河南省某中学2024-2025学年高二年级下册月考（一）数学试卷（含答案解析）

河南省实验中学2024-2025学年高二下学期月考（一）数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设函数/（X）满足肥，（/一2-）-=则/，（%）=（）

A.-2B.-1C.1D.2

2.若函数〃x)=/'⑴/一2成+1,贝！|/'。)=()

A.-1B.2C.1D-I

3.若点尸是曲线＞-Inx上任一点，则点P到直线上_y_4=o的最小是巨离是（）

A.41B.3C.272D.273

4.用5种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色

方法有（）

A.180B.240C.280D.300

5.已知函数/（无）=e*-er-x+sinx,若/⑷+/（1+勿）＞0,则。的取值范围为（）

A.（-1,+®）B.C.1一°°，—g[D.

6.高一某班一天上午有4节课，下午有3节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、物理、

化学、生物，地理7节课的课程表，要求生物课排在上午第四节，化学课排在下午，数学与物

理不相邻，则不同的排法种数共有（）种

A.144B.256C.264D.288

7.已知定义在（0,+e）上的严格单调递增函数/（X）满足八恒成立，其中/'（x）是函

r(x)

数f（x）的导函数.若3/（M-2022）＜（〃L2022）/（3）,则实数加的取值范围为（）

A.(0,2023)B.(2023,2025)C.(2023,+oo)D.(2025,+s)

试卷第1页，共4页

8.设/'(x)=&r-办，且X>1时，/(x)>0恒成立，则实数。的范围为()

A.(~00,0]B.(-83)C.(-00,e2)D.

二、多选题

9.如图是函数了=/(尤)的导函数y=/(x)的图象，则以下说法正确的为()

A.-2是函数了=/(幻的极小值点

B.函数y=f(x)在x=l处取最小值

C.函数了=/(x)在x=0处切线的斜率小于零

D.函数y=在区间(-2,2)上单调递增

10.数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现,

它是按照从左到右与从右到左两种顺序读法都一样的正整数，如22,121,3443,94249等.下歹I]

说法正确的是()

A.末尾为1的五位回文数有100个

B.十位大于个位的六位回文数有360个

C.2〃(〃eN*)位回文数有10"个

D.2“+l(〃eN*)位回文数有9x10"个

x+2/,

------x《(J

11.设函数/(X)=<ex,函数g(x)=/(x)-7"有三个零点国,马,三，且满足

xlnx+2,x>0

再<々<工3,则下列结论正确的是()

A.函数/(x)有且仅有三个极值点

B.存在实数/KOJ(-XO)=〃XO)

C.实数机的取值范围是J-：,e]

试卷第2页，共4页

2

D.若加<2,则一<工2+工3<1

三、填空题

12.已知点尸在曲线/(x)=q-/+2x+l上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的

取值范围为.

13.精准扶贫期间，5名扶贫干部被安排到三个贫困村进行扶贫工作，每个贫困村至

少安排一人，则不同的分配方法共有种.

14.已知+存在不超过！的极小值点，则实数。的取值范围

为.

四、解答题

3

15.若/(x)=21nx-x+—.

⑴求函数歹=/(%)的单调区间与极值；

(2)证明：恒成立；

16.某次学校文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品

节目，需要制作节目单：

(1)若3个舞蹈节目相邻，且不排开头和结尾，则有多少种不同的排法？

⑵若2个唱歌节目相邻，3个舞蹈节目也相邻，且两个小品节目不相邻，则有多少种不同的

排法？

(3)由于同学们参与积极，需要在确定好的节目单上新增两个节目：一个诗歌朗诵和一个快

板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，共有多少种不同的排法？

17.已知函数/'(x)=/+办2+6x+/eR)

⑴若函数/(x)在尤=1处有极值为10,求2a+6的值；

⑵对任意ae[T+e)J(x)在区间(0,2)上单调递增，求实数6的取值范围.

18.已知函数/=(x-2)e*&eR).

⑴讨论函数/(x)的单调性；

试卷第3页，共4页

⑵若对Vxe[2,+8)J(x)20恒成立，求实数。的取值范围.

19.已知函数/(x)=(x-q)e*T+x+a-2,aeR.

⑴当a=1时，求函数/'(x)在(1J⑴)处的切线方程；

(2)若a>3.

①证明：/(X)有3个不同的零点；

②证明：/(x)的所有零点之和为定值.

试卷第4页，共4页

《河南省实验中学2024-2025学年高二下学期月考(一)数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案BBCADCDAADABD

题号11

答案BCD

1.B

【分析】根据导数的定义及极限的运算性质计算可得.

/(x0-2Ax)-/(x0)1f(r0-2Ax)-/(^)_1

【详解】/'(x)=lim----------------------------------------------llnl-------------------------=——xz二4，

0-2Ax2-oAx2

故选：B

2.B

【分析】先求导函数/'(x),再将尤=1代入/'(无)，即可求解.

【详解】由题意，函数/(尤)的定义域为(0,+。)，/'(x)=2/⑴X-：,

将x=l代入/'(X)可得：r(l)=2r(l)-2,解得广(1)=2.

故选：B.

3.C

【解析】根据题意，设出点P,根据点尸处的切线斜率为1,求得切点，再用点到直线的距

离公式即可求得结果.

【详解】要使点P到直线x-y-4=0的最小距离，只需点P为曲线与直线x-y-4=0平行

的切线的切点,

即点P为斜率为1的切线的切点,

2

设尸(xo，%),%>0,y=x-lnx,y|^=2x0-----=1,

xo

解得Xo=l或x()=-g(舍去)，

|1_］一4|

点尸(1,1)到直线x-y-4=0的距离为=272,

-V2

所以曲线>=工2-Inx上任一点到直线X-y-4=0距离最小值为2®.

故选：C.

【点睛】本题考查由切线的斜率，求切点坐标，涉及点到直线的距离公式，属基础题.

4.A

【分析】利用分步乘法计数原理可得答案.

答案第1页，共14页

【详解】

如图，先涂A,有5种不同的涂色方法，再涂3,有4种不同的涂色方法，

然后涂C,有3种不同的涂色方法，最后涂。，有3种不同的涂色方法，

则不同的涂色方法有5x4x3x3=180种.

故选：A.

5.D

【分析】根据函数奇偶性的定义可得/(x)为奇函数，再通过求导分析函数的单调性即可解

不等式.

【详解】由题意，函数/'(x)的定义域为R.

因为/(-%)=e"-eA+x+sin(-x)=-(eA-ex-x+sinx)=-/(x),

所以函数/(x)为奇函数.

f'^x)=ex+e-x+cosx-1,

因为有+€一工22，1・片,=2,当且仅当e、=e-3即x=0时，等号成立，

又因为cosxe[-l,l],所以/'(x)=eX+eT+cosx-l>0在R上恒成立，

所以函数/(x)在R上单调递增.

由/⑷+/(1+勿)>0,得/⑷>一/(1+2江即-2a),

所以。>T-2a,解得a>-g.

故选：D.

6.C

【分析】根据要求，生物固定在上午第四节，化学固定在下午，数学和物理不相邻，则可分

成数学和物理都排在上午或下午、数学和物理一个在上午一个在下午，四种情况，结合排列

和组合分类求解即可.

【详解】若数学和物理都排在上午，则有C；A；A；=36种；

答案第2页，共14页

若数学和物理都排在下午，则有A；A；=12种;

若数学排在上午，物理排在下午，则有C：A；A；=108种;

若数学排在下午，物理排在上午，则有C；A；A；=108种.

综上，不同的排法共有36+12+108+108=264种.

故选：C

7.D

【分析】变形得到构造g(x)=/?,xe(O,+⑹，求导得到其单调性,

结合函数定义域，解不等式，求出答案.

【详解】/(x)严格单调递增，故/'(x)>0,n/(x)-切'(x)>0,

以x)

人/、/(x)/\ri/\(X)-(X)

令g(无)=—^，xe(0n,+oo),则g'(x)=——<0,

所以g(x)=中在xe(O,+⑹上单调递减，

由定义域可知加-2022>0,m>2022,

则37(加-2022)<(m-2022)/0)0,

m-20223

即g(冽-2022)<g(3),故机一2022>3,解得加>2025.

故选：D

8.A

【分析】变形得到ZE-4--1)>0,构造g(x)=2hu-a(x2-l),尤>1,求导，分aVO,

0<“<1和々21三种情况，得到函数单调性，结合g⑴=0和图象特征得到答案.

【详解】尤>1时，21n■》+“一办>。,gp21nx+a>ax2=>21nx-a(x2-l)>0,

Xv7

令g(x)=21m:-_i),X>1,

2

贝1Jglx)=、-2ax,

2

当a«0时，g'(x)=—2ax〉0在％w(l,+oo)上恒成立，

故8(1)=2皿-4(/一1)在、£。,+8)上单调递增，

答案第3页，共14页

其中g(l)=O，故X>1时，g(x)>0恒成立，故X>1时，/(尤)>0恒成立，

当。>0时，令g'("=0,解得x=正，负值舍去，

a

当0<。<1时，x=—>1,

a

令g'(x)>0得l<x〈正，令g<x)<。得x>正，

aa

故g(x)=21nx-a(—-1)在1,^巴上单调递增，在上单调递减，

Va)I«)

其中g(l)=0，当X趋向于+8时，g(x)=21nx-a(尤2-1)趋向于_00,

不能使得x>l时，/卜)>0恒成立，

当“21时，x=Y^e(O,l],故g(x)=2欣-“12-i)在(i,+s)上单调递减，

其中g(l)=0,故x>l时，g(x)<0恒成立，不合要求，

综上，实数。的范围为(-8,。].

故选：A

9.AD

【分析】由图得到导数正负情况，再根据导数与单调性关系、极值点和最值定义以及导数几

何意义即可得解.

【详解】由图可得当xe(-吗-2)时,r(x)<0;

当xe(-2,+⑹时，r(x)>0,当且仅当x=l时/(x)=0,

所以函数了=/(x)在(-8,-2)上单调递减，在(-2,+s)上单调递增,

所以-2是函数V=/(x)的极小值点，函数了=/(x)在区间(-2,2)上单调递增，故AD正确，

函数>=/(x)在x=l处不能取最小值，函数>=/(x)在x=0处切线的斜率大于零，故BC

错误.

故选：AD

10.ABD

【分析】根据回文数的定义，结合排列组合即可求解AB；再用分步计数原理分析2〃(〃eN*)

和2"+l("eN*)位回文数的数目，即可判断CD.

答案第4页，共14页

【详解】对于A,末尾为1的五位回文数，则首位也是1,此时第二位和倒数第二位数字有

10种选法，第三位有10种选法，故总的个数为10x10=100个，A正确；

对于，十位大于个位，有C：种方法，此时第一位和第二位的数字被确定，第三四位的数字

相同，故有10种选择，因此符合条件的六位回文数C；xl0=360,有360个，B正确；

对于C,对于2〃位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种

选法，...，第"和第"+1位也有10种，则共有9xl0xl0x……xlO=9xlO"T种选法，故C

错；

对于D,对于2〃+1位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10

种选法，……，第"+1个数字，即最中间的数字有10种选法，

则共有9xl0xl0x……xl0=9xl0"种选法，即2”+l("eN*)位回文数有9x10"个，所以D

正确.

故选：ABD.

11.BCD

【分析】对函数f(x)分段求导，可得到函数的单调性和极值点，作出函数图像，可判断A、

C；设立新函数，结合零点存在定理，可求得满足题意的实数看,可判断B；通过设立新函

数并求导，利用函数单调性可推导出D正确.

【详解】由题意，x40时，〃x)=营，则，3=二1^11,

所以，x<-l时，/'(x)>0,/(X)单调递增；

一1Vx<0时，/(x)<0,1(X)单调递减.

所以八力在》=-1时取得极大值〃-1)=e.

x>0时，/(x)=xln.x+2,贝!|/'")=出》+1,

所以，0<x<)时,/,(x)<0,/(x)单调递减；

e

时，/(无)>0,/(X)单调递增.

e

所以/'(x)在X=(时取得极小值/(口=2-：.

对于A,函数/(无)有且仅有两个极值点，故A错误；

答案第5页，共14页

对于B,存在％e(-2,-1),使/(-x。)=/(%),证明如下：

若则/卜。)=",/(-x0)=-x0ln(-x0)+2,

eo

所以x°(T°)-2.

设函数”(x)=^+xln(-x)-2,则//'(司=一(可1)+1什)+],

当x>-l时，zi±tD>0,ln(-x)>0,则〃(x)>0,〃(x)单调递增，

又因为〃(-2)=-21n2-2<0,4-1)=e-2>0根据零点存在定理，存在x°e,使

〃伍)=0即=故B正确；

对于C,根据上述分析，可作出函数图像如图,

因为函数g(x)=/(x)-m有三个零点，所以实数小的取值范围是［2-%e

故C正确；

对于D,当加<2时，令xln尤+2=2,解得x=l,所以0<%<[<当<1.

e

当0<x<2时，设f(x)=/(x)-/

e

则=f\x)+-x)=】nx+l+ln「-xj+：

—In]—x—+2<In—-+2—0,

所以函数[x)在(o,£|上单调递减，则《X)>彳£|=0,即/(X)〉/1，》

171(2

又因为0<々<_，所以__Z>-，/(^)=/(^2)>/

eee<e

因为%>—时，/(%)单调递增，所以毛>/即工2+工3>—.

eee

当0<x<；时，设s(x)=/(%)_/(1—x)=xlnx-(1-x)ln(1-x),

答案第6页，共14页

贝!]s(无)=x(l_x)普-―山。X).

1—XX

1Y，/、xlnx-x+1

设函数？(x)=：;—n,xe(O,l),则。(冷=2,

设函数9(x)=xlnx-x+1,xe(O,l),贝!Jcp(x)=Inx.

所以，xe(O,l)时，0(X)<O,即函数0(x)单调递减，

则有9(x)>0(l)=O,即p(x)>0,故函数p(x)单调递增.

因为当0<》<!时，0<x<l-x<l,则有三(x)<p(l-x)即巫<皿匕上,

21-xx

所以当0<x<g时，s(x)<0即

又因为所以/(%)</。一七)，则/(%)=/仁)</(1-工2),

e2

因为1—%2>—，X>—,且％>—时，/(X)单调递增，所以％3<1—%2即%2+%3<1.

e3ee

2

所以用<2时，有一<工2+工3<1•故D正确.

e

故选：BCD.

12.[若)

【分析】求出函数〃无)的导数，进而求出导函数的值域，再利用导数的几何意义求解.

【详解】函数/(刈=]-/+2式+1的定义域为R,求导得f\x)=x2-2x+2=(x-1)2+1>1,

7T7T

当且仅当X=1时取等号，由a为曲线在点尸处的切线的倾斜角，得tanaNl,贝产4夕<巴，

42

所以a的取值范围为《百.

42

故答案为：生与

42

13.150

【分析】分两种情况讨论：一是三个贫困村安排的干部数分别为3、1、1,二是三个贫困村

安排的干部数分别为2、2、1,利用排列组合思想分别求出这两种情况的分配方法数，加

起来可得出结果.

【详解】分两种情况讨论：一是三个贫困村安排的干部数分别为3、1、1,

分配方法种数为C；C：m=60；

答案第7页，共14页

二是三个贫困村安排的干部数分别为2、2、1,分配方法种数为C；C；C：=90.

综上所述，所有的分配方法种数为60+90=150,故答案为150.

【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查分配问题，这类问题一般是先分组再排序，由多

种情况要利用分类讨论来处理，考查分类讨论数学思想，属于中等题.

【分析】先求导，再分别研究y=和>=三-。的零点，通过数形结合的思想方法，得

e

出。的四个分类标准，依次讨论了(X)的单调性，求出极值点，使极小值点不超过!即可求

解.

【详解】/(x)=〃(a+$,

贝！1/'(%)="〃-X^QX-ax+x2=1—x

令g(尤)=£,则g，(x)=W，贝Ijg'(x)>o得尤<1；g'(x)<0得尤>1；

ee

故g(尤)在(-初1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

且有x<0时g(x)<0,x>0时g(x)>0,故其图象如下图,

尸g(x)

1Y

①当时，――a<0,则/"'(x)>0得x<a,/'(x)<0得x>a,

ee

则/(x)在(-8,a)上单调递增，在(a,+oo)上单调递减，

则/(x)的极大值点为x=a,无极小值点，不符合题意；

②当。=0时，r(x)=x2>0,则/'(x)在R上单调递增，无极值，不符合题意;

③当a<0时，之=。有唯一根吃<0,即¥=“，则工=e%<l,得/<a,

ee'。a

贝U/'(x)>0得x<Xo或x>a；/''(无)<0得/<x<a,

答案第8页，共14页

则f(x)在(-8,X。)和(a,+8)上单调递增，在(x0,a)上单调递减，

则和x=a分别为/(x)的极大值点和极小值点，且毛<。<0,满足题意，

故。<0；

④当0<。<1时，力=。有两正根匹户2,且土=e』>1和巡=户>1,不妨设不<%,则

eeaa

a<xx<x2,

则/'(x)〉。得％或/'(x)<0得。<%<项或%>l2，

则“X)在(-8,a)和(西,工2)上单调递增，在(。,西)和仁，+8)上单调递减，

则x=%和X=a为y(x)的极大值点，x=%为/(x)的极小值点，

欲使/'(力存在不超过;的极小值点，则可《2，

因1_五，结合图象可知，0<aW立，

g⑴一五一TT至2e

综上，实数。的取值范围为(-8,0)口，£.

(1~~

故答案为：(-8,0)D0,——.

I2e.

15.(l)/(x)的单调增区间为(0,2),单调减区间为(2,+8),极大值为21n2-)，无极小值

(2)证明见解析

【分析】(1)求出了'(X),再解不等式/'(可>0和/'(%)<0即可得出单调区间；

(2)构造新函数/z(x)=5-〃x)=5+x-21nx-1,x>0,通过研究函数〃(尤)的单调性，

求出其最小值，证明其x)1nhi20即可.

7

【详解】(1)/(切=：一1=个7-X口>0),

当0<x<2时，/'(x)>0J(x)单调递增；当x>2时，/'(x)<0J(x)单调递减；

则/(x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,+8),

所以x=2是/(X)的极大值点，极大值为/■⑵=21n2-；

答案第9页，共14页

所以/'(司的单调增区间为(0,2),单调减区间为(2,+8),

极大值为21n2-g,无极小值；

(2)令/z(x)=5-〃x)==+x-21nx—x>0,

“(x)=x+l二=X2+X-2=(X+2)(X1),X>0,

XXX

当0<x<l时,单调递减；当x〉l时，力'(1)>0,〃(%)单调递增；

则力卜)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+8),

2

所以g)mM=W)=0,所以/7(X)Z0恒成立，即恒成立.

16.(1)432

(2)144

⑶72

【分析】(1)利用捆绑法和特殊元素优先法即可求解；

(2)利用捆绑法和插空法即可求解；

(3)利用插空法和分类加法计数原理即可求解.

【详解】(1)将3个舞蹈节目看成整体，优先排布，有A；=6种排法.

再将剩下4个节目全排列，有A：=24种排法.

最后，将舞蹈节目整体放入剩下4个节目排布时产生的不含两端的3个空中，

有3种排法，故共有3A；A：=432种排法；

(2)将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有2A；A；=24种排法.

再将小品分放入排布舞蹈，歌曲时产生的三个空中，有A：种排法.

则共有2A武A；=144种排法.

(3)将新增两个节目放入7个节目排布产生的8个空中.

若两个节目放入同一个空，有8A；=16种排法，

若两个节目不放入同一个空，有A；=56种排法，

故共有16+56=72种排法.

17.(1)-3

答案第10页，共14页

71

【分析】(1)根据极值点和极值得到方程组，求出“=4/=-11或。=-3/=3,分别检验后,

得到。=4,6=-11满足要求，得到答案；

(2)/'(x)=3x2+2ox+b20在任意ae[-l,+<x>),xe(0,2)恒成立，将其看作关于。的一次函

数，得至1]3/一2x+620在xe(O,2)恒成立，令尸(无)=3尤?-2x+6,求出最小值，得到不等

式，求出答案.

【详解】(1)/(x)=JC3+ax2+bx+a2,：.f'[x^-3x2+2ax+b,

又：函数/(x)在x=l处有极值为10,

/⑴=3+2a+6=0fa=4(a=—3

f[\^=\+a+b+a1=10'jb=-ll或jb=3'

当a=4,6=-11时，/,(X)=3X2+8X-11=(X-1)(3X+11),

令/'(x)=0,则x=l或芯=一,，

当一，<x<l时，r(x)<0,当x>l或》<一/时，r(x)>0,

故/(x)在上单调递减，在巩-/J，(L+8)上单调递增，且/⑴=1°，

，满足函数/(x)在x=l处有极值为10,满足题意；此时2°+6=-3.

当。=-3,6=3时，r(x)=3x2-6x+3-3(x-l)2>0,则函数/(x)无极值点，不成立，

综上，2a+b=-3；

(2)f(x)=x3+ax2+Z>x+tz2(d!,Z)GR)

・・・对任意a£[T+8)J(x)在区间(0,2)上单调递增，

/'(x)=3x2+2ax+b>0在任意aG[-1,+O)),XG(0,2)恒成立,

t己/Z(Q)=2XQ+3X2+b,

丁x>0,/.%(。)在[-1,+8)上单调递增，

••・，⑷血n=%(-1)=3/一21+b之。在%£(0,2)恒成立,

令厂(x)=3%2—2x+Z),开口向上，

答案第11页，共14页

函数/(x)对称轴为X=g,.•.尸@濡=尸］)=-^620，

:.b>-.

3

18.(1)答案见解析

【分析】(1)求导，分。20,-e<a<0,a=-e,。<-e四种情况求解即可；

(2)转化问题为Vxe［2,+s),-生恒成立，令g(x)=-至，尤22,进而利用导数分析

XX

单调性求解即可.

【详解】(1)因为/(》)=。］：尤2-0+1-2)^々€11),

贝!J/'(X)=Q(x—1)+(+1)e"=(x-l)(e"+0,

①当。20时，/+。>0,由/'(x)>0可得x>l,由/'(%)<0可得x<l,

此时，函数/(x)的减区间为(-8,1),增区间为(1,+8);

②当一e<〃<0时，0〈一a<e,则

由广(%)>0可得不<111(一4)或工〉1,由((x)<0可得ln(—“)<x<l,

此时，函数/(x)的增区间为(-⑼，(1,+8),减区间为(ln(-q),l)；

③当"一e时，/\x)=(x-l)(ex-e),

当时，e”<e,则/'(x)=(x—l)(e'—e)〉0,

当x>l时，e*>e,则/'(x)=(x—l)(eX—e)〉0,

此时，函数/(x)在R上单调递增；

④当q〈一e时，—a>e,则

由/'(%)>0可得或x〉ln(—〃)，由/'(%)<0可得l<x<ln(—“),

此时，函数/(X)的增区间为(-8,1),(加(-。),+句，减区间为〃)).

(2)因为/(%)=亦(；&+(%一2)，=(x—2)(e",

12ax

x

对任意的x22,有了卜)