南华大学离散数学试卷

南华大学离散数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.在集合论中，集合A={1,2,3}与集合B={3,2,1}的关系是？

A.A≠B

B.A=B

C.A⊂B

D.B⊂A

2.下列哪个是命题？

A.今天天气很好

B.2+3=5

C.请你吃饭

D.这个圆是红色的

3.命题逻辑中，命题p和命题q的合取（∧）为真，当且仅当？

A.p和q都为真

B.p或q为真

C.p和q中至少一个为真

D.p和q都为假

4.在谓词逻辑中，∀x(P(x))表示？

A.所有的x都满足P(x)

B.至少有一个x满足P(x)

C.没有x满足P(x)

D.x是P(x)的实例

5.设有集合A={1,2,3}和B={2,3,4}，则A∪B的结果是？

A.{1,2,3}

B.{2,3,4}

C.{1,2,3,4}

D.{1,4}

6.在图论中，一个无向图G=(V,E)的邻接矩阵是一个？

A.方阵，其中元素表示顶点间是否有边

B.长方阵，其中元素表示顶点间是否有边

C.矩阵，其中元素表示顶点间边的权重

D.矩阵，其中元素表示顶点的度数

7.在树的结构中，一个树的度是指？

A.树中边的数量

B.树中顶点的数量

C.树中最大分支的顶点数

D.树中根的子树数量

8.在组合数学中，从n个不同元素中取出k个元素的组合数记作C(n,k)，其计算公式是？

A.n!/(k!*(n-k)!)

B.n!/k!

C.k!/(n!*(k-n)!)

D.(n+k)!/(n!*k!)

9.在数理逻辑中，命题p→q的等价形式是？

A.p∧q

B.¬p∨q

C.¬p∧¬q

D.p∨¬q

10.在布尔代数中，逻辑运算符“与”（∧）和“或”（∨）的性质分别是什么？

A.交换律、结合律

B.互补律、吸收律

C.交换律、分配律

D.结合律、互补律

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.下列哪些是命题逻辑中的基本联结词？

A.合取（∧）

B.析取（∨）

C.蕴含（→）

D.等价（↔）

E.非（¬）

2.在集合论中，集合A和B的笛卡尔积A×B的定义是？

A.A和B的所有元素的组合

B.A中元素与B中元素的所有有序对

C.A和B的并集

D.A和B的交集

E.A和B的差集

3.在图论中，以下哪些是图的常用性质？

A.顶点数和边数的关系

B.无向图和有向图的区别

C.图的连通性

D.图的色数

E.图的路径和环

4.在树的结构中，以下哪些是树的性质？

A.树中没有环

B.树中任意两个顶点之间有唯一路径

C.树至少有一个根节点

D.树可以是空的

E.树中每个节点都有相同数量的子节点

5.在组合数学中，以下哪些是常见的组合计数问题？

A.排列问题

B.组合问题

C.二项式定理

D.鸡兔同笼问题

E.递归关系

三、填空题（每题4分，共20分）

1.在命题逻辑中，符号“¬”表示__________。

2.集合A={1,2,3}与集合B={3,2,1}的交集A∩B是__________。

3.在图论中，一个有n个顶点的无向完全图有__________条边。

4.谓词逻辑中的量词“∀”表示__________，量词“∃”表示__________。

5.组合数学中，从n个不同元素中取出k个元素的排列数记作__________。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.设集合A={x|x是小于10的质数}，B={2,4,6,8}，求A∪B和A∩B。

2.写出命题“如果今天下雨，那么地面湿”的逆命题、否命题和逆否命题。

3.对于命题逻辑公式(p↔q)→¬p，用真值表法判断其是否为重言式。

4.设有图G=(V,E)，其中V={a,b,c,d,e}，E={ab,ac,ad,be,bd,ce,de}，画出该图并求出每个顶点的度数。

5.计算组合数C(10,3)和排列数A(10,3)，并解释它们的区别。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题答案

1.B

2.B

3.A

4.A

5.C

6.A

7.D

8.A

9.B

10.C

二、多项选择题答案

1.A,B,C,D,E

2.B

3.A,B,C,D,E

4.A,B,C,D

5.A,B,C,D,E

三、填空题答案

1.否定

2.{2,3}

3.n(n-1)/2

4.全称量词，存在量词

5.P(n,k)

四、计算题答案及解题过程

1.解：

A={2,3,5,7}，B={2,4,6,8}

A∪B={2,3,4,5,6,7,8}

A∩B={2}

2.解：

原命题：p→q（如果今天下雨，那么地面湿）

逆命题：q→p（如果地面湿，那么今天下雨）

否命题：¬p→¬q（如果今天不下雨，那么地面不湿）

逆否命题：¬q→¬p（如果地面不湿，那么今天不下雨）

3.解：

真值表：

pq(p↔q)¬p(p↔q)→¬p

TTTFF

TFFFT

FTFTT

FFTTF

该公式不是重言式。

4.解：

画出图G：

a---b

|/|

|/|

|/|

d---c

e

度数：

deg(a)=3,deg(b)=3,deg(c)=3,deg(d)=3,deg(e)=2

5.解：

C(10,3)=10!/(3!*(10-3)!)=120

A(10,3)=10!/(10-3)!=720

区别：组合数不考虑顺序，排列数考虑顺序。

知识点分类和总结

集合论：集合的基本运算（并、交、差、补）、集合的性质、笛卡尔积。

命题逻辑：命题、联结词、真值表、重言式。

谓词逻辑：量词、谓词表达式。

图论：图的定义、性质、连通性、度数、树的结构。

组合数学：排列、组合、二项式定理、递归关系。

各题型所考察学生的知识点详解及示例

选择题：考察学生对基本概念的掌握程度，如集合论中的集合关系、命题逻辑中的联结词、图论中的图的性质等。

多项选择题：考察学生对多个知识点综合应用的能力，如命题逻辑中的联结词、集合论中的集合运算、图论中的图的性质等。

填空题：考察学生对基本概念的熟悉程度，如命题逻辑中的联结词、集合论中的集合运算、图论中的树的性质等。

计算题：考察学生对知识点的综合应用能力，如集合论中的集合运算、命题逻辑中的命题转换、图论中的图的度数计算、组合数学中的排列组合计算等。

示例：

集合论：集合A={1,