2024-2025学年福建省福州市台江区九校高一下学期期末联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省福州市台江区九校高一下学期期末联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i为虚数单位，若zi=i−1，则(

)．A.z=1−i B.z的虚部为−i

C.|z|=2 2.已知向量a=(−1,2)，b=(m,1)，若a与b垂直，则实数m=(

)A.2 B.−2 C.12 D.3.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(

)A.16 B.13 C.124.在▵ABC中，点D在BC边上，BD=2DC.记AB=a，AD=bA.−12a+32b B.5.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“至多有一枚硬币正面朝上”，事件B=“两枚硬币正面均朝上”，事件C=“两枚硬币正面均朝下”，则(

)A.A与C对立 B.B与C不互斥 C.A与B对立 D.B与C对立6.某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形(如图所示)，将该平面图形绕其直角腰AB边旋转一周得到一个圆台，已知∠ABC=45∘，AD=AB=12BC=1，则该圆台的体积为A.73π B.7π C.1437.设m,n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是(

)A.若m//α,n⊂α，则m//n B.若m//α,α//β，则m//β

C.若m⊥α,m⊥n，则n//α D.若m⊥α,m//β，则α⊥β8.如图，圆O内接边长为1的正方形ABCD,P是弧BC(包括端点)上一点，则AP⋅AB的取值范围是(

)

A.

1,4+24 B.1,2+二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.福州市某中学高一年级学生参加了一次英语口语能力测试，其中男生540人，女生360人.现在按性别进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到一组测试成绩的样本.样本中有8位女生的测试成绩，分别是6，7，7，7，8，9，10，10，样本中男生测试成绩的平均数为7.5，则(

)A.样本中有12位男生的测试成绩 B.样本中女生测试成绩的第70百分位数是9

C.样本中女生测试成绩的方差为2 D.样本中所有学生测试成绩的平均数为7.7510.已知▵ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是(

)A.若sinA>sinB，则A>B

B.sin(B+C)=sinA恒成立

C.若b2+11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1CA.FM//A1C1

B.当E为A1C1中点时，BE⊥FM

C.存在点E，使得平面BEF//三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=−3,4，b=2,2，则a在b的投影向量的坐标是13.已知事件A和事件B相互独立，B表示事件B的对立事件，P(A)=12，P(B)=34，则P14.在▵ABC中，D是BC边上一点，且C=π3，ACBC=12，则ABAC=

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1+3i，2i，2+i，z，(1)求复数z；(2)z是关于x的方程2x2−px+q=0的一个根，求实数p，16.(本小题15分在▵ABC中，角A,B,C

所对的边分别为a,b,c，且向量m=(1)求角C；(2)若▵ABC的面积为3,sinB=1+cosA，点D17.(本小题15分)随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注．某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在[60,80)内的老年人的年收入按年龄[60,70),[70,80)分成两组进行分层随机抽样调查，已知抽取了年龄在[60,70)内的老年人500人．年龄在[70,80)内的老年人300人．现作出年龄在[60,70)内的老年人年收入的频率分布直方图(如下图所示)．(1)根据频率分布直方图，估计该地年龄在[60,70)内的老年人年收入的平均数及第95百分位数；(2)已知年龄在[60,70)内的老年人年收入的方差为3，年龄在[70,80)内的老年人年收入的平均数和方差分别为3.75和1.4，试估计年龄在[60,80)内的老年人年收入的方差．18.(本小题17分如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥(1)AC1//(2)(3)若平面ACC1与平面CDB1的交线l为，求l19.(本小题17分甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率．

参考答案1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】ABC

10.【答案】AB

11.【答案】ABD

12.【答案】1213.【答案】1814.【答案】3

；

；

；2+15.【答案】解：(1)复平面内A、B、C对应的点坐标分别为(1,3)，(0,2)，(2,1)，设D的坐标(x,y)，由于AD=∴(x−1,y−3)=(2,−1)，∴x−1=2，y−3=−1，解得x=3，y=2，故D(3,2)，则点D对应的复数z=3+2i；(2)∵3+2i是关于x的方程2x∴3−2i是关于x的方程2x则3+2i+3−2i=p2，即p=12，q=26．

16.【答案】解：(1)因为m//n，所以由正弦定理得a由余弦定理得cosC=因为C∈0,π，所以C=(2)解法一：因为sinB=1+所以sinB=1+cos即sinB+又0<B<5π6，所以π3<B+π故b=c,A=2π所以S▵ABC所以b=c=2．在▵ABD中，由余弦定理可得BD即BD=解法二：因为sinB=1+所以sinB=1+cos即sinB+又0<B<5π6，所以π3<B+π故b=c,A=2π所以S▵ABC所以b=c=2．由余弦定理得：BC2=A又B=π6，所以2×23×解法三：因为sinB=1+所以sinB=1+cos即sinB+又0<B<5π6，所以π3<B+π故b=c,A=2π所以S▵ABC所以b=c=2．由余弦定理得：BC2=A由平行四边形对角线的平方和是邻边平方和的两倍得(2BD)所以2BD所以BD=

17.【答案】解：(1)由频率分布直方图，估计该地年龄在[60,70)内的老年人年收入的平均数约为0.04×由频率分布直方图，年收入在8.5万元以下的老年人所占比例为1−0.04×年收入在7.5万元以下的老年人所占比例为1−(0.05×因此，第95百分位数一定位于[7.5,8.5)内，由7.5+1×可以估计该地年龄在[60,70)内的老年人年收入的第95百分位数为8.3．(2)设年龄在[60,70)内的老年人样本的平均数为x，方差记为sx年龄在[70,80)内的老年人样本的平均数记为y，方差记为sy年龄在[60,80)的老年人样本的平均数记为z，方差记为s2由(1)得，x=5.35，由题意得，sx2=3，则z=由s2可得s2即估计该地年龄在[60,80)内的老年人的年收入方差为3．

18.【答案】解：(1)连接BC1，交B1可知四边形BC1B1C又D是AB的中点，则OD//AC1，又OD⊂平面B所以AC1//(2)根据题意，三棱柱ABC−A1B又由AC⊥BC，AC//BC∩CC1=C，BC⊂则有A1C1⊥面BCC1B又由BC=CC1，则四边形BCC又由BC1∩A1C1=C1，BCA1B⊂面B(3)延长B1D交A1A于M，连接CM，则M∈B1D⊂面B1DC，M则直线CM即为直线l.由AD//A1B1又AA1//CC1且AA1=CC1，所以AM//C因为AC=CC1，所以即l与平面CBB1C

19.【答案】解：(1)记事件M:甲连胜四场，则P(M)=(12)4=116；

则四局内结束比赛的概率为P′=P(A