2026年高考物理一轮复习讲义：卫星变轨问题 双星模型

第25课时卫星变轨问题双星模型

【目标要求】1.会处理人造卫星的变轨和对接问题。2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题。3.会应用万有

引力定律解决星球“瓦解”和黑洞问题。

考点一卫星的变轨和对接问题

1.卫星发射模型

人造卫星的发射过程一般要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。

⑴为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道I上，卫星在轨道I上做匀速圆周运动,

(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，d等＜〃?以，卫星做离心运动进入椭圆轨道

Iio

(3)在椭圆轨道3点(远地点)，泮〉X,将做近心运动，再次点火加速，使*=/”直，进入圆轨道III。

z讨论交流

若使在轨道III运行的宇宙飞船返回地面，应如何操作？

答案使飞船先减速进入椭圆轨道n,到达近地点时，使飞船再减速进入近地圆轨道I,之后再减速做近心

运动着陆。

2.变轨过程中几个物理量的大小比较

(1)速度：设卫星在圆轨道I和HI上运行时的速率分别。1、。3,在轨道II上过A点和B点速率分别为。A、VB，

在A点加速，则在8点加速，则03?犯，又因为01N3，故有办“1＞。3＞加。

(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用,故不论从轨道I还是轨道II上经过A点，卫星的加速度

都相同。同理，经过8点加速度也相同。

(3)周期：设卫星在I、II、III轨道上运行周期分别为71、乙、T3,轨道半径为八、以半长轴)、/3。由开普勒

第三定律圣=%,可知有“〈乃。

(4)机械能：卫星在一个确定的圆(椭圆)轨道上运行时机械能宓恒。若在I、II、III轨道的机械能分别为区、

民、E3,从轨道I到轨道H、从轨道II到轨道HI,都需要点火加速，则E1SE2SE3。

(5)引力势能：物体在万有引力场中具有的势能叫作引力势能，若取两物体相距无穷远时的引力势能为零，一

个质量为优的质点距质量为M的引力源中心为r时，其引力势能为稣=一等(G为引力常量)。设卫星在A

点、3点的引力势能分别为EpA、EpB，则％心EpB。

【例11（多选）2023年10月26日，神舟十七号与神舟十六号航天员乘组成功“会师”。神舟十七号发射的

过程可简化为如图所示的过程，先将其发射至近地圆轨道，在近地圆轨道的A点加速后进入椭圆转移轨

道，在椭圆转移轨道上的远地点3加速后进入运行圆轨道。下列说法正确的是（）

//地圆&'、、

叫"礴MI

"尸/

、椭圆转移轨道彳一同何者

A.神舟十七号在椭圆转移轨道经过B点的速率小于经过A点的速率

B.神舟十七号在椭圆转移轨道上的B点时的加速度大于在运行圆轨道上经过B点时的加速度

C.神舟十七号在运行圆轨道上运行的周期大于在椭圆转移轨道上运行的周期

D.神舟十七号在椭圆转移轨道上从3点运动到A点的过程中，它的机械能减小

答案AC

解析根据开普勒第二定律可知神舟十七号在椭圆转移轨道上经过B点的速率小于经过A点的速率A正确；

根据万有引力提供向心力有喈=〃切，可得环靖，则神舟十七号在椭圆转移轨道上3点时的加速度等于在运

行圆轨道上B点时的加速度，B错误；由于运行圆轨道的半径大于椭圆转移轨道的半长轴，根据开普勒第三定

律可知，神舟十七号在运行圆轨道上运行的周期大于在椭圆转移轨道上运行的周期，C正确；神舟十七号在椭

圆转移轨道上从8点运动到A点的过程中，只有万有引力做功，机械能不变，D错误。

【例21（2025•山东青岛市校考）北京时间2024年4月26日神舟十八号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱

顺利实现径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6.5小时。为实现神舟十八号载人飞船与空间站顺

利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动。对接前飞船要先到达

和空间站很近的相对静止的某个停泊位置。为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状

态，下列说法正确的是（）

A.飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，在合适位置减速靠近即可

B.飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，在合适位置减速靠近即可

C.飞船先到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可

D.飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可

答案D

解析根据卫星变轨时，由低轨道进入高轨道需要点火加速，反之要减速，所以飞船先到空间站下方的圆周

轨道上同方向运动，在合适的位置加速靠近即可，或者飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在

合适的位置减速即可，故选D。

【例3】2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于预定区域，实现世界首次月球背面采样返回。嫦

娥六号返回器从月球归来初入大气层时的速度可以接近第二宇宙速度，为避免高速带来的高温过载风

险，采用了“半弹道跳跃式返回”减速技术。如图所示，返回器从。点第一次进入大气层，调整返回器

姿态，使其经6点升高，再从。点“跳”出大气层，在太空中潇洒地打个“水漂”，升高到距地面高度

为〃的d点后，再次从e点进入大气层返回地球。假设返回器从c点到e点的过程为无动力飞行。已知

地球表面重力加速度为g,地球的半径为R,引力常量为G。结合以上信息，下列说法正确的是()

大气

边缘/

A.从。点到c点的过程中，返回器机械能守恒

B.在d点，返回器的速度大于第一宇宙速度

C.在d点，返回器的加速度大小为名在

D.在e点返回器处于超重状态

答案C

解析嫦娥六号返回器从a点到c点的过程中，空气阻力做功，机械能不守恒，A错误；嫦娥六号返回器经

Mm2>m~T~，艮口v<座，又因为第一宇宙速度为。尸修，故V<V1,B错误；

过d点后做近心运动，有G-

(R+/I)2R+”-JR-\-h7R

在d点，由牛顿第二定律有G-^-=ma,又GM=gR2,联立可得a=-^~,C正确；在e点返回器加速度

(R+九)2°(R+”)2

有向下的分量，故返回器处于失重状态，D错误。

考点二双星或多星模型

1.双星模型

(1)绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。

⑵特点

①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即虫詈=初312n，詈詈MM?®??-?。

②两星的周期、角速度相同，即Tl=4,01=02。

③两星的轨道半径与它们之间的距离的关系为n十/2=心

Z讨论交流

（1）若两星运行的线速度大小分别为01、。2,加速度大小分别为。1、。2,质量分别为相1、m2,则。、a与轨道

半径八两星质量的关系怎样？

答案由V=cor,根1口2/]=加2①2r2,得生=宜=吗，由”=。2厂及加1①2rl=根2G2r2得£1=0=也。

marm

V2丁2l22l

⑵两星之间的距离L、周期T与总质量（如十〃益）的关系怎样？

收心4TT24K2-rrIy4曰/G（m+m）_p14IT2L3

答案由一^上=7%官。=加2官/2及。+厂2=乙，得强=12或加1+〃22=^^。

【例4】（多选）（2024•山东青岛市期中）“双星系统”由相距较近的两颗恒星组成，每颗恒星的半径远小于

两颗恒星之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在相互间的万有引力作用下绕某一点做匀

速圆周运动。某一双星系统如图所示，A恒星的质量为m1，B恒星的质量为m2，A恒星的轨道半径为

H，B恒星的轨道半径为/'2,A恒星的线速度大小为。1，B恒星的线速度大小为S，它们中心之间的距离

为3引力常量为G。则下列说法正确的是（）

B//""'A\

\'O：

'、'、一_J

A.A恒星与B恒星轨道半径大小之比为包=吧

丁2m2

B.双星系统的运行周期为2M|、

C.A恒星的轨道半径为也L

D.A恒星与B恒星线速度大小之比为鱼=豆

V2r2

答案BD

m2

解析对A、B分别由牛顿第二定律得（j^—mi^Lri,G71=祖2枭小,又入=门+-2,联立解得[—詈,

T=2TILI,一，n,故选项A、C错误，B正确；根据可得,A恒星与B恒星线速度大

-JG（m1+m2）m1+m2T

小之比为"=&,故选项D正确。

v2r2

2.多星模型

所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。常

见的多星模型及其规律：

常

gGm2।GMm

m—加①(2R)/R2〃也向

见'、：

、RR/

、•

的、、___

,•、

星•1、2

L/：

/人'、②号义cos300义2=%。向

模0'、7、

m♦二.............

型

常」一…一、

：

见kK①嗒Xcos45°X2+高［物向

k—*'

•、/・加

的m、―一

四

星/：,、、,

，'、L②绊Xcos30。*2+等=山。向

N（哥

模用工二

型

【例5】（多选）（2024.山东泰安市期中）太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三

星系统，通常可以忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式

（如图所示）：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为尺的圆轨道上运行；另一种

形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质

量均为并设两种系统的运动周期相同，贝1）（）

/------、、M

/、、*

；/、\/\\

甲;___J__1丙/\

M\RM!M/\

''、、、―/加一-----------------\M

A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同

B.直线三星系统的运动周期7=4兀R耳

C.三角形三星系统中星体间的距离L=^R

D.三角形三星系统的线速度大小为J屋

答案BC

解析直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同，方向相反，A错误；直线三星系统中，对甲星（或丙

星）有噂口,解得T=4nRJ含，B正确；对三角形三星系统，根据万有引力定律和牛顿第二

定律得2嗯侬3。。=虚•高,联立解得L=^R,C正确；三角形三星系统的线速度大小为。=管=

叫声,联立解得•有•黑，D错误。

考点三星球“瓦解”问题黑洞问题

L星球的瓦解问题

当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一

步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是“赤道”上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即筌=加。2凡得

。=修。当。＞怪时,星球瓦解，当。＜傅时，星球稳定运行。

7R37R37R3

2.黑洞

黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运

动规律间接研究黑洞。当天体的逃逸速度（逃逸速度为其第一宇宙速度的企倍）超过光速时，该天体就是黑

洞。

【例6】2018年2月，我国500m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T

=5.19mso假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为6.67Xl（FUN-m2/kg2。以周期7稳定自转

的星体的密度最小值约为（）

A.5X109kg/m3B.5X1012kg/m3

C.5X1015kg/m3D.5X1018kg/m3

答案C

解析毫秒脉冲星稳定自转，万有引力提供向心力，则有年,又知M=p•声/,

整理得密度"已汽=-----券/------kg/m3

了GT26.67X10-11X（5.19X10-3）2&

~5.2X1015kg/m3,故选C。

【例7】科学研究表明，当天体的逃逸速度（逃逸速度为其第一宇宙速度的近倍）大于光速时，该天体就是

黑洞。已知某天体与地球的质量之比为左，地球的半径为R,地球的环绕速度（第一宇宙速度）为。1，光

速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于（）

22

A2%2R2kcR-kvR-Ikv-^R

A.-^T-B.——c.—1^-D.—；—

kcz2czcz

答案D

解析地球的第一宇宙速度为5=杵，则黑洞的第一宇宙速度为。2=1半,并且有鱼。2＞C,

联立解得「＜也于,所以D正确，A、B、C错误。

课时精练

（分值:100分）

lb基础落实练

1~7题每小题8分，共56分

1.2024年1月18日，天舟七号与空间站天和核心舱成功对接。在交会对接的最后阶段，天舟七号与空间站处

于同一轨道上同向运动，两者的运行轨道均视为圆周。要使天舟七号在同一轨道上追上空间站实现对接，天

舟七号喷射燃气的方向可能正确的是（）

天舟七节M七面天舟七号唯后士门

运行方向^M更11f气t方।可运行方向/气方向

一翁站

空间站

AB

天舟七号天舟七号

运行方闻尹》运行方向亨

“至扇占蕨句、、/叁间站吸与、、、

方向方向

CD

答案A

解析要想使天舟七号在与空间站的同一轨道上对接，则需要使天舟七号加速，与此同时要想不脱离原轨

„2

道，根据尸向=加三,则必须要增加向心力，即喷气时产生的推力一方面有沿轨道向前的分量，另一方面还要

有指向地心的分量，而因喷气产生的推力方向与喷气方向相反，则图A是正确的。

2.天问一号火星探测器搭乘长征五号遥四运载火箭成功发射意味着中国航天开启了走向深空的新旅程。由着

陆巡视器和环绕器组成的天问一号经过如图所示的发射、地火转移、火星捕获、火星停泊和离轨着陆等阶

段，则（）

A.天问一号发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度

B.天问一号在“火星捕获段”运行的周期小于它在“火星停泊段”运行的周期

C.天问一号从图示“火星捕获段”需在合适位置减速才能运动到“火星停泊段”

D.着陆巡视器从图示“离轨着陆段”至着陆到火星表面的全过程中，机械能守恒

答案C

解析天问一号要到达火星，需要脱离地球的引力束缚，发射速度大于第二宇宙速度，故A错误；根据开普

3

勒第三定律左=袅，在“火星捕获段”运行的半长轴大，故天问一号在“火星捕获段”运行的周期大于它在

“火星停泊段”运行的周期，故B错误；天问一号从“火星捕获段”需在近火点减速才能运动到“火星停泊

段”，故C正确；着陆巡视器从“离轨着陆段”至着陆到火星表面的全过程中，重力势能减小，动能减小，

机械能不守恒，故D错误。

3.（2024・湖北卷4）太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中

实线所示。为了避开碎片，空间站在尸点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的

反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则（）

A.空间站变轨前、后在尸点的加速度相同

B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小

C.空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小

D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大

答案A

解析在尸点变轨前后空间站所受到的万有引力不变，根据牛顿第二定律可知空间站变轨前、后在P点的加

速度相同，故A正确；

因为变轨后其半长轴大于原轨道半径，根据开普勒第三定律可知空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，故

B错误；

变轨后在P点获得竖直向下的反冲速度，原水平向左的圆周运动速度不变，因此合速度变大，故C错误；

由于空间站变轨后在尸点的速度比变轨前大，而比在近地点的速度小，则空间站变轨前的速度比变轨后在近

地点的小，故D错误。

4.在发射一颗质量为m的人造地球同步卫星时，先将其发射到贴近地球表面运行的圆轨道I上（离地面高度忽

略不计），再通过一椭圆轨道II变轨后到达距地面高为力的预定圆轨道HI上。已知它在圆轨道I上运行的加速

度大小为g,地球半径为R,卫星在变轨过程中质量不变，贝心）

A.卫星在轨道III上运行的加速度大小为（京

B.卫星在轨道III上运行的线速度大小为J翳

C.卫星在轨道III上的动能大于在轨道I上的动能

D.卫星在轨道III上的机械能小于在轨道I上的机械能

答案B

解析卫星在轨道III上运行时，根据万有引力提供向心力得G-^-=ma=m^-,在圆轨道I上由mg=

（R十九R十九

喈得GM=gR2,所以卫星在轨道m上的加速度大小为。=（含）2g,线速度大小为。=禹，故A错误，B

正确；卫星的线速度大小为。=怪,卫星在圆轨道上运行的动能为Ek=Lnv2=2处,可知卫星在轨道m上

的动能小于在轨道I上的动能，故C错误；卫星从轨道I进入椭圆轨道II要点火加速，机械能增大，从椭圆

轨道II进入轨道III要再次点火加速，机械能继续增大，所以卫星在轨道III上的机械能大于在轨道I上的机械

能，故D错误。

5.（多选）在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统。在相互绕行的过程

中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被

称为“潮汐瓦解事件”。天鹅座X—1就是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，黑洞和恒星以它们连线上的

某一点为圆心做匀速圆周运动，如图所示。在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞之间的距离不变，则在

这段时间内，下列说法正确的是（）

A.黑洞和恒星之间的万有引力变大

B.黑洞的角速度变大

C.恒星的线速度变大

D.黑洞的线速度变大

答案AC

解析假设恒星和黑洞的质量分别为M、m,环绕半径分别为R、r,且m<M,两者之间的距离为L,则根据

万有引力/万=喈，恒星和黑洞之间的距离不变，随着黑洞吞噬恒星，在刚开始吞噬的较短时间内，"与

7〃的乘积变大，黑洞和恒星之间的万有引力变大，故A正确；黑洞和恒星的角速度相等，根据万有引力提供

向心力有喈=%。2/=〃。2尺，其中R+r=L,解得黑洞的角速度0=器咚五，由于（M+M和L均不变,

则角速度不变，故B错误；根据mco^Mco-R，得g=（,因为M减小，增大，所以R增大，r减小，由。

恒=Q>7?,v黑=①尸,可得。恒变大，。黑变小，故C正确，D错误。

6.—近地卫星的运行周期为n,地球的自转周期为T,则地球的平均密度与地球不因自转而瓦解的最小密度

之比为()

丁Trp2rp2

A.%B.-C.%D.J

2

TToTTo

答案D

解析对近地卫星，有d等=制曾环，地球的质量M1=P1-W,联立解得〃=晶，以地球赤道处一质量

为预的物体为研究对象，只有当它受到的万有引力大于等于它随地球一起旋转所需的向心力时，地球才不会

瓦解，设地球不因自转而瓦解的最小密度为02,则有若要=mo(泞R,M2="*R3,联立解得22=票,所

以"=,故选D。

p2To

7.夜空中我们观测到的亮点，其实大部分并不是单一的恒星，而是多星系统。在多星系统中，双星系统又是

最常见的，绕连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的两颗中子星组成的双星系统的示意图如图所示，若

两中子星的质量之比叫：mQ=k:1,该双星系统远离其他天体。贝1()

A.根据图像可以判断出Q4

B.若P、Q的角速度和它们之间的距离一定，则P、Q做圆周运动的线速度大小之和一定

C.P的线速度大小与P、Q之间的距离成正比

D.仅增大P、Q之间的距离，P、Q运行的周期变小

答案B

解析设P、Q之间的距离为L,P做圆周运动的轨道半径为八，Q做圆周运动的轨道半径为r2,角速度为

3,则有屋等=〃小。2n，吗丝=如。2r2,联立可得意=言=?，由题图知n>r2,则,故A错误；根

据线速度与角速度之间的关系有fp=®ri,VQ=a>r2,ri+r2=L,则vP+v(i=a>(rl+r2)=a)L,可知，若P、Q

的角速度和它们之间的距离一定，贝UP、Q做圆周运动的线速度大小之和一定，故B正确；根据屋詈=

吟,可得m，故C错误；根据悌詈F蜜，若詈m92,可得丁=

271,若仅增大P、Q之间的距离,则P、Q运行的周期将变大，故D错误。

^G(mP+mQ)

ID能力综合练

8、9题每小题9分，10题16分，共34分

8.（多选）如图所示是宇宙中存在的某三星系统，忽略其他星体的万有引力，三个星体A、B、C在边长为d的

等边三角形的三个顶点上绕同一圆心。做匀速圆周运动。已知A、B、C的质量分别为2加、3机、3m,引力

常量为G,则下列说法正确的是（）

A.三个星体组成的系统动量守恒

B.A的周期小于B、C的周期

C.A所受万有引力的大小为卑贮

D.若B的角速度为。，则A与圆心0的距离为嘤;

答案AD

解析该系统属于稳定的三星系统，三个星体的角速度、周期相同，动量大小不变，运动过程中总动量不

变，A正确，B错误；A所受万有引力的大小为尸=2斓詈cos30。=竺歌，C错误；若B的角速度为。,

则A的角速度也为①,根据吟它=2加02r,则A与圆心0的距离为r=乎竽，D正确。

9.如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为根的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体

在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G。下列说法中正确的

是（）

A.星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形中心

B.每颗星体做匀速圆周运动的角速度均为、色宗鼻

C.若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍

D.若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小变为原来的4倍

答案B

解析四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体做匀速圆周运动的圆心一定是正方形的

中心，故A错误；由加吟+”醇=（抖向喏=加°2苧，可知。=J空詈处，故B正确；由《+

金）喏=7"。可知。=弓+鱼）管，若边长L和星体质量〃?均为原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度

大小是原来的?，故C错误；由弓+/）嫖=〃?葺可知星体做匀速圆周运动的线速度大小为。(4+V2)Gm

22L2L4L

所以若边长L和星体质量机均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变，故D错误。

10.（16分）如图所示，一宇宙飞船绕地球中心做匀速圆周运动，已知地球半径为R,轨道A半径是2R,将飞船

转移到另一个半径为4R的圆轨道8上去，已知地球质量为飞船质量为“，引力常量为G。

（1）（7分）求飞船在轨道A上的环绕速度以、飞船在轨道B上的环绕加速度aB-,

（2）（9分）理论上，若规定距地心无限远处为引力势能零势能点，飞船和地球组成的系统之间的引力势能表达

式为弓=——々其中r为飞船到地心的距离），请根据理论，计算这次轨道转移点火需要的能量。

答案⑴