人教版九年级数学上册《实际问题与二次函数》同步练习题（附答案）

人教版九年级数学上册《22.3实际问题与二次函数》同步练习题（附

答案）

学校:班级：姓名：___________考号：

一、单选题

1.如图，用一段长为18米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形

花园的一边长为x（m）,另一边的长为矩形的面积为S（nf）.当％在一定范围内变化

时，y与x,S与％满足的函数关系分别是（）

y

X

A.一次函数关系，二次函数关系B.正例函数关系，二次函数关系

C.二次函数关系，正例函数关系D.二次函数关系，一次函数关系

2.如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长10m）的空地上修建一

个矩形小花园ABC。，小花园一边靠墙，另三边用总长40m的栅栏围住，如图所示.若设

矩形小花园A8边的长为工m,面积为SmL则S的最大值为（）

C.150m2D.250m2

3.某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高至m,

与篮圈中心的水平距离为7m,当球出手后水平距离为4m时，到达最大高度4m,篮圈距

地面3m,设篮球运行的轨迹为抛物线，如图所示建立的平面直角坐标系.有下列结

论：①抛物线的解析时为y一彳红-力^+4；②此球不能投中；③若对方队员乙在甲前面

1m处跳起盖帽拦截，己知乙的最大摸高为3.1m,则他能成功拦截.其中正确的个数是

（）

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A.3B.2C.1D.0

4.销售某商品，每件进价10元，原售价每件30元，每月可售出80件，若每件售价每上升

1元，则每月少售出2件.有下列结论：①售价为10元时，每月总利润最高，为1800

元：②售价上升5元时，每月总利润为1750元；③售价为38元和售价为42元时，每月所

获总利润相同，其中，正确结论的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

5.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.若水面下降2m，则水面宽度

增加了（）

C.45/2mD.(2>/2-2)m

6.如图，小明从离地面高度为1.5m的4处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点

C处，弹力球着地前后的溶动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球笫一次着地

前抛物线的解析式为），=44-1）2+2,在4处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度

的现在地上摆放一个底面半径为0.3m,高为0.42m的圆柱形水桶，水桶的最左端距离

原点为S米，若要弹力球从8处弹起后落入水桶内，则$的值可能是（）

D.5

7.某商品现在的售价为每件6（）元，每星期可卖出300件.市场调查反映，如果调整戚品售

价，每降价1元，每星期可多卖出20件.设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销

售额为y元，则y与犬的关系式为（）

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A.y=60（300+20”B.y=（60-x）（300+20x）

C.y=300（60-20%）D.j=（60-x）（300-20x）

8.在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度＞（厘米/天）和光照强度x

（勒克斯）之间存在一定关系.在低光照强度范围（200Wxvl（XX））内，），与x近似成一

次函数关系；在中高光照强度范围（XN1000）内，），与x近似成二次函数关系.其部分图象

如图所示.根据图象，下列结论正确的是（）

A.当61000时，了随犬的增大而减小B.当产2000时，有最大值

C.当），20.6时，x＞l（XX）D.当y=0.4时，x=600

二、填空题

9.如图,壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是:m,出手后实心球沿一段抛物线运

行倒达最高点时，水平距离是5m,高度是4m.若实心球落地点为M则OM=m.

10.如图，运动员投掷标枪时的运动轨迹可看作抛物线的一部分，以地面所在直线为大轴,

过最高点。且垂直于地面的直线为.V轴，建立平面直角坐标系.则该标枪运动轨迹的函数

关系式为：＞'=-0.01lx2+9.9,已知运动员出手点A距离最高点C的水平距离为27m,则

该运动员投掷标枪的水平距离为m.

11.宏海公司对某种海产品进行推广，在网络平台上直播销售.已知该海产品的成本价格

为每千克40元.经过调研，当销售单价为每千克60元时，每天能售出500千克.销售单价

每降低1元，每天的销售量将增加10千克.若设该种海产品销售单价为每千克x元，公司

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三、解答题

15.如图,某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田,墙长为

42m.栅栏在安装过程中不重叠、无损耗.设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位:m）,与墙

平行的一边长为），（单位:m）,面积为5（单位:m）

（1）直接写出），与.aS与x之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）.

（2）矩形实验田的面积S能达到750m?吗?如果能，求x的值;如果不能，请说明理由.

（3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大?最大面积是多少？

L-------42m--------».

X实验田X

y

16.某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量

的相关信息如下表：

时间：第X（天）

l<x<3031<x<60

日销售价（元”牛）0.5.V+3550

日销售量（件）124-2x

（l<x<60,x为颦黎）

设该商品的口销售利润为w元.

（I）直接写出卬与X的函数关系式；

（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？

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17.某班级组织趣味弹弹珠游戏，设计如下：有一个可上下移动的带弹簧的装置M4,每

次将弹簧向左挤压相同距离，松手后弹珠从A点飞出.某组进行试玩，发现弹珠从A点飞

出后的路径是抛物线的一部分，A是抛物线的顶点，弹球飞出后正好从挡板1的顶部6点经

过，此时装置M4距高水立地面的高度0A为1m,挡板1到。点的距离为0.6m,挡板1的

高度为0.4m以点。为原点，水平地面为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，

如图1.（研究路径时弹珠的直径忽略不计，弹珠碰到挡板顶点视为可通过）

（1）求弹珠£出路径对应的抛物线的函数表达式.

（2）将弹珠游戏装置作出调整：如图2,在距离。点0.8m处新增高度为0.2m的挡板2,挡

板1与挡板2之间的区域记为I；在距离。点1m处新增高度为0.1m的挡板3,挡板2与挡

板3之间的区域记为II.若该弹簧装置向上平移dm后，弹珠落入H区域内，求d的取值范

围.

18.综合与实践

某市计划修建一条公路隧道，隧道的截面可以抽象成如图1所示的抛物线，底部宽度A8为

12米，抛物线的最高点C距离的高度为6米，以所在直线为x轴，线段A8的中垂

线为），轴建立平面直角坐标系.

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（1）求这条抛物线的解析式;

（2）在隧道修建的过程中，需要搭建如图2所示的支架.四边形OEEG,四边形"FQR和

四边形PQMN都是矩形，点七，点R点。和点M均在同一直线上，点。，点〃，点R,

点N都在抛物线上，点G和点尸分别在〃尸和AQ上，且DG=/W=1米，除线段EM外，

这些矩形的其他边都需要用钢材搭建，求需要钢材长度的最大值；

（3）如图3,根据有关部门设计，在隧道两侧的人行道地基人「如宽均为2米，该部门计

划在点7正上方和点J正上方之间的抛物线部分设计多列LED灯，使隧道顶部呈现五彩缤

纷的图案.若相邻两列LED灯的水平距离为0.3米，LED灯对称分布，请你给出•种符合

条件的LED灯的列数，并说明理由.

参考答案

1.【答案】A

【分析】分别列出〉与％的关系式，S与x的关系式判断即可.

2

【详解】解：由题意可得），=一；犬+9,S=~x+9xt

・•・）'与x成一次函数关系，S与4成二次函数关系.

故此题答案为A.

2.【答案】C

【分析】若设矩形小花园A3边的长为xm,则AC=（40-26m,由矩形面积公式代值得

到S=x（40-2x）,配方化为顶点式，由二次函数图象与性质分析即可得到答案

【详解】解：若设矩形小花园A8边的长为xm，则BC=（40-21）m,

/.5=X（40-2X）

=-2X2+40X

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=-2(X2-20X)

=-2(x2-20X+100-100)

=-2(x-+200,

v40-2x<10,

/.x>15，

V-2<(),则抛物线开口向下，

.・.当x=15时，S取最大值，为一2x(15—10y+200=150,

故此题答案为C.

3.【答案】B

【分析】先根据待定系数法求二次函数的解析式，然后进行计算比较即可解答.

【详解】解：•・•当球出手后水平距离为4m时，到达最大高度4m,

・•・抛物线的顶点坐标为(44),

・•・设抛物线的解析式为：)，=。(4-4)2+4,

20

•・•球出手时离地面高豆巾，

・••把(。，引代入y=〃(I)2+4中得：^=«X(0-4)2+4,

解得：=--»

9

故①正确；

当％=7时，J-=-1X(7-4)2+4=3,

・•・此球能投中，

故②不正确；

当x=lm时，y=-^x(l-4)~+4=3<3.1,

故③正确;

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综上所述：上列结论，正确的个数是2个,

故选B.

4.【答案】C

【分析】设每件商品的实际售价为x元，每月获得的利润为w元，则每件商品的利润为

(工一1())元，销售量为80-2(x—30)=(140—2力件，据此列出w关于x的函数关系式，再逐

一判断即可得到答案.

【详解】解：设每件商品的实际售价为x元，每月获得的利润为卬元，

由题意得卬=(工一10)[80-2(x-30)]=-2x2+160x-14(H)=-2(x-40)2+1800,

V-2<0,

・••当x-40=0,即x=40时，卬最大，最大值为1800,

・••售价为40元时，每月总利润最高，为1800元，故①错误：

当x=35时，卬=-2(35-40『+1800=1750,

・••售价上升5元时，每月总利润为1750元，故②正确；

当x=38时，卬=一2(38-40『+1800=1792,

当x=42时，卬=一2(42-40)2+1800=1792,

，售价为38元和售价为42元时，每月所获总利润相同，故③正确.

故选C.

5.【答案】B

【分析】根据已知建立平面直角坐标系，则可确定顶点坐标为(。，2),5(2,0),再把解析

式设为顶点式，进而求出二次函数解析式，再通过把)，=-2代入抛物线解析式得出水面宽

度，即可得出答案.

【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过A3,纵轴)，经过A8中点。

且经过。点，则通过画图可得知。为原点，

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由题意得，抛物线以y轴为对称轴，且经过A,8两点，（M和。B为A8的一半，即2ni，

抛物线顶点。坐标为（0,2）,

・••点8的坐标为（2,0）,

:.这个抛物线的解析式为.V=or?+2,

把点8坐标代入到抛物线解析式得，4〃+2=0,

a=-0.5,

・•・抛物线解析式为y=-O.5x2+2,

当水面下降2m,

当），=-2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线），=-2与抛物线相交的两点之

间的距离，

可以通过把＞=-2代入抛物线解析式得出，-2=-05F+2,

解得，A-=±2V2，

・••水面宽度增加到

・•・比原先的宽度当然是增加了（4夜-4）m,

故此题答案为B.

6.【答案】B

【分析】根据点A的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式，可得到点8的坐标，再根据8

处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的!，弹力球着地前后的运动轨迹可

近似看成形状相同的两条帼物线，可得到第二次着地前勉物线的解析式，再根据圆柱形的

高为0.42m,可求出当弹力球恰好砸中箧的最左端、最右端时，s的值，进而得到s的取值

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范围，从而得到答案.

【详解】解：由题可知，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为+且过点

4（015）,代入解析式中得1.5=“0-1）2+2,

/•a=—,

2

・••解析式为），=-:（工-1『+2,

当工=1时，y的最大值为2，

1、

令y=o,则+2=0,

解得％=3或&=-1（舍去），

・•・8（3,0）,

•••8处着地后弹起的最大高度为着地前r•抛出的最大高度的J,

4

*,•其最大高度为2X：=—（m）,

427

•・•弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，

设B处着地后弹起的抛物线解析式为），=~（x-h）2+；,

将点4（3，。）代入该解析式得0=彳（3一4+3，

解得4=4或4=2（舍去），

・,・该抛物线的解析式为），=-1（x-4）2+；,

:.抛物线的对称轴为宜线X=4,

V点B的坐标为（3,0），则点C的坐标为（5.0）,

•・•圆柱形的高为0.42m,

当），=0.42时，则_g（x_4）2+g=0.42,

解得x=4.4或x=3.6（舍去），

工当弹力球恰好砸中筐的最左端时，s=4.4,

•・•筐的底面半径为0.3m,直径为0.6m,

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・•・当弹力球恰好砸中筐的最右端时，5=4.4-0.6=3.8,

:.3.8vs<4.4,

，选项B中的s=4.1满足条件,

故此题答案为B.

7.【答案】B

【分析】根据降价x元，则售价为（60-汇）元，销售量为（300+20X）件，由题意可得等量关

系：总销售额为,'=销量x售价，根据等量关系列出函数解析式即可.

【详解】解：降价工元，则售价为（60-刈元，销售量为（300+20X）件，

根据题意得，y=（6（）-x）（300+20x）,

故此题答案为B.

8.【答案】B

【详解】解：A.当XN1000时，>随x的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题

意；

B.由函数图象可知：抛物线的对称轴为4=1（）°（）：3（1）。二2000,即当天=2000时，有最

大值，则B选项正确，符合题意；

C.由函数图象可知：当J20.6时，1000W*W3000,即C选项错误，不符合题意；

D.当），=0.4时，由图象知，x对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意.

故选B.

9.【答案】

«5

【详解】以。为坐标原点,OM所在直线为x轴、OP所在直线为），轴建立平面直角坐标系.

由题意得该抛物线的顶点为（5,4）,J设该抛物线的解析式为产4（x-5）2+4.・・•抛物线经过'0,：

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,，。（0-5）2+4=：,解得折-名,•••该抛物线的解析式为尸名（六5尸+4.当产0时广义（.05）2+4=0,

42UU1UU1UU

解得为=】（舍）/2片,，OM=Ym.

JD

10.【答案】57

【分析】将y=0代入y=-0.011d+9.9,得出x=30,结合题意，即可求解.

【详解】解：将，=。代入）=-0.011/+9.9,

-0.01L?+99=o，

解得：X1=30,X2=-30（舍去）

又运动员出手点A距离最高点C的水平距离为27m,

・•・该运动员投掷标枪的水平距离为27+30=57米

11.【答案】y=-10x2+1500x-44000

【分析】根据利润=利润单价X数量即可得到答案.

【详解】解：根据题意得，

2

y=（.v-40）［500+10（60-x）］=-10x+l500x-440（X）.

12.【答案】2.2

【分析】由题意得8（02-1）,令），=7,则—；/=一］,求出从而得出

BC-2.2,由此即可得出答案.

【详解】解：由题意得例02—1）,

令y=-i,则一,/=一1,

4

**»%2=4,

解得：x=-2^x=2（不符合题意，舍去），

0（—2,-1）,

・•.BC=0.2-（-2）=2.2,

・•・水池宽至少是2.2米.

13.【答案】aV—1

【详解】解：由题意，・・、=办2+灰的顶点为（一之，一4）,抛物线的顶点在直线

LAX■Ct

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y=3x上,

b庐

x3=-

2a

:・b=6.

•・•喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边15阳,

b*6.15

五“T

2

<1V—5-

14.【答案】里.

8

【分析】以C为原点，则顶点。((),0)，过C且平行底面的直线为x轴，垂直底面的直线为

)'轴建立直角坐标系，在抛物线上取一点G,使NA4G=45。，则将高脚杯绕点F缓缓倾斜

倒出部分红酒，当倾斜角。=45。时停止，此时液面为G8,则此时酒杯内红酒的最大深度

就是在直线G8下方的抛物线上的点到直线G8的最大值，据此求解即可.

【详解】解：以C为原点，则顶点c(o,o),过C且平行底面的直线为x轴，垂直底面的直

线为)'轴建立直角坐标系，在抛物线上取一点G,使NA3G=45。，直线4G交x轴于P,

过6作伙2_Lx轴于Q,在直线8G下方的抛物线任取一点M，过M作轴交AB于

H,交.BG于N,过用作MK_L8G交KG于K,

EDF

•・•高脚杯中装满红酒时，液面人B=4cm,此时最大深度(液面到最低点的距离)为

・・・A8〃x轴，A(-2,4),8(2,4),

，ZA8G=N8PQ=45。，8。=4,0Q=2、

・•.BQ=PQ=4,

：・0P=2,

・・・P（-2,0）,

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设直线4G解析式为)，=履+〃，

4=2k4-bk=I

把8(2,4),“一2,0)代入丁=履+力得0=_2八6,解得人2，

・•・直线8G解析式为)，=x+2,

•・•抛物线顶点c(o,o),

・•.设抛物线解析式为N=a/，

把8(2,4)代入y=av2得4=a?22,解得。=1,

・••抛物线解析式为)，=/,

•・・M〃_Lx轴，MKLBG,

・••设"(〃?,〃叫，则N(〃?,m+2),/MHB=ZMKN=90°,

:.Z.MNK=Z.BNH=90°-ZABG=45°♦MN=ni+2—rn2=—m2+/n+2=—/n——1+—»

I2J4

ANMK=90°-ZMNK=45°=Z,MNK,

:・NK=MK，MN=>HMK，

22t2j4j2V2J8

・••当,〃=1时，=述取最大值，

28

・•・将高脚杯绕点尸缓缓倾斜倒出部分红酒，当倾斜角夕=45。时停止，此时液面为G8,如

图2所示，则此时酒杯内红酒的最大深度是述.

15.【答案】见详解

【详解】⑴・・•栅栏总长为80m,

/.x+y+户80,.*.>=80-2v,

S=y-x=(80-2x)x=2F+80x.

⑵能.

令S=750,则-2x2+8(h=750,即x2-40x+375=0,

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解得XI=25^V2=15.

•・•墙长为42m,/.0<80-2x<42,

解得19<x<40,/.x=25.

（3）S=-2r+80.x=-2（x-20）2+800,

V-2<0,I9<¥<40,

・•・当户20时，矩形实验HI的面积5最大，最大面积为800m2.

,、]-炉+52工+620,14工（30,工为整数

16【答口呆案】（I）卬=,[YOx+2480,3K60,x为整数

（2）该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元

【分析】（1）根据利润=单个利润x数最可进行求解；

（2）由（I）分别求出两种情况下的最大利润，然后问题可求解.

【详解】（1）解：由题意得：

当1WxW30时，则w=（0.5x+35-30）（I24-2X）=-X2+52X+620；

当31<x<60时，则w=（50-30）（124-2x）=-40x+2480；

r2+52x+620/Wx«30,x为整数

••w=<•

-40x+2480,31<J<60,x为整数’

（2）解:当1WXW30时，H'=-X2+52X+620;

•・•抛物线开口向下，对称轴为直线》=26,

2

.••当x=26时，wmax=-26+52x26+620=1296（元）.

当314工<60时，>v=-4（i.r+2480,卬随x增大而减小，

・••当x=31时，3皿=—40x31+2480=1240（元）.

V1296>1240,

・•・该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利涧是1296元.

17.【答案】⑴），=—：/+]

/一、4,23

（2）—<cl<——

1530

【分析】（1）根据题意得：根据题意得：抛物线顶点坐标为（0」），点8（060.4）,可设抛

物线的函数表达式为,」双2+1，把点5（0.6,0.4）代入求解，即可解题；

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（2）根据题意得：挡板2顶端的坐标为（0.8,（）.2）,挡板3顶端的坐标为（1Q0.1）,设该弹

簧装置向上平移后的抛物线的函数表达式为+1+。，分别把点（O8O.2）和

**

（1.0。1）代入），=-^/+1+。，求出C的值，再根据该弹簧装置向上平移而后，弹珠落入

II区域内，即可求解.

【详解】（1）解：根据题意得：根据题意得：抛物线顶点坐标为（04），点8（060.4）,

可设抛物线的函数表达式为y=ax2+\,

把点8（0.6,0.4）代入得：0.4=0.36a+l,

解得：”一，

・••弹珠飞出路径对应的抛物线的函数表达式为y=-：/+]；

（2）解：根据题意得：挡板2顶端的坐标为（080.2）,挡板3顶端的坐标为（1Q0.1）,

设该弹簧装置向上平移后的抛物线的函数表达式为），=-|/+l+c,

把点（0.&0.2）代入y=-|x2+1+c•得：

54

0.2=--x0.64+l+c,解得：c=—,

把点（100.1）代入y=-12+]+c得：

523

0.1=—xl+1+c,解得：c=—,

330

•・•该弹簧装置向上平移加1后，弹珠落入1【区域内，

.4,23

••—<d<—•

1530

18.【答案】（1）），=Jf+6（_6WxW6）

6

（