2024~2025学年吉林省长春市高三上学期第二学程考试数学试卷【有解析】

/2024-2025学年吉林省长春市高三上学期第二学程考试数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．若，则=（）A． B．5 C． D．3．已知数列是公比为的等比数列，则以下数列：①；②；③；④中等比数列的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．已知焦点在y轴上的椭圆的焦距为2，则其离心率为（）A． B． C． D．5．某市为了了解全市10万名高一学生的数学学习情况，抽取了该市某个区的15000名学生进行数学能力测试（百分制），并将这些学生的成绩整理成如图所示的频率分布直方图、根据频率分布直方图，下列说法正确的是（）A．图中a的值为0.15B．估计样本数据的分位数为85C．用样本可以估计全市高一学生数学能力测试不及格（低于60分）的人数为5000D．用样本可以估计全市高一学生数学能力测试的平均分约为81.5分（同一组数据用该组区间的中点值作代表）6．如图，是正三棱锥且侧棱长为a，E，F分别是SA，SC上的动点，的周长的最小值为，则侧棱SA，SC的夹角为（）A． B． C． D．7．若是函数的极小值点，则的极大值为（）A． B． C． D．8．已知函数，且为偶函数，则满足不等式的实数m的取值范围为（）．A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知复数，（i为虚数单位），则（）A． B．的虚部为C． D．在复平面内对应的点位于第四象限10．已知正数满足，则（

）A． B．C． D．11．已知点，直线l：，曲线C上的点满足到F的距离与到l的距离之积为16，则下列说法正确的有（）A．曲线C关于y轴对称B．曲线C经过坐标原点C．设曲线C上动点到直线的距离为d，则的最小值为D．当点在曲线C上时，的最小值为三、填空题（本大题共3小题）12．三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为.13．十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开．会议期间，会议筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人．每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有种．（用数字作答）14．设等差数列的前项和为，已知，，设，则数列的前项和为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知抛物线的焦点为，位于第一象限的点在抛物线上，且.(1)求焦点的坐标；(2)若过点的直线与只有一个交点，求的方程.16．在中，角对应的三边分别是，且(1)求角的值;(2)若，求的面积.17．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．“星队”在两轮活动中猜对所有成语的概率为．(1)求的值；(2)求“星队”在两轮活动中，猜对3个成语的概率；(3)若某人在两轮活动中至少猜对1个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率．18．如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，对的中点.(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面所成角的正弦值；(3)设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值.19．帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，……，（注：，，，，为的导数）已知在处的阶帕德近似为.(1)求实数m，n的值；(2)证明：当时，；(3)设a为实数，讨论函数的单调性.

答案1．【正确答案】B【详解】由可得，且，所以.故选：B2．【正确答案】B【详解】由，得，所以.故选：B3．【正确答案】C【详解】数列是公比为的等比数列，①不是定值，故不是等比数列；②为定值，故是公比为的等比数列；③为定值，故是公比为的等比数列；④为定值，故是公比为的等比数列；故等比数列的个数是3个.故选：C4．【正确答案】B【详解】因为焦点在轴上的椭圆的焦距为2，所以，解得，所以椭圆的离心率.故选：B.5．【正确答案】C【详解】A选项，根据频率分布直方图的性质，，解得，A选项错误；B选项，前个矩形条的面积为，前个矩形条的面积为：，故样本数据的分位数落在中，设样本数据的分位数为，于是，解得，B选项错误；C选项，根据直方图可以看出，低于分的频率为：，于是估计全市学生不及格的人数为：，C选项正确；D选项，由题意，平均数为：，D选项错误.故选：C.6．【正确答案】A【详解】将三棱锥的侧面沿着剪开，如图所示：因为的周长的最小值为，所以当四点共线时，的周长最小，即，又因为，所以，即，又因为三棱锥是正三棱锥，所以，即侧棱SA，SC的夹角为.故选：A7．【正确答案】D【详解】由可得，又是函数的极小值点，所以，解得或，当时，，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，即是的极大值点，不符合题意，故舍去；当时，，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，即是的极大值点，是的极小值点，符合题意，此时，所以的极大值为.故选：D8．【正确答案】C【详解】依题意，，令，由于为偶函数，故只需为奇函数，由，得，因为，定义域关于原点对称，，由此可以验证为奇函数．所以满足题意，又由为偶函数，得，故的图象关于直线对称．，当时，，可知，当时，单调递增，则时，单调递减．原不等式即为，等价于，即，解得．故选C.9．【正确答案】AC【详解】对于A，，A正确；对于B，的虚部为，B错误；对于C，，故，C正确；对于D，，所以在复平面内对应的点位于第二象限，D错误.故选：AC10．【正确答案】AC【详解】对于选项A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故选项A正确；对于选项B：，当且仅当，即时取等号，故选项B错误；对于选项C：由选项A可知，所以，当且仅当，即时取等号，故选项C正确；对于选项D：因为，当且仅当，即时取等号，这与x，y均为正数矛盾，故，故选项D错误.故选：AC.11．【正确答案】BCD【详解】设曲线C上的点，则曲线的方程为.对A：令可得，所以点在曲线上，但点不在曲线上，故曲线不关于轴对称，所以A错误；对B：令得或，故曲线过原点，所以B正确；对C：若，则，所以曲线上的点的横坐标都不大于，所以，又，所以（当且仅当时取“”），所以C正确；对D：若，则，所以曲线上最左边的点为，所以，故D正确.故选：BCD12．【正确答案】3【详解】由双曲线的定义，则.故313．【正确答案】【分析】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是和，先求出5名工作人员分配到3个会议厅的情况数，甲乙两人分配到同一个会议厅的情况数，相减得到答案.【详解】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是和，人数组合是时，共有种情况，其中甲､乙两人分配到同一个会议厅的情况为种，从而甲､乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有种；人数组合是时，共有种情况，其中甲､乙两人分配到同一个会议厅的情况为种，从而甲､乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有种，所以甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有种.故答案为.14．【正确答案】【详解】设等差数列的公差为，由题意得，，解得，则，则，则数列的前项和为：.故答案为.15．【正确答案】(1)(2)或【详解】（1）因为抛物线，，所以，所以，可得所以焦点的坐标.（2）因为点在抛物线上，所以，又位于第一象限，所以，所以，过点的直线与只有一个交点，直线斜率不存在不合题意；设直线与有且只有一个交点，由，得，当时，，即，即，当时，，只有一个根符合题意；所以的方程为或，即或.16．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）根据题意由正弦定理可得，整理可得，即，所以，可得，又，所以，又，因此；（2）由（1）得，由可得，解得或，当时，，又，所以两角均为钝角，不合题意，因此，，又，可得，同理，由正弦定理可得，可得，，因此的面积为.17．【正确答案】(1)(2)(3)【详解】（1）设分别表示甲两轮猜对0个，1个，2个成语的事件，分别表示乙两轮猜对0个，1个，2个成语的事件，则设“‘星队’在两轮活动中猜对了所有成语”，解得（2）由（1）知，设“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则，且与互斥，与与分别相互独立，则所以两轮活动‘星队’猜对3个成语的概率为.（3）“‘星队’的甲、乙两人中恰有一人获得此称号”，则所以“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率.18．【正确答案】(1)证明见解析(2)(3).【详解】（1）取的中点，连结，由已知得，是边长为2的等边三角形，是以为腰的等腰三角形，则，故,故平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为n=x,y,z则，即，取，则，设平面的一个法向量为，由，取，得，所以，因为，故平面与平面所成角的正弦值为.（3）点是内一动点且，则点在以为直径的圆上，当线段的长最小时，点在与圆的交点处，此时