容是一种无源元件，它只与外部电路进行能量交换。需要指出的是，

电感元件也具有这一性质。

1-9电路如图所示，其中R=2Q,L=1",C=0.01”〃c(0)=0,若电路的输入电

，=2sin(2t+三)A,八

流为：(1)3；(2)，="2。试求两种情况下，当方＞°时的。必

和此值。

题1-9图

解：根据民工和0的"」关系有

i=2sin(2/+')A

⑴若3,则有

UR(t)=Ri(t)=2x2sin(2r+^)=4sin⑵+y)V

4⑺

=L^£1=1X2cos(2z+y)x2=4cos(2/+y)V

'dt

〃c«)="A。)+["=0+高12sin(2J+守段=50-100cos(2?+1)V

⑵若，=e-'A,则有

。(0=&⑺=2x/V

uL(t)=L也^=1x)=—/V

dt

〃c«)=«c(O)+1£^W==100(1-e-?)V

1-10电路如图所示，设4。)=。-05@口4”)=必”，试求乙⑺和z⑺

题1-10图

解：可以看出，流过电感的电流等于电流源的电流",电容a上的电压为k,

故由〃C元件的i约束方程可得

f

uL(?)=L=Lle^x(-a)=-Liae"V

QQ)=。号^=QC/,„[-sin(o0]①=-«C2[7,„sin(ot)V

1-11电路如图所示，其中z；=2A，Z=10V。

(1)求24电流源和1°V电压源的功率；

(2)如果要求2A电流源的功率为零，在AB线段内应插入何种元件？分

析此时各元件的功率；

(3)如果要求1°V电压源的功率为零，则应在BC间并联何种元件？分析

此时各元件的功率。

题1-11图

解：⑴电流源发出功率0=比/=1°X2=20W

电压源吸收功率夕==10x2=20W

(2)若要24电流源的功率为零，则需使其端电压为零。在AB间插入

&=10丫电压源，极性如题解图(a)所示。此时，电流源的功率为°=°x's=°。

插入的电压源发出功率2°卬，原来的电压源吸收功率2。卬。

(3)若要。8电压源的功率为零，则需使流经电压源的电流为零。可以采

取在BC间并联厂=24的电流源，如题解图(b)所示，或并联

=10/2=5。

R=u/L的电阻，如题解图(c)所示。

题解1-11图

题解图（b）中，因由KCL可知，流经人的电路为零。所以人的功率

为零。

原电流源发出功率P=*=10义2=20W

并入的电流源吸收功率P=M/=10X2=20W

题解图（c）中，流经电阻的电流为

UsS=2A

R

由KCL可知，流经人的电流为零，因此，“、的功率为零。此时，电流源发出功

率

p^usis=10x2=20W

.=城=萼=20W

电阻消耗功率R5

注：本题说明，计算理想电源的功率，需计算理想电流源的端电压值和流经理想电

压源的电流值O而电流源的端电压可以有不同的极性,流经电压源的电流可以有不同的方向，

它们的数值可以在°8之间变化，这些变化取决于外接电路的情况。因此，理想电源可以

对电路提供能量（起电源作用），也可以从外电路接收能量（充当其它电源的负载）。

1-12试求图示电路中每个元件的功率。

(b)

题1-12图

解：(a)图中，由于流经电阻和电压源的电流为°5A,所以电阻消耗功率

PR=RI2=2x0.52=0.5W

P=U'=1x0.5=0.5W

电压源吸收功率v

由于电阻电压UR=RI=2xO.5=lV

得电流源端电压U=UR+US=1+1=2V

P,=4。=0.5义2=1卬

电流源发出功率

(b)图中2Q电阻的电压UR=2-1=1V

人="=4=05A

所以有122

h=1=1A

由KCL得/3H=0.5-1=-0.5A

故2V电压源发出功率P=2xl1=2xO.5=lW

IV电压源发出功率P=2x(—A)=lx0.5=0.5W

2。电阻消耗功率P=2x/：=2x0.52=0.5W

2

1。电阻消耗功率P=lxl；=lxl=1W

1-13试求图中各电路的电压并讨论其功率平衡。

解：应用KCL先计算电阻电流4,再根据欧姆定律计算电阻电压，从而得

出端电压最后计算功率。

(a)图中4=2+6=8A

U=UR=2XIR=2x8=16V

所以输入电路的功率为P=Ux2=16x2=32W

电流源发出功率P[=6XU=6X16=96W

2

电阻消耗功率PR=2xll=2x8=128W

显然尸+弓=弓，即输入电路的功率和电源发出的功率都被电阻消耗了。

(b)图中1R=6-2=4A

U=UR=2X/R=2x4=8V

所以输入电路的功率为P=-Ux2=-8x2=-16W

电流源发出功率P1=6x0=6x48=48W

电阻消耗功率PR=2x"=2x4?=32W

显然仍满足P+PI=PR

实际上电源发出的功率被电阻消耗了32卬，还有16W输送给了外电路。

(c)图中IR=2-4=-2A

U=UR=3X/R=3x(—2)=—6V

所以输入电路的功率为p=Ux2=—6x2=—12W

电流源发出功率6=4x6=24W

2

电阻消耗功率PR=3X〃=3x(-2)=12W

即满足P+P.=PR

(d)图中IR=5-3=2A

U=UR=4X/R=4X2=8V

各部分功率分别为P=UX5=8X5=40W

P,=—3xU=—3x8=—24W

PR=4x,=4x2?=16W

仍满足P+B=PR

1-14电路如图所示，试求：(1)电流4和“叼图(a)］；(2)电压”［图(b)］0

09,=i=—=2A

解(a)：受控电流源的电流为.।5

2.222A

所以

uab=4xi0b=4x(z；-0.9^)=4x0.1«0.899V

解(b)：因为%=2x5=10V,故受控电流源的电流为

i=0.05%=0.05xl0=0.5A

u=20x7=20x0.5=10V

而

%=-3V

所以Ucb=~Uac+Uab=—10-3=-13V

注：本题中出现了受控源，对受控源需要明确以下几点：

(1)受控源是用来表征在电子器件中所发生的物理现象的一种模型，是大小和方向受电

路中其它地方的电压或电流控制的电源。在电路中，受控源与独立源本质的区别在于受控源

不是激励，它只是反映电路中某处的电压或电流控制另一处的电压或电流的关系。

(2)受控源分受控电压源和受控电流源两类，每一类又分电压控制和电流控制两类。计

算分析有受控源的电路时，正确地识别受控源的类型是很重要的。

(3)求解含有受控源的电路问题时，从概念上应清楚，受控源亦是电源，因此在应用

KCL,KVL列写电路方程时，先把受控源当作独立源一样看待来写基本方程，然后注意受控

源受控制的特点，再写出控制量与待求量之间的关系式。

1-15对图示电路:

题1-15图

(1)已知图(a)中，R=2O,i]=lA,求电流i；

(2)已知图(b)中,4=4.5。,夫2=1。,求，2。

解(a)：对图中右边的回路列KVL方程(顺时针方向绕行)有

Ri-lQ-5i,=0

.=10±5£=10±5xl=75A

则R2

解(b):电阻与两端的电压为

UR[=&，]=4.5x2=9V

对左边回路列KVL方程有

uR—Us+〃]—0

则%=10-9=1V

从图中右边回路的KVL方程的

7?2,2+3〃]_HR1-0

注：本题求解中主要应用了KVL0KVL是描述回路中各支路（或各元件）电压之间

关系的，它反映了保守场中做功与路径无关的物理性质。应用KVL列回路电压方程时，应

注意：（1）首先要指出回路中各支路或元件上的电压参考方向，然后指定有关回路的绕行方

向（顺时针或逆时针均可）；（2）从回路中任一点开始，按所选绕行方向依次迭加各支路或

元件上的电压，若电压参考方向与回路绕行方向一致，则该电压取正值，否则取负值。

RRR

1-16对图示电路，若：⑴&小2,&值不定;（2）1=2=3O

在以上两种情况下，尽可能多的确定其他各电阻中的未知电流。

题1-16图

解：设定各电阻中未知电流的参考方向如图所示。

（1）若与小2,&值不定，%也，&不能确定。对图中所示闭合面列KCL方程,

根据

流进的电流等于流出的电流有

%=3+4—6=1A

对A点列KCL方程，可以解得

=，4+2—(—10)=1+2+10=13A

（2）若居=旦=&,对右边回路和B,C结点列KVL和KCL方程，有

R11+尺2,2+尺3,3=0

<%=3+，2

把方程组整理，代入与=旦=&的条件，得

—Zq—4

应用行列式法解上面方程组

0

030

-14-1

00

303

4-14

所以

'4"5的值同（l）o

注：从本题的求解过程中可以看出KCL是描述支路电流之间关系的，而与支路上元件

的性质无关。KCL实质是反映电荷守恒定律，因此，它不仅适用于电路中的结点，对包围

部分电路的闭合面也是适用的。应用KCL列写结点或闭曲面电流方程时应注意：（1）方程

是依据电流的参考方向建立的，因此，列方程前首先要指定电路中各支路上电流的参考方向，

然后选定结点或闭曲面；（2）依据电流参考方向是流入或流出写出代数方程（流出者取正号,

流入者取负号，或者反之。也可以用流入等于流出表示）。

1-17图示电路中，已知"12=2V,〃23=3匕的5=5V,〃37=3匕与7=1V,尽可能

多地确定其他各元件的电压。

解：已知即="12=2V,M"="23=3V,"c="25="67=1丫，选取回路

列KVL方程。

对回路（①②⑤①）有=%5=M12+&25

u=2+5=7V

所以a

对回路（①②③①）有

uk—ul3=w12+1/23=2+3=5V

对回路（②③④⑦⑥⑤②）有

W23+W37-W67-U56-“25=0

Uf~U56~+仇37—“67—“25

所以=3+3-1-5=07

对回路(③④⑦⑥③)有

Ue="36=”37—”67—3—1=2V

对回路(⑤⑥⑦⑤)有

Ui=%7="56+”67=0+1=1V

1-18对上题所示电路,指定个支路电流的参考方向，然后列出所有结点处的KCL

方程，并说明这些方程中有几个是独立的。

解：支路电流的参考方向如图所示，各结点的KCL方程分别为（以流出结

点的电流为正）

①4+Z'b+&=0②_'b+Zc+Zd=0

③一，d+?g+»e_»k=0⑤一，a+4+4=0

⑥_，e_%+4=0⑦_'j_'i_ig=0

把以上6个方程相加，得到。=。的结果。说明6个方程不是相互独立的，

但是其中任意5个方程是相互独立的。

注：一个有n个结点的电路，依KCL列结点电流方程，则n-1个方程将是相互独立

的。这是因为任一条支路一定与电路中两个结点相连，它上面的电流必定从其中一个结点流

出，又流入另一个结点，因此，在n个KCL方程中，每个支路电流一定出现2次，一次为

正，另一次为负，若把n个方程相加，必定得到等于零的恒等式。即n个KCL方程不是相

互独立的，但从n个方程中任意去掉一个结点电流方程，余下的n-1个方程是相互独立的。

1-19电路如图所示,按指定的电流参考方向列出所有可能的回路的KVL方程。

这些方程都独立吗?

题解1-19图

解：图示电路共有题解1-19图所示的7个回路，其KVL方程分别为（取顺

时针绕行方向）:

①R/1+灯2+氏5&-45+。=0

②R>4+凡，6+%-氏5,5=。

③R2i2+R4i4+R6i6+usl+咐=0

U。

④7?3Z3-S3+R6i6+usl+R=0

⑤R3i3-7?4Z4-RJ2-MS3=0

⑥R3i3-R£+R5i5-us5-us3++M”=0

⑦+曲6+45-氏5,5-灯2-43=。

从以上方程不难发现有下列关系存在，即:

①+②:③

①十⑤二⑥

⑤十②二⑦

①+②十⑤:④

由此说明，从方程①，②，⑤可以导得方程③，④，⑥，⑦，同样从方程④,

⑤，⑥可以导得方程①，②，③，⑦等等，这说明7个KVL方程不是相互独立

的，独立的方程只有三个。

注:对于一个有n个结点,b条支路的电路，可以证明，其独立的KVL方程数为（b-（n-l））

个。把能列写独立方程的回路称为独立回路，本题有结点n=4,支路b=6,所以其独立的回

路数为b-（n-l）=3。一般在列KVL方程时，独立回路可以这样选取：（1）使所选各回路都包

含一条其它回路所没有的新支路；（2）对平面电路，其网孔即为独立回路，如本题中方程①,

②，⑤即为按网孔列