2023-2024学年浙江省杭州市浙里特色联盟高二下学期4月期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省杭州市浙里特色联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，且，则.故选：D2.在等差数列中，，，则的值是（）A.13 B.14 C.16 D.17【答案】B【解析】因为是等差数列，，，所以，即，解得.故选：B.3.已知空间向量，，则下列结论正确的是（）A. B.与夹角的余弦值为C. D.【答案】C【解析】对于A：，因为，所以与不平行，故A错误；对于B：与夹角余弦值为，故B错误；对于C：，，则，即，故C正确；对于D：，，故D错误；故选：C4.若函数，则（）A.0 B. C. D.【答案】A【解析】，所以.故选：A.5.若点是角终边上一点，且，则y的值为（）A. B. C.－2 D.2【答案】D【解析】，又由三角函数的定义得，所以，又，解得.故选:D.6.已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】圆，圆心，半径，，圆心，半径，由题意知，是圆和圆圆心连线的垂直平分线，，，的中点，圆心连线的斜率为，则直线的斜率为，故的方程：，即,故C正确．故选：C．7.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为函数的定义域为，函数的定义域为，函数与的定义域均为.由图知的定义域为，排除选项B、D，又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C.故选：A.8.已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于两点，为线段的中点，若，则点到轴的距离为（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题设易知，从而准线方程为.设点点点坐标为，由抛物线的定义知，，所以有，所以到轴距离，故B正确；故选:B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，则下列说法正确的是（）A.z的实部为1 B.z在复平面内对应的点位于第四象限C.z的虚部为﹣i D.z的共轭复数为【答案】ABD【解析】因为，所以z实部为1，虚部为-1，在复平面内对应的点为(1，-1)，在第四象限，共轭复数为，故C错误，ABD正确.故选：ABD10.袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则（）A.甲与乙互斥 B.乙与丙互斥 C.甲与乙独立 D.甲与乙对立【答案】BC【解析】首先抽取方法是有放回，每次摸出个球，共抽取次.基本事件为：白白，白黑，黑白，黑黑，共种情况.事件甲和事件乙可能同时发生：白黑，所以甲与乙不是互斥事件，A错误.事件乙和事件丙不可能同时发生，所以乙与丙互斥，B正确.事件甲和事件乙是否发生没有关系，用表示事件甲，用表示事件乙，，则，所以甲与乙独立，C正确.由于事件甲和事件乙是否发生没有关系，所以不是对立事件.故选：BC11.如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则（）A.轨道Ⅱ的长轴长为B.轨道Ⅱ的焦距为C.若不变，越小，轨道Ⅱ的短轴长越大D.若不变，越大，轨道Ⅱ离心率越小【答案】AB【解析】设椭圆长轴，短轴，焦距，对于A选项，由椭圆的性质可知，轨道Ⅱ的长轴长为，故选项A正确；对于B选项，由椭圆的性质知，，又因为，所以，故选项B正确；对于C选项，由前面选项知，若R不变，越小，越小，轨道Ⅱ的短轴长越小，故选项C错误；对于D选项，因为，若r不变，R越大，则越小，所以越大，轨道Ⅱ的离心率越大，故选项D错误.故选：AB.非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，，则__________.【答案】【解析】因为向量，，，所以，解得，故答案为：13.已知直线：.若点在直线上，则数列的前n项和__________.【答案】【解析】直线过点,可得,,是等差数列，所以.故答案为：.14.古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果，其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆,已知点,,动点满足,则点的轨迹与圆的公切线的条数为______.【答案】2【解析】由题意设，易知，即可得，整理得点的轨迹方程为，其轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，而圆的圆心坐标为，半径为1，可得两圆的圆心距为2，大于，小于，则动点的轨迹与圆的位置关系是相交.故公切线的条数为2.故答案为：2四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并解决下面的问题：（1）求角的大小；（2）求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，不给分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．解：（1）依题意，，由正弦定理得.选①，，则，三角形不存在，不符合题意.选②，，则，，则为锐角，且.且由得，三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合题意.选③，，由正弦定理得，由于，所以，则，则为锐角，且.由余弦定理得，即，得，所以三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合题意.（2）由（1）得三角形是等腰直角三角形，所以.16.已知在处取得极小值．（1）求的解析式；（2）求在处的切线方程；（3）若方程有且只有一个实数根，求的取值范围.解：（1）由题意知，因为在处取得极小值则，解得：经检验，满足题意，所以，所以（2）由题意知，，所以所以切点坐标为，斜率所以切线方程为：，即.（3）令，解得或，则，，的关系如下表：+00+单调递增单调递减单调递增则，，方程有且只有一个实数根等价于有且只有一个实数根，等价于函数与有且只有一个交点，即或，解得：或，所以.17.已知数列中，，点在直线上.（1）求数列的通项公式及其前项的和；（2）设，证明：.解：（1）因为点在直线上，所以，又，故数列{}是以3为公比，3为首项的等比数列，所以，.（2）由题可知，记，所以①①，得②①②，得，故，又，故，即证18.如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，是等边三角形，，点，分别为和的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求与平面所成角的正弦值.解：（1）取中点，连接，由为中点，为中点，得，又，则，因此四边形为平行四边形，于是，而平面平面，所以平面.（2）过作于点，连接，由，得≌，则，即，而，因此，又平面，则平面，平面，所以平面平面.（3）由（2）知，直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量，则，令，得，设与平面所成角为，，所以与平面所成角的正弦值是.19.已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，若以为圆心，1为半径的圆与以为圆心，3为半径的圆相交于两点，若椭圆经过两点，且直线的斜率之积为.（1）求椭圆的方程；（2）点是直线上一动点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为.①求证直线恒过定点，并求出此定点；②求面积的最小值.解：（1）若以为圆心，1为半径的圆与以为圆心，3为半径的圆相交于两点，若椭圆经过两点，可得，可得，设，且，则，因为，可得，所以，所以椭圆的方程为.（2）①由（1）知，椭圆的焦点，设，则切线的方程为，即，点在直线上，所以，即，因为，所以，因为，所以，代入上式，可得所以，同理，所以直线恒过定点.②由（1）知直线恒过定点，令直线，代入椭圆方程，联立方程组，可得，则，且，（i）当时，点到直线的距离为，因为，所以，所以，所以，所以，又由弦长公式，可得，所以，令，所以，则，因为在上单调递减，所以在上单调递增，所以；（ii）当时，，综上可得，的最小值为.浙江省杭州市浙里特色联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，且，则.故选：D2.在等差数列中，，，则的值是（）A.13 B.14 C.16 D.17【答案】B【解析】因为是等差数列，，，所以，即，解得.故选：B.3.已知空间向量，，则下列结论正确的是（）A. B.与夹角的余弦值为C. D.【答案】C【解析】对于A：，因为，所以与不平行，故A错误；对于B：与夹角余弦值为，故B错误；对于C：，，则，即，故C正确；对于D：，，故D错误；故选：C4.若函数，则（）A.0 B. C. D.【答案】A【解析】，所以.故选：A.5.若点是角终边上一点，且，则y的值为（）A. B. C.－2 D.2【答案】D【解析】，又由三角函数的定义得，所以，又，解得.故选:D.6.已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】圆，圆心，半径，，圆心，半径，由题意知，是圆和圆圆心连线的垂直平分线，，，的中点，圆心连线的斜率为，则直线的斜率为，故的方程：，即,故C正确．故选：C．7.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为函数的定义域为，函数的定义域为，函数与的定义域均为.由图知的定义域为，排除选项B、D，又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C.故选：A.8.已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于两点，为线段的中点，若，则点到轴的距离为（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题设易知，从而准线方程为.设点点点坐标为，由抛物线的定义知，，所以有，所以到轴距离，故B正确；故选:B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，则下列说法正确的是（）A.z的实部为1 B.z在复平面内对应的点位于第四象限C.z的虚部为﹣i D.z的共轭复数为【答案】ABD【解析】因为，所以z实部为1，虚部为-1，在复平面内对应的点为(1，-1)，在第四象限，共轭复数为，故C错误，ABD正确.故选：ABD10.袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则（）A.甲与乙互斥 B.乙与丙互斥 C.甲与乙独立 D.甲与乙对立【答案】BC【解析】首先抽取方法是有放回，每次摸出个球，共抽取次.基本事件为：白白，白黑，黑白，黑黑，共种情况.事件甲和事件乙可能同时发生：白黑，所以甲与乙不是互斥事件，A错误.事件乙和事件丙不可能同时发生，所以乙与丙互斥，B正确.事件甲和事件乙是否发生没有关系，用表示事件甲，用表示事件乙，，则，所以甲与乙独立，C正确.由于事件甲和事件乙是否发生没有关系，所以不是对立事件.故选：BC11.如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则（）A.轨道Ⅱ的长轴长为B.轨道Ⅱ的焦距为C.若不变，越小，轨道Ⅱ的短轴长越大D.若不变，越大，轨道Ⅱ离心率越小【答案】AB【解析】设椭圆长轴，短轴，焦距，对于A选项，由椭圆的性质可知，轨道Ⅱ的长轴长为，故选项A正确；对于B选项，由椭圆的性质知，，又因为，所以，故选项B正确；对于C选项，由前面选项知，若R不变，越小，越小，轨道Ⅱ的短轴长越小，故选项C错误；对于D选项，因为，若r不变，R越大，则越小，所以越大，轨道Ⅱ的离心率越大，故选项D错误.故选：AB.非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，，则__________.【答案】【解析】因为向量，，，所以，解得，故答案为：13.已知直线：.若点在直线上，则数列的前n项和__________.【答案】【解析】直线过点,可得,,是等差数列，所以.故答案为：.14.古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果，其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆,已知点,,动点满足,则点的轨迹与圆的公切线的条数为______.【答案】2【解析】由题意设，易知，即可得，整理得点的轨迹方程为，其轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，而圆的圆心坐标为，半径为1，可得两圆的圆心距为2，大于，小于，则动点的轨迹与圆的位置关系是相交.故公切线的条数为2.故答案为：2四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并解决下面的问题：（1）求角的大小；（2）求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，不给分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．解：（1）依题意，，由正弦定理得.选①，，则，三角形不存在，不符合题意.选②，，则，，则为锐角，且.且由得，三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合题意.选③，，由正弦定理得，由于，所以，则，则为锐角，且.由余弦定理得，即，得，所以三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合题意.（2）由（1）得三角形是等腰直角三角形，所以.16.已知在处取得极小值．（1）求的解析式；（2）求在处的切线方程；（3）若方程有且只有一个实数根，求的取值范围.解：（1）由题意知，因为在处取得极小值则，解得：经检验，满足题意，所以，所以（2）由题意知，，所以所以切点坐标为，斜率所以切线方程为：，即.（3）令，解得或，则，，的关系如下表：+00+单调递增单调递减单调递增则，，方程有且只有一个实数根等价于有且只有一个实数根，等价于函数与有且只有一个交点，即或，解得：或，所以.17.已知数列中，，点在直线上.（1）求数列的通项公式及其前项的和；（2）设，证明：.解：（1）因为点在直线上，所以，又，故