山西省2023-2024学年高二年级下册4月期中调研测试数学试卷（解析版）

山西省2023-2024学年高二下学期

4月期中调研测试数学试卷

考生注意:

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色.黑水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色黑水签字笔在答题卡上各题的答题

区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.小米汽车首款车型小米SU7于2024年3月28日正式发布，该款车型有9种外观颜色,

4种内搭颜色可供选择.若车主自由选择车的外观和内搭颜色，共有()种情况

A.4B.9C.13D.36

【答案】D

【解析】第一步：选外观颜色,有9种选择;

第二步：选内搭，有4种选择;

所以共有9x4=36种情况.

故选：D.

2T的值为()

2.已知函数/=■-xlwc,则lim

Arf0Ax

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】因为/(%)=x2-xhvc,所以/''(x)=2x—Inx—1,

由导数定义可知

/(l+3Ax)-l/(1+3A%)-〃1)

lim=3lim=3/,(l)=3(2-lnl-l)=3.

Axf0AxAxf03Ax

故选：D.

3.的展开式中二项式系数最大的项为()

A.第二项B.第三项C.第四项D.第五项

【答案】C

【解析】由的展开式中,项的二项式系数为c：,

根据二项式系数的性质得，当左=3时，（CDmax=C：,即第四项的二项式系数最大.

故选：C.

r2y2ba

4.已知双曲线。—与=1（〃>0,b>0）的渐近线方程为y=±x,则直线y=—%—7

01b2ab

交抛物线V=4x所得的弦长为（）

【答案】D

所以a=b,

/?Z7

所以y=—X—：=X—1,代入抛物线y2=4x得，％2—6x+l=0,

设直线与抛物线的交点为5（与,%），则=6,石々=1,

所以缶却=J1+42xJa+%）2—4中1=&x，62—4=8，

故选：D.

+-x2-5x+31n^,则函数/（无）的极值点个数为（

【答案】A

【解析】函数/（另=耳三+万/一5x+31nx,定义域为（0,+司,

/（x）=（x-1）-（%+3）,广（力》0在（o,+8）上恒成立，

则函数/（尤）在（0,+8）上单调递增，无极值点，极值点个数为0.

故选：A.

6.某校街舞社共8位同学，为了给高三学子加油鼓劲，编排了一组团体舞蹈，站队时要求

站成两排四列，且要保证每一列前面的同学身高比后面的同学矮（8名学生身高均不相同），

共有（）种站队方法

A.2250B.2520C.2790D.3250

【答案】B

【解析】将前后2人看成一组，可看成4个不同位置，分别取出2人排在4个位置，

两人顺序确定（高在后，矮在前），所以不同的站法共有©卜或X€：卜砥=2520种.

故选：B

7.己知函数/'(xbeln光与偶函数g(x)在交点处的切线相同，则函数g(x)在

%=-1处的切线方程为()

A.ex-y+e=OB.ex+y-e=O

C.ex-y-e=0D.ex+y+e=O

【答案】D

【解析】由函数/(x)=exinx,可得;•'(x)=e'lnx+2，所以/'(1)=e且/(l)=0,

JC

因为函数/(尤)与偶函数g(x)在交点(l，g(l))处的切线相同，

所以函数/(尤)与g(x)相切于(1,0),且g'⑴=/''⑴=e,

又因为g(x)为偶函数，所以g(—l)=g⑴=0,且/(—1)=—g[l)=—e,

所以函数g(x)在x=—1处的切线方程为y—0=-e(x+l),即ex+y+e=0.

故选：D.

8.石墨烯是一种由单层碳原子构成的具有平面网状结构的物质，其结构如图所示，其中每

个六边形的顶点是一个碳原子的所处位置.现令六边形A为中心六边形，其外围紧邻的每个

六边形构成“第一圆环”，“第一圆环”外围紧邻的六边形构成“第二圆环”，以此类推.则“第七

圆环”上的碳原子数为()

第一圆环HZHZH

A.42B.120C.168D.210

【答案】C

【解析】记“第〃圆环”最外层的碳原子个数为4,

依题意勾=6x2+6,02=6x2+6x3=6x2+6x(2x2-1),

%=6x2+6x5=6x2+6x(2x3-l),

由此可以归纳出an=6x2+6x(2ra-l)

“第二圆环”上的碳原子个数为%+q，“第三圆环”上的碳原子个数为%+%，

由此可得“第n圆环''上的碳原子个数为，所以“第七圆环”的碳原子个数为

%+4=90+78=168

故选：C

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.己知数列｛%｝满足a“+i-q4+1=1,4=2,下列说法正确的是（

1

A.

~3

B.=—2

令加=（。4向，%“+2），"=（44”+3，&“+4）,则mlln

D.令加=（%"+1，—应“+2），〃=（%“+3，％“+4），则加，“

【答案】AD

【解析】由-anan+i-an=1,q=2,

可得。2=—3，”3=—］，%=］，%=2,故A正确，B错误;

所以数列｛%｝为周期数列，周期为4,

对于C,m=（%,%+2）=（6，%）=（2,-3）,

〃—（。4〃+3,。4〃+4）=（%，%）=ill

因为—LX（_3）_，X2=*W0,

236

所以根，〃不平行，故C错误;

对于D,m=（a4,I+1，一恁什?）=（4，一g）=（2,3）,

孔=（。4〃+31%”+4）=（。3，%）=，3，£|，

因为根•〃=—1+1=0,所以加故D正确.

故选：AD.

10.某高中打算组织一个校园足球队,计划从各班挑选11个同学.下列说法正确的是（）

A.若将校足球队的11个名额分到8个班级，每个班级至少1个名额，共有240种分配方

法

B.学校教练计划比赛前将除指定的守门员外的其他10名队员，进行分组训练.若其中一组

4人,另外两组每组3人，有2100种不同的分组方式

C.比赛人场式时工作人员会为11名队员拍集体照，若要求拍照时A、8、C三人必须相

邻，D、E、F、G四人均不相邻，有259200种不同的排法

D.现安排A、B、C三名同学到甲、乙、丙、丁四个球队进行集训，若甲球队必须有同学

去，则不同的安排方法有37种

【答案】BCD

【解析】对于选项A：将校足球队的11个名额分到8个班级，每个班级至少1个名额，

问题等价于将11个完全相同的小球分为8组，每组至少一个小球，

由隔板法可知，不同的分配方法种数为C：0=120种，故A错误；

对于选项B：将除指定的守门员外的其他10名队员，进行分组训练，

若其中一组4人，另外两组每组3人，

C4C3C3210x20

则不同的方法种数为10J3=---=2100种，故B正确；

A；2

对于选项C：将A、B、C三人进行捆绑，与除。、E、F、G四人以外的4人进行全排，

再将。、E、F、G四人进行插空，

所以不同的排法种数为A；A：A：=6x120x360=259200种，故C正确；

对于选项D：采用间接法：所有选法是4x4x4=64种，甲球队没有同学去有3x3x3=27

种，

故甲球队必须有同学去有64-27=37种，故D正确；

故选：BCD

11.已知函数/(%)=£—2xlnx,g(x)=eY-ln%-2,下列说法正确的是()

A.函数g(x)存在唯一极值点小,且x(,e

2,

B.令"(力=/小，则函数存在唯一零点

若g(x)+2>加恒成立，则m<2

ba(

D.若a>0,Z?〉0,则a+5-ln(〃+Z?)>gln[lH■—I

【答案】AD

【解析】A选项，函数g(x)=e*—Inx—2,定义域为(0,+8),

g'(x)=e*—Lg'(x)在(0,+8)上单调递增,gIG-2<0,^(l)=e-l>0,

，使得g'(%o)=O,为满足e~=',即

所以三七e

xo

当0<%<%0时，g1x)vO；当x〉/时，g'(x)>0,

g(x)在(0,%)上单调递减，在(％,+8)上单调递增，

所以函数g⑴存在唯一极值点》,且A选项正确；

B选项，由A选项可知，g(x)而n=g(xo)=e"—Inx。—2=」-+%—2〉0,

xo

即g(x)恒大于0,

函数/(%)=犬-2xlnx,定义域为(0,+8),/,(x)=2(%-ln.x-l),

1y_1

令［x)=x_lnx_l(x>0),则«%)=1——=----，

当0<x<l时，«x)<0,，(x)单调递减；当x>l时，«尤)>0,1X)单调递增；

得/⑴=0,

则/'(x)=2(x—Inx—1)20在(0,+8)上恒成立，即/(九)在(0,+8)单调递增，

f(x)=x2-2xlnx=x(x-21nx),

7Y-?

令上(x)=x-21nx,左——=----,

JCX

当0<x<2时，左'(x)<0,%(尤)单调递减；当x>2时，左'(x)>0,左(九)单调递增;

则Z:(x)>Z:(2)=2-21n2>0,所以/(%)恒大于0,

故/z(x)=-—无零点，故B选项错误；

g(x)

C选项，若g(x)+2>〃z恒成立，则g(x)1nhi+2>加,即工+毛〉冽恒成立，

01m%0

由有一+%>2,故存在2<加<^-+不满足题意，

12)5%

故C选项错误；

D选项，函数/(%)=必一2xlnx在(0,+8)单调递增，

a>Q,b>0,则a+〃>〃，有f(a+b)>/(b),

即(a+4一-2(«+Z?)ln(«+Z?)>a2-2aIna,

得片+2ab+b2—2aln(a+Z?)—2Mn(a+Z?)>/—2aIna,

有2ab+b2-261n(a+6)〉2aln(a+6)-2alna=2alnj1+。］,

ba(b\

所以a+5—111(°+Z?)>gin[1H—I,故D选项正确.

故选：AD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知圆C：(x+2y+(y—4)2=1,则圆心C到直线/：依+y—左=0的最大距离为

【答案】5

【解析】圆C：(x+2f+(y—4『=1的圆心为C(—2,4),半径厂=1,

z、x—1—0x—1

直线/：kx+y-k=0,即左(x—l)+y=。，令〈，解得《

U=ob=o

所以直线/过定点A(l,o),则圆心到直线的最大距离为|AC|=^(-2-1)2+42=5.

故答案为：5

13.如图是我国古代著名数学家杨辉在《详析九章算术》给出的一个用数排列起来的三角

形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的

总和为.

负杨辉三角

0行

.1

^11行

a11

2行

121

3行

/<攵1331

4行

/->身•.14641

5行

15101051

A6行

-R1615201561

7行

172135352171

8行

^

18285670562881

【答案】559

【解析】第三行的第三位数字是C；,第四行的第三位数字是C3

第五行的第三位数字是C>L,第十五行的第三位数字是C；5,

n\+n\(n+l-m)n!+m-n!

由C：+C：T

=(、H+1)!_

则c；+c；+C+…+c；5=C+c；+C+C+…+c"i=C+c；+.+cf5-i

5J+C-「翌--59.

故答案为：559.

14.已知函数〃x)=(尤2—2ox+l)e"若函数〃无)在(—1,0)存在单调增区间，则实数。

的范围为.

【答案】［-00，/

【解析】由题可知/'(x)=e*(x+l)(x+l—2a),财产(龙)〉0在(—1,0)上有解，

X+1

即x+1—2a>0有解，所以。<；—在(一1,0)内有解，

xe(-l,0)nx+le(0,l)ng^e［0,g1,贝i］a<g.

故答案为：］一”，万］

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

的展开式中，第三项与第二项的系数之比为21:4.

(1)求〃的值；

(2)求展开式中所有的有理项.

2

n-1n-2

|,第三项为C；x

解：(1)根据题意，第二项为C：义X7X7

C1x2”Tx314

所以京—F解得“国

，其中左=0,1,2,…,7,8.

当左=0,2,4,6,8时，展开式为有理项:

(="+1=256/；

4=5+1=16128—；

-6

T5=TM=90720X；

11

7；=7；+1=81648x-;

4=小=6561”,

即展开式中所有的有理项为256/,16128—,90720-,81648—1,656lx*.

，、112〃+1

16.己知数列｛。“｝满足--------=------,且q=L

aa

°na〃+inn+l

（1）求数列｛%｝的通项公式；

2

（2）若数列也｝满足a=一，记数列也｝的前〃项和为北，求证：7；,<4.

an

解：（1）由题可得cin+i—an=2〃+1,则%—〃及_]=2（〃—1）+1,...,%—。1=2+1,nN2,

将这〃项相加，可得

/、n（n+l）/、2

Q〃+]—1=2（〃+〃—1++1）+〃=>=2x-Fn+1—\ji+1j,

所以勺=〃2,经检验q=1成立，所以4=〃2.

（2）由题可得，b,,=M，当"=1时，4=2,

n

2211]

又因为当〃之2时，—<^八=2x--——,

nn^n-1）\n-lnJ

~丁c/111111c//

所以7；=2+21--+---+---+•••+--――=2+21――<4.

I22334n-lnJ<nj

17.已知焦点在x轴上的椭圆E的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,坐标原点为0.0,

F,A三点满足OR=—04,且B为椭圆E与圆。：/+2=5的一个切点.

3

（1）求椭圆E的方程；

（2）设/为过产的直线，/与圆。交于P,Q两点，求|PQ『的取值范围.

22

解：(1)设E：=+与=1(a>b>0),

a1b1

因为B为上顶点且为与圆0：必+丁=5的切点，所以/=5,

________2___9

令0=\/片-/,因为。歹=§。4，所以C=§。，

22

所以6=9,即E：土+匕=1.

95

（2）因为c=2,所以一（2,0）,

1°当/斜率存在时，设/：y=k(x-2),

12H

所以。到/的距离d=

Jl+k2

[(1+左2)+4

“16

则间「=4(5-=4+—；——

-F+1一+1

所以|PQ「«4,20],

2。当/斜率不存在时，d=2,忸。「=4,

综上，u0『的取值范围为[4,20].

18.已知函数/'(x)=eX—x"(%>0)的两个零点为七,马，且占<%2.

(1)求实数。的取值范围；

(2)若石+&2二-恒成立，求实数人的取值范围.

e-2

解：(1)由3―x0=0得1=%"，两边同时取对数整理得：,

ax

设g(x)=@±则g'(尤)=1?”，当xe(0,e)时,g<x)>0,g(x)单调递增,

XX

当xe(e,+8)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，当x.0时g(x)，当了一+8时

InV

g(x)f0,函数g(x)=—的图象如下图所示：

X

所以，e(0,g(e)),即所以ae

cia\e)

1Inx1lnxi\iM

(2)由一=——L,_=——^9得，々―玉=〃(ln%2Tn%J=41n上，

axxax2玉

、112八15一/八i口「6zlnr

设一=%>1,则有"一I)国=aln%,即%=----,%=--a-t-]-n-t

玉t—1t—1

…压得x，

/\t—11

设咐=评而.:"则。叱

(e-2)(rlnz)

设=lT+lnf+(e-2)(ln/)2,则〃(/■)=―-,

设加⑺=lT+2(e—2)lnf,则加⑺=_1+么上Z,

当/'e(L2e-4),加(7)>0,加⑺单调递增，当/'«26-4,+8),加⑺<0,加⑺单调

递减，

且加⑴=0,m(e)=e-3<0,所以存在唯一的/()«2e—4,e),使得加&)=0,

当/G(1/O),m(/)>0,力⑺单调递增，当/«/(),+“)，m(r)<0,力⑺单调递减，

且h⑴=0,/i(e)=0,所以<p(x)在(l,e)单调递增，在(e,+“)单调递减，

所以叫心=碓)=士，所以所以人的取值范围是占什,

19.定义：对一个棱锥的各个顶点染色，若每一条棱的两个端点均不同色，则称之为“多彩棱

锥”.若用y(丁24)种颜色给某X(X23)棱锥染色，出现“多彩棱锥”的数量记作N(x,y).

(1)当x=4,y=6时，试求N(4,6)值；

(2)当x=5,y=6时，试求N(5,6)的值；

(3)结合前两问的解题思路，对任意的正整数x(X>3)y(y>4),请写出N(苍y)

的运算公式，并证明.

解：(1)题目等同于“用六种不同的颜色给一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,

并使同一条棱的两个端点异色”，

A8

设顶点为S,底面4点为A,B,C,D.

首先对顶点S进行涂色，共有6种选择；

第二步，对A点进行涂色，共有5种涂色方法；

第三步，需要对3