第十章 二元一次方程组 同步练习-2024-2025学年人教版七年级数学下册

专题突破10三元一次方程组①——消元法、设参法、换元法

类型一用消元法解三元一次方程组

1.解下列三元一次方程组.

X2

-+y+Z-

23%—y+z=4,

11

3-Z-(2){2x+3y—z=12,

=X+%+y+z=6;

1;

2%+y+3z=11,a+b+c=6,

(3){3x+2y—2z=11,(4){3a—b+c=4,

4x—3y—2z=4;2a+3b—c—12.

类型二用设参法、换元法解三元一次方程组

2.（2024武汉二中周练）完成下面的探索过程：

给定方程组｛1+1=2,如果令-=A--B,-=C,则方程组变成一.

yzxyz

万十歹一）

解出这个新方程组得出A,B,C的值，从而得到:X二;y=;z=.这样的方法称为“换

元法”.请写出方程组的过程.

x-4_y+1_z+2

3.解方程组（丁］工:二0请你将步骤补充完整

解：由①设受=y+1

4

x=_fy=_,z=_.

代入②，得_____________________________,

k=,

；・x=,z5,y三

•••方程组的解为

4.若x+y+z9且型£=叼2=卫=幺则k的值为()

xzy

A.1B.2C.3D.4

5.用合适的方法解下列三元一次方程组.

x:y=2:3,x+y+t=27,

(1){%:z=5:4,(2)<+y__y+t

%+y+z=33;x

・2-丁一~~T~

a+b_b+c_c+a

a\b\c=

2:3:4,(4){-=T=-'

(3){)

3a+Z=4c—14;4a—c=3b+25.

专题突破11三元一次方程组②一转化思想、整体思想

类型一利用转化思想构建三元一次方程组

72a2b+c4a+c

1.已知x~yZ^—7%4"Cy3a-5bz5-2匕的和还是单项式,则（a=_,b=_.

2.已知y=ax2+b%+c,当x=-2时，y=9;;当x=0时，y=3;;当x=2时，y=5,求a,b,c的值.

类型二用整体思想解三元一次方程组

3.在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易.

例：已知求其+…{7玉墨3:；。,四的值

解：①X2彳导6%+4y+2z=8③

②-③，得x+y+z=2

.,・％+y+z的值为2.

（1）已知{：；张；女求3久+4y+5z的值；

⑵马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买40本笔记本、20

支签字笔、4支记号笔需要488元.通过还价，班委购买了80本笔记本、40支签字笔、8支记号笔，只花了732元，

请问比原价购买节省了多少钱？

4,若2x+3y+4z=10且y+2z=2,求x+y+z的值.

5.阅读下列材料，然后解答后面的问题.

已知方程组噌:焉;箕?2。.求x+y+z的值.

2（x+3y）+（工+歹+z）=20,（

<

解：将原方程组整理，得C（x+3y）+（x+y+z）=27.§

②-①，得x+3y=7,③

把③代入①，得x+y+z=6.

仿照上述解法，解决下面问题.

已知方程组｛一丫：?131,求*+2'的值

6.(1)已知二元一次方程组则久—y=-久+y=_;

L.X,十uV-D,

(2)某班级组织活动购买小奖品，买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需31元，买25支铅笔、9块橡皮、3

本日记本共需55元，则购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需多少元？

⑶对于实数x,y,定义新运算：x*y=ax+by+c,其中a,b,c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算.已知

3*5=16,2*3=12,求5*9的值.

专题突破12三元一次方程组③一实际问题

1.若一个三角形的周长为24,其中两条边的长度之和比第三条边多4,而它们的差是第三条边的专设其中两条

边的长度分别为x,y,求三角形中最短的一条边的边长.

2.汽车在平路上每小时行驶30km,上坡时每小时行驶28km,下坡时每小时行驶35km,去时行驶142km的路

程用4小时30分钟，原路回来时用4小时42分钟，平路有多少千米?去时上、下坡路各有多少千米?

3.某次智力竞赛共有3题：第一题30分，第二题30分，第三题40分.每题只有两种情况：答对得满分，答错

得0分.结束后统计如下：

⑴答对3题的有4人，答对2题的有17人，3题全错的有5人；

(2)答对第一题与答对第二题的人数之和是44,答对第二题与答对第三题的人数之和是36,答对第一题与答对

第三题的人数之和是40.求这次智力竞赛的平均成绩.

4.小明妈妈到文具店购买三种学习用品，其单价分别为2元、4元、6元，购买这些学习用品需要56元，经过

协商最后以每种单价均下调0.5元成交，结果只用了50元就买下了这些学习用品，则小明妈妈有几种不同的购买方

法？

专题突破13二元一次方程组与坐标系

1.(2024江汉改编)已知点A(a,0),点B(0,b),且a,b满足,2a—b-6+(a-2b)2=0.

(1)求出点A,B的坐标;

(2)已知点P(m,n)满足2m+n=0,,且三角形PAB的面积为5(即SAPAB=5),求点P的坐标；

⑶点M(x,y)为线段AB上一点，求x+2y的值.

专题突破14二元一次方程组与面积、平移

1.(2024青山期末改编)如图,在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A(a,0),B(0,b),

C(2,4),且V2a+b+10+|3a-2b+8|=0.

(1)求a,b的值；

(2)点D(t,0)为x轴上一，点，且SMBD=5sA4BC，求t的值；

(3)平移三角形ABC到三角形EFG(其中点A,B,C的对应点分别为点E,F,G),设E(m,n),F(p,q),且满足

5m-n=-q=4,请直接写出点G的坐标.

综合与实践设计剪裁问题

1.下表是某工厂设计玩具的裁剪方案.

课题设计裁剪方案

女口图1J听示是一套豌的玩具，主要由一个豌豆荚和三，外豌豆组成.如图②所

示，带蚱一、豌豆所需布料的尺寸是40cmx40cm;如图3所示,制作一个豌豆荚所需

布料白,勺尺寸看=40cmx140cm..三个期。豆和一个豌豆荚可以组成一套完整的玩具.

素材1

TI1T

40cm40cm

1____1

0<-40cm*

♦140cm•

图1图2图3

某玩具加工厂在清点库存时发现仓库有一批880cmxlOOOon的布料，于是厂家准

素材2

备将这批布料裁剪成豌豆玩具所需的尺寸.（不计剪裁时的损耗）

若要不造成布料浪费，请你将下列方案补充完整.

任务拟定裁方案一：裁剪50张豌豆的布料和0张豌豆荚的布料；

剪方案方案二：裁剪8张豌豆的布料和______张豌豆荚的布料；

我是裁剪师方案三：裁剪______张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料.

若该工厂现要制作800套豌豆玩具，按照方案一裁剪了4

任务解决实

张布料，剩下按照方案二和方案三的方案裁剪，在没有布料浪费

际问题

的条件下还需从仓库拿几张布料？

专题突破10三元一次方程组①——消元法、设参法、换元法

类型一用消元法解三元一次方程组

1.解下列三元一次方程组.

：+y+z=2,3%—y+z=4,

(1){2%+--z=1,(2){2x+3y—z=12,

3%+y+z=6;

y=%+1;

io

x=一

23x=2

解：(y=H；解：{y=3

8z=1

Z=一

23

2%+y+3z=11,a+b+c=6,

(3){3x+2y—2z=11,(4){3a—b+c=4,

4%—3y—2z=4;2a+3b—c=12.

x=3a=2

解：{y=2解；{b=3

z=1c=1

2.（2024武汉二中周练）完成下面的探索过程：

第十ya

给定方程组（1+1=2,如果令：=4；==C,则方程组变成一.

-Z+-X=5,'

解出这个新方程组.得出A,B,C的值，从而得到:x=;y=;z=.这样的方法称为“换

元法”.请写出方程组的过程.

一+—=1

xy

4+8=111

[B+C=2①解：令嚏=4[=B,g=C，则方程组丁变为一+-=2，①+②+③得A+B+C=4④,

力y

c+=5y/③

I1「

—*I—=5

zx

1=2i

J%=-

④-①得：C=3,④-②得：A=2,④-③得：B=-1,.-.{-=-1廨得(y=-1.

i-1

工=37z—3

x-4_y+1_z+2

3.解方程组72；工;之①②请你将步骤补充完整

解：由①设（=中=平=化

345

・•・x=_3/c+4,y=4/c—l,z=_5fc-2.

代入②，得3k+4-2(4k-l)+3(5k-2)=30,

：.k=3

x=13,y=11,z=13,

x=13

・・・方程组的解为{y=11.

z=13

4.若x+y+z加且等=亨=芋=死则k的值为（C）

A.1B.2C.3D.4

2y+z=kx@

解：...等=学=g=k,.•・{2x+y=kz@,

2z+汽=ky@

①+②+③得3(x+y+z)=k(x+y+z),x+y+z^O,k=3.

5.用合适的方法解下列三元一次方程组.

x\y=2\3,%+y+t=27,

(1){%:z=5:4,(2){x+y_t+x_y+t_

x+y+z=33;2.3.4，

%=10x=3

解：{y=i5；解：(y=9

z=8t=15

a+b_b+c_c+a

(Xa\b\c=2:3:4,f

(+6=4c—14;(4){~一"5"一~

4a—c=3b+25.

a=4a=15

解：［b=6解：{b=5.

c=8c=20

专题突破H三元一次方程组②——转化思想、整体思想

类型一利用转化思想构建三元一次方程组

1.已知x7~2ay2b+cz4a+c—7%4b+Cy3a_5bz5—2匕的和还是单项式，则@=5,b=6,c=-27.

2.已知y=ax2+bx+c,当x=-2时，y=9;当x=0时，y=3;当x=2时，y=5,求a,b,c的值.解:当x=-2时，y=9,9=

4a-2b+c;当x=0时，y=3,/.3=c;

4a—2b+c=9a=1

当x=2时y=5,.Fuda+Zb+c,{c=3,解得{b=-1.

4a+2b+c=5c=3

类型二用整体思想解三元一次方程组

3.在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易.

例：已知G祟M3二；0,①②求x+y+z的值

解：①x2,得6x+4y+2z=8③

②-③，得x+y+z=2

.'.x+y+z的值为2.

(1)已知｛煞之意；求3x+4y+5z的值；

J人TyT'/Z一乙u,

⑵马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买40本笔记本、20支签字笔、

4支记号笔需要488元.通过还价，班委购买了80本笔记本、40支签字笔、8支记号笔，只花了732元，请问比原

价购买节省了多少钱？

解：留二女①①+②得：6x+8y+10z=36,则3x+4y+5z=18②

⑵设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为X元，y元，Z元，根据题意得：40x+20y+4z=488,80x+40y+8z=488

x2=976,976-732=244(元)，则比原价购买节省了244元.

4.若2x+3y+4z=10且y+2z=2,求x+y+z的值.

解：产②•①-②得,2x+2y+2z-8,；.x+y+z=4.

5.阅读下列材料，然后解答后面的问题.

已知方程组神：备求x+y+z的值.

解：将原方程组整理，得[；'+雪£

[3(x+3y)+(x+y+z)=27.②

②-①，得x+3y=7,③

把③代入①，得x+y+z=6.

仿照上述解法，解决下面问题.

已知方程组｛—求x+2y-z的值

解：将原方程组整理，得｛之1+2厂z)；+z,=220

一3(%+2y-z)+(2%+z)=-1②

(2)x2得-6(x+2y-z)+2(2x+z)=-2③，①-③得8(x+2y-z)=24,解得x+2y-z=3.

6.⑴已知二元一次方程组引:g则x-y"_,x+y=/_;

(2)某班级组织活动购买小奖品,买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需31元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本

共需55元，则购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需多少元？

(3)对于实数x,y,定义新运算：x*y=ax+by+c,其中a,b,c是常数等式右边是通常的加法和乘法运算.已知3*5=16,2

*3=12,求5*9的值.

解：⑵设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，

根据题意得：｛烧:黑箕①②，①x2-②得：x+y+z=7,.3+3丫+32=21.

答：购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需21元.

(3)：3*5=16,2*3=12,.①

⑨，

①-②得a+2b=4,②x3-①x2得5a+9b+c=24,；.5*9=5a+9b+c=24.

专题突破12三元一次方程组③一一实际问题

1.若一个三角形的周长为24,其中两条边的长度之和比第三条边多4,而它们的差是第三条边的刍设其中两条边的长度

分别为x,y,求三角形中最短的一条边的边长.

x+y+z=24X=Q

解：设其中两条边的长度分别为x、y,另一条边的长度为z,根据题意：｛“+'一4：z,解得｛旷=6

x-y=-zz=10

答：三角形中最短的一条边为6.

2.汽车在平路上每小时行驶30km,上坡时每小时行驶28km,下坡时每小时行驶35km,去时行驶142km的路程用4

小时30分钟，原路回来时用4小时42分钟，平路有多少千米?去时上、下坡路各有多少千米？

解：设去时上坡路有x千米，平路有y千米，下坡路有z千米,

%+y+z=142

X=42

产+工+二=4.5

由题意得：1283035J解得｛y=30

二+上+上=4.7z=70

283035

答：平路有30千米，去时上坡路有42千米,下坡路有70千米.

3.某次智力竞赛共有3题：第一题30分，第二题30分，第三题40分.每题只有两种情况：答对得满分，答错得0分.

结束后统计如下：

⑴答对3题的有4人，答对2题的有17人，3题全错的有5人；

(2)答对第一题与答对第二题的人数之和是44,答对第二题与答对第三题的人数之和是36,答对第一题与答对第三题的

人数之和是40.求这次智力竞赛的平均成绩.

x+y=44

解：设答对第一题，第二题，第三题的人数分别为X,y,z,则｛y+z=36解得x=24,y=20,z=16.

%+z=40

：3题全答对的只有4人，答对两题的有17人，3题全错的有5人，

.,.参赛总人数为：24+20+16-17-4x2+5=40人，平均得分为：(30x24+30x20+40x16)-40=49分.

答：这次竞赛的平均得分为49分.

4.小明妈妈到文具店购买三种学习用品，其单价分别为2元、4元、6元，购买这些学习用品需要56元，经过协商最后

以每种单价均下调0.5元成交，结果只用了50元就买下了这些学习用品，则小明妈妈有几种不同的购买方法？

解：设分别购买单价为2元、4元、6元得到学习用品x件、y件、z件，

可信：1.5X+3.5y+5.5z=5(^°

(①-②)x2得x+y+z=12③，①+2得：x+2y+3z=28④，④-③得.y+2z=16,[z==8—；,x,y,z都是正

整数，.•.当y=2时,z=7,x=3;当y=4时，z=6,x=2;当y=6时，z=6,x=l.

答：小明妈妈有三种不同的购买方法.

专题突破13二元一次方程组与坐标系

1.(2024江汉改编)已知点A(a,0),点B(0,b),且a,b满足72a-6-6+(a-2b)2=0.

⑴求出点A,B的坐标；

⑵已知点P(m,n)满足2m+n=0,且三角形PAB的面积为5(即SAPAB=5),,求点P的坐标；

⑶点M(x,y)为线段AB上一点，求x+2y的值.

解：(1yj2a-b-6+(a-2b)2=0,V2a-b—6>slantO,(a-2b)2>0,

V2a-&-6=0,(a-2b)2=0,,­,12a~b~6=L°,解得｛；=。，A(4,0),B(0,2)

a—Zb=0b=A

(2)*.*2m+n=0,n=-2m,.*.P(m,-2m).

①当P在AB上方时，过P作PKJ_x轴于K,

***SB=5,SMPK-SPKOB-S^AO^=5,

|(4-m).(-2m)-1(2-2m)-(-m)-|x4x2=5,解得m=-3,.\P(-3,6);

②当P在AB下方时，连接OP,SAPAB=5,二S&4Po+S&AOB-^APOB=5,，5X4X2m+-X4X2--X2m=5,

解得加=”•.P曰—I).综上所述，P的坐标为(-3,6)或g--|).

・

(3)连OM,由A(4,0),B(0,2),VM(x,y)为线段AB上一点，••S&AOB=S^AOM+SABOM,^OAOB=\OA-

7M+1OB-xM,|x4x2=|x4y+1x2x,x+2y=4.

专题突破14二元一次方程组与面积、平移

1.(2024青山期末改编)如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A(a,0),B(0,b),C(2,

4),且，2a+b+10+|3a-2b+8|=0.

(1)求a,b的值；

(2)点D(t,0)为x轴上一且S4ABD=]SAABC,求t的值；

⑶平移三角形ABC到三角形EFG(其中点A,B,C的对应点分别为点E,F,G),设E(m,n),F(p,q),且满足5m-n=

P-q=4,请直接写出点G的坐标.

y

备用图

解：((1)72cL+b+10+13a—2b+8|=0,y/2a+6+10>0J3a—2b+8|>slantO

V2a+b+10=0/3a-26+8|=0,.•・{|a+TJg=2解得C=U，

3a—2b+8=0b=—2

，a的值为-4,b的值为-2.

⑵过点A作MN〃y轴.过点C作CM〃MN于点M,

过点B作NPLMN于点N,过点C作CPLNP于点P,

由(1)可知A(-4,0),B(0,-2),C(2,4),AD=|t+4|,

S^ABD='OB=|x|t+4|x2=|t+4|,

AM(-4,4),N(-4,-2),P(2,-2),

111

Sa=S加瓶从狼-S“ABNTAACM.S.BCP=MN-NP--AN-BN--AM-CM--BP.CP

111

=6x6——x2x4——x4x6——x2x6=14.

222

•­•SAABD=t+4|=(x14,解得t=—?或|

(3)VA(-4,0),B(0,-2),C(2,4),E(m,n),F(p,q),m-(-4)=p-0,n-0=q-(-2),即m+4=p,n=q+2,

45(p-4)-(q+2)=462

5m-n=-p-q=4,■-{4，解得［p=,/，；.E(2,6).

s-p-q_q16

由A(-4,0)平移到E(2,6),

可知三角形向右平移6