四川省成都市某中学2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题（解析版）

2024~2025学年度（下）半期学业监测七年级数学

A卷（共100分）

第I卷（选择题，共32分）

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一

项符合题目要求）

1.下列运算正确的是（）

A.a2-a4=a6B.a2+a2=a4

C.a3a-a3D.（（?2）4=a6

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了同底数嘉的乘法，除法，合并同类项，塞的乘方，根据同底数塞的乘法，除法，合并同

类项，累的乘方的运算法则逐项计算进行分析即可.

【详解】解：A、a2-a4=a6,正确，符合题意；

B、标+4=21,原计算错误，不符合题意；

C、ai^a=（r，原计算错误，不符合题意；

D、（片）4=d,原计算错误，不符合题意；

故选：A.

2.下列事件中，是必然事件的是（）

A.掷一枚硬币，正面朝上

B.任意买一张电影票，座位号是单号

C.三角形一边上的中线，把这个三角形分割成面积相等的两部分

D.射击运动员射击一次，命中靶心

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下一定会发生的事件是必然事件，可能发生也可能不发生的是

随机事件，进行判断即可.

【详解】解：A、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；

B、任意买一张电影票，座位号单号，是随机事件，不符合题意；

C、三角形一边上的中线，把这个三角形分割成面积相等的两部分，是必然事件，符合题意；

D、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意.

故选：C.

3.已知长度单位1纳米=10-9米，用科学记数法表示28纳米是（）

A.28x10为B.2.8x10-8C.2.8xl0-9D.2.8xlO-10

【答案】B

【解析】

【分析】根据科学记数法的定义解答,科学记数法的表示形式为ax10〃的形式，其中1VIal<102为整数，

确定"的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数

绝对值210时，力是正数；当原数的绝对值<1时，〃是负数.

本题考查了科学记数法，熟悉科学记数法概念是解题的关键.

【详解】28纳米=2.8x10-8

故选：B.

4.以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）

A.1cm,2cm,3cmB.5cm,6cm,10cmC.2cm,5cm,8cmD.3cm,3cm,6cm

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理.判定三条线段能否构成三角形

时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度即可.

【详解】解：A、1+2=3,长度是1cm,2cm,3cm的线段不能组成三角形，故A不符合题意；

B、5+6>10,长度是5cm,6cm,10cm的线段能组成三角形，故B符合题意；

C、2+5<8,长度是2cm,5cm,8cm的线段不能组成三角形，故C不符合题意；

D、3+3=6,长度是3cm,3cm,6cm的线段不能组成三角形，故D不符合题意.

故选：B.

5.如图所示，用尺规作图“作一个角等于已知角”，则说明NO=NO'的依据是（）

A.sssB.SASC.ASAD.AAS

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了作图一基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于己

知角；作已知线段的垂直平分线；作己知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了三角形全等

的判定.利用基本作图得OC=OD=OC'=OD',CD=CD',然后根据全等三角形的判定方法对各选项

进行判断.

【详解】解：由作法得OC=OD=OC=OD',CD=CD',

则可根据“SSS”判定△OCC^AO,C,D,,

所以NO=NO'.

故选：A.

6.如图，下列结论中不正确的是（）

A.若则Nl+N3=180°B.若N1=N2,则

C.若N2=NC,则D.若AD〃3C,则ZL=ZB

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查平行线的判定与性质.利用平行线的判定及性质对各项进行分析即可.

【详解】解：A、若AE〃CD,则Nl+N3=180。（两直线平行，同旁内角互补），故本选项不符合题意;

B、若N1=N2,则3c（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意；

C、若/2=/C,则AE〃CD（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意；

D、若无法得出Nl+N3=180。，故本选项符合题意.

故选：D.

7.如图，要测量河两岸相对的两点A,2的距离，可在河的一侧取A3的垂线上两点C,D,使

BC=CD,再画出3M的垂线DE,使E在AC的延长线上，若班）=10m,DE=12m,CE=13m,

则A,B两点的距离是（）

A

A.5mB.10mC.12mD.13m

【答案】C

【解析】

【分析】结合题意证明三角形全等，利用全等的性质即可求解.

【详解】由题意可知：

AB±BC,EDLDC,BC=CD,

在VABC与△瓦>。中：

ZABC=ZEDC

<BC=DC

ZACB=ZECD

ABC^.EDC,

AB=£D=12m.

故选C.

【点睛】本题考查了全等三角形的证明和性质；根据题意证明三角形全等是解题的关键.

8.有下列说法：

①在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线；

②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；

③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；

④全等三角形的周长相等；

⑤面积相等的两个三角形全等；

⑥如果两个角互为邻补角，那么这两个角的角平分线互相垂直.

其中正确的有（）个.

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了平行线的定义全等三角形的周长，平行线的性质.根据平行线的性质和定义，全

等三角形的周长，逐项进行判断即可.

【详解】解：①在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，原说法正确；

②两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误；

③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，原说法正确；

④全等三角形的周长相等，原说法正确；

⑤面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误；

⑥如果两个角互为邻补角，那么这两个角的角平分线互相垂直，原说法正确.

综上分析可知，正确的有①③④⑥，共4个.

故选：C.

第II卷（非选择题，共68分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

9.已知储一52=15，a+b=3,则。一〃的值是.

【答案】5

【解析】

【分析】根据平方差公式分解因式，代入后即可求出答案.

【详解】由片一匕2=15得，（a+0）（a-0）=15,

a+b=3>

a-b=5,

故答案为：5.

【点睛】此题考查了用平方差公式因式分解，解题关键是熟练运用平方差公式进行因式分解.

10.若/_7加+9是一个完全平方式，则m的值为.

【答案】±6

【解析】

【分析】本题考查了完全平方式的应用，满足。2±2「〃+。2=（。±〃）2即为完全平方式，据此即可作答.

【详解】解：：尤2一〃a+9是一个完全平方式，

-mx=±（2xxx3）

解得冽=±6,

故答案为：±6.

11.已知一个角的补角比这个角的三倍多20。，则这个角的度数为.

【答案】40°

【解析】

【分析】设这个角的度数为X,根据补角的定义可求它的补角，再根据题意可列方程，解出X即可.

【详解】设这个角的度数为X,则它的补角为180。-%,

根据题意得：180°—x=3x+20°,

解得x=40。，

故答案为：40°.

【点睛】本题考查补角的定义和列方程，熟知补角的定义“若两个角互补，则它们的和是180°”是解题关

键.

12.如图，将两个完全相同的三角尺的斜边重合放在同一平面内，可以画出两条互相平行的直线.这样画

【答案】内错角相等，两直线平行.

【解析】

【分析】由内错角相等，两直线平行，即可得到答案.

【详解】解：：两个三角尺是完全相同的，

Z1=Z2，

N1与N2是内错角，由内错角相等，两直线平行，即可判定相〃/,因此可以画出两条互相平行的直线.

故答案为：内错角相等，两直线平行.

【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定方法,

内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.

13.把一张对边互相平行的纸条ABC。折成如图所示，线段所是折痕，若NBFE=35。.则

_____度.

【答案】70

【解析】

【分析】由AD〃3C,推出NOEP=NBEE=35。.由折叠得/求出NOEG的度数，根据平

行线的性质即可得到答案.

【详解】解：

:./DEF=/BFE=35°.

由折叠得ZDEF=ZGEF,

：./DEG=2/DEF=70。.

•：AD//BC,

：.ZBGE=ZDEG=10°.

故答案为：70.

【点睛】此题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等，以及折叠的性质.解题的关键是熟记平行

线的性质.

三、解答题(本大题共5个小题，共48分)

14.计算下列各式：

(1)(-X2)3+2X2-X4；

⑵孑+闫一加,

(3)(4-x)2-(x-2)(x+3)；

(4)(tzZ?+l)2-(^Z?-l)2.

【答案】(1)f

(2)6(3)-9%+22

(4)4ab

【解析】

【分析】本题主要考查了实数混合运算，整式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算.

(1)根据积的乘方和同底数幕乘法运算法则进行计算即可；

(2)根据零指数累和负整数指数募运算法则进行计算即可；

(3)根据完全平方公式和多项式乘多项式运算法则进行计算即可;

(4)根据完全平方公式进行计算即可.

【小问1详解】

解：(-%2y+2x2-x4

=—x6+2无6

【小问2详解】

解：-32+f--T4-f--3^,

=-9+16-1

=6；

【小问3详解】

解：(4一—尤+3)

=x~-8x+16-(尤2+x-6)

=%2—8%+16—x~—%+6

=-9x+22；

【小问4详解】

解：(«Z?+l)2-(flZ?-l)2

=ci~b~+2ab+1—a2b~+2ab—1

=4ab.

15.先化简，再求值:

(x—y)2+(-x+2y)(x+2y)—y(x+3y)+(-6y),其中(％_87+|y+6]=0.

【答案】一1y+工x,6

3-2

【解析】

【分析】本题主要考查整式的混合运算，非负数的性质，利用整式的相应的法则对式子进行化简，再结合非

负数的性质确定无，y的值，再代入运算即可.

【详解】解：(x-4+(-x+2y)(x+2y)-y(x+3y)+(-6y)

=(Y-2xy+y2—x2+4y2-xy-3^2)-^(-6y)

(x-8)-+1y+6|=0,

x-8-0,y+6—0,

解得：x=8,y——6,

16.完成下面推理填空：

如图，点尸在线段AB上，点E，G在线段上，FG//AE,Z1=Z2.若FGLBC于点X,3C平

济NABD，ZD=100°,求N1的度数.

Z2=©(②),

VZ1=Z2,

N]=③,

：.AB//CD(④),

/.ZABD+Z£>=180°（⑤）,

ZD=100°,

ZABD=180°-ZD=80°,

,/5c平分/ABD,

ZABC=-ZABD=40°,

2

FGLBC,

：.®=90°,

...在中，N1+⑦=90°（⑧）,

/.Zl=50°.

【答案】ZFGE；两直线平行，同位角相等；ZFGE；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角

互补；NFHB；^ABC；直角三角形两锐角互余

【解析】

【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，垂线定义，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握平行线的

判定定理和性质定理.根据平行线的性质得出Z2=/FGE,根据平行线的判定得出AB//CD,根据平行

线的性质求出NABD=180°—ND=80°,根据角平分线定义得出NA8C=LNA3D=40°,根据直角三

2

角形两锐角互余，求出结果即可.

【详解】解：•••EG〃AE,

AZ2=ZFGE（两直线平行，同位角相等），

•/Nl=N2,

Zl=ZFGE,

：.AB//CD（内错角相等，两直线平行），

：.ZABD+ZD=180°（两直线平行，同旁内角互补），

ZD=100°,

ZABD=180°-ZD=80°,

1/3c平分/ABD,

ZABC=-ZABD=4Q°,

2

；FG±BC,

ZFHB=9Q°,

...在RtABEf/中，Zl+ZABC=90°（直角三角形两锐角互余），

Zl=50°.

17.小明和哥哥都很想去看成都蓉城足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定谁去观

看比赛.游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，小明去；若转盘指针指

向蓝色或黄色，哥哥去(如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动).

(1)求小明去观看足球比赛的概率；

(2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则；

3

(3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得哥哥去的概率为一，并简要说明游戏规则.

8

【答案】(1)|

(2)公平；理由见解析

(3)见解析(答案不唯一)

【解析】

【分析】本题考查几何概率模型求概率，读懂题意，搞懂相关事件所占的几何比例是解决问题的关键.

(1)根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色

和黄色占4份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方

法直接计算小明去观看足球比赛的概率即可得到答案；

(2)根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色

和黄色占4份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方

法直接计算小明或哥哥去观看羽毛球比赛的概率，比较大小即可得到答案；

3

(3)根据哥哥去的概率为一，设计转盘即可.

8

【小问1详解】

解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占

4份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，

41

P(小明去观看足球比赛)=

9^1-2

【小问2详解】

解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占

4份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，

41

•••P（小明去观看足球比赛）=----=一；

9-12

P（哥哥去观看足球比赛）=

9-12

P（小明去观看足球比赛）=P（哥哥去观看足球比赛），

，游戏公平.

【小问3详解】

解：将转盘平均分为8个区域，其中红色占3份；白色占1份，蓝色和黄色占4份，如果指针转动转盘，

转盘停止后，若转盘指针指向红色，哥哥去.

（蓝

18.在数学综合与实践课上，老师让同学们以“平行线与动态三角板的变换”为主题展开探究.已

知MN//PQ,两块直角三角板一EDF（NEDF=90。,ZEFD=45。）和

ABC（ZABC=90°,ZBCA=30°）.

EE

AA

图1备用图

（1）当三角板按如图1摆放时，延长ED交MN于G,0G是NADQ的角平分线，则

ZADQ^。，ZDBG=

（2）在（1）的条件下，将直角三角板―即尸绕点。以每秒5°的速度顺时针旋转，设旋转时间为/秒

（0<Z<18）.

①直角三角板VA3C和。G固定不动，作DK平分NGDE,当NADK=10。时，求f的值;

②若直角三角板石。尸旋转的同时直角三角板VABC也以每秒15。的速度绕点B逆时针旋转，当边EF

与三角板ABC的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的r的值.

【答案】（1）120；30

4563927

（2）①『=2或/=10；②，的值为上，—,-

444T

【解析】

【分析】（1）根据NEDF=90。，NACB=30°,求出NACG=180°—90°—30°=60°,根据角平分线定

义求出ZADQ=2ZACG=120°；根据平行线的性质求出

ZDBG=ZPCB=180°-ZACB-ZACQ=30°.

（2）①分两种情况：当DK在C4右方时，当DK在C4左方时，分别画出图形进行求解即可；

②当跖〃84时，分成两种情况和当防〃时，分成两种情况，共四种情况分别讨论，结合平行线的

性质，邻补角，一元一次方程的应用，三角形内角和即可求解.

【小问1详解】

解：:/EDF=90°,ZACB=30°,

：.NACG=180°-90°-30°=60°,

VOG是NADQ的角平分线，

ZADQ=2NACG=120°；

MN//PQ,

ZDBG=ZPCB=1800-ZACB—ZACQ=30°.

【小问2详解】

解：①当DK在C4右方时，如图所示：

根据旋转可知：NBDF=5俨,

:ZADK=10°,

：.NGDK=60°-10°=50°,

DF平分'/FDG,

ZFDG=2NGDK=2x50°=100°,

根据解析（1）可知：ZBDG=60°+30°=90°,

ZFDG=90°+5t°,

90+5t=100,

解得：t=2；

当DK在C4左方时，如图所示：

根据旋转可知：ZBDF=5t°,

,：ZADK=10°,

：.NGDK=60°+10°=70°,

•/DF平%4FDG,

：.AFDG=2NGDK=2x70°=140°,

根据解析（1）可知：ZBDG=60°+30°=90°,

ZFDG=90°+5t°,

.-.90+5?=140,

解得：z=10；

综上分析可知：此时，=2或y10；

②当跖〃84时，第一种情况：延长5A交ED于点K,

,：ZABC=90°,1ABD?CBD1ABC15?/90?,?FDB5?t,

：.ZBKD=180°-ZFDB-ZABD=180o-5°r-（15or-90°）=270°-207,

•1,EF//BC,ZF=45°,

/.NFKB=NF=45°,

?BKD180?45?135?,

270?20?r135?)

解得：t=g27

4

第二种情况：延长3D交庄于点W,

EF//BA，ZF=45°,?ABD15?r90?,NFDB=5°t,

：.ZFWD=lS0°-(15°t-90°)=270°-15°t,?FDW180?57t,

,：?FWD?FDW?F180?,

270?15?r180?5?r45?180?,

解得：/=学,

4

•••当EF〃班时，f或先；

44

当所〃时，第一种情况：延长跖交8。于点R,

•/EF//BC,NEFD=45。,?CBD15?f,1FDB5?7,

AZFRD=ZCBD=15°t,?RFD180?45?135?)

,：?FRD?FDR?RFD180?)

15?r5?r135?180?)

9

解得：r=:；

4

第二种情况：延长BD交EE于点T，

MBN

,:EF〃BC,ZF=45°,ZCBD=15°t,?FDB5?t,

:FTD180?15?r,?FDT180?5?f,

?FTD?FDT?F180?,

180?15?r180?5?r45?180?,

45

解得：/=一，

4

459

当EF//BC时，t=—或一；

44

4563927

.•.当边所与三角板ABC的一条直角边平行时，/的值为一，—,—,—.

4444

【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角，角平分线的定义，一元一次方程的应用，三角形内角和的知

识，熟练掌握以上知识是解题的关键.

B卷（共50分）

一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

19.已知f+x=3,则（2x—4）（x+3）的值是—.

【答案】—6

【解析】

【分析】本题考查了整式乘法，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题.先把代数式进

行化简，然后把f+%=3代入计算，即可得到答案.

【详解】解：•••必+》=3，

.\（2%-4）（%+3）

=2%~+6x一4-x—12

=2/+212

=2（%2+%）-12

=2x3-12

=—6-

故答案为：-6.

20.二维码是移动设备上流行一种编码方式.如图，是一个边长为10的正方形二维码，为了估计图中黑

色部分的面积，在此二维码上进行大量重复掷点试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.6左右，则二

维码中黑色部分的面积约是.

□

【答案】60

【解析】

【分析】先根据经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，可估计点落入黑色部分

的概率为0.6,再乘以正方形的面积即可得出答案.

【详解】解：：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，

•••估计点落入黑色部分的概率为06

估计黑色部分的总面积约为10x10x0.6=60,

故答案为：60.

【点睛】本题考查了用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且

变动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性，可以估计概率.

21.两个相邻偶数“平均数的平方”这两个相邻偶数的“平方的平均数”.（请选择＞、＜、=

或者“无法比较”填空）

【答案】＜

【解析】

【分析】本题主要考查了完全平方公式，有理数大小的比较，掌握完全平方公式是解题关键.设相邻偶数

为2九，2〃+2,计算进行比较即可.

【详解】解：设相邻偶数为2〃，2n+2,则两个相邻偶数的“平均数的平方”为：

（2n+2n+2\,2.,..

I-------------I=（2n+l）1A=4n~+4n+1，

两个相邻偶数的“平方的平均数”为：

（2n）2+（2n+2）24H2+4n2+8n+4,2”一

22

4n2+4n+1＜4n2+4n+2，

...两个相邻偶数的“平均数的平方”〈这两个相邻偶数的“平方的平均数”.

故答案为：＜.

22.如图，在Rt/XABC中，ZACB=9Q°,4。=3,3。=4,48=5,/3=。.点p是边AB上一点，连接

CP,将BCP沿CP对折,点B落在点8'处，CB'与A3交于点A1.当3’尸〃AC时，NPCB=（用

含a的代数式表示）.此时若,3尸。的面积是2.4,则重叠部分的面积为.

【答案】①.45°--«1.44

2

【解析】

【分析】根据折叠得出NBCP=N8CP，NB'=NB=a,根据平行线的性质得出NACB'=N3'=tz,

最后求出NPCB=L/BCB'=45。—，。即可；延长5'P交3c于点Q，证明PQL5C,根据三角形面积

22

求出。。=生兰=1.2,CM=ACBC=—=2.4,证明MCP^..QCP（ASA）,得出

4AB5'）

CQ=CM=2.4,最后根据三角形面积公式求出结果即可.

【详解】解：根据折叠可知：ZBCP=ZB'CP,ZB'=ZB=a,

•/B'P//AC,

ZACB'=AB'=a,

•/ZACB=90°,

：.ZBCB'=90°-a,

：.ZPCB=-ZBCB'=45°--a；

22

延长5'P交BC于点。如图所示：

B'P//AC,

ZB'QC=180°-ZACB=90°,

APQLBC,

'/SBCP=gBC-PQ=2.4,

2x2.4

PQ==1.2,

4

VZACB'=ZB'=ZB,ZA+ZB=90%

ZACB'+ZA=90°,

：.ZCMP=ZA+ZACB'=90°,

：.CMA.AB,

S=-ACBC=-ABCM,

ACCBR22

“ACBC3x4，

CM=----------=------=2.4,

AB5

,:NMCP=NQCP,CP=CP,ZCMP=ZCQP=90°,

AzMCP^^QCP(ASA),

CQ=CM=2A,

SCMP=Spcn=—CQ-PQ=—x2.4x1.2=1.44.

故答案为：45°—a；1.44.

2

【点睛】本题主要考查了三角形面积的计算，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解

题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法.

23.如图，在四边形A3CD中，AB//CD,NA5C=90°,连接AC,E,尸分别是线段CD,线段AC

4R

上的点，且始终满足CE=AN,连接班，跖，当BE+8尸最小时，恰好ZEBF=45°，止匕时一=.

BC

【答案】1

【解析】

【分析】延长3C,在。C右侧作ZECG=ZBAF，取CG=,连接EG,证明，ABF且£GE（SAS）,

得出EG=BF,ZABF=ZCGE,根据两点之间线段最短，得出当8、E、G三点共线时，BE+EG最

小，即5石+5/最小，根据三角形外角的性质求出NGS=NCGB+NCBG=45°,根据平行线的性质

求出NOCH=NABC=90。，求出N£>CG=90°—NGCH=45°,证明NE4C=NAC3,得出AB=3C,

即可得出答案.

【详解】解：延长3C,OC右侧作NECG=NB4E,取CG=AB,连接EG,如图所示：

AF=CE,

,ABF四_CGE（SAS）,

AEG=BF,ZABF=ZCGE,

BE+BF=BE+EG,

..•两点之间线段最短，

当8、E、G三点共线时，BE+EG最小,即3E+3E最小,

如图，此时5E+斯最小，

•.•此时N£BF=45°,ZABC=90°,

/.ZABF+ZCBG=90°-45°=45°,

:ZABF=ZCGE,

：.ZCGB+ZCBG=45°,

：.ZGCH=ZCGB+ZCBG=45°,

AB//CD,

：.ZDCH=ZABC=90°,

：.ZDCG=90°-ZGCH=45°,

：.ZBAF=ZDCG=45°,

ZACB=180°-NBAC—NABC=45°,

/.ZBAC=ZACB,

AB=BC,

.•上1.

BC

故答案为：1.

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判

定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法.

二、解答题(本大题共3个小题，共30分)

24.VA3C的三边长分别为a,b,c.

(1)化简——b—c|+1<2+Z?+1|；

(2)若a+b为整数,c为整数，且满足(a+〃+l「c+8=64,求VA3C的周长.

【答案】⑴3a+b+l

(2)10

【解析】

【分析】本题主要考查三角形三边关系应用，化简绝对值，有理数乘方运算，灵活运用相关知识是解答本题

的关键.

(1)根据三角形三边关系可判断出a+b+c>0,a-b-c<0,a+b+l>0,再化简绝对值即可；

(2)根据a+6为整数，c为整数，a,b,c为VA3C的三边长，得出a+b>c21,即a+0+l>2,根

_72a+Z?+l=8a+Z?+l=4

据(a+〃+1x)一r+=64,8?=64或对=64或64=64，得出或°二或

~~2c+X=2—2c+X=3

a+b+1=64

ccI，然后分别求出结果即可.

[-2c+8=l

【小问1详解】

解：・・・VABC的三边长分别为。，b,c,

・・。+/7+。>0,ci—b—cV0,a+/?+l>0,

・，・——b—+,+/?+]

=a+Z?+c+(a—b—c)+(a+Z?+l)

a+Z?+c+a—〃一c+a+Z?+l

—3ci+Z?+1；

【小问2详解】

解：・・・。+》为整数，。为整数，a,b,c为VABC的三边长，

a+b>c>l,

•**a+/?+1>2,

V(o+Z?+l)2t+8=64,82=64或43=64或64=64，

a+b+l=8\a+b+\=4\a+b+\=64

-2c+8=2[-2c+8=3[-2c+8=l

当—2c+8=3时，c=2.5不符合题意，舍去；

当—2c+8=2时，c=3,符合题意，

当-2c+8=l时，c=3.5不符合题意，舍去，

6Z+Z7+1—8

••<，

[c=3

a+b=r7

即C，

c=3

.•.VABC的周长为a+b+c=7+3=10.

25.阅读理解:

若x满足(20—x)(x—30)=24,求(20—x『+(x—30『的值.

解:设20-x=a,x-30=bf

则ab=24,a+b=-10

.\(20-X)2+(X-30)2

=a2+b2

-(a+b)2-lab

=(-10『-2义24

=52；

类比探究：

(1)若x满足(2025-x)(x-2024)=-3,求(2025-+@-2024)2的值;

(2)若x满足(5—3x)(x—4)=2,求(5-+9(x-4)2的值.

解决问题：

(3)如图，正方形和长方形的‘G重叠，重叠部分内有一个长方形ABCD,其面积是60,已知

GF=«,EF=3GF,AH=3AB,BE=10,DG=34,求正方形HKMD的面积.

【答案】(1)7；(2)37；(3)736

【解析】

【分析】本题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键.

(1)根据例题的解题思路进行计算，即可解答；

(2)将(5—3%)(X—4)=2转化为(5-3x)(3x-12)=6,设5—3x=s,3九-12=f,贝|

s+/=-7,s/=6,再根据例题的解题思路进行计算，即可解答；

(3)根据GF=a,EF=3GF,AH=3AB,BE=10,DG=34,得出AB=AE-BE=a—10,

AH=3AB=3a-30,AD=AG-DG=3a-34,根据长方形A3CD的面积为60,得出

(a—10)(3tz-34)=60,设AD=3a—34=7篦，3a—30=n,

则〃一加=4,7"7z=18O,DH=AH+AD=3a—30+3a—34-=m+n,得出

S正方形=DH。=(n+m)2=736.

【详解】(1)解：设2025—％=根,%—2。24=〃，则mn=-3,m+n=(2025-x)+(%-2024)=1,

A(2025-X)2+(X-2024)2

=m2+H2

=(m+n)2—2mn

=I2-2x(-3)

=1+6

=7.

(2)解：:(5—3x)(x—4)=2,

・・・3(5—3x)(x—4)=6,即(5—3x)(3%—12)=6,

设5—3%=5,3%—12=1，则s+，=—7,s/=6,

(5-3x)2+9(x-4)2

=(5-3x)2+(3尤-12『

=52+t2

=(s+，)~-2st

=(-7)2-2x6

=49-12

=37；

(3)GF=a,EF=3GF,

：.AG=EF=3a,AE=GF=a,

AB=AE—BE=a—10,

：.AH=3AB=3a-30,AD=AG-DG=3a-34,

•：长方形ABCD的面积为60,

AB-AD=60,

(a-10)(3a-34)=60,

.,.3(a-10)(3tz-34)=180,

即(3a—30)(3a—34)=180,

设AD=3a—34=m,3a—30=n,

则加=4,72777=180,

.,.(〃+m)-=(n-zzj)2+4mn

2

=4+4X180

=736,

*.*DH=AH+AD=3a—30+3a—34=m+n,

2

­1•S正方形DMKH=DH=(n+my=736.

26.学完“探索三角形全等的条件”后，小轩同学对“SSA”的探究很感兴趣，他查阅资料，发现“等边

对等角”的知识（例如在VABC中，如果AB=AC,那么NABC=NACB）,这让小轩想到：在VABC

与」无产中，如果A5=QE，AC=DF,ZB=ZE，虽然不能直接判定ZXABC2但NC与

N户的数量关系是可以确定的.

（1）请你通过特殊化策略，猜想并填空：

①当NB<90°时，/C与/斤的数量关系是；

②当NBN90。时，NC与NF的数量关系是.

（2）请直接运用上述知识及猜想，解决以下问题：

如图，已知VA3C与CDE是两个大小不一样的等边三角形，连接AD交CE于点G,连接BE交AC于

点、H,且CH=CG,请判定8,C,。三点是否在同一条直线上？并说明理由.

（