苏科版七年级数学下册 第8章 幂的运算 压轴题分类（含答案）

专题8.17寨的运算(挑战综合(压轴)题分类专题)

(专项练习)

【类型一】幕的运算

【综合考点①】幕的运算"AA直接运算与化简

1.(1)2x4-x2—(.^2)(2)(6x，-8丁)+(-2x)-

(打+卜打

2.(1)2x2-(尤2丫(2)3/2/

3.计算：

(1)5a2.(3/)2(2)(12Q3—6Q2+3Q)+3Q

【综合考点②】幕的运算"AA零指数#*负指数AAA直接运算

4.计算：(万_3.14)°+[][卜2|-(-1严。.

5.计算：

(1)_l2008x4+L1y(7t-5)＜，

+⑵

6.计算：(；)-2+(-^^)°-(T)1

【综合考点③】幕的运算“AA逆运算舞*化简求值

7.按要求解答下列各小题.

(1)已知10"=12,10"=3,求IO%”的值；

(2)如果4+36=3,求3"x27"的值；

(3)已知8x2初+16"=26,求相的值.

8.若a"'=/(a>0且加、〃是正整数)，则加=〃.利用上面结论解决下面的问

题：

(1)如果8*=25,求x的值；

(2)如果2%2旬=24,求x的值；

(3)若x=5"'-3,y=4-25"',用含无的代数式表示y.

9.已知4"=a,8"=b,用含。，6的式子表示下列代数式:

(1)求：22，”+3"的值；

⑵求：①24""的值；

②已知2X8"X16=226,求x的值.

【挑战考点①】幕的运算"A，幕的混合运算

10.计算：

(1)(2fy-f.J

⑵守+(一2)2+3

⑶(15%3y5_10%4,4_20%3,2).(5%3,2)

11.阅读材料：3,的末尾数字是3,3?的末尾数字是9,3,的末尾数字是7,3,的末尾数

字是1,3,的末尾数字是3,……，观察规律，3管『⑶"，•••?”的末尾数字是1,二⑶)"的

末尾数字是1,；.(34)"x3的末尾数字是3,同理可知，3.+2的末尾数字是9,3"-3的末尾数

字是7.解答下列问题：

(1)32M的末尾数字是,14?022的末尾数字是;

(2)求22°22的末尾数字；

(3)求证：122024+372018能被5整除.

12.(1)已知3"'=6,3"=2，求32ET的值；

(2)已知/+尸+2"46+5=0，求(a-/?)'的值.

【挑战考点②】幕的运算“A》幕的混合运算逆运算

13.已知/a=2,y3a=3,求(fa)3+(ya)6-(/〉)3a.的值.

200199

14.计算:-2XAJo.5x3j

15.已知/"=2,求(2/"丫-(3尤的值.

【类型二】幕的运算＞*»规律问题**大小比较

【综合考点①】幕的运算规律问题#/图表问题

16.阅读材料：根据乘方的意义可得：24=2x2x2x2;34=3x3x3x3;(2x3)4=

(2x3)x(2x3)x(2x3)x(2x3)=(2x2x2x2)x(3x3x3x3),gp24x34=(2x3)4.通过观察上面

的计算过程，完成以下问题：

(1)计算：86xO.1256=;

(2)由上面的计算可总结出一个规律：(用字母表示)a”,b"=;

(3)用(2)的规律计算：-0.42021X(-|)2022X(|)2022

17.(1)填空：21-2°=2(—)；22-2J=2(—)；23-22=2(—)；...

(2)探索(1)中式子的规律，试写出第"个等式，并说明第"个等式成立.

(3)W2°+2I+22+...+22021

18.观察下列有规律的三行数:

-2,4,-8,16,-32,64…….

0,6,-6,18,-30,66.

0,12,-12,36,-60,132…；

(1)第一行数的第〃个数是;

(2)观察第一行和第二行每个对应位置上的数的关系，写出第二行的第〃个数是；

(3)用含〃的式子表示各行第"个数的和；

(4)在第二行中，是否存在连续的三个数，且它们的和恰好等于198?若存在，请求出

这三个数；若不存在，请说明理由.

【综合考点②】幕的运算"A*材料阅读问题

19.阅读材料，根据材料回答：

例如1：(一2)3x33=(-2)x(-2)x(-2)x3x3><3

=[(-2)x3卜[(—2)x3冈(—2)x3]

=[(-2)X3]3=(-6)3=-216.

例如2：

86x0.1256=8x8x8x8x8x8x0.125x0.125x0.125x0.125x0.125x0.125

=(8x0.125)x(8x0.125)x(8x0.125)x(8x0.125)x(8x0.125)x(8x0.125)

=(8x0.125)6=1.

(1)仿照上面材料的计算方法计算：(IVxJl/z

(2)由上面的计算可总结出一个规律：(用字母表示)a".b"=

(5俨(3产。

(3)用(2)的规律计算：-0.42018x-jx|.

20.阅读下列材料：因为(x—l)(x+4)=X2+3X-4,所以(x?+3x—4)+(x—1)=x+4,

这说明x2+3x-4能被x-1整除，同时也说明多项式x2+3x-4有一个因式为x—1；另外，

当x=l时，多项式x?+3x—4的值为0.

(1)根据上面的材料猜想：多项式的值为0,多项式有一个因式为x—1,多项式能被x

—1整除，这之间存在着什么联系？

(2)探求规律：一般地，如果有一个关于字母x的多项式M,当x=k时，M的值为0,

那么M与代数式x-k之间有什么关系？

(3)应用：已知x—3能整除x?+kx—15,求k的值.

21.阅读材料，根据材料回答：

例如1：(-2)3X33=(-2)x(-2)x(-2)x3x3x3=[(-2)x3]x[(-2)x3]x[(-

2)x3]=[(-2)x3,=(-6)3=-216.

例如2：86X0.1256=8X8X8X8X8X8X0.125X0.125X0.125X0.125X0.125X0.125

=(8x0.125)x(8x0.125)x(8x0.125)x(8x0.125)x(8x0.125)x(8x0.125)

=(8x0.125)6=1.

(1)仿照上面材料的计算方法计算：(1)4x(-l1)4.

⑵由上面的计算可总结出一个规律：a".bn=（用字母表示）;

（3）用（2）的规律计算:-O.42021

【综合考点③】幕的运算新定义问题*/大小比较问题

22.规定两数之间的一种运算，记作（。力）；如果那么（a,6）=c,例如：因

为23=8,所以（2,8）=3

（1）根据上述规定，填空：（5,125）=；（5,1）=,）卜.

（2）小明在研究这种运算时发现一个特例：对任意的正整数小（3",4"）=（3,4）.小明

给了如下的证明：设（3",4"）=x,（3）=4",（3，）"=4",所以3*=4,（3,4）=x,所以

（3",4"）=（3,4）,请根据以上规律：计算：（16,10000）-（64,1000000）.

（3）证明下面这个等式：（3,20）—（3,4）=（3,5）.

23.阅读材料：

定义：如果10"=〃，那么称。为"的劳格数，记为。=d（w）,

例如：10、100,那么称2是100的劳格数，记为2=4（100）.

填空：根据劳格数的定义，在算式a=1（1000）中，相当于定义中的小所以

1（1000）=；

直接写出d（10）=；

探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程

若a、b、m、”均为正数，且10"=p,10"=q,

根据劳格数的定义：d⑺=a,d（q）=,

•.-100-10*=pq

/.10a+6=pq,这个算式中，相当于定义中的a,相当于定义中的小

/.d（pq）-,即d（pq）=d（p）+d（4）,

请你把数学研究小组探究过程补全

拓展：根据上面的推理，你认为：d

24.阅读：已知正整数a、b、c,显然，当同底数时，指数大的幕也大，若对于同指数,

不同底数的两个幕〃和cJ当”>c时，则有4>c",根据上述材料，回答下列问题

（1）比较大小：52042。（填写〉、（或=）

（2）比较2叫与3?2的大小（写出具体过程）

（3）已知》=3,8"=6求（2内丫的值

【类型三】黑的运算»阅读问题/点新定义问题**证明（四

个题）

【挑战考点①】幕的运算“AA材料阅读问题

25.阅读下列材料,并解决下面的问题：

我们知道,加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算，其实乘方运算也有逆运算，如我

32

们规定式子2=8可以变形为log28=3,logs25=2也可以变形为5=25在式子23=8中,3叫

做以2为底8的对数，记为log28.一般地，若a"=6（aX）且。丰1,人>0），则”叫做以。为底》的

对数，记为logab（即1呜b=n）,且具有性质:

①log“夕=〃log“"②log"a'=n；③log“M+log«N=loga.N）,

其中a>0且aHl,MX）,NX）.

根据上面的规定，请解决下面问题：

（1）计算：1%1=»log1025+log104=（请直接写出结果）；

（2）已知x=log,2,请你用含x的代数式来表示y,其中y=logs72（请写出必要的过程）.

26.阅读材料:

求1+2+22+23+24+...+22019的值.

解：设S=l+2+22+23+24+...+22018+22019..

则2S=2+22+23+24+25+...+22019+22020.

②-①，得2S-S=22020-l

即S=22020-l

l+2+22+23+24+...+22019=22020-l

仿照此法计算：

(1)计算:1+3+32+33+34+...+3100.

⑵计算：l+g+*+J+…+击+(=--------(直接写答案)

【挑战考点②】幕的运算新定义问题

27.如果那么〃为〃的"劳格数"，记为b=d(n).由定义可知：10人R与b=d

(几)表示Z?、〃两个量之间的同一关系.

(1)根据“劳格数”的定义，填空：d(10)=,d(IO-2)=；

(2)“劳格数”有如下运算性质:

若m、〃为正数，则d(mn)-d(m)+d(n),d(一)=d(m)-d(九)；根据运算性质，

n

填空：器?=________.(。为正数)

a(a)

(3)若d(2)=0.3010,分别计算d(4)；d(5).

28.规定两数。，人之间的一种运算，记作(〃，Z?)：如果〃c=Z?,那么(〃，b)=c.例

如：因为23=8,所以(2,8)=3

(1)根据上述规定，填空：(5,25)=,(2,1)=,(3,1)=.

⑵小明在研究这种运算时发现一个特征：(3〃，4〃)=(3,4),并作出了如下的证明:

设（3九，4〃）=%,贝!]（3〃）]=4〃，即（3%）〃=4".

所以3x=4,即（3,4）=x,

所以（3小4〃）=（3,4）.

试解决下列问题：

①计算（8,1000）-（32,100000）；

②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3,2）+（3,5）=（3,10）.

【挑战考点③】幕的运算规律问题

29.找规律：观察算式

13=1

13+23=9

13+23+33=36

13+23+33+43=100

（1）按规律填空）

13+23+33+43+...+103=；

l3+23+33+43+...W=.

（2）由上面的规律计算：“3+123+133+14部…+503（要求：写出计算过程）

（3）思维拓展：计算：23+43+63+...+983+1003（要求：写出计算过程）

30.观察下面三行单项式：

x,lx1,4x3,8x4,16x5,32x6,…；①

-2x,4x2,-8x3,16/,-32?,64x6,…；②

2x2,-3d,5x4,-9x5,17x6,-33x7,…；③

根据你发现的规律，解答下列问题：

（1）第①行的第8个单项式为；

(2)第②行的第9个单项式为;第③行的第10个单项式为;

(3)取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为A当苫=；时，求512(A+；］的

值.

参考答案

3

1.(1)x6,(2)—x9—2.x

2

【分析】(1)先计算基的乘方、再计算乘，最后计算减法；

(2)先计算积的乘方，然后将除法转化为乘法，然后按照乘法分配律计算.

解：(1)原式=2/-尤6

=—x2-lx

2

【点拨】本题考查了同底数基的乘除法、幕的乘方、积的乘方，熟练掌握相关运算法则

是解题关键.

2.(1)%6；(2)x6/

【分析】(1)根据同底数塞乘法法则及幕的乘方计算法则计算，再合并同类项即可；

(2)根据积的乘方计算法则去括号，再合并同类项即可.

解：⑴2x4-%2-(.^2)3

=2x6-%6

=9xsy6-8x6y6

=x6y6.

【点拨】此题考查了整式的计算，正确掌握同底数幕乘法法则及塞的乘方计算法则、积

的乘方计算法则、合并同类项法则是解题的关键.

3.(1)45a8(2)4/-2a+l

【分析】(1)根据积的乘方以及同底数幕的乘法求解即可；.

(2)根据整式的除法运算法则即可求出答案.

解：(1)5a2-(3/)2

=5/.9/

=45aB

(2)(12q3—6a~+3a)+3a

—12。'+3ci—+3。+3a+3a

=—2a+1

【点拨】本题考查整式的除法以及积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键.

4.0

【分析】根据实数的运算法则计算.

解：原式=1+2-2-1

=0.

【点拨】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整数指数累和零指数幕运算、绝对值运

算和负数的偶次基运算是解题关键.

5.(1)6(2)-8

【分析】(1)先根据乘方运算、负整数指数幕、。指数幕知识进行化简，再计算即可求

解；

(2)先根据负整数指数幕、零指数幕知识进行化简，再计算即可求解.

2008(，

(1)解：-lx4+^-1y+(7r-5)

=-lx4+9+l

=—4+9+1

二6；

⑵解：n+(-3)°-(-i)-2

=-8+1-1

=-8.

【点拨】本题考查了负整数指数幕、零指数塞、有理数乘方的意义等知识，熟知相关知

识并正确进行计算是解题关键.

6.11

【分析】根据负整指数幕和零指数神化简各式，然后再进行计算即可得到答案.

解：原式［11I，

=9+1+1

=11.

【点拨】本题考查了零指数暴，负整数指数幕，准确熟练地化简各式是解题的关键.

7.(1)4(2)27(3)m=-l

【分析】(1)根据同底数幕相除的运算法则即可得到答案；

(2)将27,变成底数为3的幕，根据同底数幕相乘的法则即可得到答案；

(3)将8,16叫变为底数为2的幕，再根据同底数幕相乘及相除的法则即可得到答案.

⑴解:10m=12,10"=3,

10"'+10"=10%"=12+3=4；

(2)解：由题意可得,

3°x276=3ax33b=3a+3b,

'：a+3b=3,

：.3"x27b=33=27;

(3)解：由题意可得，

8x2™6'”=23X2m-24m=23+,"-4m=26,

3+m-4m=6,

解得m=-\.

【点拨】本题考查同底数暴乘除的法则：同底数幕相乘底数不变指数相加，同底数幕相

除底数不变指数相减.

8.(1)x——(2)x=2(3)y=-x2—6x-5

【分析】(1)根据幕的乘方运算法则把&,化为底数为2的幕，解答即可；

(2)根据同底数幕的乘法法则把2"2+2田=24变形为2*⑵+2)=24即可解答；

(3)由x=5"-3可得5"，=x+3,再根据嘉的乘方运算法则解答即可.

⑴解:8X=(23)X=23J=25,

:.3x=5,

解得x=g；

(2)解：・.・2=+2"1=24,

.\2XX22+2XX2=24

/.6x2%=24,

.•2=4，

x=2；

(3)解：・.・x=5"—3,

.•.5根=%+3,

m2m

...y=4-25=4-(5)

=4-(5")

=4-(x+3>,

y=~x~—6JC—5.

【点拨】本题考查了同底数赛的乘法以及幕的乘方，掌握利用同底数察的乘法、幕的乘

方及其逆运算对式子进行变形是关键.

2

9.(1)22m+3n=ab(2)①2*"嗫；②彳=7

【分析】(1)分别将4"'，8'化为底数为2的形式，然后代入求解即可；

(2)①分别将8"化为底数为2的形式，然后代入求解即可；

②将8,化为23，将16化为2%列出方程求出x的值.

(1)解：4m=a,8"=b,

22m=a,23n=b,

22m+3n=2.2m-2?"=ab;

(2)解：22m=a,23"=b,

2

•24加一6〃_24mJ(23〃『—a.

②；2x8Axl6=226,

2x(23)"x24=226,

2x23vx24=226，

•21+3尤+4_226

••1+3x+4=261

解得:x=7.

【点拨】本题主要考查同底数幕的除法，幕的乘方和积的乘方，掌握运算法则是解题的

关键.

10.(1)7x6(2)9(3)3y3-2孙2_4

【分析】(1)先算乘方，再算乘法，后算减法，即可解答；

(2)先化简各式，然后再进行计算即可解答；

(3)按照多项式除以单项式的法则，进行计算即可解答.

(1)解：(源)3

=8x6-x6

=7/；

(2)(--)A(-2)2x50+(-)'2

43

=-4+4x1+9

=-4+4+9

=9；

(3)(15X3/-10%y-20^/)+(5xV)

=15/产5氏-10岁+5力-20/卢5力

=3/-2^-4.

【点拨】本题考查了整式的除法，同底数嘉的乘法，塞的乘方与积的乘方，零指数幕,

负整数指数鼎，准确熟练地进行计算是解题的关键.

11.(1)3,6；(2)4；(3)证明见分析.

【分析XI)根据阅读材料中的结论可知32⑼的末尾数字;根据阅读材料中提供的方法，

可得142M的末尾数字是4,142”的末尾数字是6,于是得解；

(2)先将22022化成(24)505x4,再利用=建‘％的末尾数字是6,从而得出结论；

(3)分别证明122024的末尾数字为6和3721n8的末尾数字9,则命题即可得证.

解：(1)解：；32。。=34*505+1,

.•.32021的末尾数字为3；

•.•14］的末尾数字是4,142的末尾数字是6,143的末尾数字是4,…

二.142"+1的末尾数字是4,14?”的末尾数字是6,

142022的末尾数字是6；

故答案为：3,6；

(2)解：22022=(24)505x22=(24)505x4,

,/(24)505的末尾数字是6,

二22022的末尾数字是4；

(3)证明：，.T2i的末尾数字是2,122的末尾数字是4,123的末尾数字是8,12’的末

尾数字是6,12$的末尾数字是2,...

12"+i的末尾数字是2,124g2的末尾数字是4,12.+3的末尾数字是8,12瓶的末尾数

字是6,

...122024=124x506的末尾数字为6；

同理可得：

374n+1的末尾数字7,374M+2的末尾数字9,374K+3的末尾数字3,3俨的末尾数字1；

372018=374X504+2的末尾数字9,

...122024+37288的末尾数字是5,

...1223+37288能被5整除.

【点拨】此题是一道阅读理解题，主要考查了幕的运算、数的整除，熟练掌握同底数嘉

的乘法、幕的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键.

12.(1)24；(2)--

27

【分析】(1)由同底数幕的乘法法则的逆运算和负整数指数募的定义来计算求解；

(2)配方得出(a+D+(6-2>=。，求出。=-1,6=2,再代入计算即可.

解：(1)：3'"=6，3"=2，

32m+n~1=(3m)2-3"-3-1

=62X2X-

3

=24；

(2)将/+02+210+5=0变形为(a+l)2+0-2)2=。,

a=—ljb=2,

【点拨】本题考查了配方法的应用、偶次方的非负性质、负整数指数塞的定义，同底数

幕的乘法法则的逆运算，熟练掌握相关知识是解决问题的关键.

13.-55.

【分析】先用同底数幕相乘和幕的乘方将原式化成含有X2。，的形式，然后代入求值

即可.

解：当f〃=2,/〃=3时，

原式=(x2a)3+y6a-Cx6ay3a)*y3a

=(x2^)3+(得)2-(x2。)3・2

=23+32-23X32

=8+9-8x9

=-55.

【点拨】本题考查事的乘方和同底数幕相乘，熟练运用幕的乘方运算法则是解答本题的

关键.

14.9

11

【分析】先将两个乘数的次数依据同底数累乘法写成相同的次数，再将同次数的乘数依

据积的乘方逆运算相乘，最后化简结果即可.

_6_

【点拨】此题是高次数的因数相乘，将次数写成相等的形式是解题的关键，再根据积的

乘方逆运算算出乘积，最后再化简结果.

15.14

【分析】先将(2守)2与(3炉)2写成含有针的形式即4(/)3、9(口),再将尤2"=2代入

求值即可.

解：(2—”)2—(32)2

=4^6,,-9x2re

=4(一)3—9(一)

,/钟=2,

，原式=4x23-9x2=14.

【点拨】此题考查代入求值，根据已知的条件将所给式子进行变形是解题的关键.

16.(1)1(2)(ab)"(3)-1

【分析】(1)根据积的乘方的逆运算直接求解即可得到答案；

(2)根据乘方的积等于积的乘方即可得到答案；

(3)根据乘方的积等于积的乘方即可得到答案.

(1)解：原式=(8x0.125)6

=心

=1,

故答案为：1;

(2)解：由题意可得，

原式=30",

故答案为：(")"

(3)解：由题意可得，

【点拨】本题考查积的乘方等于乘方的积的逆应用，解题的关键是找出规律，进行简便

计算.

17.⑴。，I2；(2)第〃个等式为2"—2"T=2”T，说明见分析；(3)2*1

【分析】(1)根据乘方的运算法则以及零指数累进行运算可得结果；

(2)由(1)中式子可得规律2"-2"T=2"T，从而解答；

(3)由(2)中规律可得原式=21一2°+2?—21+23—2?+...+2202Z—Z20",进而得出答案.

解：(1)21-2°=2-1=2°-2?-2=4—2=2=2、23-22=8-4=22;

故答案为：。，I,2;

(2)由(1)可得，第〃个等式为2"-2"T=2"_，

...2"_2"-i=2，ix(2-1)=2"T,

等式成立；

(3)由(2)中规律可得：

原式=2]一2°+2?—2]+23—2?+…+22022-22021

【点拨】本题考查了数字的变化规律，乘方等运算法则，读懂题意得出题目中式子的变

化规律是解本题的关键.

18.(1)(-2)-(2)(-2)"+2(3)(一2)2+6(4)存在.这三个数分别为：

66,-126,258

【分析】(1)观察数据可发现，每个数的绝对值为连续的偶数，序号为奇数时是负的，

序号为偶数时，这个数为正数，据此即可求解；

(2)第二行数据，在第一行的每一个数都加上2,即可求解；

(3)第三行数据为第二行数据乘以2,进而求得各行第w个数的和；

(4)根据题意列出方程，解方程即可求解.

(1)解：观察数据可发现，每个数的绝对值为连续的偶数，序号为奇数时是负的，序

号为偶数时，这个数为正数，

.•.第〃个数为(-2丫,

故答案为-2)"；

(2)解：第二行数据，规律是在第一行的每一个数都加上2,

即第〃个数为(-2)"+2,

故答案为：(-2)"+2；

(3)解：第三行数据为第二行数据乘以2,即[(-2)"+2卜2,

各行第n个数的和为(-2)'+(-2)，+2+2x[(-2)，+2]

=2x(—2)'+2+2x(—2)"+4

=4x(-2)"+6

=(-2)"+2+6；

(4)解：存在.理由如下：

由题意得：(一2,+2+(-2)3+2+(-2)"+2+2=198,

：.(-2)"+(-2)"x(-2)+(-2)"x(-2)2=192

(-2)"(1—2+4)=192

（一2）"=64

解得：n—6,

故这三个数分别为：66,-126,258.

【点拨】本题考查了数字类规律题，同底数幕的乘方，有理数的乘方运算，找到规律是

解题的关键.

19.（1）1；（2）（附；⑶

【分析】（1）根据同底数幕的乘法法则计算即可求解；

（2）根据题意找到规律即可；

（3）逆用积的乘方法则计算即可求解.

54

解:(1)x-11

616666

=(一1)4

（2）根据题意可得：a"-b"=（ab）n

【点拨】此题考查整式的混合运算，解题关键是熟练掌握同底数嘉的乘法，慕的乘方和

积的乘方的知识点.

20.（1）见分析；（2）多项式M能被x-k整除；（3）k=2.

【分析】（1）根据题意和多项式有因式（X-1）,说明多项式能被（X-1）整除，当X=1时,

多项式的值为0；

(2)根据(1)得出的关系，能直接写出当x=k时，M的值为0,M与代数式x-k之间的

关系；

(3)根据上面得出的结论，当x=2时，x2+kx-15=0,再求出k的值即可.

解：(1)若多项式有一个因式为x—l,则x—l=0,即x=l时，多项式的值为0；若多

项式有一个因式为X—1,则多项式必能被X—1整除；

(2)根据(1)得出的关系，可知多项式M能被x-k整除；

(3)由x—3=0得x=3,且x—3能整除x?+kx—15,

.•.当x=3时，多项式x2+kx—15的值为0,

即3?+31<—15=0,.\k=2.

【点拨】本题考查了整式的除法,是一道推理题，掌握好整式的除法法则是解题的关键.

21.(1)1(2)(时(3)

【分析】(1)模仿材料，把原式整理成即可得出答案.

(2)根据第一问的计算可知指数相同的幕相乘时，可先将底数相乘，指数不变.

(3)根据第二问的结论计算即可.

⑴解：ITT

二级，级级恪

666615八5八5八5)

555

—x—x—x

666

=(-1)4

=1;

(2)解：原式=(ab)",

故答案为：(")"；

(3)解：-O.42021

=_12O21X5X9

34

15

【点拨】本题考查了积的乘方的逆运算，运算过程中符号是易错点，可先定符号再计算.

22.(1)3,0,-2；(2)0；(3)见分析

【分析】(1)根据题目中的规定，进行运算即可得出结果；

(2)(16,10000)可转化为⑵，104),(64,1000000)可转化为⑵，106),从而可求解；

(3)设(3,20)=x,(3,4)=y,则3*=20,3y=4,从而可得313y=5,得3、=5,即有

(3,5)=x-y,从而得证.

⑴解:53=125,

.1(5,125)=3；

•.-5°=1,

•■.(5,1)=0；

故答案为：3,0,-2

(2)解：。6,10000)-(64,1000000)

(24,104)-(26,106)

=(2,10)-(2,10)

(3)证明：设(3,20)=x,(3,4)=y,

贝lj3，=20,3y=4,

=20+4,

=5,

.•.3>'=5,

:.(3,5)=x-y,

又：(3,20)-(3,4)=x-y,

(3,20)-(3,4)

=(3,5)

【点拨】本题考查了哥的乘方，熟练掌握嘉的乘方是解题的关键.

23.1000,3；-8；b,a+b,10fl+i,a+b；d(m)—d[ri].

【分析】根据新定义法则进行运算即可.

解：,如果10"=7Z,那么称a为"的劳格数，记为。=d(〃)，

.•.103=1000,那么称3是1000的劳格数，记为3=d。。。。).

在算式a=d(1000)中，1000相当于定义中的〃，所以1(1000)=3；c/(108)=-8；

Wb=q,

b=d(q),

,/10a=p,10』，

/.ioa-10b=10a+b=pq,

.••这个算式中，pq相当于定义中的mKT"相当于定义中的小

d{pq)=d(10a+fc^=a+b=d(p)+d(q),

即d(pq)=d(p)+d(q),

设10"=〃7,10〃=〃，

/.d(rn)-a,d[n)-b,

•.TO"-'=10"+10〃=生，

n

"[丝)="IO*=a-b=d(m)—,

即d(生J=d(m)一d(n).

故答案为：1000,3；-8；b,a+b,lOa+b,a+b；d(ni)-d(n).

【点拨】此题考查了新定义问题，用到了幕的相关运算，解题的关键是理解新定义及其

运算法则.

24.(1)>(2)233<322,见分析⑶972

【分析】(1)根据同指数，不同底数的两个幕/和cJ当时，则有即可

进行解答；

(2)将根据神的乘方的逆运算，将233与322转化为同指数的累，再比较大小即可；

(3)根据同底数幕乘法的逆运算，将(2.")3转化为(2〃X22"),再根据积的乘方的逆

运算，整理为含有2«和8〃的性质，进行计算即可.

(1)解：V5>4,

/.520>420,

故答案为：>.

(2)V233=(23)*'=8n,322=(32)"=9n,8<9,

/.233廿.

(3)原式=(2"X22"Y

=33X62

=972.

【点拨】本题主要考查了幕的乘方与积的乘方的运算法则和逆运算，解题的关键是熟练

掌握嘉的乘方和积的乘方的运算法则及其逆运算法则.

25.(1)0;2(2)y=3x+2.

【分析】(1)根据材料给出的运算法则计算即可(2)先变形y=log372,再带入x即可•

解：(1)log3l=0；log1025+log104=log10(25x4)=logI0100=2

(2)已知x=log32,

所以y=log372=log38+log39=310g32+2=3%+2.

【点拨】此题考查募的乘方和积的乘方的应用以及学生分析理解的能力，正确理解题意

是解题的关键.

【分析】⑴设S=l+3+32+33+34+...+3i°°,两边乘以3得到关系式，与已知等式相减，

变形即可求得所求式子的值；

(2)设S=l+；+：+/+...+击+：,两边乘以然后按照阅读材料的方法进行求

解即可.

解:⑴设S=l+3+3?+设+34+…+31°°,①

两边同时乘以3,得3s=3+32+33+34+...+3i°i,②

②-①,M3S-S=3101-l,

.,.1+3+32+33+34+...+3100=

⑵设s=i+]+^+了+…+声+梦，①

两边同时乘以3，得gs=；+，+[+…+，+击，②

①-②，得S-gSnl-A，

乙L

•J-S=]]

・・2、12n+1J

S=2--,

2n

【点拨】本题是阅读材料题，主要考查了同底数哥的乘法，弄懂材料中的解题方法是解

题的关键.

27.(1)1,-2(2)3(3)0.6020,0.699.

【分析】(1)由“劳格数”的定义运算转化为同底数幕解答即可；

(2)根据基的乘方公式转化求解即可；

(3)根据积的乘方公式、幕的乘方转化求解即可.

(1)解：V106=10,

：.d(10)=1；

10Z?=10-2,:・b=-2,

：.d(10-=-2；

故答案为1,-2；

m

(2)解：\*d=d(m)+d(九)，d(一)=d(m)-d(n)

n

.d(a3)_3d(a)_

..J

d(a)d(a)

故答案为3；

(3)解：,:d(2)=0.3010,

：.d(4)=2d(2)=0.6020,

d(5)=d(—)=d(10)-d(2)=1-0.3010=0.699.

2

【点拨】本题考查新定义，有理数的运算；理解题意，将新定义转化为同底数嘉的乘除

法、幕的乘方与积的乘方运算是解题的关键.

28.(1)2,0,-2

(2)①0；②见分析

【分析】(1)根据题中规定及幕的乘方运算进行计算即可；

(2)根据题中规定及幕的乘方运算进行计算即可.

⑴解:*/52=25,

(5,25)=2；

：20=1,

(2,1)=0；

・•1=，・•(4)=-2

故答案为：2,0,-2；

(2)①(8,1000)-(32,100000)=(23,103)-(25,105)=(2,10)-(2,10)

=0；②设3x=2,3y=5,贝！J3»3y=3