浙教版八年级数学上学期重难点突破：直角三角形的性质与判定（原卷版）

第9讲直角三角形的性质与判定

考点一直角三角形的性质

【知识点睛】

❖直角三角形的性质：

两锐角互余；

斜边上的中线一斜边长

30°角所对的直角边=%斜边长

直角三角形性质及应用常结合相关性质有：

直角三角形

垂直的意义；

平行线的性质；

等腰三角形等边对等角；

角平分线的性质；

三角形内角和与外角和定理；

全等三角形的对应角相等；

❖Rt△中求角度时，有时是直角三角形性质的单独应用，有时也是三角形有关角度性质的

综合考察；NA

❖注意事项：如右图，当Rt△斜边上的中线的条件出现时，常见考察方向有：R

①CD=%AB（或AB=2CD）；②AD=CD=BD,即^ACD、Z\BCD均为等腰三角形；X

【类题训练】

1.已知，在直角△ABC中，NC为直角，是/A的2倍，则NA的度数是（）

A.30°B.50°C.70°D.90°

2.如图，已知RtZ\ABC和RtZXQEF,ZBAC=ZEDF=90°，点、F、A、D、C共线，AB.

E尸相交于点且EfUBC,则图中与/£相等的角有（）个.

3.如图，在中，ZACB=90°,CDLAB,垂足为D.下列结论中，不一定成立

的是（）

B

D

A.NA与/I互余B.与/2互余C.ZA=Z2D.Z1=Z2

4.一个直角三角形斜边上的中线为5,斜边上的高为4,则此三角形的面积为（）

A.40B.30C.20D.10

5.如图，在RtZXABC中，ZC=90°,平分/CAB,且/B=30°,49=4,点E是AB

上一动点，则。，E之间的最小距离为（）

C.2D.1

6.如图，木杆A2斜靠在墙壁上，尸是的中点，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,

木杆的底端B也随之沿着射线方向滑动,则下滑过程中OP的长度变化情况是（）

B.不断变小

C.不变D.先变大再变小

7.如图，在△ABC中，AE_L8C于点E,BO_LAC于点。，点尸是4B的中点，连接。F、

EF,设/DFE=a,则NC的度数可表示为（）

C

A.aB.2aC.90°-aD.90°-Aa

2

8.如图，在等边AABC中，AB=10,P为8C上任意一点（不与端点8,C重合），过点P

分别作POLAB于点D,PELAC于点E.若PE=2^，则PD的长为（)

A

A.3B.C.5V3-6D.373

9.在△ABC中，NA=90°,ZB-ZC=14",则NB=0,NC=0.

10.如图，在直角三角形ABC和直角三角形A3。中，ZACB=ZADB=90°,AB=10,M

是A8的中点，连接MC,MD,CD,若CD=6,则三角形MCD的面积为.

11.在Rt^ABC中，ZC=90°,其中一个锐角为60°,AB=10.若点°在直线AB上(不

与点A、8重合)，当/QCB=30°时，C。的长为.

12.将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作C/〃交于点足

(1)求证：CF平分/DCE；

(2)求/。FC的度数.

13.已知：如图，△ABC中，/54C与NACB的平分线交于点。，过点D的AC的平行线

分别交A8于E,交BC于F.

(1)求证：EF^AE+CF；

(2)若NACB=90°，N2AC=30°,BC=3,求△BEF的周长.

14.如图，在△ABC中，/C=90°,点尸在AC上运动，点。在AB上，PD始终保持与

E4相等，DELPD交BC于点、E.

(1)求证：点E在8。的垂直平分线上；

(2)若/DEB=cc,

①求NCPD的度数；(用含a的式子表示)

②当a=UO°时，求乙4的度数.

15.如图，BN,CM分别是AABC的两条高，点。，E分别是BC,的中点.

(1)求证：DE1MN；

(2)若8C=26,MN=\O,求OE的长.

考点二直角三角形的判定

【知识点睛】

❖直角三角形判定的方法：

①有一个角为直角的△是直角三角形；

②有两个内角互余的△是直角三角形

③一边上的中线=这边长度的一半的△是直角三角形；

④30°角所对的边长=30。角临边的一半的△是直角三角形

⑤勾股定理逆定理也可用于判定直角三角形

❖注意事项：

①上面直角三角形判定方法中，在综合问题中，第③条需要利用等边对等角与内角和

证明之后才能用，选择填空可以直接应用；

②常见利用角度证明直角三角形的类型有：ZA+ZB=90°；ZA+ZB=ZC；NA也/

B=1A/C；ZA：ZB：ZC=a：b：c且a+b=c；

【类题训练】

1.在△ABC中，满足下列条件：

①/A=60。；

®ZA=ZC-ZB；

③/A：ZB：NC=1：1：2；

④/A=90°-NC.

其中，判定AABC是直角三角形的有（)

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图，在△ABC中，点P在边BC上(不与点8,点C重合)，()

A.若N3AC=90°,ZBAP=ZB,贝l|AC=PC

B.若/BAC=90°,ZBAP=ZC,贝UAP_LBC

C.若AP_LBC,PB=PC,则/ft4c=90°

D.若PB=PC,ZBAP=ZCAP,则N8AC=90°

3.如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以AB为边画RCABC,使点C在格

点上，满足这样条件的点C共()个.

4.如图，已知点P是射线ON上一动点(即P可在射线ON上运动)，ZAON=40°,

(1)当NA=时，△AO尸为直角三角形；

(2)当NA满足时，ZVIOP为钝角三角形.

5.如图，已知。是线段BC的延长线上一点，ZACD=ZACB,ZCOD=ZB,求证：△

AOE是直角三角形.

6.如图，在△ABC中，NA=30°,/B=60°,CE平分NACB.

(1)求NACE的度数.

(2)若COL42于点。，NCDF=15°,求证：△CfD是直角三角形.

c

7.如果三角形中任意两个内角Na与N0满足2/a+/|3=90°,那么我们称这样的三角形

为“准直角三角形”.

（1）在AABC中，若NA=100°,ZB=70°,试判断△ABC是否是“准直角三角形”,

并说明理由；

（2）如果△ABC是“准直角三角形"，那么△ABC是—；（从下列四个选项中选择，

填写符合条件的序号）（①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④都有可能）

（3）如图，在△ABC中，NA=25°,/C=75°,2。平分NABC交AC于点D

①若DE〃BC交AB于点E,在①△ADE,②ABDE,③ABDC,④△A3。中“准直角

三角形”是—（填写序号），并说明理由；

②在直线AB上取一点尸，当△8FD是“准直角三角形”时，求出NQEB的度数.

【综合练习】

1.如图，公路AC,8c互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得48的长为

2.8km,则M,C两点间的距离为（

A.1.5kmB.2.8kmC.1AkmD.1.9km

2.如图，在△ABC中，ZACB=9Q°,点。为A8的中点，点E在AC上，S.AE=BE,

连接C。交BE于点孔若/A=25°,则NQEE的度数（)

A.65°B.70°C.75°D.80°

3.如图，在RtZkABC中，D,E为斜边A3上的两个点，且BD=BC,AE^AC,则/。CE

的度数为（）

A.30°B.36°C.45°D.48°

4.如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个RtAABC,ZC=90°,并画出了两锐

角的角平分线A。，BE及其交点凡小明发现，无论怎样变动RtaABC的形状和大小，

ZAFB的度数是定值.这个定值为一.

5.如图，在△ABC中，AB=AC=10,ZABC=15°,则△ABC的面积为

6.由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示，ZAOB=ZBOC^-=ZLOM

=30°.若OA=16,则OK的长为

D

7.如图，在RtZxABC中，AB=CB,ZAB