2026版正禾一本通高三一轮总复习数学（北师版）-课下巩固精练卷(十二)

课下巩固精练卷(十二)函数性质的综合运用【基础巩固题】1．已知f(x)是R上的偶函数，且f(x)＋f(x＋2)＝0，当0≤x≤1时，f(x)＝1－x2，则f(2023.5)等于()A．－0.75 B．－0.25C．0.25 D．0.75解析：选D.由f(x)＋f(x＋2)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)，则f(x＋4)＝f(x)，所以4是f(x)的一个周期，故f(2023.5)＝f(3.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)＝1－0.52＝0.75.2．已知函数f(x)＝2x＋2－x，则下列函数的图象关于直线x＝1对称的是()A．f(x－1)＋cosπ2xB．f(x＋1)＋sinπC．f(x－1)＋sinπ2xD．f(x＋1)＋cosπ解析：选C.因为函数f(x)＝2x＋2－x的定义域为R，且f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，故函数f(x)＝2x＋2－x为偶函数，图象关于y轴对称，函数f(x－1)的图象为函数f(x)的图象向右平移1个单位长度得到，故函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，又函数y＝sinπ2x的图象关于直线x＝因此函数f(x－1)＋sinπ2x的图象关于直线x＝3．(2024·许昌质检)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，若a＝－log310，b＝log1A．f(a)>f(c)>f(b)B．f(a)>f(b)>f(c)C．f(b)>f(a)>f(c)D．f(c)>f(a)>f(b)解析：选C.∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(a)＝f(－log310)＝f(log310)，且2<log310<3，f(b)＝f(－3)＝f(3)，f(c)＝f245∵f(x)在(－∞，0)上单调递减，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f(c)<f(a)<f(b)．4．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且满足f(x＋1)＋f(3－x)＝0，且当x∈(2，4)时，f(x)＝−log12x−1＋m，若f2025A．43 B．C．－43 D．－解析：选C.因为函数f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数，因为f(x＋1)＝－f(3－x)＝f(x－3)，故函数f(x)的周期为4，则f(2025)＝f(1)，而f(－1)＝－f(1)，所以由f2025−12＝f(－1)可得f(1)而f(1)＝－f(3)＝log123−1－m解得m＝－435．(2024·南京模拟)已知函数y＝f(x)的图象既关于直线x＝1对称，又关于点(2，0)对称，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x2024，则fA．32024B．C．11012解析：选D.因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(－x)＝f(2＋x)，因为函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称，所以f(－x)＝－f(4＋x)，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝0，所以f(x)－f(x＋4)＝0，即f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2024)＝f(4×506＋0)＝f(0)＝0.6．已知函数f(x)是R上的偶函数，且f(x)的图象关于点(1，0)对称，当x∈[0，1]时，f(x)＝2－2x，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2024)的值为()A．－2 B．－1C．0 D．1解析：选D.∵f(x)的图象关于点(1，0)对称，∴f(－x)＝－f(2＋x)，又f(x)为R上的偶函数，∴f(x)＝f(－x)，∴f(x＋2)＝－f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，∴f(3)＝f(－1)＝f(1)＝2－2＝0，又f(0)＝1，f(2)＝－f(0)＝－1，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2024)＝506[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(2024)＝506×(1＋0－1＋0)＋f(0)＝1.7．(多选)已知f(x)是定义在R上的函数，f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，恒有f(x－1)＝f(3－x)，且f(x)在[1，2]上单调递减，则下列结论正确的是()A．直线x＝1是f(x)的图象的对称轴B．周期T＝2C．函数f(x)在[4，5]上单调递增D．f(5)＝0解析：选AC.因为f(x－1)＝f(3－x)，所以直线x＝1是f(x)的图象的对称轴，故选项A正确；因为f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，所以函数f(x)的图象关于点(0，0)对称，又因为f(x)的对称轴为x＝1，所以f(x)的周期T＝4，故选项B错误；直线x＝1是f(x)的对称轴，且函数f(x)在[1，2]上单调递减，所以函数f(x)在[0，1]上单调递增，又f(x)的周期T＝4，所以函数f(x)在[4，5]上单调递增，故选项C正确；因为f(x)的周期T＝4，f(4)＝f(0)＝0，则f(5)>f(4)＝0，故选项D错误．8．(多选)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列说法正确的是()A．函数f(x)是以2为周期的周期函数B．函数f(x)是以4为周期的周期函数C．函数f(x－1)为奇函数D．函数f(x－3)为偶函数解析：选BC.对于选项A、B，∵函数f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∵f(x)＋f(2－x)＝0，∴f(－x)＋f(2＋x)＝0，则f(x)＋f(2＋x)＝0，即f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，故函数f(x)是周期为4的周期函数，故选项A错误，选项B正确；对于选项C，令F(x)＝f(x－1)，则F(－x)＝f(－x－1)＝f(x＋1)，在f(x)＋f(2＋x)＝0中，将x换为x－1，得f(x－1)＋f(1＋x)＝0，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，∴F(－x)＝－f(x－1)＝－F(x)，则函数F(x)＝f(x－1)为奇函数，故选项C正确；对于选项D，由题意不妨取满足条件的函数f(x)＝cosπ2x，则f(x－3)＝cosπ2x−3＝cos9．已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)＝2a－3，则实数a的取值范围为______________．解析：∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)＜1，∴f(5)＝2a－3＜1，即a＜2.答案：(－∞，2)10．(2024·重庆一模)已知f(x)是定义在R上的偶函数且f(0)＝2，g(x)＝f(x－1)是奇函数，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2025)＝________．解析：∵f(x)是R上的偶函数，且g(x)＝f(x－1)为奇函数，∴f(x)的图象关于点(－1，0)对称，f(x－1)＝－f(－x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x)的周期为4.∵f(0)＝2，∴f(1)＝f(－1)＝0，f(2)＝－f(0)＝－2，f(3)＝－f(1)＝0，f(4)＝－f(2)＝2，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2025)＝[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]×506＋f(1)＝0.答案：0【综合应用题】11．(多选)已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)，则下列结论一定正确的是()A．f(x＋2)＝f(x)B．函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称C．函数y＝f(x＋1)是偶函数D．f(2－x)＝f(x－1)解析：选BC.对于选项A，因为f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)，则f(1－(1＋x))＝f(1＋(1＋x))，即f(x＋2)＝－f(x)，A错；对于选项B，因为f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，因为f(－x)＋f(x)＝0，则f(－(2＋x))＋f(2＋x)＝0，即f(2＋x)＝－f(－2－x)＝－f(2－x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称，B对；对于选项C，因为f(1－x)＝f(1＋x)，故函数y＝f(x＋1)是偶函数，C对；对于选项D，因为f(1－x)＝f(1＋x)，则f(1－(x－1))＝f(1＋(x－1))，即f(2－x)＝f(x)≠f(x－1)，D错．12．(多选)(2024·贵州黔南二模)若函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，f(1)＝1，则下列说法正确的是()A．f(3)＝－1B．f(x)的图象关于点(2，0)中心对称C．f(x)的图象关于直线x＝1对称D．f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2023)＋f(2024)＝1解析：选ABC.因为f(x＋2)＝－f(x)，f(1)＝1，对于选项A，令x＝1，可得f(3)＝－f(1)＝－1，故A正确；对于选项C，因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(x)＝－f(－x)，则f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确；对于选项B，因为f(x＋2)＝f(－x)，可得f(－x＋2)＝f(x)，则f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)＝－f(－x＋2)，即f(x＋2)＋f(－x＋2)＝0，所以f(x)的图象关于点(2，0)中心对称，故B正确；对于选项D，因为f(x＋2)＋f(－x＋2)＝0，令x＝0，可得2f(2)＝0，f(2)＝f(0)＝0，令x＝1，可得f(3)＋f(1)＝0，又因为f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，可知4为f(x)的周期，可得f(2)＋f(4)＝0，即f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，因为2024＝4×506，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2023)＋f(2024)＝0，故D错误．13．已知函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，若实数a满足f(a)＋f(1－2a)>0，则a的取值范围是________________．解析：对于函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，有1+x>0，1−x>0，解得－则函数y＝f(x)的定义域为(－1，1)，定义域关于原点对称，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，所以函数y＝f(x)为奇函数，由于函数y＝ln(1＋x)在区间(－1，1)上单调递增，函数y＝ln(1－x)在区间(－1，1)上单调递减，所以函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)在(－1，1)上单调递增，由f(a)＋f(1－2a)>0，得f(a)>－f(1－2a)＝f(2a－1)，所以−1<a<1，−1<2a−1<1，因此，实数a的取值范围是(0，1)．答案：(0，1)【创新拓展题】14．(多选)(2022·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)，若f32−2x，A．f(0)＝0 B．g−12C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2)解析：选BC.因为f32−2x，g(2＋x)均为偶函数，所以f32−2x＝f32+2x，即f32−x＝f32+x，g(2＋x)＝g(2－x)，所以f3−x＝fx函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x＝32，x＝又g(x)＝f′(x)，且函数f(x)可导，所以g3所以g(4－x)＝g(x)＝－g3−x，所以g(x＋2)＝－g(x＋1)＝gx，所以g−1若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)＋C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定f(x)的函数值，故A错误．15．设函数f(x)是定义在整数集Z上的函数，且满足f(0)＝1，f(1)＝0，对任意的x，y∈Z都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，则f(3)＝______；f12解析：令x＝y＝1，即f(2)＋f(0)＝2f2(1)，∴f(2)＝－1，令x＝2，y＝1，即f(3)＋f(1)＝2f(2)f(1)，∴f(3)＝0，令x＝y＝2，即f(4)＋f(0)＝2f2(2)，∴f(4)＝1，令y＝1，则f(x＋1)＋f(x－1)＝0，即f(x＋1)＝－f(x－1)，可得f(x＋2)＝－f(x)，f(x)＝－f(x＋2)＝f(x＋4)，∴4为函数f(x)的周期，f(1)＝0，f(2)＝－1，f(3)＝0，f(4)＝1，∴当x为奇数时，f(x)＝0，当n为奇数时，n2也为奇数，此时f(n2)＝0；当n为偶数时，n2为4的整数倍，此时f(n2)＝1.∴f(12)＋f(22