中点四大模型在三角形中的应用（知识解读）-2023年中考数学重难点专项训练

专题02中点四大模型在三角形中应用（知识解读）

【专驳饯明】

线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概

念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你

会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;

还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延

长中线交平行等的应用。

【方放技巧】

模型1：倍长中线法

如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.

当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫

做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACDgEDB,进而得到AC=BE且AC〃BE.

模型2：平行线夹中点

如图，AB//CD,点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.

CD

模型3：中位线

如图，在^ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中

位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE〃BC且DE=1/2BC.

模型4：连接直角顶点，构造斜中定理

【典例合析】

【模型1倍长中线法】

【典例1】【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

A

如图1,ZVIBC中，若AB=8,AC=6,求BC边上的中线的取值范围.小明在组内

经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长4。到点E,DE=AD,请根据小明的方

法思考：

(1)由已知和作图能得到△AOCgZkEDB的理由是.

A.SSSB.SASC.AASD.HL

(2)求得的取值范围是

A.6<AD<8B.6WAOW8C.1<A£)<7D.1WADW7

【感悟】

解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把

分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.

【问题解决】

(3)如图2,是△A3C的中线，BE交AC于E,交于R5.AE^EF.求证：AC

=BF.

【变式11](1)在△ABC中，AB=5,AC=3,求8c边上的中线的取值范围.

(2)受到(1)启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，。是8C边上的中点,

DELDF,DE交AB于点E,OF交AC于点R连接EF.求证：BE+CF>EF.

【变式12]如图，在△ABC中，已知：点〃是8C中点，连接并延长到点E,连接BE.

(1)请你添加一个条件使△AC。乌△E8D,并给出证明.

(2)若AB=5,AC=3,求BC边上的中线的取值范围.

【变式13】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.

己知：如图，E是BC的中点，点A在。E上，且

求证：AB=CD.

分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性

质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个

三角形也不全等，因此，要证明AB=CD,必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或

等腰三角形.

现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明.

(1)延长DE到F,使得EF=DE；

(2)作CG_L£)E于G,于尸交。£的延长线于下;

(3)过点C作C/〃A8交。E的延长线于反

【模型2平行线夹中点】

【典例2］如图，已知AB=12,AB1BC,垂足为点8,AB1AD,垂足为点A,AD=5,BC

=10,点E是CD的中点，求AE的长.

Dy——

【变式21］如图，AB//CD,ZBCD^9Q°,AB=1,BC=4,CD=3,取AD的中点E,连

结BE,则BE=

【变式22］如图，公园有一条“Z"字形道路AB-BC-CD,其中AB//CD,在E、M、F

处各有一个小石凳，且M为BC的中点，连接EM、请问石凳M到石凳

E、尸的距离ME、M尸是否相等？说出你推断的理由.

【变式23］如图：已知A2〃C£）,BCLCD,且CD=2A2=12,BC=8,£1是的中点,

①请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；

②求BE的长.

【模型3中位线】

【典例3】如图，△A3C中，平分/BAC,E是BC中点，ADLBD,AC=1,AB=4,

22

【变式31］如图，在△ABC中，D,E,尸分别是边AB,BC,CA的中点，若的周

长为10,则△ABC的周长为

【变式32］如图，等边△ABC的边长是4,D,E分别为AB,AC的中点，延长BC至点R

使CF,BC，连接C。和EF.

(1)求证：CD=EF；

(2)四边形OEFC的面积为.

【变式33］如图，在平行四边形A8CZ)中，点E在的延长线上，CE=DE=2BC.CD

的中点为R的中点为G,连接AB,FG.

(1)求证：四边形AFG。为菱形；

(2)连接AG,若BC=2,tanB=-|,求AG的长.

【模型4连接直角顶点，构造斜中定】

【典例4】用三种方法证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.已知：如图，ZBCA

=90°,AD=DB.求证：C£)=IAB.

【变式41】直角三角形斜边上的中线长为10,则该斜边长为（）

A.5B.10C.15D.20

【变式42］如图，点E是△ABC内一点，ZAEB=90°,。是边AB的中点，延长线段。E

交边于点R点/是边BC的中点.若AB=6,EF=1,则线段AC的长为（）

A.7B.C.8D.9

2

【变式43】用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.

已知：如图1,在RtaABC中，ZACB=90°,CD是斜边AB上的中线.

求证：CD=_1AB.

2

证法1：如图2,在/ACB的内部作/8CE=N8,

CE与AB相交于点E.

'：ZBCE=ZB,

VZBCE+ZACE=90°,

/.ZB+ZACE^90°.

又：,

/.ZACE^ZA.

：.EA=EC.

；.EA=EB=EC,

即CE是斜边AB上的中线，且CE=1AB.

2

又「C。是斜边A8上的中线，即C。与CE重合，

:.CD=1AB.

2

请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2.

专题02中点四大模型在三角形中应用（知识解读）

【专驳饯则】

线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概

念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你

会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;

还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延

长中线交平行的应用。

【方法技巧】

模型1:倍长中线法

如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.

当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫

做“倍长中线”.如下图：此时，易证4ACD咨EDB,进而得到AC=BE且AC〃BE.

模型2：平行线夹中点

如图，AB//CD,点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.

模型3：中位线

如图，在AABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中

位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE〃BC且DE=1/2BC.

模型4：连接直角顶点，构造斜中定理

【真例合折】

【模型1倍长中线法】

【典例1】【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:

如图1,△ABC中，若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内

经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E,使。E=AD请根据小明的方

法思考：

(1)由已知和作图能得到的理由是.

A.SSSB.SASC.AASD.HL

(2)求得的取值范围是.

A.6<AD<8B.6WADW8C.1<AD<7D.1W4DW7

【感悟】

解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把

分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.

【问题解决】

(3)如图2,是△ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EE求证：AC

=BF.

【解答】(1)解：：在△AOC和中

'AD=DE

<ZADC=ZBDE>

BD=CD

:.AADC*LEDB(SAS),

故选B；

(2)解：•.•由(1)知：AADC^AEDB,

：.BE=AC=6,AE=2AD,

•..在AABE中，AB=8,由三角形三边关系定理得:-6<2AD<8+6,

：.1<AD<1,

故选C.

(3)证明：

延长A。到M,使连接

：是△ABC中线，

：.CD=BD,

•在△ADC和中

'DD=DB

<ZADC=ZMDB

DA=DM

AADC沿AMDB,

J.BM^AC,ZCAD=ZM,

,:AE=EF,

：.ZCAD=ZAFE,

'：ZAFE=ZBFD,

：.NBFD=ZCAD=ZM,

：.BF=BM=AC,

即AC^BF.

【变式11](1)在△ABC中，AB=5,AC=3,求BC边上的中线4。的取值范围.

(2)受到(1)启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，。是8c边上的中点,

DELDF,DE交AB于点、E,。/交AC于点F,连接EF.求证：BE+CF>EF.

【解答】解：(1)延长AD到点使连接BE,

是8c边的中线，

：.BD=DC,

'：ZADC^ZBDE,

:.AADgAEDB(SAS),

：.BE=AC=3,

在△ABC中，AB=5,

：.5-3<AE<5+3,

：.2<AE<8,

.\2<2AD<8,

：.1<AD<4；

(2)延长FD到点G,使GO=£)R连接BG,EG,

・；£)是3c边上的中点，

：.BD=DC,

■:NBDG=NCDF,

：./\BDG^ACDF(SAS),

：.BG=CF,

'JDELDF,

...E。是GF的垂直平分线，

:.EG=EF,

在△BEG中，BE+BOEG,

：.BE+CF>EF.

【变式12］如图，在△ABC中，已知：点。是BC中点，连接并延长到点E,连接BE.

(1)请你添加一个条件使并给出证明.

(2)若A8=5,AC=3,求8C边上的中线的取值范围.

【解答】(1)结论：若要使应添上条件：AC〃BE或&£>=。£；

证明：当AC〃2E时，

■:AC//BE,

：.ZCAD=ZE,ZACD=ZEBD,

又•.•。为BC的中点，

:.BD=CD,

在△AC。和△EBD中，

，ZCAD=ZE

<NACD=NEBD，

,CD=BD

A/\ACD^/\EBD(AAS)；

当AO=OE时，

•.•点。是BC中点,

：.BD=DC,

在△AC。和△EB。中,

CD=BD

<ZADC=ZEDB>

AD=ED

:.AACD咨LEBD(SAS),

(2)解：V/\ACD^/\EBD,

：.AC=BE=3,

在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE,

即5-3<2AD<5+3,

.\2<2AD<8,

：.1<AD<4.

【变式13】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.

已知：如图，E是BC的中点，点A在。E上，且N8AE=NCZ)E.

求证：AB=CD.

分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性

质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个

三角形也不全等，因此，要证明AB=CD,必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或

等腰三角形.

现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明.

(1)延长。E到R使得EF=DE；

(2)作CG_LZ)£'于G,于P交DE的延长线于尸；

(3)过点C作CF//AB交DE的延长线于F.

【解答】解：方法一：延长OE到R使得EF=DE,连接BF.

在△£>£(?和△FEB中，

，DE=FE

-Z1=Z2-

BE=CE

，△DESMFEB,

:./D=/F,DC=FB,

'：ZBAE=ZD,

：.ZBAE=ZF,

：.BA=BF,

：.AB=CD.

方法二：作CG_LDE于G,BPLDE'于尸交。E的延长线于厂

VCGLDE,BFLDE,

：.ZCGE=ZBFE=90°,

在ACGE和△BbE中,

'/CGE=/BFE

(Nl=/2>

BE=CE

:.ACGE经ABFE,

：.BF=CG,

在AAB尸和△DCG中,

fZBAF=ZCDG

<ZBFA=ZCGD=90°

BF=CG

△ABF/4DCG,

J.AB^CD.

方法三：过点C作CF//AB交DE的延长线于F.

'：CF//AB,

：.ZBAE=ZF,ZB=ZFCE,

在AABE和△f'CE中，

,ZBAE=ZF

<ZB=ZFCE>

BE=CE

AABE出AFCE,

J.AB^FC,

'：ZBAE=ZD,NBAE=NF,

：.ZD=NF,

：.CF=CD,

J.AB^CD.

【模型2平行线夹中点】

【典例2】如图，己知42=12,AB±BC,垂足为点B,AB±AD,垂足为点A,A£>=5,BC

=10,点E是CD的中点，求AE的长.

'：AB±BC,ABLAD

：.AD//BC

：.NADE=ZBCE且DE=CE,ZAED=ZCEF

:.丛AEDQ丛FEC(ASA)

：.AD^FC^5,AE=EF

：.BF=BC-FC=5

：.在RtAABF中，AF=4AB2+即2=13

/.A£=^.=—

22

【变式21］如图，AB//CD,NBCD=9Q°,AB=1,BC=4,CD=3,取AD的中点E,连

结BE,贝！|BE=

【答案】V5

【解答】解：延长3E交。。于点R

*：AB//CD,

：.NABE=NDFE,

在△ABE与△DFE中，

，ZABE=ZDFE

<BE=FE>

ZAEB=ZDEF

AABE^ADFE(ASA),

:.BE=EF=LBF,AB=DF=\,

2

：.CF=2,

BF=7BC2CF2=742+22=2Vs，

:.BE=\BF=®

2

故答案为：娓.

【变式22］如图，公园有一条“Z"字形道路AB-BC-CD,其中AB//CD,在E、M、F

处各有一个小石凳，且8E=CF,/为BC的中点，连接EM、MF,请问石凳M到石凳

E、尸的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由.

【解答】解：石凳M到石凳£、厂的距离ME、MF相等.理由如下:

,JAB//CD,

：.ZB=ZC,

又为8C中点，

:.BM=MC.

在△BEM和△CEM中，

'BE=CF

<ZB=ZC-

BM=CM

:ABEM沿ACFM(SAS),

：.ME=MF.

即石凳M到石凳E、F的距离ME、MF相等.

【变式23］如图：已知AB〃C。，BCVCD,且CZ）=2A8=12,BC=8,E是A。的中点,

①请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；

②求3E的长.

【解答】解：①延长BE与CD相交于点F,则EF=BE,

证明：'：AB//CD,

：.ZA=ZD,ZABE=ZDFE,

是的中点，

；.AE=DE,

在△AEB与△OEF中，

rZA=ZD

-ZABE=ZDFE>

AE=DE

AAEB^AAD£F(A4S),

：.BE=EF；

②,/LAEB2△△DEF,

：.DF=AB=6,BE=EF=LF,

2

：.CF=CD-DF=6,

'：BC±CD,

BF=7BC2-H?F2=1°，

:.BE=LBF=5.

2

【模型3中位线】

【典例3】如图，AABC+,平分/BAC,£是BC中点，AD±BD,AC=7,A2=4,

3

C-2D.

2

【答案】D

【解答】解：延长8。交AC于",

在△ADB和△&£）//中,

，ZBAD=ZHAD

-AD=AD，

ZADB=ZADH

也△A。”（ASA）.

：.AH=AB^4,BD=DH,

：.HC=AC-AH=3,

■:BD=DH,BE=EC,

：.DE=1.HC=^-,

22

故选：D.

【变式31］如图，在△ABC中，D,E,/分别是边AB,BC,CA的中点，若△OEP的周

长为10,则△ABC的周长为

A

【答案】20

【解答】解：；点nE,尸分别是△ABC的AB,BC,CA边的中点,

:.EF、DE、。/为△ABC的中位线，

J.EF^^AB,DF=1.BC,DE=^AC,

222

：.AB=2EF,BC=2DF,AC=2DE,

；△£)£■厂的周长为10,

：.EF+DE+DF=IO,

：.2EF+2DE+2DF=2Q,

：.AB+BC+AC=20,

：.△ABC的周长为20.

故答案为：20.

【变式32］如图，等边AABC的边长是4,D,E分别为4B,AC的中点，延长8C至点F,

使CF,BC，连接CO和EE

(1)求证：CD=EF；

(2)四边形。EFC的面积为.

【解答】(1)证明：在△ABC中,

,:D、E分别为A3、AC的中点，

；.£)£■为△ABC的中位线，

.".£>£=ABC,

2

•：CF=1BC,

2

：.DE=CF.

(2)解：过点。作DXLBC于

,/AABC是等边三角形，

：.AC=BC,ZACB=60°,

\'AD=BD,

:.CD工AB,ZZ)CB=AZACB=30°,

2

VBC=4,BD=2,

CD=VBC2-BD2=742-22=2>/3，

ZDHC^90°,

:.DH='DC=6,

2

：DE■为△ABC的中位线，

：.DE//CF,

•.•£>E=b=l_2C=2,

2

四边形DEFC是平行四边形，

•*.S性逆彩DEFC=CF・DH=2X.

故答案为：2a.

【变式33］如图，在平行四边形A8CD中，点E在BC的延长线上，CE=DE=2BC.CD

的中点为尸，OE的中点为G,连接ARFG.

(1)求证：四边形AFGZ)为菱形；

(2)连接AG,若BC=2,tanB=尚，求AG的长.

AD

【解答】(1)证明：・・,四边形ABC。是平行四边形,

：.AD//BC,AD=BC,

〈DE的中点为G,

:・DE=2DG,

〈CO的中点为R

・•・FG是△。尸G的中位线，

:.CE=2FG,FG//CE,

：.FG//AD,

,:CE=DE=2BC,

:・FG=DG=BC,

：.AD=FG,

・・・四边形AFGD是平行四边形，

■:FG=DG,

・・・四边形A尸GO为菱形；

(2)解：连接AG交0产于点O,

・・♦四边形ABCD是平行四边形,

:・/B=/ADO,AD=BC=2,

•・•四边形A/GO为菱形，

：.AG±DF,AG=2AO,

在RtAADO中，tanB二日，

tmZADO=,

DO2

・••设A0=3x,DO=2x,

t122

：AO+DO=ADf

(3x)2+(2x)2=4,

...x=2Z亘或X=-汉亘(舍去)，

1313

/.AG=2AO=-12'^..,

13

：.AG的长为12丁行.

13

【模型4连接直角顶点，构造斜中定】

【典例4】用三种方法证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.已知：如图，ZBCA

=90°,AD=DB.求证：CD=^AB.

【解答】解：证法1：如图2,在/AC2的内部作

CE与AB相交于点E.

'：ZBCE=ZB,

：.EC=EB,

VZBCE+ZACE^9Q0,

ZB+ZACE=90°.

XVZA+ZB=9Q°,

ZACE=ZA.

J.EA^EC.

：.EA=EB=EC,

即CE是斜边AB上的中线，且CE=」X8.

2

又：C。是斜边AB上的中线，即CD与CE重合,

：.CD=^AB；

2

证法2：延长C。至点E,使得DE=CD,连接AE、BE.如图3所示:

'：AD^DB,DE=CD.

四边形ACBE是平行四边形.

又•.,NACB=90°,

四边形AC8E是矩形.

J.AB^CE,

又•.•CD=LCE,

2

.\CD=AAB；

2

证法3：延长CD到E,使DE=CD,连接AE,

：CO是斜边A8的中线，

：.BD=AD,

■:NCDB=NEDA,CD=DE,

：./\CDB^/\EDA(SAS),

CB=AE,ZB=ZDAE,

：.CB//AE,

AZBCA+ZACE=180°,

VZACB=9Q°,

/.ZCAE=90°,

VCB=AE,/BCA=/EAC=90°,AC=CA

：.AABC^ACEA(SAS),

：.AB=CE

,：CE=2CD

：.AB^2CD.

【变式41】直角三角形斜边上的中线长为10,则该斜边长为（）

A.5B.10C.15D.20