高三数学（理人教版）二轮复习高考大题专攻练12

高考大题专攻练12.函数与导数(B组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1.已知函数f(x)=ln(2ax+a21)ln(x2+1)，其中a∈R.导学号92494448(1)求f(x)的单调区间.(2)是否存在a的值，使得f(x)在[0，+∞)上既存在最大值又存在最小值？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】(1)f(x)=ln(2ax+a21)ln(x2+1)=ln2ax+设g(x)=2ax+a2-1x①当a=0时，f(x)无意义，所以a≠0.②当a>0时，f(x)的定义域为1-令g′(x)=0，得x1=a，x2=1a，g(x)与g′x(∞，x1)x1(x1，x2)x2(x2，+∞)g′(x)0+0g(x)↘g(x1)↗g(x2)↘1-a22a(a)=1-a22a1a=1故f(x)的单调递增区间是1-单调递减区间是1a③当a<0时，f(x)的定义域为-∞,1-a22a.令g′(x)=0，得x1=a，xx(∞，x2)x2(x2，x1)x1(x1，+∞)g′(x)+00+g(x)↗g(x2) ↘g(x1) ↗1-a22a(a)=1-a22a1a=1所以f(x)的单调递增区间是-∞单调递减区间是1a(2)①当a>0时，由(1)可知，f(x)在1-a22a,1a上单调递增，在1下面研究最小值：由于f(x)的定义域为1-(ⅰ)若1-a22a≥0，即0<a(ⅱ)若1-a2所以f(x)在0,因为f(x)在1a所以f(x)在1a所以，要使f(x)在[0，+∞)上存在最小值，只可能是f(0)=ln(g(0)).计算整理g(x)g(0)=2ax+a2=[2a-(要使f(x)在[0，+∞)上存在最小值，只需x∈[0，+∞)，g(x)g(0)≥0.因为x2+1>0，则问题转化为x∈[0，+∞)时，(1a2)x+2a≥0恒成立.设h(x)=(1a2)x+2a，则只需1-a解得0≤a≤1，这与a>1相矛盾，所以f(x)在[0，+∞)上没有最小值，不合题意.②当a<0时，由于f(x)的定义域为-∞(ⅰ)若1-a22a≤0，即1(ⅱ)若1-a2综上，不存在a的值，使得f(x)在[0，+∞)上既存在最大值又存在最小值.2.已知函数f(x)=aex+(2e)x(a为实数，e为自然对数的底数)，曲线y=f(x)在x=0处的切线与直线(3e)xy+10=0平行.导学号92494449(1)求实数a的值，并判断函数f(x)在区间[0，+∞)内的零点个数.(2)证明：当x>0时，f(x)1>xln(x+1).【解析】(1)f′(x)=aex+2e，由题设，可知曲线y=f(x)在x=0处的切线的斜率k=f′(0)=a+2e=3e，解得a=1，所以f(x)=ex+(2e)x，所以x≥0时，f′(x)=ex+2e≥e0+2e>0，所以f(x)在区间[0，+∞)内为增函数，又f(0)=1>0，所以f(x)在区间[0，+∞)内没有零点.(2)当x>0时，f(x)1>xln(x+1)等价于f(x)-1x>ln(x+1)，记g(x)=e则g′(x)=ex1，当x>0时，g′(x)>0，所以当x>0时，g(x)在区间(0，+∞)内单调递增，所以g(x)>g(0)=0，即ex>x+1，两边取自然对数，得x>ln(x+1)(x>0)，所以要证明f(x)-1x>ln(x+1)(x>0)，只需证明f即证明当x>0时，exx2+(2e)x1≥0，①设h(x)=exx2+(2e)x1，则h′(x)=ex2x+2e，令φ(x)=ex2x+2e，则φ′(x)=ex2，当x∈(0，ln2)时，φ′(x)<0；当x∈(ln2，+∞)时，φ′(x)>0.所以φ(x)在区间(0，ln2)内单调递减，在区间(ln2，+∞)内单调递增，又φ(0)=3e>0，φ(1)=0，0<ln2<1，所以φ(ln2)<0，所以存在x0∈(0，1)，使得φ(x0)=0，所以当x∈(0，x0)，或x∈(1，+∞)时，φ(x)>0；当x∈(x0，1)时，φ(x)<0，所以h(x)在区间(0，x0)内单调递增，在区间(x0，1)内