2024人教版八年级数学上册同步练：（第5课时）斜边直角边（分层作业）（试卷+解析）

14.2（第5课时）斜边直角边（原卷版）

目录

类型一、判定方法HL的识别.....................................................................1

类型二、用HL证明全等..........................................................................3

类型三、全等的性质和HL综合...................................................................4

夯基础

类型一、判定方法HL的识别

1.如图，在与△C3D中，AELBD于点、E,CDLBD于点D,AB=BC,BE=CD,则可判定

RtZX/BE也RtZYSCD的理由是（）

2.如图，在/NO8的两边上，分别取（W=CW,再分别过点〃、N作。4的垂线，交点为P,画射

3.如图，在A48C和A。跖中，NB=NE=9。。,BC=EF,AC=DF,则能直接判断A48c段A。跖的理

由是（）

1/31

A.HLB.ASAC.SASD.SSS

4.如图，BE=CF,AE1BC,DF1BC,CD=AB,则RtZX/BE之RtADCF的理由是（

A.AASB.SASC.HLD.ASA

5.如图，点3,EC,£在一条直线上，=尸=90。，AB=DE,3C=£尸，则可得到△48C名

的依据是（）

A.ASAB.SASC.SSSD.HL

6.用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知N/O2的两边上分别取点M,N,使OM=ON,再过点M

画。4的垂线，过点N画的垂线，两垂线交于点P,那么射线。尸就是的平分线.小明发现说明

此画法的合理性时需要证明与△尸ON全等，其依据是（）

7.如图，在的两边上，分别取。河=ON,过M,N分别作。/,的垂线，两线相交于点P,画射

线。P.可判定g△ONP,依据是（请从"SSS、SAS、AAS、ASA、HL”中选择一个填入）.

A

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类型二、用HL证明全等

8.如图，DCVAE,垂足为C,且/C=C。，点B在CQ上，若用"HL"证明△43C当ADEC,则需添加的

条件是（）

AcE

A.CE=BCB.AB=DE

C.ZA=/DD.ZABC=NE

9.如图，已知4B_L4C,CDVBD,若用"HL”判定RtZXZBC和RtADCB全等，则可以添加的条件是（）

AD

BC

A.AE=CEB.AB=CDC.ZA=/DD.BE=CE

10.如图，已知垂足为点。，ACJ=CO,要根据“HL〃证明RtZX/BOgRtZXC。。，还需要添加

的一个条件是（）

D

A.AB//CDB.OB=ODC.N4=NCD.AB=CD

11.如图，//=/。=90。，AB=DEBF=EC,求证：AC=DF.

AD

/XX

FC

12.如图，已知在V4BC和中,点E在48边上，NC=NAED=9CP,AC=DE,AB=DA,求证:

△AB8ADAE.

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13.已知：如图，AD1BD,BC1AC,AC=BD,求证：OA=OB.

14.如图，已知乙4=/。=90。，E、厂在线段3C上，AF、DE相交于点0,48=CD,且BE=CF.求证:

△ABF^Z\DCE.

15.如图，ZA=ZD=90°,AB=DE,BF=EC.求证：RtZX/BC丝RtADEF.

类型三、全等的性质和HL综合

16.如图，在VN8C中，AC=BC,ZC=90",AD平分/C45交2C于点。，过点。作DE1N8交48于

点E,若/B=8cm,则的周长为（）

B

A.8cmB.16cmC.6cmD.10cm

17.如图，在RtzXZBC中，ZC=90°,N2NC的平分线NE交BC于点£,于点D,若V/BC的周

长为12,贝（IVADE的周长为4,则/（?为（）

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A

A.3B.4C.6D.8

18.如图，在V/BC中，40是8c边上的高，E是/。边上一点，S.DE=DC,AC=BE,若BD=4,则

AD=.

19.如图，BZ)_L/C于点。，CEJ.AB于E,BD,CE交于0,O3=OC,求证：Z1=Z2

20.如图，AA=AB=90°,AD=BC.试问：/C与8。相等吗？为什么？

21.如图，ZA=AD=90°,AE=DF,EC=FB,求证：NE=NF.

22.如图，在和△CSZ）中，AELBD于点、E,8,3。于点。，AB=BC,BE=CD.M：AB±BC.

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1.如图，直线：力于点O,点A,B分别在直线。，6上，OB=8cm,三角形48。向右平移4cm得三角

形CDE,线段CD与直线。交于点尸.若图中阴影部分的面积为20cm2,则。尸=cm.

2.如图，在V/BC中，平分/A4c,ZC=90°,DE1于点E,点尸在/C上，且8D=。厂.若=12,

AF=8,则CR的长为.

3.按要求完成下列各小题：

(1)在VNBC中，/4=/B+/C,NB=2NC-60,求/C的度数；

(2)如图，//=/£>=90°,AB=DE,BF=EC.求证：RtA4BC且RtADEF.

4.如图，在V/BC中，。是48的中点，DM工AC于点、M,DN_L3C于点N,且。M=ZW,求证：NA=NB.

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5.如图，在四边形48CZ)中，ZA=/B=90。，E是NB上的一点，S.AE=BC,连接DE,EC,DE=EC.

求证：

⑴RtZiADE丝RtABEC.

(2)DELCE.

6.如图，点C,。均在线段N3上，且4D=8C,分别过点C,D在AB的异侧作尸C,48,EDLAB,

连接的交于点G,AE=BF.

⑴求证：DE=CF.

⑵求证：G是线段的中点.

7.如图，DEJ.AB于E,DF_LAC于F,若BD=CD,BE=CF.

⑴求证：DE=DF；

⑵已知4c=14,BE=2,求48的长.

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C拓展培优题

1.已知：如图，NE=/F=90°,AB=AC,AE=AF.

⑴当/C=30。，/8/C=25。时，求的度数；

⑵求证：^ACN^ABM.

2.已知点。为/E4F平分线上一点，DB工4E于B,N分别是射线NE,/月上

的点，豆DM=DN.

图③

(1)如图①，当点”在线段上，点N在线段NC上时，易证得5W=CN；(要证明)

⑵如图②，当点M在线段NB上，点N在线段/C的延长线上时，(1)中结论是否还成立？如果成立，请

你证明，如果不成立，请说明理由；

⑶在(2)的条件下，直接写出线段NM,/N与NC之间的数量关系；

(4)如图③，当点/在线段A8的延长线上，点N在线段/C上时，若NC:OC=2:1,且DC=4,求四边形

的面积.

3.如图，NC平分N5/。，CD_LND于。，CEIAB于E,点尸在上，点E在上，且CP=CB.

(1)求证：BE=DF；

(2)若CE=6,AD=8,求四边形48CF的面积.

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14.2（第5课时）斜边直角边（解析版）

目录

类型一、判定方法HL的识别.....................................................................1

类型二、用HL证明全等..........................................................................5

类型三、全等的性质和HL综合...................................................................8

夯基础

类型一、判定方法HL的识别

1.如图，在与△C3D中，AELBD于点、E,CDLBD于点D,AB=BC,BE=CD,则可判定

RtZX/BE也RtZYSCD的理由是（）

【答案】C

【分析】本题考查全等三角形判定.根据题意利用HL判定Rta/BE也RtaBCD即可得到本题答案.

【详解】证明：；Z£_LAD,CDLBD,

：.ZAEB=ZBDC=90°,

在RtLABE和RSCD中，

jAB=BC

、BE=CD'

RtA4B£*RtA8CO（HL）.

故选：C.

2.如图，在/NOB的两边上，分别取0M=CW,再分别过点M、N作。408的垂线，交点为P,画射

线。尸，则。尸平分//O5的依据是（）

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【答案】D

【分析】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，利用判定方法"HL"证明RtAOMF和RtZXCWP全等，

进而得出答案.

【详解】解：：尸“_LOA,PN1OB,

：.AOMP=NON9=90°,

在RXAOMP和RtZXCWP中，

jOM=ON

[OP=OP'

RtA（9Aff,^RtA（97VP（HL）,

ZMOP=ZNOP,

OP是N/O8的平分线.

故选：D.

3.如图，在A48C和ADE尸中，NB=NE=90°,BC=EF,AC=DF,则能直接判断咨△£）£尸的理

由是（）

A.HLB.ASAC.SASD.SSS

【答案】A

【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，熟练掌握判定方法是解题的关键.对于直角三角形ANBC和

△DEF斜边和一组直角边对应相等，可以用判定两个三角形全等.

【详解】解：N3=NE=90。,

和A。跖均为直角三角形，

其中/C和。尸为斜边，3C和E尸为直角边，

\AC=DF

在RLABC和R&DEF中《cc

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r.A48c绦DE尸（HL）,

能直接判断8c丝AD跖的理由是HL.

故选：A.

4.如图，BE=CF,AE1BC,DF±BC,若CD=AB,则RtZ\/8E峪RtADCF的理由是（）

A.AASB.SASC.HLD.ASA

【答案】C

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，能熟练地运用全等三角形的判定定理进行推理是解题的关

键.根据全等三角形的判定定理判断即可.

【详解】解：,,,AE1BC,DF1BC,

：.ZCFD=NAEB=90°,

在RtAABE和RSDCF中

[BE=CF

[CD=AB，

Rta/BE丝RtADCF（HL）.

故选：C.

5.如图，点3,EC,£在一条直线上，=尸=90。，AB=DE,BC=E/，则可得到△/BC之尸

的依据是（）

【答案】D

【分析】本题考查全等三角形的判定，根据题目中的条件，可以写出判断ANBC乌△。防的依据，即可解

答.解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法.

【详解】解：QABAC=ZEDF=90°,AB=DE,BC=EF,

:NABC。DEF（HL）,

故选：D.

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6.用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知—402的两边上分别取点跖N,使OM=ON,再过点M

画。4的垂线，过点N画05的垂线，两垂线交于点尸，那么射线。尸就是N/O2的平分线.小明发现说明

此画法的合理性时需要证明与△尸0N全等，其依据是（）

0

A.SASB.SSSC.AASD.HL

【答案】D

【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据判定定理"HL"即可求证，掌握全等三角形的判定定理是解题

的关键.

【详解】解：由题意得，OM=0N,ZOMP=ZONP=90°,

'：OP=OP,

：.Rt/QW丝RM尸CW（HL）,

故选：D.

7.如图，在的两边上，分别取（W=0N,过〃，N分别作03的垂线，两线相交于点P,画射

线。P.可判定△。“以△。酒，依据是（请从"SSS、SAS、AAS、ASA、HL”中选择一个填入）.

【答案】HL

【分析】由垂直可知两个三角形为直角三角形，再由斜边与一直角边对应相等可得两三角形全等.

【详解】由作法得OW=ON,PMYOA,PNLOB

：.ZPMO=NPNO=90°,

在Rt^OMP和RSONP中，

jOP=OP

[OM=0N，

ARtAOAff^RtAOiVP（HL）.

故答案为：HL.

【点睛】本题考查直角三角形的判定方法HL,解题关键是正确地寻找两三角形全等的条件.

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类型二、用HL证明全等

8.如图，DCVAE,垂足为C,且/C=C。，点B在CQ上，若用"HL"证明△43C当ADEC,则需添加的

条件是（）

A.CE=BCB.AB=DE

C./A=NDD.ZABC=ZE

【答案】B

【分析】本题考查运用"HL"证明三角形全等，根据"HL"证明三角形全等的条件即可解答.

【详解】解：1AE,

：.ZACB=ZDCE=90°,

当4B=DE时，

在RtAyiSC和RtADEC中

,AB=DE

[AC=DC'

：.Rt/X/BC义RtzXZ）EC（HL）.

故选：B

9.如图，已知/2_L/C,CDA.BD,若用"HL"判定和RtADCB全等，则可以添加的条件是（）

A.AE=CEB.AB=CDC.NA=NDD.BE=CE

【答案】B

【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键.根据斜边和一条直角边

分别相等的两个直角三角形全等求解即可.

【详解】解：由题意可，BC=BC,即两直角三角形斜边相等，

若用"HL"判定RtA^BC和RtABCS全等，则还需一组直角边相等，

即AB=CD或AC=BD,

只有B选项符合，

故选：B.

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10.如图，已知/C工AD,垂足为点O,AO=CO,要根据"HL"证明RtZk4BO2RtZ^CZ)O,还需要添加

的一个条件是()

A.AB//CDB.OB=ODC.N4=NCD.AB=CD

【答案】D

【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据HL为两条斜边和一组直角边对应相等的直角三角形全等,

进行判断即可.

【详解】解：

ZAOB=ZCOD=90P,

AO=CO,

.•.当43=CD时，RtAylSO^RtACZ)O(HL)；

故选D.

11.如图，ZA=ZD=90°,AB=DE,BF=EC,求证：AC=DF.

【答案】证明过程见解析

【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，熟练掌握直角三角形的判定和性质是解题的关键.

利用“斜边、直角边”判定RM4BC和必尸全等，根据三角形全等的性质即可证得结论.

【详解】证明：:BFuEC,

：.BF+CF=EC+CF,

即BC=EF.

；NA=/D=90°,

VABC和由EF是直角三角形.

在Rt^ABC和Rt^DEF中，

)BC=EF

[AB=DE'

Rt^ABC=Rt^DEF.

：.AC=DF.

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12.如图，已知在V/8C和AZME中，点E在ZB边上，NC=/AED=9G,AC=DE,AB=DA,求证:

AABC^ADAE.

【答案】证明见解析.

【分析】本题考查全等三角形的判定，全等三角形的常用方法有：SSS、SAS.ASA,AAS及HL,熟练掌

握并灵活运用适当判定方法是解题关键.直接利用HL证明即可.

[AB=AD

【详解】证明：在必“C3和必A/ED中，小”，

[AC=DE

：.AACB知AED(HL).

13.已知：如图，AD1BD,BC1AC,AC=BD,求证：OA=OB.

【答案】证明见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，证明RMNBC之RtAA4D(HL),

得出NCAB=/DBA,从而证出0A=03,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

【详解】证明：VACLBC,BDLAD,

：.ZADB=NACB=90°,

在RtAylSC和Rt^BAD中，

UB=BA

\AC=BD'

^ABC^VX^BAD(HL),

：.NCAB=ZDBA,

OA=OB.

14.如图，已知乙4=/。=90。，E、厂在线段3c上，AF.OE相交于点0,48=CD,且BE=CF.求证:

八ABF乌八DCE.

【答案】见解析

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【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：HL.由=，得到8尸=虑,

即可证明.

【详解】证明：

•••BE=CF

BF=CE,

又：ZA=/D=90°,AB=CD,

:.AABF%DCE（HL）.

15.如图，//=/£>=90°,AB=DE,BF^EC.求证：RtA^5C^RtAD£F.

【答案】证明见解析

【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定，

先根据8F=£C,可得8C=£尸，再根据“斜边，直角边”证明即可.

【详解】证明：=

BF+FC=FC+EC,

即BC=EF.

ZA=ZD=90°,

:“BC和LDEF都是直角三角形，

\AB=DE

在RtZ\48C和RtZxQE尸中，\

\^BC=EC

：.RtAABC/RIADEF.

类型三、全等的性质和HL综合

16.如图，在V/BC中，AC=BC,ZC=90°,4D平分/C4B交BC于点、D,过点。作DE1N8交48于

点E,若N2=8cm,则的周长为（）

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B

A.8cmB.16cmC.6cmD.10cm

【答案】A

【分析】本题易证比A4DC四小A4DE,得至!JNC=4E=BC,DE=CD,贝UAADE的周长

=DE+DB+EB=BC+EB=AE+EB=AB.

【详解】解：•.・NC=90。，NDEA=90°,

又；AD平分NC4B,

DE=DC.

在Rt^ADC和Rt^ADE中，

[DE=DC

[AD=AD'

RtdDgRMADE(HL).

AC=AE,

又；AC=BC,

AE=BC.

：.ABDE^]^^Z=DE+DB+EB=BC+EB=AE+EB=AB.

'：AB=8cm,

.•.AHDE的周长=8a«.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质，对应边相等，解

题的关键是正确证明Rt^ADC^Rt^ADE.

17.如图，在RtZX/BC中，ZC=90°,NA4c的平分线NE交8c于点E,EDL4B于点、D,若V/8C的周

长为12,则VADE的周长为4,则4€7为()

A.3B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的性质与判定，根据角平分线的性质可得。E=EC,

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ZADE=ZACE=90°,证得Rb/DE丝RtA/C£（HL）,可得4。=W，再根据三角形周长可得4+2/C=12,

即可求解.

【详解】解：,:AE平分NBAC,EDLAB,EC1AC,

：.DE=EC,ZADE=ZACE=90°,

又：AE=AE,

RtA/OE^RtA/C^HL）,

/.AD=AC,

,:VBDE的周长为4,NABC的周长为12,

BD+DE+BE=BD+EC+BE=BD+BC=4,AB+AC+BC=AD+BD+AC+BC=BD+BC+2AC=U,

：.4+2AC=12,

：.AC=4,

故选：B.

18.如图，在V/BC中，ND是8c边上的高，£是/。边上一点，S.DE=DC,AC=BE,若BD=4,贝lj

AD=.

【答案】4

【分析】本题重点考查三角形的高的定义、全等三角形的判定与性质等知识，证明RtA/DC之RtABDE(HL)

是解题的关键.

由40是3C边上的高，推导出乙4DC=N3D£=90。，AC=BE,DC=DE

,即可证明RM/OC名RtA8D£(HL),则/。=8。=4,于是得到问题的答案.

【详解】:在V48c中，40是5c边上的高，E是40边上一点，

AD工BC于点、D,

ZADC=ZBDE=90°,

在RM/DC和RtABDE中，

[AC=BE

[DC=DE'

RtAADC冬RtABDE(HL),

：.AD=BD=4.

故答案为：4.

18/31

19.如图，3。，/。于点。，CE14B于E,BD,CE交于O,05=。。,求证：/1=/2

A

A

BC

【答案】见解析

【分析】本题考查了垂直的定义、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是

解题关键.

先根据三角形全等的判定定理证出△5OEg2\COQ(AAS),再根据全等三角形的判定得出

Rt△力OE丝Rt△力OQ(HL),即可证明

【详解】证明：・・・班，4。于。，CE，AB”,

:.ZBEO=ZCDO=90°,

・.・/BOE=NCOD,OB=OC,

「.△BOE之△COQ(AAS),

/.OE=OD,

AO=AO,

Rt△力OEgRt△力OQ(HL),

/.Z1=Z2.

20.如图，ZA=ZB=90°,AD=BC.试问：/C与B。相等吗？为什么？

【答案】AC=BD,见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明RtECD之RQBDC(HL)是关键;

连接CO,如图，然后即可证明RM/CD也RMBZ)C(HL),进而得到结论.

【详解】解:AC=BD,理由如下：

证明：连接C。，如图，

则在直角三角形NCD和直角三角形RDC中，

jAD=BC

[CD=DC

：.RtA/C。也RtA&DC(HL),

AC=BD.

19/31

21.如图，NA=/D=9Q°,AE=DF,EC=FB,求证：ZE=ZF.

【答案】见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用HL证明名RtZXDC尸，即可解决问题.解决本

题的关键是得到RtZUBE峪RtZYDCF.

【详解】证明：•.・乙4=/。=90。，

在RUACE和RUDBF中,

[EC=FB

\AE=DF'

^ACE^XKDBF(HL),

.­.NE=/F.

22.如图，在和中，AEA.BD于点、E,。>_13。于点。，AB=BC,3E=C£>.求证：AB1BC.

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明RQ/8E之RtASC。，得到/C=/AB£,进而推出

ZABC=90°,即可.

【详解】证明：,CDLBD,

AAEB=ZBDC=90°,

在Rt/\ABE和RtA5CD中，

、BE=CD'

RtAyl5£^RtA5C£>(HL)；

ZC=ZABE,

•••在RtASCD中，ZCBD+/C=9(T,

20/31

:./CBD+/ABE=9G0,即/Z5C=90。；

/.ABIBC.

提能力

1.如图，直线。J于点。，点A,3分别在直线。，6上，O8=8cm,三角形AB。向右平移4cm得三角

形CDE,线段CD与直线6交于点F.若图中阴影部分的面积为205?,贝!|。b=cm.

b\

【答案】2

【分析】本题考查平移、全等三角形的判定和性质.证明ANagACED（HL）,FO\\DE,则%.=%加，

根据S阴影=5梯形。.=；（。下+。£）。£即可得出结果.

【详解】解：：直线于点O,

JZAOB=90°

•・•三角形向右平移4cm得三角形COE,OB=8cm,

AAC=OE=4cm,AB=CD,BO=DE=8cm,ZCDE=ZAOB=90°,

.・.△405也△CEO（HL）,FO\\DE

•V=Q

•*°AAOB-QACED'

•••S阴影=S梯w=；（O尸+DE）OE=；（O尸+8）♦4=20，

OF=2cm,

故答案为：2.

2.如图，在V/BC中，4D平分/B/C,ZC=90°,DE1于点E,点尸在/C上，且2。=。歹.若=12,

AF=8,则C户的长为.

21/31

A

【答案】2

【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知利用HL证明三角形全等是解题

的关键.

由角平分线的性质得到。£=DC,利用HL证明RtACD尸名RtSB,即可证明CF=EB,设CF=EB=x,

贝l]/E=12-x,再利用HL证明RLAZCD之RSZED,得到/C=/E,即8+x=12-x,解方程即可得到答案.

【详解】平分N5/C,ZC=90°,DEJ.AB于点、E,

：.DE=DC.

在RtACDF与Rt^EDB中,

[DF=DB

[DC=DE'

VX^CDF^VX^EDB(HL),

CF=EB.

设CF=EB=尤，则AE=12-x,

在RtA^CD与RtA^ED中,

[AD=AD

\CD=DE'

：.Rt"CD也RtA/E0(HL),

AC=AE,即8+x=12-x,

解得x=2,即CF=2.

故答案为：2.

3.按要求完成下列各小题：

(1)在V/2C中，N4=NB+NC,ZB=2ZC-6°,求/C的度数；

(2汝口图，ZA=ZD=90°,AB=DE,BF=EC.求证：Rt448C且RtZYD£产.

【答案】(1)32。

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⑵见解析

【分析】本题考查三角形的内角和定理、全等三角形的判定，熟练掌握三角形的内角和定理、全等三角形

的判定是解答的关键.

(1)根据三角形的内角和定理求解即可；

(2)先证明8。=跖，根据HL证明三角形全等即可.

【详解】(1)解：；=+,ZB=2ZC-6°,

：.ZA=2ZC-6°+ZC=3ZC-6°,

在VA8C1中，VZA+ZB+ZC=180°,

：.3ZC-60+2ZC-6°+ZC=180°,

解得NC=32。；

(2)解：；//=ND=90°,BF=EC,

：.BF+CF^EC+CF,IPBC=EF,

在RtA^SC和RtAD£F中，

jAB=DE

[BC=EF'

：.RtA^SC^RtADEF(HL).

4.如图，在VNBC中，。是48的中点，DM于点、M,ON_L3C于点N,且。M=DN,求证：N4=NB.

【答案】见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SAS,AAS,ASA,SSS,HL,

熟练掌握知识点是解题的关键.

直接根据HL证明Rt△。龌4也RtADNS,再由全等三角形对应角相等即可证明.

【详解】证明：•••。是的中点，

,DA=DB,

VDM1AC,DN1BC,

又DM=DN,

：.RtAZ>Mz4^RtADA®(HL),

NA=NB.

23/31

5.如图，在四边形48CZ)中，ZA=/B=90。，E是NB上的一点，S.AE=BC,连接DE,EC,DE=EC.

BQ---------

求证：

⑴RtZ\4D*RtZXBEC.

{2}DE1CE.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理.

(1)根据证明直角三角形全等的"HL"定理，证明即可.

(2)根据全等三角形的性质得N4D£=4£C,然后求出“EC=90。即可.

【详解】(1)解：•.・乙4=/8=90。，

.-.VADE和VBEC均为直角三角形.

在VX^ADE和RLBEC中，

(DE=EC

[AE=BC'

RtA/OE也RtABEC(HL).

(2)•;RtAADE咨RtABEC,

：.ZADE=NBEC,

N4=90°,

:.ZAED+ZADE=90°,

ZAED+ZBEC=90°,

.14DEC=180P-900=90P,

：.DEICE.

6.如图，点C,。均在线段45上，且/O=8C,分别过点C,D在4B的异侧作EDLAB,

连接£/交于点G,AE=BF.

24/31

E

⑴求证：DE=CF.

⑵求证：G是线段NB的中点.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质.

(1)由尸EDSB得NFCB=90。,NEDA=90。,证明AFCB丝AEZM(HL),即可证明。E=CF；

(2)证明AFCGgAEDG(AAS),得到CG=DG即可.

【详解】(1),/FC1AB,ED1AB,

:.NFCB=90。,NEDA=90。,

；AD=BC,AE=BF,

:.AFCB%ED4(HL),

：.DE=CF■,

(2),?DE=CF,NFCG=NEDG=90°,ZFGC=ZEGD,

：.△bCG之AEDG(AAS),

CG=DG,

即G是线段/B的中点.

7.如图，DEJ.AB于E,DFJ.AC于F,若BD=CD,BE=CF.

⑴求证：DE=DF；

(2)已知ZC=14,BE=2,求48的长.

【答案】(1)见解析

⑵10

【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,

SSS,全等三角形的对应边相等，对应角相等.

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(1)求出NE=产。=90。，根据全等三角形的判定定理得出RtZ\5瓦)/Rt^CFZ),推出。£=。尸;

(2)根据全等三角形的性质得出4E=力尸，由线段的和差关系求出答案.

【详解】(1)证明：・・,DE上4B,DF1AC,

:./E=/DFC=90。,

在RLBED和Rt^CFD中，

fBD=CD

[BE=CF9

/.RtA^ED^RtACro(HL),

:.DE=DF；

(2)解：vAC=14,BE=2,BE=CF,

AF=AC-FC=AC-BE=12,

在Rt^ADE和RtdDF中，

[DE=DF

[AD=AD'

RtA^DE之RtZU。厂(HL)

/.AE=AF=n,

...AB=AE-BE=10.

拓展培优题

1.已知：如图，NE=/F=9Q°,AB=AC,AE=AF.

(1)当/C=30。，/B/C=25。时，求NCT第的度数；

⑵求证：AACN%ABM.

【答案】⑴85。

⑵详见解析

【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，三角形内角和，即可.

(1)根据三角形内角和为180。，4=90°,求出/£4c的角度，再根据三角形的内角和，求出NCNB=55。,

根据全等三角形的判定，则RLN防之RL/FC,则/8=/C,最后根据是三角形的外角和，即可；

(2)由(工)得48=/C,根据全等三角形的判定，即可.

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【详解】（1）VZ£=ZF=90°,ZC=30°,

・•・/FAC=180°-ZF-ZC=60°,

NBAC=25。,

:・/FAB=35。,

丁/F+/FAB+NANF=180。,

：.ZANF=180°-ZF-ZFAB=55°f

：.ZCNB=55°,

在RMEB和RtA^FC中，

.[AE=AF

'[AB=AC'

/B=/C=30°,

ZCDB=ZC+ZCNB=30。+55。=85。.

（2）由（1）得，/B=/C,

在△ZCN和△/BM中，

NB=NC

<AC=AB,

/CAN=/BAM

J"CN之△曲/（ASA）.

2.已知点Z）为/以厂平分线上一点，DBLAE于B,。。_1/斤于。，点屈，N分别是射线4E,4尸上

的点，且“0=ON.

图③

（1汝口图①，当点M在线段45上，点N在线段4C上时，易证得5M=CN；（要证明）

⑵如图②，当点”在线段48上，点N在线段ZC的延长线上时，（1）中结论是否还成立？如果成立，请

你证明，如果不成立，请说明理由；

⑶在（2）的条件下，直接写出线段ZM,ZN与NC之间的数量关系；

（4）如图③，当点M在线段45的延长线上，点N在线段NC上时，若且。。=4,求四边形

ANDM的面积.

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【答案】⑴证明见解析

⑵2W=CN仍成立，见解析

(3)AN+AM=2AC

⑷四边形MW/的面积为32

【分析】(1)根据。B=PC,ZDBM=ZDCN=90°,利用直角三角形的判定方法证明9即/三A£>CN,即可

得到BM=CN；

(2)。为/瓦4