2019-2020学年人教A版 必修一 函数的应用 单元测试

函数的应用学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知函数f(x)=1+x−x22+x33−…+x20172017，设F(x)=f(x+4)，且F(x)A．−1B．0C．−5D．−4【答案】D【解析】试题分析：f(−1)<0,f(0)=1>0，所以函数在(−1,0)内有零点，且在区间(−1,0)上，f'(x)=1−x+x2−⋯+x2016=1+x20171+x>0，函数递增，故只有唯一零点，f(x)考点：函数图象平移与零点.【思路点晴】本题主要考查函数图象变换和零点与二分法的知识.由于F(x)=f(x+4)，所以函数F(x)的图像是有函数f(x)的图像向左平移4个单位所得.由于F(x)零点都在某个区间上，所以函数f(x)的零点也在某个区间上.利用二分法的知识，计算f(−1),f(0)的值，f(−1)<0,f(0)=1>0，且f'(x)>0函数递增，有唯一零点在区间(−1,0)，左移4个单位就是2．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】易知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以函数在处取得最大值，所以有，解得，故选B.点睛：不等式恒成立问题通常是转化为求最值的关系，对于不等式恒成立，只需即可，对于为分段函数，只需在两端根据单调性求最值即可.3．函数f(x)=2A．(1,2)B．(0,1)C．(−1,0)D．(−2,−1)【答案】C【解析】试题分析：本题是一道典型的方程和零点的问题，要把函数f(x)=2x+x=0的零点问题转化到函数y1=【方法点晴】1、本题运用了高中段的四大数学思想之转化的思想：从函数零点问题转化到两个函数的交点问题，是学生们应该熟练掌握的一种方法；2、零点存在定理：一般地，如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是f(x)=0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f(x)在(a,b)内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a,b)上没有零点，例如，函数f(x)=x2−3x+2有，但函数y=f(x)在区间(0,3)上有两个零点．（3）若f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)f(b)<0，则f(x)在4．函数的所有零点之和等于（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】试题分析：由，得，分别作出函数和的图象如图，两个函数图象都关于对称，由图象知，两个函数共有5个交点，其中是一个零点，另外4个零点关于点，设对称的两个点的横坐标分别为，，所以5个交点的横坐标之和，故答案为B．考点：1、函数的零点；2、函数的图象．【方法点睛】本题主要考查函数交点个数以及数值的计算，根据函数图象的性质，利用数形结合是解决此类问题的关键，属于中档题，求函数零点的方法：①直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；②零点存在性定理：函数在上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象和性质才能确定函数有多少个零点；③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画出两个函数图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．5．已知函数f（x）=，则方程f2（x）﹣f（x）=0的不相等的实根个数（）A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】试题分析：方程f2（x）﹣f（x）=0可解出f（x）=0或f（x）=1，方程f2（x）﹣f（x）=0的不相等的实根个数即两个函数f（x）=0或f（x）=1的所有不相等的根的个数的和，根据函数f（x）的形式，求方程的根的个数的问题可以转化为求两个函数y=0，y=1的图象与函数f（x）的图象的交点个数的问题．解：方程f2（x）﹣f（x）=0可解出f（x）=0或f（x）=1，方程f2（x）﹣f（x）=0的不相等的实根个数即两个函数f（x）=0或f（x）=1的所有不相等的根的个数的和，方程的根的个数与两个函数y=0，y=1的图象与函数f（x）的图象的交点个数相同，如图，由图象，y=1的图象与函数f（x）的图象的交点个数有四个，y=0的图象与函数f（x）的图象的交点个数有三个，故方程f2（x）﹣f（x）=0有七个解，应选C．点评：本题考点是分段函数，考查解分段函数类型的方程，求其根的个数，此类题常转化为求函数交点的个数，用图象法来求解．6．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数，定义域为，且函数是单调连续函数，，，根据函数的零点存在定理，函数的零点所在的区间是，故选C.7．如图是二次函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由二次函数图象的对称轴确定b的范围，根据的表达式计算和的值的符号，从而确定零点所在的区间．【详解】∵，结合函数的图象可知，二次函数的对称轴，,在上单调递增且连续，，函数的零点所在的区间是故选：C．【点睛】本题考查导数的运算、函数零点的判定定理的应用，解题的关键是确定b的范围．8．若函数存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，解得：，设，作出的图象，当时，满足题意.故选：C点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．9．如图,能使不等式成立的自变量的取值范围是A.0＜x＜2B.2＜x＜4C.x＞4D.0＜x＜2，或x＞4【答案】D【解析】试题分析：由图可知：当时，，，三个函数的图象依次从下到上排列，∴；又当时，，∴，函数的图象在时相交，根据这三个函数的图象可知，当时，；∴使不等式成立的自变量的取值范是或.故选D．考点：函数的图像和性质.10．设函数则函数的零点个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】略11．函数f(x)=lnA．（1,2）B．（e，3）C．（2，e）D．（e，+∞）【答案】C【解析】解：函数的定义域为：（0，+∞），有函数在定义域上是递增函数，所以函数只有唯一一个零点．又∵f(2)="ln2-1"=ln2-1＜0，f(e)=lne-2÷e=1-2÷e＞0，∴f（2）•f（e）＜0，∴函数f（x）="Inx-2"÷x的零点所在的大致区间是（2，e）．故选C12．在标准温度和压力下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位：mol/L，记作[H+]）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位：mol/L，记作[OH−]）的乘积等于常数10−14.已知pH（参考数据：lg2≈0.301，lgA．5B．7C．9D．10【答案】B【解析】【分析】首先根据题意，求出所求式子的常用对数，结合题中所给的条件，将其转化为与[H【详解】由题意可知，pH=−lg[H所以lg[O因为7.35<−lg[Hlg6=分析比较可知lg7∈(0.7,0.9)，所以[O故选B.【点睛】该题考查的是有关健康人体血液中的[OH二、填空题13．已知函数f(x)=2sin(π3x+π6)+2,对任意的【答案】[【解析】【详解】分析：方程f(x)-a=2(0≤x≤m)有两个不同的实数根，等价于函数y=fx-2的图象与直线y=a在区间[0,m]详解：令g(x)=fx方程f(x)-a=2(0≤x≤m)等价于f(x)-2=a(0≤x≤m)，所以，对任意的a∈[1,2)，方程等价于函数g(x)的图象与直线y=a在区间由图可知，g(0)=g(2)=g(6)=1当a=1时，函数g(x)的图象与直线y=a在区间[0,m]有两个交点，则∴m的取值范围为[2,6)故答案为[2,6).点睛：本题考查三角函数的图象和性质的应用，考查数形结合和转化思想的运用.函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，灵活转换函数零点的几种等价形式：函数y=f(x)−g(x)的零点⇔函数y=f(x)−g(x)在x轴的交点⇔方程f(x)−g(x)=0的根函数y=f(x)与y=g(x)14．已知函数f(x)=sinx+2|sinx|，关于①当a≥0时，方程f2②当0≤a<649时，方程f2③当a≥0时，方程f2(x)−a④若方程f2(x)−af(x)−1=0在其中正确的结论是__________（填写所有正确结论的番号）．【答案】③④【解析】分析：作出函数图像根据情况逐一讨论即可.详解：如图所示：令f（x）=t，故可将题理解为先求出t2−at−1=0故t1,t2对于（1）显然错误，只要将取得足够大很显然与函数图像不会有交点，故错误.对于（2）当0≤a<649时，a∈[0,83],故t1的最大值只能取3，故方程f2(x)-af(x)-1=0在0,2π内有两个或三个或四个不等实根；故错误.对于（3）当a≥0时，故a∈[0,+∞)，所以t1的最小值取12当点睛：考查函数的图像和复合方程的解法，复合方程的解法先由换元求t的解的情况，再解f（x）与t的交点情况即可得到解的个数问题，属于难题.请在此填写本题解析!15．已知方程一根为2，另一根为，则▲.【答案】【解析】略16．已知奇函数是定义在上的增函数，如果，则实数的取值范围是【答案】(1,，)【解析】略三、解答题17．某型号汽车的刹车距离s(单位：米)与刹车时间t(单位：秒)的关系为，其中k是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量．（注：汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间，所经过的距离叫做刹车距离.）（1）某人在行驶途中发现前方大约10米处有一障碍物，若此时k=8，紧急刹车的时间少于1秒，试问此人是否要紧急避让？（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒，且不超过2秒，求k的取值范围．【答案】（1）应紧急避让；（2）.【解析】【分析】（1）求汽车的瞬时速度，由，得，计算s即可判断；（2）汽车的瞬时速度为，得，汽车静止时，问题转化为在内有解，分离k求导求最值即可【详解】（1）当时，，这时汽车的瞬时速度为，令，解得（舍）或，当时，，故有撞击障碍物的危险，应紧急避让.（2）汽车的瞬时速度为，所以，汽车静止时，故问题转化为在内有解，即在内有解，记，，，∴，∴单调递增，∴在区间上的取值范围为，∴，即，故的取值范围为.【点睛】本题考查导数的物理意义及实际应用，考查导数与函数的最值，注意运算的准确是基础题18．某企业生产，两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资关系如图（1）所示；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润和投资单位：万元）．（1）分别将，两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）已知该企业已筹集到万元资金，并将全部投入，两种产品的生产．问怎样分配这万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?【答案】（1）；（2）投入产品万元，产品万元时，总利润最大值为万元【解析】试题分析：（1）对于A，当0≤x≤2时，因为图象过（2，0.5）和原点，当x＞2时，图象过（2，0.5）和（3，1），可得函数的解析式；对于B，易知y＝2(x≥0)．（2）设投入B产品x万元，则投入A产品（18-x）万元，利润为y万元．分16≤x≤18时，0≤x＜16时两种情况求出函数的最大值，比较后可得答案．试题解析：（1）对于，当时，因为图象过，所以，当时，令，因图象过和，得解得，，故对于，易知．（2）设投入产品万元，则投入产品万元，利润为万元．若时，则，则投入产品的利润为，投入产品的利润为，则，令，，则，此时当，即时，万元；当时，，则投入产品的利润为，投入产品的利润为，则，令，，则，当时，即时，万元；由，综上，投入产品万元，产品万元时，总利润最大值为万元．19．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则有，其中表示环境温度，称为半衰期且．现有一杯用热水冲的速溶咖啡，放置在的房间中分钟，求此时咖啡的温度是多少度？如果要降温到，共需要多长时间？（，结果精确到）【答案】，需要约分钟．【解析】【分析】直接把题中公差的相应条件代入函数解析式求解．【详解】解：由条件知，，，．代入，得，解得；如果要降温到，则．解得．答：此时咖啡的温度，要降温到，共需要约分钟．【点睛】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查利用待定系数法求函数解析式，训练了函数值的求法，是中档题．20．（本小题满分10分）已知函数（1）若函数在处的切线方程为，求的值；（2）讨论方程解的个数，并说明理由。【答案】（1），（2）当时，方程有惟一解；当时，方程无解；当时方程有两解．【解析】试题分析：第一步函数在处的切线方程为，切线斜率为1，由于,则，而，第二步由于函数定义域为，，当时，在定义域上恒大于，此时方程无解；当时，，函数在定义域上为增函数，因为，，则，函数有唯一一个零点，所以方程有惟一解；当时，，函数在上是减函数，在内为增函数，当时，有极小值即为最小值，最后根据最小值分大于零、等于零、小于零三种情形对应方程根的个数实施讨论，给出各种情形的答案即可；试题解析：（1）因为：，又在处的切线方程为所以解得：（2）当时，在定义域上恒大于，此时方程无解；当时，在上恒成立，所以在定义域上为增函数。，，所以方程有惟一解。当时，，因为当时，，在内为减函数；当时，在内为增函数。所以当时，有极小值即为最小值当时，，此方程无解；当时，此方程有惟一解。当时，，因为且，所以方程在区间上有惟一解，又因为当时，，所以，所以，因为，所以所以方程在区间上有惟一解。所以方程在区间上有两解。综上所述：当时，方程有惟一解；当时，方程无解；当时方程有两解。考点：1．导数的几何意义；2．利用导数研究函数的单调性、极值、函数的零点；3．导数的应用；21．设f(x)=3ax2+2bx+c（1）方程f(x)=0有实根．（2）若﹣2＜ba＜﹣1且设x1，x2是方程f（x）=0的两个实根，则33≤|x1﹣x2【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）针对a进行分类讨论，当a=0时，f（0）f（1）≤0显然与条件矛盾，当a≠0时，f（x）=3ax2+2bx+c为二次函数，只需考虑判别式大于等于零即可；（Ⅱ）利用根与系数的关系将（x1﹣x2）2转化成关于ba的二次函数，根据b试题解析：证明：（1）若a=0，则b=﹣c，f（0）f（1）=c（3a+2b+c）=﹣c2≤0，与已知矛盾，所以a≠0．方程3ax2+2bx+c=0的判别式△=4（b2﹣3ac），由条件a+b+c=0，消去b，得△=4（a2+c2﹣ac）=故方程f（x）=0有实根．（2）由条件，知，，所以（x1﹣x